(共24张PPT)
北师大版 九年级下册
第三章第九节
平远县田家炳中学 林聪
《弧长、扇形面积的计算》
摆钟中的数学问题
摆钟中的数学问题
跑道中的数学问题
在田径二百米跑比赛中，每位运动员的起跑位置不同，你知道为什么吗？
学习目标：
1、经历探索与圆有关的计算之弧长及扇形面积公式的过程，进一步累积研究几何图形的活动经验。
2、联系生活，并会利用公式解决实际问题。
如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形。
半径
半径
圆心角
圆心角
弧
A
B
O
B
A
扇形
知识回顾
一
（1）若⊙O的半径为R，⊙O的周长是多少？⊙O的面积是多少？
（2）扇形的定义
C=2πR
S=πR2
探索新知1
如图,某传送带的一个转动轮的半径为Rcm.转动轮转一周,传送带上的物品A被传送多少厘米
A
二
问题：转动轮转1°,传送带上的物品A被传送多少厘米
900
3600
1800
1
360
2πR
180
nπR
180
3πR
180
返回
返回
×2πR
1πR
180
=
探索新知1
二
1.360°度的圆心角所对的弧长是 ．
2．1°的圆心角所对的弧长是_______
3．2°的圆心角所对的弧长是_______．
4．3°的圆心角所对的弧长是_______．
5．n°的圆心角所对的弧长是_______．
圆的周长2πR
弧长公式
半径为R ，圆心角度数为n°所对的弧长的计算公式为
注意：
在应用弧长公式 进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位 的；
例题学习
例1、制作弯形管道时,需要先按中心计算“展开长度”再下料.试计算图所示的管道的展直长度,即弧AB的长(结果精确到0.1mm).
解：R=40mm， n=110°
∴ AB的长=
︵
≈76.8（mm）
因此，管道的展直长度约为76.8mm。
A
C
B
A′
C′
例2：如图，把Rt△ABC的斜边放在直线l上，按顺时针方向转动一次,使它转到△A’BC’的位置。若BC=1,∠A=300。求点A运动到A′位置时，点A经过的路线长。
直通中考
1. 已知一条弧的半径为9，弧长为8π，那么这条弧所对的圆心角为____。
2.已知一条弧AB的长为6π，所对的圆心角为60°，则此弧所在圆的半径为______。
当堂检测
18
160°
在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上拴着一条长3m的绳子,绳子的另一端拴着一只狗.
问题（1）这只狗的最大活动区域有多大
问题（2）如果这只狗只能绕柱子转过n°角,那么它的活动区域有多大
探索新知2
三
9π
圆心角占整个周角的
所对扇形面积是
如 何 求 扇 形 的 面 积 ？
半径为R ，圆心角n°的扇形面积公式为
类比思想是探究数学问题的常用思想
A
B
O
O
比较扇形面积与弧长公式, 用弧长表示扇形面积:
对比联系
1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S扇形=____.
2、已知半径为2cm的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的面积是_________．
3、已知扇形的圆心角为1500，弧长为20πcm，则扇形的面积为__________．
当堂检测
拓展提升：一把扇子带来的思考
1、如图,纸扇的两竹条AB,AC的夹角为120°,AB的长为30 cm,BD的长为20 cm.
总结：S环形=S大扇形BAC-S小扇形DAE
四
求纸扇贴纸部分的面积.（纸扇有两面）
拓展提升：一把扇子带来的思考
2、如图,纸扇的两竹条AB,AC的夹角为120°,AB的长为30 cm,BD的长为20 cm.
四
F
总结：S弓形=S扇形-S三角形
求弓形部分面积。
拓展提升：一把扇子带来的思考
3、如图,纸扇的两竹条AB,AC的夹角为120°,AB的长为30 cm,BD的长为20 cm.
四
总结：S大弓形=S扇形+S三角形
求大弓形部分面积。
左图： S弓形=S扇形-S三角形
O
O
计算弓形面积
右图： S弓形=S扇形+S三角形
老师寄语：
四
拓展提升：一把扇子带来的思考
用数学的眼光观察世界；
用数学的思维思考世界；
用数学的语言表达世界。
课堂小结
五
计算公式：
弧长
扇形
公式
弓形
计算方法
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
环形
S环形=S大扇形-S小扇形
计算方法
我学到了什么数学知识？弧长、扇形面积的计算教学设计
课例名称 《弧长、扇形面积的计算》
所属学科 数学 使用教材 北师大版九年级下册
所属学段 初中 课型 新授课 教学时长 1课时
任课教师 林聪 职称/职务 初中数学一级 教导处副主任
课例简介
课例名称：《弧长、扇形面积的计算》 教学对象：九年级学生 教学环境：多媒体教室 教学设计理念：在多技术融合环境下，借助合适的信息技术手段创设情景，设计生动有趣的课件，优化讲解、启发、示范、指导、评价等课堂讲授活动，使课堂变得轻松高效。 教学策略：本课是我在新的教学理念指导下所设计的一堂创新教学案例，目的是探索出高效课堂教学方法，利用多技术融合环境与数学学科的整合，激发启发学生的学习兴趣，锻炼学生主动探索，合作交流的能力。①利用微视频、PPT课件创设情景。②引导学生观察，发现弧长与圆周长的部分与整体的比例关系，探索得出n°圆心角的弧长公式。③引导学生通过类比思想，发现规律，自主探索得出扇形面积公式。③由一把生活中常见的纸扇，引导学生脑洞大开，建模设计问题，应用新知解答，让学生明白数学来源于生活并服务于生活。④利用国家智慧教育平台的“高效课堂”评价量规评价学生参与学习意识、与人合作程度、学习汇报交流、取得学习成果情况。利用智慧平台的教学助手学生自评、互评、教师评价。 实施效果及推广应用情况：本课例在县“聚焦课堂教学变革，构建科学评价体系”课堂教学评比活动中示范展示，值得推广。
教材及教学内容分析
本节教材是在学生学习了圆的有关概念性质、圆心角、圆周角和圆的切线等内容之后，对弧长和扇形面积的计算的学习，研究的是初中阶段弧长公式和扇形面积公式的推导过程及其在实际问题中的应用。弧长公式和扇形面积公式是以圆的周长和面积公式为依据的。本节内容是圆的有关计算中的一个重要问题，是学习圆锥的侧面展开图的基础，也是高中进一步学习弧长公式和扇形面积公式的基本内容。
教学对象分析
学生的知识技能基础：学生从孩提时代的感觉圆形，到小学的认识圆形，学习过圆周长和面积公式，而这个课题学生在前阶段学完了“圆的认识”、“与圆有关的位置关系”、“圆内接正多边形”的基础上进行的，让学生具备推导出弧长和扇形面积的计算公式的奠定了基础。 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历参与研究探索的情感体验, 自主探索的能力；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
教学目标分析
一、知识与技能 让学生通过自主探索来认识扇形，掌握弧长和扇形面积的计算公式，并学会运用弧长和扇形面积公式解决一些实际问题. 二、过程和方法 让学生经历弧长和扇形面积公式的推导过程，培养学生自主探索的能力；在利用弧长和扇形面积公式解题中，培养学生应用知识的能力，空间想象能力和动手画图能力，体会由一般到特殊的数学思想. 三、情感态度和价值观 通过摆钟中数学图形和跑道中的数学问题，让学生感受到生活中处处有数学，激发学生学习数学的兴趣；通过对弧长和扇形面积公式的自主探究，让学生获得亲自参与研究探索的情感体验；通过同桌的讨论、交流和解决问题的过程，让学生更多的展示自己，建立自信；通过生活中的一把纸扇，发散思维，设计问题，应用新知解答问题，懂得用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界。
教学重难点分析及解决措施
教学重点：会利用弧长及扇形的面积公式解决问题。 解决措施：学生以小组合作的方式探究弧长与圆周长、扇形与圆面积的关系，得出n°圆心角所对弧长与扇形的面积公式，并通过例题精讲，当堂检测，拓展提升，链接中考环节的设计让学生应用新知，达到深化新知的目标。 教学难点：1、探索弧长及扇形面积的计算公式。2、会利用公式解决实际问题 解决措施：弧长与扇形面积公式的推导过程，引导弧长与圆周长，扇形面积与圆面积都是部分与整体的关系，从而将计算弧长和扇形面积的问题转化为求圆周长和圆面积的一部分来解决，并在此过程中体会转化、类比、从特殊到一般的思想进而达成目标。通过对生活中常见物品---纸扇，进行建模设计问题，向学生传达数学在生活中无处不在，懂得用所学知识解决实际问题。
主要教学策略 讲解演示法、探究发现法、启发教学法、合作学习法、实践建模法
技术工具、平台、资源 多媒体教室，PPT课件、微视频、“国家智慧教育平台”互动课堂、手机端移动讲台
技术支持的教学设计思路
本课是我在新的教学理念指导下所设计的一堂创新教学案例，目的是探索出高效课堂教学方法，利用多技术融合环境与数学学科的整合，激发启发学生的学习兴趣，锻炼学生主动探索，合作交流的能力。我的设计思路是： 第一步：播放音频《时间都去哪儿了》，引导学生观察摆钟一左一右摆动，运动轨迹形成的图形。播放微视频--田径短跑比赛，发现每位运动员的起跑位置不同，思考跑道中的数学问题。创设情景，引入新知。 第二步：通过PPT课件展示传送带动态传送物品，引导学生观察，发现弧长与圆周长的部分与整体的比例关系，探索得出n°圆心角的弧长公式。 第三步：引导学生通过类比弧长公式的探索过程，发现规律，自主探索得出扇形面积公式。 第四步：设计例题精讲、当堂检测、链接中考题型，学生独立思考，应用新知解决问题。教师利用“国家智慧教育平台”教学助手和手机端移动讲台及时拍照展示及点评学生学习效果。 第五步：由一把生活中常见的纸扇，引导学生脑洞大开，建模设计问题，达到拓展提升，深化新知的目的，让学生明白数学来源于生活并服务于生活。 第六步：利用智慧教育平台“高效课堂”评价量规评价学生参与学习意识、与人合作程度、学习汇报交流、取得学习成果情况。利用教学助手学生自评、互评、教师评价。
教学过程
教学环节教师活动学生活动设计意图 情景导入引入新知播放《时间都去哪儿了》音频，展示动态摆钟，引导学生思考摆钟中存在哪些数学图形。 播放田径二百米比赛短视频，引导学生思考跑道中的数学问题。 聆听音频，观看视频，动图，思考摆钟和跑道中存在的数学图形和问题 利用音频和微视频创设情景激发学生学习兴趣，提高学生学习本课的学习动力。 引导探究掌握新知1 活动1：探究弧长的公式 如图,某传送带的一个转动轮的半径为Rcm.， 提出问题： ①转动轮转一周,传送带上的物品A被传送多少厘米 ②转动轮转1°,传送带上的物品A被传送多少厘米 ③转动轮转n°,传送带上的物品A被传送多少厘米 活动2：:例题精讲 制作弯形管道时,需要先按中心计算“展开长度”再下料.试计算图所示的管道的展直长度,即弧AB的长(结果精确到0.1mm). 活动3：当堂检测1 1.已知一条弧的半径为9，弧长为8π，那么这条弧所对的圆心角为 。 2.已知一条弧AB的长为6π，所对的圆心角为60°，则此弧所在圆的半径为______。 【直通中考】 3、把Rt△ABC的斜边放在直线l上，按顺时针方向转动一次,使它转到△A’BC’的位置。若BC=1,∠A=300。求点A运动到A′位置时，点A经过的路线长。 教师用手机端移动讲台拍照展示学生解答过程，提出规范书写要求。 1、学生认真观察转动轮动态传送物品路径，思考老师提出的问题。 2、小组讨论，互相启发，质疑，争辩，补充。 3、发现弧长与圆周长的部分与整体的比例关系，进而推导出n°圆心角所对应弧长公式。 4、学生独立思考，应用新知解答习题。 由于圆是特殊的弧，由一个圆的周长所对的圆心角是360°，到半圆所对的圆心角是180°，再到四分之一个圆的弧长所对的圆心角是90°，再反推1°的圆心角所对的弧长是多少，从而让学生自然而然地想到等分，推导出弧长公式，在此过程中体验从特殊到一般的思想。同时也让学生明白探索一个新的知识要从学过的知识入手，找寻它们的联系，探究规律，得出结论。 设计生活中的弯型管道用料问题、当堂检测习题、直通中考习题，检验学生是否能熟练掌握弧长公式并能对公式中的半径、圆心角这两个量进行灵活换算。通过对实际问题教师引导学生分步分析，分步计算.体会数学来源于生活并服务于生活。 自主探究，掌握新知2 活动1：探究扇形的面积公式 提问： （1）观察与思考：怎样的图形是扇形？ （2）扇形面积的大小到底和哪些因素有关呢？ （3）讨论如何求扇形的面积？ ①圆心角是1°的扇形面积是圆面积的多少？ ②圆心角为n°的扇形面积是圆面积的多少 活动2：:对比联系 问题： 比较扇形面积与弧长公式, 你能用弧长表示扇形面积吗？ 你认为这个公式跟学过的什么图形的面积公式相像？ 活动3：当堂检测2 1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S扇形= 。 2、已知半径为2cm的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的面积是_________． 学生观察图片，理解扇形定义，并能准确判断出什么样的图形是扇形. 在已有的探索弧长公式经验的基础上，学生自主尝试探索扇形面积的方法,将扇形面积和圆的面积对比分析，得出扇形面积公式。 3、小组合作交流，每组派代表上台展示结果借助幻灯片放映在圆中构建扇形的过程，让学生观察与思考，借助直观的图形来加深学生对扇形的认识，鼓励学生尝试已有经验，自主探究扇形面积的计算公式。此过程学生进一步体会类比思想、从特殊一般特殊的认知过程，也再次锻炼他们的探索新知识的能力，体验成功的快乐. 让学生在合作交流的基础上尝试分析扇形面积和弧长之间的关系.得出扇形面积的另外一个公式，引导学生尝试用更好的方法记忆公式.进一步加强学生合作交流和归纳总结能力。 拓展延伸深化新知 活动：一把扇子带来的思考 借助国家智慧教育平台教学助手画图工具，对生活中常见物品纸扇进行抽象建模，引导学生自主设计问题，解决实际问题。 拓展总结： ①S环形=S大扇形-S小扇形 ② S小弓形=S扇形-S三角形 ③S大弓形=S扇形+S三角形把纸扇进行抽象建模，设计已知条件，发散思维，根据已有认知尝试提出问题并解答。 2、学生初步得出环形面积和弓形面积算法。本环节要求学生具有较强的综合运用能力。大部分学生思维相当活跃，在课堂上就能探索出以下几种常见的阴影面积——环形、弓形、不规则图形的面积算法，达到熟练应用新知，深化新知的目的，也为下节课探索扇形与圆锥侧面的关系做好铺垫。 总结升华领悟道理 1、总结知识 2、老师寄语： 小组合作，梳理复述知识，感悟数学的美妙与强大。 布置作业继续研究一把扇子带来的思考，把课堂上同学们已得出和自己设计得出的问题归类整理，并写出解答过程，在“国家智慧教育平台”教学助手的课后练习功能拍照提交，教师评价。 2、提交评价量规表 学生通过量规标准进行自评、小组评等活动 让学生通过量规进行自评、小组评，来评价本节课自己的表现。
附：板书设计
教学评价
《弧长、扇形面积的计算》评价量规表 评价指标 （权重）评价标准描述级等级自评小组互评教师评价A(1-0.8)B（0.8-0.6）C(0.6-0.4)D(0.4-0)学习态度 （30分）对本课程学习兴趣非常浓，学好本课充满信心，探索热情非常高。对本课的学习兴趣教浓、有信心学好本课，探索热情较高。对本课的学习兴趣一般，学好的信心也不充足，探索的热情不大。对本课的学习么有兴趣，没有信心学好本课，对本课不愿意探索。合作能力 （20分）小组成员积极主动地思考问题，积极配合，能很好地帮助本组其他成员分析问题，并解决问题各成员积极地思考问题，能较好地开展合作学习，能够较好地完成任务各成员能够交流，能得出结论，或者在老师引导下完成任务。小组成员间没有分工合作，不听取他人意见，也不表达自己意见。知识技能 （30分）能自主探索得出弧长公式，会用类比思想得出扇形的面积公式，并灵活变通两个公式解决问题在老师的引导下探索得出弧长和扇形的面积公式，并会变通两个公式解决问题在老师的引导下，理解弧长与扇形面积公式，会应用公式解决基础问题理解弧长与扇形面积公式，但应用公式解决问题时需要帮助。创新实践 （20分）会对一把纸扇进行数学建模，发散思维，设计提出几个不同的数学问题，并用所学知识给予解答会对一把纸扇进行数学建模，思考提出一个数学问题，并用所学知识给予解答。在帮助下，会对一把纸扇进行数学建模，思考提出一个数学问题，并用所学知识给予解答。对纸扇中存在什么数学问题不理解，不会提出问题。
本课例课堂教学评价结果数据。
教学反思
.教学设计理念 本节课在“以学生发展为核心”的理念下，最大限度地实现学生的主体地位.从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，在师生之间、生生之间的互动中，使数学教学成为一种“过程教学”，让学生在“数学活动”中获得数学的“思想、方法、能力、素质”，同时获得对数学的情感；教师是学习活动的设计者、组织者、参与者，力求为学生的发展创设一个和谐与开放的思考、讨论、探究的氛围，激发学生的学习兴趣，使学生在平等、尊重、信任、理解和宽容中受到鼓励和鼓舞，从而实现传授知识和培养能力的融合. .教学设计的优势 弧长和扇形的面积，在新课标、新教材中是重要的学习内容，在本节教学中我结合学生的实际要求，以音频和微视频作为切入点来创设情景，引入新知。在探索环节，以生活中传送带传送物品的动态图引导学生观察圆心角度数的变化带来弧长的变化，从而学生发现弧长与圆周长是存在部分与整体的比例关系，求弧长即是求部分圆周长，层层分析，由特殊情况转化为一般情况，进而得到n°圆心角的弧长公式。当再次探索扇形面积公式时，学生已具备探究经验，很快就发现扇形面积与圆面积也是存在部分与整体的比例关系，根据已有知识的认知和总结出的规律，得出扇形面积公式水到渠成。所有这些都体现了学习的方法和策略，在潜移默化中影响学生.另外对于扇形的第二个计算公式，把“弧”看成“边”，把“扇形”看成“曲边三角形”不仅有利公式的理解和记忆，更有利于数学思想方法的形成，一举多得.同时，拓展提升环节通过为一把纸扇设计不同的问题，鼓励学生发散思维，为每一个学生创造发挥自己才能的空间，让学生体验解决问题策略的多样性，发展学生的实践能力，合作探究能力，自主学习能力与创新精神。 .多技术融合教学 本课例实现了信息技术工具与数学教学多角度融合，利用音频，微视频，GIF动态图等多媒体教学手段，向学生展示丰富多彩的数学世界，激发学习数学的兴趣。借助“国家智慧教育平台”教学助手，手机端移动讲台，让老师不再局限于三尺讲台，随时加入到学生当中讨论交流，观察学生的学习效果，拍照展示学生的学习成果，形成高效课堂。 .不足之处 本课是一节新授课，虽然课程中多次应用直观形象的教学手段，让学生经历了知识的生成过程，但因学生水平的差异，在应用弧长和扇形面积公式时还有部分同学会混淆。在新知的应用上，设计了例题、当堂检测和直通中考练习题。当堂检测仅仅是弧长和扇形面积公式的简单应用，直通中考对新知的应用加深了一点难度，但经过学生独立思考，教师的指导，都得到了圆满的解决，而当拓展提升环节需要学生把实际问题抽象成数学问题，渗透数学建模思想，解题时部分学生不会组织语言写出完整的解题过程，不会用几何语言进行描述。在以后的教学中要有意的进行培养和加强训练。
