【高考真题】2025年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷
一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.考生应在答题纸的相应位置直接填写结果）
1．（2025·上海） 已知全集，集合，则 ．
【答案】或
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由已知，，故{x|4}
故答案为：或.
【分析】直接由补集的含义得到结果.
2．（2025·上海） 不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】不等式的解集
【解析】【解答】解：由得(x-1)(x-3)<0得1
故答案为：(1，3).
【分析】直接将分式不等式化为一元二次不等式，即可得解集.
3．（2025·上海） 已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为 ．
【答案】12
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：.
故答案为：12.
【分析】直接由等差数列的前n项和公式求解即可.
4．（2025·上海） 在二项式的展开式中，的系数为 ．
【答案】80
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：，故的系数为80.
故答案为：80.
【分析】直接利用二项式的展开式公式求出的系数 .
5．（2025·上海） 函数在上的值域为 ．
【答案】
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】解：由函数在[-]上单调递增，在[0，]单调递减，
，故函数的值域为.
故答案为：.
【分析】根据余弦函数在区间上的单调性，可得最大值与最小值，即可得值域.
6．（2025·上海） 已知随机变量X的分布为，则期望 ．
【答案】6.3
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题设有.
故答案为：6.3.
【分析】根据分布列结合期望公式求出期望即可.
7．（2025·上海） 如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为 ．
【答案】112
【知识点】柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：连接DB1，
由勾股定理得BB1=，而底面ABCD为正方形，故AB=AD=4，故V=447=112.
故答案为：112.
【分析】由题意可得BB1的值和AB、AD的长，即可得柱体的体积.
8．（2025·上海） 设，则的最小值为 ．
【答案】4
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，
当且仅当时，即ab=1，即a=0.5，b=2时，取等号.故的最小值为4.
故答案为：4.
【分析】根据“1”代换，求出，再由基本不等式即可得最小值.
9．（2025·上海）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有 种．
【答案】288
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法，
故有1224=288种排法.
故答案为：288.
【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可得结果.
10．（2025·上海） 已知复数z满足，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】复数的模；共轭复数；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：设Z=a+bi(a，b)，则，由得得，得ab=0，
又得，由复数的几何意义知Z在复平面内对应的点Z(a，b)在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段AB和CD上运动，
设E(2，3)，则=ZE，由图像可知CE=2>，故的最小值为.
故答案为：.
【分析】先设Z=a+bi(a，b)，利用复数的乘方运算及概念确定Z的轨迹，再根据复数的几何意义数形结合计算即可.
11．（2025·上海） 小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角 ．（结果用角度制表示，精确到）
【答案】
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】如图，在A处，，在B处满足tan∠CED=2.5，
（其中ED||水平面，CE是射过B处杆子最高点的光线，光线交斜面于E），
故设BD=y，则ED=，
由勾股定理，，解得y≈0.098，
于是θ=arcsin
故答案为：.
【分析】先根据在A处的旗杆算出阳光和水平面的夹角，然后结合B处的旗杆算出斜面角.
12．（2025·上海） 已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则可的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；辅助角公式
【解析】【解答】解：若，则，此三个向量为单位向量且两两垂直，显然不成立；故
不妨设，则，设，
则有得，
于是=，
而，得
则.
故
故答案为：.
【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得.
二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.）
13．（2025·上海） 已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：因为事件A、B相互独立，故，
故答案为：B.
【分析】根据独立事件的概率公式可得.
14．（2025·上海） 设．下列各项中，能推出的一项是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
【答案】D
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】解：∵，∴即
当a>1，则s-1>0，s>1，故A、B错误；
当0故答案为：D.
【分析】先化简为，分类讨论a>0和015．（2025·上海） 已知，C在上，则的面积（ ）
A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值
【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设点C(a，b)，则，则有，
，直线AB的方程为：，
点C到直线AB的距离d=
设f(b)=，b≥0，易知f(b)单调递减，于是fmax=f(0)，无最小值.
即△ABC的边AB边上的高有最大值，无最小值，AB为定值，故△ABC的面积 有最大值，但没有最小值
故答案为：A.
【分析】设出曲线上点C(a，b)，得出，将三角形的高转化成关于b的函数，分析其单调性，从而求解.
16．（2025·上海） 已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（ ）
A．4个 B．3个 C．1个 D．无数个
【答案】B
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】解：由题意知，不妨设A(n，)，B(n，)，C(n，)，三点均在第一象限内，由知，，
点C恒在线段AB上，则有，对任意的都有
令10x-9=，构造函数得
，由单调递增，且有，故使
即当时，，单调递减；当时，，单调递增，
故至多2个零点，
又知f(x)至多存在两个零点，不妨设两零点为且
①若，即时，此时n=1或n≥6
则，得成立.要使的值均能构成三角形，
故恒成立，得
于是且，解得n=6；
②若即时，此时n=2，3，4，5
则，得成立.要使的值均能构成三角形，
故恒成立，得，
于是且，解得n=4或5
综上所述，n=4，5，6，正整数n有3个.
故答案为：B.
【分析】由可知范围，再由三角形三边关系可得的不等关系，结合函数零点解不等式可得.
三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.）
17．（2025·上海）2024年东京奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．
206.78 207.46 207.95 209.34 209.35
210.68 213.73 214.84 216.93 216.93
（1）求这组数据的极差与中位数；
（2）从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；
（3）若比赛成绩y关于年份x的回归方程为，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）．
【答案】（1）解：由题意，数据的最大值为 216.93 ，最小值为 206.78 ，
则极差为216.93-206.78=10.15；
数据中间两数为 209.35 与 210.68 ，
则中位数为.
极差10.15；中位数210.015
（2）解：由题意，数据共10个，211以上数据共有4个，
故设事件A=“恰有2个数据在211以上”
P=；
（3）解：由题意，成绩的平均数
由直线过(2006，211.399)代入得
故回归直线方程为y=-0.311x+835.265
当 时，；
故2028年十冠军队的成绩为204.56秒
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；线性回归方程
【解析】【分析】(1)直接观察数据找到最大值与最小值，差即为极差，中间两数的平均值即为平值均；
(2)由题意知211以上的数据4个，直接计算概率即得；
(3)先分别计算出样本平均值，代入回归方程即可b的值，即可预测2028年的成绩.
18．（2025·上海） 如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．
（1）若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积；
（2）已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD．
【答案】（1）解：由已知PA与圆锥底面的夹角为，即∠PAB=60°，
而PA=PB，得△PAB为等边三角形，故母线PA=2，
于是 S= πrl = 2π；
（2）证明：
∵AQ=QP，AO=OB
∴OQ||PB
又∵OQ 平面PBD，PB 平面PBD，
∴OQ||平面PBD
而弧AC的度数为，底面半径为1，则∠AOC=，而CD||AB，则∠OCD=
∵OC=OD
∴△OCD为等边三角形
∴CD=1
∵CD||BO，CD=OB
∴OBDC为平行四边形
∴OC||BD
∵OC 平面PBD，BD 平面PBD，OC||PBD
OC∩OQ=O，OQ 平面QOC
∴平面QOC||平面PBD
又∵M∈OC，
∴QM QOC，
∴OM||平面PBD
【知识点】直线与平面平行的判定；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【分析】(1)由题意知底面半径OB=1，再根据公式即可得侧面积；
(2)通过分别证明直线QO与平面BDH平行和直线CO与平面BDH平行得到平面COQ与平面BDH平行，QT在平面COQ上，所以QT//平面PBD；
19．（2025·上海） 已知．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围；
【答案】（1）解：f(1)=1-(m+2)+m×0=0，解得m=-1，
所以f(x)=x2-x-lnx≤x2-1，即lnx+x-1≥0
设g(x)=Inx+x-1(x>0)则g(I)=0，g(x) ≥g(1)
而 g'(x)=+1>0，g(x)在R+上为严格增函数，所以原不等式的解集为[1，+∞)
（2）解：.
由，有，，
当时，可有时，为严格增函数，函有极小值而无最大值，不符合题意；
当时，恒成立，f(x)为严格增函数，无极大值；
当，即时，可有时，f(x)为严格增函数，时，f(x)为严格减函数，函数在时有极大值；同理，，函数在时有极大值.
综上：m的取值范围为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)由题意知m=-1，再构造函数g(x)=Inx+x-1，由函数的单调性可得不等式的解集；
(2)求导得，对m的取值进行分类讨论，即可得m的取值范围.
20．（2025·上海） 已知椭圆，，A是的右顶点．
（1）若的焦点，求离心率e；
（2）若，且上存在一点P，满足，求m；
（3）已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围．
【答案】（1）解： 由题意，得，解得，所以离心率
（2）解：由题意，得，设，
则又，得，即，
代入，得，解得
（3）解：由，可知，即，所以，
设AM的中点为P，则，所以，即
联立． ，，得
设 ，则
由 为钝角，得 ，即
也即 ，整理得
将 代入，得 ，解得
所以
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由题意知得a的值，即可得离心率.
(2)设点P坐标，由向量关系坐标化可解得P坐标，代入椭圆方程可得m的值；
(3)根据中垂线性质，由斜率与中点坐标得直线l方程，联立直线与椭圆方程，将钝角条件转化为向量不等式，再坐标化利用韦达定理代入化简不等式求解可得a范围.
21．（2025·上海） 已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．
（1）若，判断是否是中的元素，请说明理由；
（2）若，求a的取值范围；
（3）若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点．
【答案】（1）解： ，，所以.
（2）解：考虑，
因在上严格增，在上也严格增，
故只可能发生在时，
此时，显然，
（3）解：对任意，，由于是偶函数，
而，所以，所以，
这样，注意到，
所以，即，，
所以当时，，所以，
所以，所以当时，，注意到f(x)为偶函数有以下函数图象
注意，另有（-3，-2，0，2，3）在定义域中却不在上图中我们也可以总结如下函数性质：
x （-3，-2) （-2，-1) -1 （-1，0)
f(x)单调性 严格増 严格减 / 严格増
f(x)值/域 (0，1) (0，1) 0 (0，1)
x (0，1) 1 （1，2） (2，3)
f(x)单调性 严格减 / 严格増 严格减
f(x)值域 (0，1) 0 (0，1) (0，1)
考虑，若，注意到，所以，所以，与矛盾，所以，这样
对于的零点，
当c=0时，若此时最多有7个零点，
当，如下图所示，此时最多有5个零点
当c<0时，此时最多5个零点；
当时，
最多(-3，-2)，(-2，-1)，(-1，0)，(0，1)，(1，2)，(2，3)上取得六个零点，
以及在x=-2，0，2上成为零点，故不超过9个
综上，零点不超过9个
【知识点】函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】(1)直接代入，由题意知；
(2)根据函数的单调性知时有，即得，即得a的范围；
(3)利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对c的范围进行分类讨论即可.
1 / 1【高考真题】2025年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷
一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.考生应在答题纸的相应位置直接填写结果）
1．（2025·上海） 已知全集，集合，则 ．
2．（2025·上海） 不等式的解集为 ．
3．（2025·上海） 已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为 ．
4．（2025·上海） 在二项式的展开式中，的系数为 ．
5．（2025·上海） 函数在上的值域为 ．
6．（2025·上海） 已知随机变量X的分布为，则期望 ．
7．（2025·上海） 如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为 ．
8．（2025·上海） 设，则的最小值为 ．
9．（2025·上海）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有 种．
10．（2025·上海） 已知复数z满足，则的最小值是 ．
11．（2025·上海） 小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角 ．（结果用角度制表示，精确到）
12．（2025·上海） 已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则可的取值范围是 ．
二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.）
13．（2025·上海） 已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（ ）
A． B． C． D．0
14．（2025·上海） 设．下列各项中，能推出的一项是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
15．（2025·上海） 已知，C在上，则的面积（ ）
A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值
16．（2025·上海） 已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（ ）
A．4个 B．3个 C．1个 D．无数个
三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.）
17．（2025·上海）2024年东京奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．
206.78 207.46 207.95 209.34 209.35
210.68 213.73 214.84 216.93 216.93
（1）求这组数据的极差与中位数；
（2）从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；
（3）若比赛成绩y关于年份x的回归方程为，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）．
18．（2025·上海） 如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．
（1）若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积；
（2）已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD．
19．（2025·上海） 已知．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围；
20．（2025·上海） 已知椭圆，，A是的右顶点．
（1）若的焦点，求离心率e；
（2）若，且上存在一点P，满足，求m；
（3）已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围．
21．（2025·上海） 已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．
（1）若，判断是否是中的元素，请说明理由；
（2）若，求a的取值范围；
（3）若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点．
答案解析部分
1．【答案】或
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由已知，，故{x|4}
故答案为：或.
【分析】直接由补集的含义得到结果.
2．【答案】
【知识点】不等式的解集
【解析】【解答】解：由得(x-1)(x-3)<0得1故答案为：(1，3).
【分析】直接将分式不等式化为一元二次不等式，即可得解集.
3．【答案】12
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：.
故答案为：12.
【分析】直接由等差数列的前n项和公式求解即可.
4．【答案】80
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：，故的系数为80.
故答案为：80.
【分析】直接利用二项式的展开式公式求出的系数 .
5．【答案】
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】解：由函数在[-]上单调递增，在[0，]单调递减，
，故函数的值域为.
故答案为：.
【分析】根据余弦函数在区间上的单调性，可得最大值与最小值，即可得值域.
6．【答案】6.3
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题设有.
故答案为：6.3.
【分析】根据分布列结合期望公式求出期望即可.
7．【答案】112
【知识点】柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：连接DB1，
由勾股定理得BB1=，而底面ABCD为正方形，故AB=AD=4，故V=447=112.
故答案为：112.
【分析】由题意可得BB1的值和AB、AD的长，即可得柱体的体积.
8．【答案】4
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，
当且仅当时，即ab=1，即a=0.5，b=2时，取等号.故的最小值为4.
故答案为：4.
【分析】根据“1”代换，求出，再由基本不等式即可得最小值.
9．【答案】288
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法，
故有1224=288种排法.
故答案为：288.
【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可得结果.
10．【答案】
【知识点】复数的模；共轭复数；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：设Z=a+bi(a，b)，则，由得得，得ab=0，
又得，由复数的几何意义知Z在复平面内对应的点Z(a，b)在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段AB和CD上运动，
设E(2，3)，则=ZE，由图像可知CE=2>，故的最小值为.
故答案为：.
【分析】先设Z=a+bi(a，b)，利用复数的乘方运算及概念确定Z的轨迹，再根据复数的几何意义数形结合计算即可.
11．【答案】
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】如图，在A处，，在B处满足tan∠CED=2.5，
（其中ED||水平面，CE是射过B处杆子最高点的光线，光线交斜面于E），
故设BD=y，则ED=，
由勾股定理，，解得y≈0.098，
于是θ=arcsin
故答案为：.
【分析】先根据在A处的旗杆算出阳光和水平面的夹角，然后结合B处的旗杆算出斜面角.
12．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；辅助角公式
【解析】【解答】解：若，则，此三个向量为单位向量且两两垂直，显然不成立；故
不妨设，则，设，
则有得，
于是=，
而，得
则.
故
故答案为：.
【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得.
13．【答案】B
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：因为事件A、B相互独立，故，
故答案为：B.
【分析】根据独立事件的概率公式可得.
14．【答案】D
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】解：∵，∴即
当a>1，则s-1>0，s>1，故A、B错误；
当0故答案为：D.
【分析】先化简为，分类讨论a>0和015．【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设点C(a，b)，则，则有，
，直线AB的方程为：，
点C到直线AB的距离d=
设f(b)=，b≥0，易知f(b)单调递减，于是fmax=f(0)，无最小值.
即△ABC的边AB边上的高有最大值，无最小值，AB为定值，故△ABC的面积 有最大值，但没有最小值
故答案为：A.
【分析】设出曲线上点C(a，b)，得出，将三角形的高转化成关于b的函数，分析其单调性，从而求解.
16．【答案】B
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】解：由题意知，不妨设A(n，)，B(n，)，C(n，)，三点均在第一象限内，由知，，
点C恒在线段AB上，则有，对任意的都有
令10x-9=，构造函数得
，由单调递增，且有，故使
即当时，，单调递减；当时，，单调递增，
故至多2个零点，
又知f(x)至多存在两个零点，不妨设两零点为且
①若，即时，此时n=1或n≥6
则，得成立.要使的值均能构成三角形，
故恒成立，得
于是且，解得n=6；
②若即时，此时n=2，3，4，5
则，得成立.要使的值均能构成三角形，
故恒成立，得，
于是且，解得n=4或5
综上所述，n=4，5，6，正整数n有3个.
故答案为：B.
【分析】由可知范围，再由三角形三边关系可得的不等关系，结合函数零点解不等式可得.
17．【答案】（1）解：由题意，数据的最大值为 216.93 ，最小值为 206.78 ，
则极差为216.93-206.78=10.15；
数据中间两数为 209.35 与 210.68 ，
则中位数为.
极差10.15；中位数210.015
（2）解：由题意，数据共10个，211以上数据共有4个，
故设事件A=“恰有2个数据在211以上”
P=；
（3）解：由题意，成绩的平均数
由直线过(2006，211.399)代入得
故回归直线方程为y=-0.311x+835.265
当 时，；
故2028年十冠军队的成绩为204.56秒
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；线性回归方程
【解析】【分析】(1)直接观察数据找到最大值与最小值，差即为极差，中间两数的平均值即为平值均；
(2)由题意知211以上的数据4个，直接计算概率即得；
(3)先分别计算出样本平均值，代入回归方程即可b的值，即可预测2028年的成绩.
18．【答案】（1）解：由已知PA与圆锥底面的夹角为，即∠PAB=60°，
而PA=PB，得△PAB为等边三角形，故母线PA=2，
于是 S= πrl = 2π；
（2）证明：
∵AQ=QP，AO=OB
∴OQ||PB
又∵OQ 平面PBD，PB 平面PBD，
∴OQ||平面PBD
而弧AC的度数为，底面半径为1，则∠AOC=，而CD||AB，则∠OCD=
∵OC=OD
∴△OCD为等边三角形
∴CD=1
∵CD||BO，CD=OB
∴OBDC为平行四边形
∴OC||BD
∵OC 平面PBD，BD 平面PBD，OC||PBD
OC∩OQ=O，OQ 平面QOC
∴平面QOC||平面PBD
又∵M∈OC，
∴QM QOC，
∴OM||平面PBD
【知识点】直线与平面平行的判定；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【分析】(1)由题意知底面半径OB=1，再根据公式即可得侧面积；
(2)通过分别证明直线QO与平面BDH平行和直线CO与平面BDH平行得到平面COQ与平面BDH平行，QT在平面COQ上，所以QT//平面PBD；
19．【答案】（1）解：f(1)=1-(m+2)+m×0=0，解得m=-1，
所以f(x)=x2-x-lnx≤x2-1，即lnx+x-1≥0
设g(x)=Inx+x-1(x>0)则g(I)=0，g(x) ≥g(1)
而 g'(x)=+1>0，g(x)在R+上为严格增函数，所以原不等式的解集为[1，+∞)
（2）解：.
由，有，，
当时，可有时，为严格增函数，函有极小值而无最大值，不符合题意；
当时，恒成立，f(x)为严格增函数，无极大值；
当，即时，可有时，f(x)为严格增函数，时，f(x)为严格减函数，函数在时有极大值；同理，，函数在时有极大值.
综上：m的取值范围为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)由题意知m=-1，再构造函数g(x)=Inx+x-1，由函数的单调性可得不等式的解集；
(2)求导得，对m的取值进行分类讨论，即可得m的取值范围.
20．【答案】（1）解： 由题意，得，解得，所以离心率
（2）解：由题意，得，设，
则又，得，即，
代入，得，解得
（3）解：由，可知，即，所以，
设AM的中点为P，则，所以，即
联立． ，，得
设 ，则
由 为钝角，得 ，即
也即 ，整理得
将 代入，得 ，解得
所以
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由题意知得a的值，即可得离心率.
(2)设点P坐标，由向量关系坐标化可解得P坐标，代入椭圆方程可得m的值；
(3)根据中垂线性质，由斜率与中点坐标得直线l方程，联立直线与椭圆方程，将钝角条件转化为向量不等式，再坐标化利用韦达定理代入化简不等式求解可得a范围.
21．【答案】（1）解： ，，所以.
（2）解：考虑，
因在上严格增，在上也严格增，
故只可能发生在时，
此时，显然，
（3）解：对任意，，由于是偶函数，
而，所以，所以，
这样，注意到，
所以，即，，
所以当时，，所以，
所以，所以当时，，注意到f(x)为偶函数有以下函数图象
注意，另有（-3，-2，0，2，3）在定义域中却不在上图中我们也可以总结如下函数性质：
x （-3，-2) （-2，-1) -1 （-1，0)
f(x)单调性 严格増 严格减 / 严格増
f(x)值/域 (0，1) (0，1) 0 (0，1)
x (0，1) 1 （1，2） (2，3)
f(x)单调性 严格减 / 严格増 严格减
f(x)值域 (0，1) 0 (0，1) (0，1)
考虑，若，注意到，所以，所以，与矛盾，所以，这样
对于的零点，
当c=0时，若此时最多有7个零点，
当，如下图所示，此时最多有5个零点
当c<0时，此时最多5个零点；
当时，
最多(-3，-2)，(-2，-1)，(-1，0)，(0，1)，(1，2)，(2，3)上取得六个零点，
以及在x=-2，0，2上成为零点，故不超过9个
综上，零点不超过9个
【知识点】函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】(1)直接代入，由题意知；
(2)根据函数的单调性知时有，即得，即得a的范围；
(3)利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对c的范围进行分类讨论即可.
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