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分课时学案
课题 1.1探索勾股定理第2课时 单元 第一单元 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.掌握勾股定理的两种验证方法，能准确表述定理内容并应用于简单计算。 2.经历 “猜想—验证—归纳”的探究过程，发展类比迁移能力与逻辑推理素养，体会数形结合思想。 3.通过解决实际问题，提升数学建模能力，感悟定理的现实意义。 4.了解勾股定理的历史背景，增强文化自信，激发数学探究兴趣。
重点 1.勾股定理的验证过程。 2.运用定理解决直角三角形边长计算问题。
难点 通过拼图实验抽象出面积关系，理解勾股定理证明的一般性。
教学过程
导入新课 复习回顾： 勾股定理的内容是什么？
新知讲解 探究活动一： 今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形. 探究活动二： 上一课，我们通过测量和数格子的方法发现了勾股定理。在图1-4中，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流。 尝试思考： 为了计算图1-4中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，分别得到图1-5、图1-6。 问题1：通过“补”的办法，你能表示出大正方形的面积吗？ 问题2：通过“割”的办法，你能表示出大正方形的面积吗？ 问题3：还有其他方法可以证明吗？我们来了解下. 总统（美国第二十任总统伽菲尔德）证法 数学文化： 勾股定理在我国有着悠久的历史。汉末三国初数学家、天文学家赵爽(3世纪初)在给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾、股各自乘，并之为弦实。开方除之，即弦。”他利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理。后人通常把图1-7称为“赵爽弦图”，2002年国际数学家大会会标的主要图案 (如图1-8)就取材于此图。 探究活动三： 例题精讲： 例1：在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路400处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶。他用红外测距仪测得汽车与他相距400m;过了10s，测得汽车与他相距500m。你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10s的平均速度吗？ 分析：你能根据题意画出图形吗？在你画的图形中存在一个怎样的三角形？ 例2：等腰三角形底边上的高为8 cm，周长为32 cm，求这个三角形的面积. 思考交流： 如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形，那么它的三边长仍然满足“较长边的平方等于另外两边的平方和”吗？以图1-10为例，说说你的判断和理由，并与同伴进行交流。 提示：也可用数学软件验证你的判断. 归纳结论： 1：若钝角三角形中较长边长为c，较短边长为a，b，则_________________ 2：若锐角三角形中较长边长为c，较短边长为a，b，则_________________ 3：若直角三角形中较长边长为c，较短边长为a，b，则_________________
课堂练习 巩固训练 1. 一直角三角形的斜边比一直角边长2，另一直角边长为6，那么斜边长为（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 2. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和11，则c的面积为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 5.5 3. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（ ） A. 13 B. 26 C. 47 D. 94 4. 观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边长分别为a，b，a>b根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（ ） A. B. C. D. 5. 如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ） A. 16 B. 25 C. 144 D. 169 6. 学校校园一角有一块如图所示的三角形空地ABC，其中AB=13m，BC=14m，AC=15m，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为60元，请通过计算估计学校修建这个花园需要投资多少元？
作业布置 基础达标： 1. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是 ( ) A.平行公理 B.等式的性质 C.勾股定理 D.三角形全等 2.中国古代数学家赵爽注解《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”.如图，勾a=3，弦c=5，则小正方形ABCD的面积为 ( ) A.1 B.3 C.4 D.9 3. 如图，有两棵树，一棵高 8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行 ( ) A.6 米 B.8 米 C.10米 D.12 米 4.如图是一等腰三角形形状的铁皮三角形ABC，BC为底边，尺寸如图(单位： cm)，根据所给的条件，该铁皮的面积为 . 5.如图，小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得如图所示的风筝的高度CE，他们进行了如下操作：①测得 BD=9米；(注：BD⊥CE) ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 BC=15米; ③牵线放风筝的小明的身高为1.6米.则风筝的高度CE是 米. 6.如图，它由2个全等的直角三角形与一个小直角梯形组成，恰好拼成一个大直角梯形，请你利用该图证明勾股定理. 能力提升： 7.如图，已知钓鱼竿 AC 的长为10m，露在水上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿 AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线 B'C'的长度为8m，若A，B，B'三点在同一直线上，则 BB'的长为 ( ) A.4 m B.3 m C.2 m D.1m 8对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ABCD，对角线 AC，BD 交于点 O.若AD=2，BC=4，则 9. 如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC=4，BC=6时，阴影部分的面积为 . 拓展迁移： 10. 小丽用 4 张全等的直角三角形纸片拼成图①，利用此图，可以验证勾股定理吗？ [初步运用](1)如图①，若b=2a，则小正方形的面积：大正方形的面积= ； (2)现将图①中上方的两直角三角形向内折叠，如图②，若a=4，b=6，此时空白部分的面积为 . [迁移运用]用三张含 60°角的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？ 带着这个疑问，小丽拼出图③的等边三角形，你能否按照勾股定理的验证，发现含 60°角的三角形的边a，b，c之间的等量关系？ 写出此等量关系及其推导过程. (提示：如图④，含60°角的直角三角形中，对边y：斜边x=定值k)
参考答案：
例题精讲：
例1：
解：根据题意，可以画出示意图1-9，如图所示.其中点A表示王叔叔所在位置，点C、点B表示两个时刻蓝方汽车的位置，由于小王距离公路400 m，因此∠C是直角，这样就可以由勾股定理来解决这个问题了.
由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2，也就是5002=BC2+4002，所以BC=300 m.
蓝方汽车10 s行驶了300 m，那么它平均每秒行驶的距离为300÷10=30(m).
因此，蓝方汽车这10s的平均速度为30m/s.
例2：
解：设这个三角形为ABC，高为AD，设BD为x cm，则AB为（16-x）cm，
由勾股定理得：x2+82=(16-x)2
即x2+64=256-32x+x2
所以x=6
S△ABC=
答：这个三角形的面积为48cm2.
课堂练习：
1.C.
2.C;
3.A;
4.C;
5.B;
6.5040元
作业布置：
1 C 2. A
3. C 【点拨】两棵树的高度差为8—2—6(米)，间距为8米，设小鸟至少要飞行的距离为h米，根据勾股定理可得： 所以h=10，所以小鸟至少要飞行10米.
4.60 cm 【点拨】过点 A 作AD⊥BC 于 D.由AB=AC，易得BD=CD=5cm ，因为 所以AD=12 cm，所以该铁皮面积为 60(cm ).
5.13.6 【点拨】因为BD⊥CE，所以∠BDC=90°.
由勾股定理得，
，所以CD=12米，易得 DE=AB=1.6米，
所以CE=CD+DE=12+1.6=13.6(米).
6.【证明】如图，连接AE.
易知∠ADE=90°.
因为
所以 所以( 所以
7. C 【点拨】在 Rt△ABC中，AC=10m，BC=6m，所以 ，所以AB=8m，在 Rt△AB'C'中， 所以 所以 所以
8.20 【点拨】因为AC⊥BD，所以∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°.由勾股定理得：/
所以
因为AD=2，BC=4，
所以
12.【解】[问题情境]可以.
[初步运用](1)5 ：9 (2)28
[迁移运用]结论： 推导过程如下：
设含60°角的三角形纸片长为b的边上的高为h，大等边三角形的高为h'，小等边三角形的高为 h"，则 所以
由题意，得大等边三角形面积=3个全等三角形面积和+小等边三角形面积，所以 所以( 所以 a +
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1.1探索勾股定理第2课时教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 一单元
课题 1.1探索勾股定理第2课时 课时 1
课标要求 依据 2022 新课标，本节课需引导学生通过几何直观与逻辑推理探索勾股定理的验证方法，发展数学建模能力，体会定理在实际问题中的应用价值，渗透数学文化与跨学科实践意识。
教材分析 本节课延续第1课时的探究脉络，通过拼图实验引导学生从面积关系验证勾股定理，并设置生活情境强化应用。教材注重知识生成过程，既衔接全等三角形、面积计算等旧知，又为后续学习逆定理及几何综合问题奠定基础。
学情分析 八年级学生已具备一定的几何直观能力，但对代数与几何的融合仍较陌生。他们能通过测量、计算发现勾股定理的表象规律，却难以自主构建严谨的证明逻辑。此外，部分学生在面积法推导中易混淆图形关系，需通过动手操作与分步引导突破思维瓶颈。
教学目标 1.掌握勾股定理的两种验证方法，能准确表述定理内容并应用于简单计算。 2.经历 “猜想—验证—归纳”的探究过程，发展类比迁移能力与逻辑推理素养，体会数形结合思想。 3.通过解决实际问题，提升数学建模能力，感悟定理的现实意义。 4.了解勾股定理的历史背景，增强文化自信，激发数学探究兴趣。
教学重点 1.勾股定理的验证过程。 2.运用定理解决直角三角形边长计算问题。
教学难点 通过拼图实验抽象出面积关系，理解勾股定理证明的一般性。
教法与学法分析 教法：采用问题驱动教学法，以 “如何用图形证明勾股定理” 为主线，结合多媒体动态演示与小组合作探究，引导学生自主发现验证路径。 学法：通过观察、操作、推理等活动，经历从特殊到一般的归纳过程，培养批判性思维与数学表达能力。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 复习回顾： 勾股定理的内容是什么？ 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2. 据不完全统计，验证的方法有400多种，你有自己的方法吗？ 复习回顾 思考问题，激发学生兴趣. 回顾上节课重点内容，引出新课.
探究活动一： 今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形. 追问：还有其他拼法吗 提出问题，引导学生动手操作 通过学生自己动手操作 让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，同时又培养学生的动手能力和创新能力.
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二： 上一课，我们通过测量和数格子的方法发现了勾股定理。在图1-4中，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流。 尝试思考： 为了计算图1-4中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，分别得到图1-5、图1-6。 问题1：通过“补”的办法，你能表示出大正方形的面积吗 证明：因为S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab， S大正方形=4S直角三角形+S小正方形=4×ab+c2=c2+2ab， 所以a2+b2+2ab=c2+2ab，即a2+b2=c2. 问题2：通过“割”的办法，你能表示出大正方形的面积吗 证明：因为S大正方形=c2，S小正方形=(a-b)2， 又因为S大正方形=4S直角三角形+S小正方形，所以c2=4×ab+=a2+b2 问题3：还有其他方法可以证明吗 我们来了解下. 总统（美国第二十任总统伽菲尔德）证法 如图，图中的三个三角形都是直角三角形， 求证：a2 + b2 = c2. ∵， ∴a2+b2=c2 . 归纳总结： 勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼图，补拼是要求无重叠，叠合是要求无空隙；而用面积法验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证的目的． 数学文化： 勾股定理在我国有着悠久的历史。汉末三国初数学家、天文学家赵爽(3世纪初)在给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾、股各自乘，并之为弦实。开方除之，即弦。”他利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理。后人通常把图1-7称为“赵爽弦图”，2002年国际数学家大会会标的主要图案 (如图1-8)就取材于此图。 引导学生思考问题，用拼图法验证勾股定理 教师引导学生通过两种方法表示大正方形的面积，同学独立思考，教师进行巡视，对于思路不清晰的学生给予指导. 思考问题，用拼图方法验证勾股定理. 学生主动积极思考 通过观察图形，思考如何验证勾股定理.介绍世界上有数百种验证方法，激发学习兴趣.通过这一环节，明确仅仅探索得到勾股定理还不够，还需进行验证.
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三： 例题精讲： 例1：在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路400处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶。他用红外测距仪测得汽车与他相距400m；过了10s，测得汽车与他相距500m。你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10s的平均速度吗？ 分析：你能根据题意画出图形吗？在你画的图形中存在一个怎样的三角形？ 解：根据题意，可以画出示意图1-9，如图所示.其中点A表示王叔叔所在位置，点C、点B表示两个时刻蓝方汽车的位置，由于小王距离公路400 m，因此∠C是直角，这样就可以由勾股定理来解决这个问题了. 由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2，也就是5002=BC2+4002，所以BC=300 m. 蓝方汽车10 s行驶了300 m，那么它平均每秒行驶的距离为300÷10=30(m). 因此，蓝方汽车这10s的平均速度为30m/s. 例2：等腰三角形底边上的高为8 cm，周长为32 cm，求这个三角形的面积. 解：设这个三角形为ABC，高为AD，设BD为x cm，则AB为（16-x）cm， 由勾股定理得：x2+82=(16-x)2 即x2+64=256-32x+x2 所以x=6 S△ABC= 答：这个三角形的面积为48cm2. 思考交流： 如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形，那么它的三边长仍然满足“较长边的平方等于另外两边的平方和”吗？以图1-10为例，说说你的判断和理由，并与同伴进行交流。 提示：也可用数学软件验证你的判断. 归纳结论： 1：若钝角三角形中较长边长为c，较短边长为a，b，则a2+b2c2. 3：若直角三角形中较长边长为c，较短边长为a，b，则a2+b2=c2. 引导学生运用勾股定理解决问题 给出问题，激发学生思考，并讨论交流. 积极思考 学生小组交流，总结规律. 通过例题的讲解，巩固对勾股定理的理解和掌握，培养学生的应用意识. 引导学生从数学现象背后发现数学规律，为后面学生独立解题打下一定的基础.学生通过数格子的方法可以得出，如果不是直角三角形，那么它的三边a，b，c不满足a2+b2=c2.通过这个结论，学生将对直角三角形三边之间的关系有进一步认识，并为后续直角三角形的判定打下基础.
环节四：巩固内化，拓展延伸 巩固训练 1. 一直角三角形的斜边比一直角边长2，另一直角边长为6，那么斜边长为（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 2. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和11，则c的面积为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 5.5 3. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（ ） A. 13 B. 26 C. 47 D. 94 4. 观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边长分别为a，b，a>b根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（ ） A. B. C. D. 5. 学校校园一角有一块如图所示的三角形空地ABC，其中AB=13m，BC=14m，AC=15m，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为60元，请通过计算估计学校修建这个花园需要投资多少元？ 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获 本节课主要学习了： 1.勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 2.数学方法：(1)观察—探索—归纳—应用；(2)面积法；(3)“割、补、拼、接”法. 3.对于—般直角三角形，如何利用不同面积割补法来验证勾股定理，从中我们发现了解决问题的不同思路，进一步认识了直角三角形三边与正方形之间的关系. 4.对于一些可利用勾股定理的实际问题，我们应该找出或画出问题中的直角三角形，把实际问题转化为可利用勾股定理的直角三角形问题. 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 探索勾股定理第2课时 勾股定理的验证：通过拼图、割补找出面积之间的相等关系；由面积之间的相等关系进行代数变形，即可推导勾股定理。 勾股定理的应用：利用勾股定理解决实际问题的思路： 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标： 1. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是 ( ) A.平行公理 B.等式的性质 C.勾股定理 D.三角形全等 2.中国古代数学家赵爽注解《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”.如图，勾a=3，弦c=5，则小正方形ABCD的面积为 ( ) A.1 B.3 C.4 D.9 3. 如图，有两棵树，一棵高 8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行 ( ) A.6 米 B.8 米 C.10米 D.12 米 4.如图是一等腰三角形形状的铁皮三角形ABC，BC为底边，尺寸如图(单位： cm)，根据所给的条件，该铁皮的面积为 . 5.如图，小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得如图所示的风筝的高度CE，他们进行了如下操作：①测得 BD=9米；(注：BD⊥CE) ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 BC=15米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.6米.则风筝的高度CE是 米. 6.如图，它由2个全等的直角三角形与一个小直角梯形组成，恰好拼成一个大直角梯形，请你利用该图证明勾股定理. 能力提升： 7.如图，已知钓鱼竿 AC 的长为10m，露在水上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿 AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线 B'C'的长度为8m，若A，B，B'三点在同一直线上，则 BB'的长为 ( ) A.4 m B.3 m C.2 m D.1m 8对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ABCD，对角线 AC，BD 交于点 O.若AD=2，BC=4，则 9.如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC=4，BC=6时，阴影部分的面积为 . 拓展迁移： 10. 小丽用 4 张全等的直角三角形纸片拼成图①，利用此图，可以验证勾股定理吗 [初步运用](1)如图①，若b=2a，则小正方形的面积：大正方形的面积= ； (2)现将图①中上方的两直角三角形向内折叠，如图②，若a=4，b=6，此时空白部分的面积为 . [迁移运用]用三张含 60°角的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢 带着这个疑问，小丽拼出图③的等边三角形，你能否按照勾股定理的验证，发现含 60°角的三角形的边a，b，c之间的等量关系 写出此等量关系及其推导过程. (提示：如图④，含60°角的直角三角形中，对边y：斜边x=定值k) 1 C 2. A 3. C 【点拨】两棵树的高度差为8—2—6(米)，间距为8米，设小鸟至少要飞行的距离为h米，根据勾股定理可得： 所以h=10，所以小鸟至少要飞行10米. 4.60 cm 【点拨】过点 A 作AD⊥BC 于 D.由AB=AC，易得BD=CD=5cm ，因为 所以AD=12 cm，所以该铁皮面积为 60(cm ). 5.13.6 【点拨】因为BD⊥CE，所以∠BDC=90°. 由勾股定理得， ，所以CD=12米，易得 DE=AB=1.6米， 所以CE=CD+DE=12+1.6=13.6(米). 6.【证明】如图，连接AE. 易知∠ADE=90°. 因为 所以 所以( 所以 7. C 【点拨】在 Rt△ABC中，AC=10m，BC=6m，所以 ，所以AB=8m，在 Rt△AB'C'中， 所以 所以 所以 8.20 【点拨】因为AC⊥BD，所以∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°.由勾股定理得：/ 所以 因为AD=2，BC=4， 所以 9.12 【点拨】在 Rt△ACB 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，由勾股定理，得. 所以阴影部分的面积为 10.【解】[问题情境]可以. [初步运用](1)5 ：9 (2)28 [迁移运用]结论： 推导过程如下： 设含60°角的三角形纸片长为b的边上的高为h，大等边三角形的高为h'，小等边三角形的高为 h"，则 所以 由题意，得大等边三角形面积=3个全等三角形面积和+小等边三角形面积，所以 所以( 所以 a +
教学反思 本节课通过拼图实验与文化渗透有效激发了学生兴趣，但部分学生在自主推导时仍依赖教师提示，反映出逻辑思维的薄弱。后续可增加分层任务（如基础题侧重计算，拓展题鼓励多元证法），并通过 “数学日记” 记录探究困惑，强化过程性评价。此外，可引入跨学科案例（如物理力的分解），进一步凸显勾股定理的应用价值。
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第一章 勾股定理
1.1探索勾股定理第2课时
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
巩固训练
05
课堂小结
06
作业设计
01
教学目标
掌握勾股定理的两种验证方法，能准确表述定理内容并应用于简单计算。
01
经历 “猜想—验证—归纳”的探究过程，发展类比迁移能力与逻辑推理素养，体会数形结合思想。
02
通过解决实际问题，提升数学建模能力，感悟定理的现实意义。
03
了解勾股定理的历史背景，增强文化自信，激发数学探究兴趣。
04
02
新知导入
复习回顾：
勾股定理的内容是什么？
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2.
据不完全统计，验证的方法有400多种，你有自己的方法吗？
02
新知导入
探究一：今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理,请你利用自己准备的四个全等的直角三角形,拼出一个以斜边为边长的正方形.
还有其他拼法吗
03
新知探究
探究二：上一课，我们通过测量和数格子的方法发现了勾股定理。在图1-4中，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流。
03
新知探究
尝试思考：为了计算图1-4中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，分别得到图1-5、图1-6。
03
新知探究
问题1：通过“补”的办法,你能表示出大正方形的面积吗
证明:因为S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+S小正方形=4×ab+c2=c2+2ab,
所以a2+b2+2ab=c2+2ab,即a2+b2=c2.
03
新知探究
问题3:还有其他方法可以证明吗 我们来了解下.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，
求证：a2 + b2 = c2.
∵，
∴a2+b2=c2 .
总统（美国第二十任总统伽菲尔德）证法
03
新知探究
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼图，补拼是要求无重叠，叠合是要求无空隙；而用面积法验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证的目的．
概括
03
新知探究
数学文化：勾股定理在我国有着悠久的历史。汉末三国初数学家、天文学家赵爽(3世纪初)在给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾、股各自乘，并之为弦实。开方除之，即弦。”他利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理。后人通常把图1-7称为“赵爽弦图”，2002年国际数学家大会会标的主要图案(如图1-8)就取材于此图。
04
例题讲解
在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路400处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶。他用红外测距仪测得汽车与他相距400m;过了10s,测得汽车与他相距500m。你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10s的平均速度吗？
例1
分析
你能根据题意画出图形吗？在你画的图形中存在一个怎样的三角形？
04
新知讲解
解析
解:根据题意,可以画出示意图1-9,如图所示.其中点A表示王叔叔所在位置,点C、点B表示两个时刻蓝方汽车的位置,由于小王距离公路400 m,因此∠C是直角,这样就可以由勾股定理来解决这个问题了.
04
新知讲解
解析
由勾股定理,可以得到AB2=BC2+AC2,也就是5002=BC2+4002,
所以BC=300 m.
蓝方汽车10 s行驶了300 m,那么它平均每秒行驶的距离为300÷10=30(m).
因此，蓝方汽车这10s的平均速度为30m/s.
解析
解:设这个三角形为ABC，高为AD，设BD为x cm，则AB为（16-x）cm，
由勾股定理得：x2+82=(16-x)2
即x2+64=256-32x+x2
所以x=6
S△ABC=
答：这个三角形的面积为48cm2.
04
例题讲解
等腰三角形底边上的高为8 cm，周长为32 cm，求这个三角形的面积.
例2
04
新知讲解
如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形，那么它的三边长仍然满足“较长边的平方等于另外两边的平方和”吗？以图1-10为例，说说你的判断和理由，并与同伴进行交流。
思考交流
也可用数学软件验证你的判断.
总结
1:若钝角三角形中较长边长为c,较短边长为a,b,则a2+b22:若锐角三角形中较长边长为c,较短边长为a,b,则a2+b2>c2.
3:若直角三角形中较长边长为c,较短边长为a,b,则a2+b2=c2.
05
巩固训练
1. 一直角三角形的斜边比一直角边长2，另一直角边长为6，那么斜边长为( )
A. 4 B. 8 C. 10 D. 12
2.如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和11，则c的面积为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 5.5
3. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A,B,C,D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（ ）
A. 13 B. 26 C. 47 D. 94
05
巩固训练
C
4. 观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边长分别为a，b，a>b根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（ ）
A.
B.
C.
D.
05
巩固训练
C
5.学校校园一角有一块如图所示的三角形空地ABC，其中AB=13m，BC=14m，AC=15m，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为60元，请通过计算估计学校修建这个花园需要投资多少元？
05
巩固训练
解:如图，过点作于点,
设,则.
在中，
在中，
所以 ,解得：.
所以，
所以
故总费用为：元.
05
课堂小结
通过本节课的学习你收获了什么？
知识:勾股定理:如果直角三角形两直角边长分别为a,b,斜边长为c ,那么.
方法:(1)观察—探索—归纳—应用；(2)面积法；(3)“割、补、拼、接”法.
思想:1.特殊—一般—特殊；2.数形结合思想。
2.中国古代数学家赵爽注解《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”.如图，勾a=3，弦c=5，则小正方形ABCD的面积为 ( )
A.1 B.3 C.4 D.9
1. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是 ( )
A.平行公理 B.等式的性质 C.勾股定理 D.三角形全等
06
作业设计
基础达标：
C
D
3. 如图，有两棵树，一棵高 8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行 ( )
A.6 米 B.8 米 C.10米 D.12 米
06
作业设计
C
基础达标：
4.如图是一等腰三角形形状的铁皮三角形ABC,BC为底边,尺寸如图(单位: cm),根据所给的条件，该铁皮的面积为 .
60cm2
06
作业设计
基础达标：
13.6
5.如图，小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得如图所示的风筝的高度CE，他们进行了如下操作：①测得 BD=9米；(注:BD⊥CE)
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 BC=15米;
③牵线放风筝的小明的身高为1.6米.则风筝的高度CE是 米.
06
作业设计
基础达标：
【证明】如图,连接AE.
易知∠ADE=90°.
因为
所以
所以(
所以
6.如图，它由2个全等的直角三角形与一个小直角梯形组成，恰好拼成一个大直角梯形，请你利用该图证明勾股定理.
8.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ABCD,对角线 AC,BD 交于点 O.若AD=2,BC=4,则
7.如图，已知钓鱼竿 AC 的长为10m，露在水上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿 AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线 B'C'的长度为8m,若A,B,B'三点在同一直线上,则 BB'的长为 ( )
A.4 m B.3 m C.2 m D.1m
06
作业设计
能力提升：
C
20
06
作业设计
能力提升：
12
9.如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC=4，BC=6时，阴影部分的面积为 .
点拨：在 Rt△ACB 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,
由勾股定理,得.
所以阴影部分的面积为
06
作业设计
迁移拓展：
10. 小丽用 4 张全等的直角三角形纸片拼成图①，利用此图，可以验证勾股定理吗
[初步运用](1)如图①，若b=2a，则小正方形的面积：大正方形的面积= ；
(2)现将图①中上方的两直角三角形向内折叠，如图②，若a=4，b=6，此时空白部分的面积为 .
[迁移运用]用三张含 60°角的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢 带着这个疑问，小丽拼出图③的等边三角形，你能否按照勾股定理的验证，发现含 60°角的三角形的边a，b，c之间的等量关系 写出此等量关系及其推导过程.
(提示：如图④，含60°角的直角三角形中，对边y:斜边x=定值k)
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作业设计
【解】[问题情境]可以.
[初步运用](1)5 :9 (2)28
[迁移运用]结论： 推导过程如下：
设含60°角的三角形纸片长为b的边上的高为h，大等边三角形的高为h'，小等边三角形的高为 h"，则 所以
由题意，得大等边三角形面积=3个全等三角形面积和+小等边三角形面积，所以 所以( 所以 a +
Thanks!
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