【高考真题】2024年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)文科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．（2024·全国甲卷）集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x+1∈A}，则A∩B＝（ ）
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3}
C．{3，4} D．{1，2，9}
2．（2024·全国甲卷）设z＝i，则z ＝（ ）
A．﹣i B．1 C．﹣1 D．2
3．（2024·全国甲卷）若实数x，y满足约束条件则z＝x﹣5y的最小值为（ ）
A．5 B． C．﹣2 D．﹣
4．（2024·全国甲卷）等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，a3+a7＝（ ）
A．﹣2 B． C．1 D．
5．（2024·全国甲卷）甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·全国甲卷）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1（0，-4）、F2（0，4），且经过点P（﹣6，4），则双曲线C的离心率是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
7．（2024·全国甲卷）曲线f（x）＝x6+3x﹣1在（0，﹣1）处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
A． B． C． D．﹣
8．（2024·全国甲卷）函数f（x）＝﹣x2+（ex﹣e﹣x）sinx的区间[﹣2.8，2.8]的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·全国甲卷）已知，则＝（ ）
A．2+1 B．2﹣1 C． D．1﹣
10．（2024·全国甲卷）已知直线ax+y+2-a=0与圆C：x2+y2+4y-1=0交于A、B两点，则|AB|的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
11．（2024·全国甲卷）已知α、β是两个平面，m、n是两条直线，α∩β＝m．下列四个命题：
①若m∥n，则n∥α或n∥β
②若m⊥n，则n⊥α，n⊥β
③若n∥α，且n∥β，则m∥n
④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n
其中，所有真命题的编号是（ ）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①③④
12．（2024·全国甲卷）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，则sinA+sinC＝（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2024·全国甲卷）函数在[0，π]上的最大值是 ．
14．（2024·全国甲卷）已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为r2和r1，母线长分别为2(r1-r2)和3(r1-r2)，则两个圆台的体积之比 .
15．（2024·全国甲卷）已知a＞1，，则a＝ ．
16．（2024·全国甲卷）曲线y＝x3﹣3x与y＝﹣（x﹣1）2+a在（0，+∞）上有两个不同的交点，则a的取值范围为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（2024·全国甲卷）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an+1﹣3．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{Sn}的通项公式．
18．（2024·全国甲卷）某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
总计 96 52 2 150
（1）填写如下列联表：
优级品 非优级品
甲车间
乙车间
能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的估级品率存在差异？
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5．设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果＞p+1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（≈12.247）
附：，
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
19．（2024·全国甲卷）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC∥AD，CD∥EF，AB＝DE＝EF＝CF＝2，CD＝4，，，M为CD的中点．
（1）证明：EM∥平面BCF；
（2）求点M到ADE的距离．
20．（2024·全国甲卷）已知函数f（x）＝a（x﹣1）﹣lnx+1．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若a≤2时，证明：当x＞1时，f（x）＜ex﹣1恒成立．
21．（2024·全国甲卷）已知椭圆C：的右焦点为F，点M（1，）在椭圆C上，且MF⊥x轴．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P（4，0）的直线与椭圆C交于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB与MF交于Q，证明：AQ⊥y轴．
四、选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（2024·全国甲卷）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝ρcosθ+1．
（1）写出C的直角坐标方程；
（2）直线l：（t为参数），若C与l交于A、B两点，|AB|＝2，求a的值．
五、[选修4-5：不等式选讲]
23．（2024·全国甲卷）实数a，b满足a+b≥3．
（1）证明：2a2+2b2＞a+b；
（2）证明：|a﹣2b2|+|b﹣2a2|≥6．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：据题意，A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x+1∈A}
利用赋值法求解：
对于集合B，分别令，
解出x的值分别为：
所以B＝{}，
所以
故答案为：A.
【分析】根据题意利用赋值法求出集合B，进而求出结果.
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：据题意，由z＝i ，则，
所以
故答案为：D.
【分析】利用共轭复数的定义求出，进而利用乘法运算求出结果即可.
3．【答案】D
【知识点】简单线性规划；简单线性规划的应用
【解析】【解答】解： 据题意，先画出的可行域：
如下图所示：
法一：先把三条直线两两相交的交点求出得：
，
分别将这三点代入z＝x﹣5y ，
则在A点时，z有最小值为；
法二：由
化简成：，
此时，为的截距，并且截距有最大值，z有最小值，
此时，在可行域内平移直线，
在A点时，截距有最大值，
此时z有最小值为.
故答案为：D.
【分析】首先画出可行域，法一：先求交点，直接代入交点比较即可得到结果；法二，对先化简得，利用截距最大，得到z的最小值即可得到结果.
4．【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由 {an}是等差数列，
所以，
所以，
根据等差数列的下标和性质，
.
故答案为：D.
【分析】由{an}是等差数列，利用等差数列的前n项和公式化简出，利用等差数列的下标和性质求解即可得到结果.
5．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分类加法计数原理
【解析】【解答】解：据题意，甲、乙、丙、丁四人排成一列，
则基本事件的总量为：种，
而丙不在排头，且甲或乙在排尾的排列方式：
当甲在排尾，乙排第一位，丙有种排法，丁就种，共种；
当甲在排尾，乙排第二位或第三位，丙有种排法，丁就种，共种；
此时，甲在排尾的排列方式有4种；
同理，当乙在排尾同样也有4 种；
所以满足丙不在排头，且甲或乙在排尾的排列方式有8种，
所以，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率
故答案为：B.
【分析】根据题意，利用分类加法计数原理谈论甲乙的位置，得到满足事件的总数，接着利用全排列求出基本事件的总数，利用古典概型计算公式进行求解即可得到结果.
6．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：据题意，由F1（0，-4），F2（0，4） ，则c=4，
又（﹣6，4）在该双曲线上，根据定义有：
，
根据两点坐标公式得：，，
所以2a=4，则a=2；
所以
故答案为：C.
【分析】根据焦点坐标得c得值，根据定义求得a的值，进而求出离心率.
7．【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：，所以切线斜率，
利用点斜式，则切线方程为：y+1=3x，即3x-y-1=0，
令，则；令，则；
所以切线与两坐标轴所围成的三角形面积.
故答案为：A.
【分析】利用求导先求出切线斜率，进而求出切线方程，即可求出与坐标轴的交点，进而求出结果.
8．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：由f（x）＝﹣x2+（ex﹣e﹣x）sinx ，
则，
所以f(x)为偶函数，根据图象排除AC选项，
利用特殊值：当x=1时，
，所以B符合.
故答案为：B.
【分析】先判断函数奇偶性，接着利用特殊值x=1，进而得到结果.
9．【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，分子分母同时除以得：
，解得，
则
故答案为：B.
【分析】利用齐次式化简得，再利用两角和的正切公式求解即可得到结果.
10．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：对于直线ax+y+2-a=0可化为a(x-1)+y+2=0，当x=1时，y=-2，即直线过定点M(1，-2)
将点M代入圆的方程得1+4-8-1=-4<0，故点M在圆内，
对于圆可化为，圆心为(0，-2)，半径为，
CM=1，当CM⊥AB时，圆心C到AB的距离最大，此时AB最小，
由勾股定理得AB=2AM=2
故答案为：C.
【分析】直线过定点(1，-2)且在圆内，当CM垂直于弦AB时，AB取最小值.
11．【答案】A
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】 【解答】解：如图，
对①，当，因为，，则，
当，因为，，则，
当既不在也不在内，
因为，，
则且，故①正确；
对②，若，则与不一定垂直，n可以在面内，故②错误；
对③，如图，过直线n分别作两平面与、分别相交于直线l1和直线I2，
由，
得，同理，
根据基本事实四，则，
所以.，
所以，
又∩=m，
则，
根据基本事实四，则，③正确；
对于 ④ ， 若n与α和β所成的角相等，根据同角定理，
则，则④错误.
故答案为：A.
【分析】借助正方体与直线，平面的位置关系进行判断即可得到结果.
12．【答案】C
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：由，
根据正弦定理有：
又因为，即，
所以；
根据余弦定理，
所以，
根据正弦定理得：，
即，结合，
因为
所以，
因为A，B，C 是三角形的内角，所以
所以
故答案为：C.
【分析】根据题意，结合正弦定理化简出得，根据余弦定理与正弦定理化简得，结合完全平方公式展开即可得到结果.
13．【答案】2
【知识点】两角和与差的正弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：先化简，由；
由，则，当时，即，f(x)有最大值为2
故答案为：2.
【分析】先利用两角差的正弦定理对f(x)化简成一角一函数，求出所给的函数区间，结合正弦函数的原型函数图象即可得到结果.
14．【答案】
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图，甲乙两圆台的高分别为，，
于是
故答案为：.
【分析】画出草图，求出甲乙两圆台的高，再直接求出两圆台的体积之比即可.
15．【答案】64
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由，利用换底公式将式子化成以2为底，
即，对式子进行化简得：，
即，
利用因式分解得，
所以或，
因为a＞1，所以，
所以，即，
故答案为：64.
【分析】将利用换底公式转化成，接着化简式子，得到进而因式分解得到即可得到结果.
16．【答案】（﹣2，1）
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：据题意，令，
分离参数得：，
下研究的函数图象；
由
则，
令，则，
所以，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，并且，，
此时，图象如下所示：
因为曲线y＝x3﹣3x与y＝﹣（x﹣1）2+a在（0，+∞）上有两个不同的交点，
转化为有两个交点，
所以，
故答案为：.
【分析】令由曲线y＝x3﹣3x与y＝﹣（x﹣1）2+a在（0，+∞）上有两个不同的交点，转化为有两个交点，进而利用求导求出的函数图象，进而求出a的取值范围.
17．【答案】（1）解：由2Sn＝3an+1﹣3，
当，
两式相减得：，
所以，所以
等比数列 {an} 的公比为，而由2Sn＝3an+1﹣3，
即2S1＝3a2﹣3，所以，代入，则，
所以.
（2）解：由（1）可得：等比数列 {an} 的公比为，首项，
利用等比数列的前n项公式得：
.
【知识点】等比数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）利用sn与an的关系，再列出式子，两式相减即可判断出{an}的公比，进而求出首项，即可得到其通项公式；
（2）由（1）得到{an}的首项与公比，利用求和公式即可得到结果.
18．【答案】（1）解：根据题意可得列联表如下所示：
优级品 非优级品 总数
甲车间 26 24 50
乙车间 70 30 100
总计 96 54 1
将上面的数值代入公式计算得：，
又因为，
所以有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.
（2）解：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为，
所以用频率估计概率可得，
根据题意，升级改造前该工厂产品的优级品率，
则，
可知，
所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.
【知识点】随机抽样和样本估计总体的实际应用；独立性检验；2×2列联表
【解析】【分析】（1）将列联表进行补充，并将数值代入公式进行计算得，再进行比较即可得到结果；
（2）根据题意先计算出，在代入进行计算比较，即可得到结论.
19．【答案】（1）证明：根据题意，因为为的中点，
所以，四边形为平行四边形，
所以，又因为平面，平面，
所以平面；
（2）解：如图所示，
过B作交于，连接，
因为四边形为等腰梯形，且，所以，
由（1）可知：为平行四边形，所以，又，
所以为等边三角形，又为中点，所以，
又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以，
四边形为平行四边形，，所以为等腰三角形，
与底边上中点重合，，，
因为，所以，所以互相垂直，
利用等体积法可得，
所以，
，，
设点到的距离为，
则，
解得，
即点到的距离为.
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）根据题意，由得到四边形为平行四边形，进而证明，结合直线与平面平行的判定定理即可得到结果；
（2）过B作交于，连接，易证三线两两垂直，利用等体积法即可得到结果.
20．【答案】（1）解：据题意，，
，
当时，恒成立，故在上单调递减；
当时，时，，单调递增，
时，，单调递减.
综上所述：
当时，的单调递减区间为；
时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）证明：
因为，且，所以，
下求的最小值；
由
，令，
则，
易知在单调递增，
又，所以恒成立，
所以在上单调递增，
又，所以，，
所以在上单调递增
且，
故恒成立，
所以 f（x）＜ex﹣1恒成立 .证毕.
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；
（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，，将问题转化为求的最小值大于0恒成立，利用两次求导，结合函数的零点，求出g(x)在单调递增，且，即可求出结果.
21．【答案】（1）解：设，由题设有且 M（1，）在椭圆C上 ，
所以，故，即，
解得，所以，
故椭圆方程为.
（2）证明：直线的斜率必定存在，
设，，，
由
消去y得：，
故，故，
由韦达定理得：，
而，故直线，
故，
所以
，
故，
即轴.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）设，根据的坐标及轴即得到通径的长度，借助二级结论可求基本量，故可求椭圆方程.
（2）设，，，联立直线方程和椭圆方程，用的坐标表示，结合韦达定理化简可得，故可证轴.
22．【答案】（1）解：由，
将代入，
故可得，
两边平方后得：.
（2）解：对于直线的参数方程消去参数，得直线的普通方程为.
联立，
得，
，
所以，设，根据韦达定理，
所以，
则，
解得
【知识点】极坐标系；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】（1）根据公式即可得到的直角方程.
（2）将直线的新的参数方程代入的直角方程，将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求的值.
23．【答案】（1）证明：，
当时等号成立，则，
因为，
所以；
（2）证明：利用三角不等式，则有：
【知识点】不等式的证明；比较法；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用放缩法，先比较2a2+2b2与的大小，再利用可得到结果；
（2）利用三角不等式放缩，结合绝对值不等式的化简即可得到结果.
1 / 1【高考真题】2024年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)文科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．（2024·全国甲卷）集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x+1∈A}，则A∩B＝（ ）
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3}
C．{3，4} D．{1，2，9}
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：据题意，A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x+1∈A}
利用赋值法求解：
对于集合B，分别令，
解出x的值分别为：
所以B＝{}，
所以
故答案为：A.
【分析】根据题意利用赋值法求出集合B，进而求出结果.
2．（2024·全国甲卷）设z＝i，则z ＝（ ）
A．﹣i B．1 C．﹣1 D．2
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：据题意，由z＝i ，则，
所以
故答案为：D.
【分析】利用共轭复数的定义求出，进而利用乘法运算求出结果即可.
3．（2024·全国甲卷）若实数x，y满足约束条件则z＝x﹣5y的最小值为（ ）
A．5 B． C．﹣2 D．﹣
【答案】D
【知识点】简单线性规划；简单线性规划的应用
【解析】【解答】解： 据题意，先画出的可行域：
如下图所示：
法一：先把三条直线两两相交的交点求出得：
，
分别将这三点代入z＝x﹣5y ，
则在A点时，z有最小值为；
法二：由
化简成：，
此时，为的截距，并且截距有最大值，z有最小值，
此时，在可行域内平移直线，
在A点时，截距有最大值，
此时z有最小值为.
故答案为：D.
【分析】首先画出可行域，法一：先求交点，直接代入交点比较即可得到结果；法二，对先化简得，利用截距最大，得到z的最小值即可得到结果.
4．（2024·全国甲卷）等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，a3+a7＝（ ）
A．﹣2 B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由 {an}是等差数列，
所以，
所以，
根据等差数列的下标和性质，
.
故答案为：D.
【分析】由{an}是等差数列，利用等差数列的前n项和公式化简出，利用等差数列的下标和性质求解即可得到结果.
5．（2024·全国甲卷）甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分类加法计数原理
【解析】【解答】解：据题意，甲、乙、丙、丁四人排成一列，
则基本事件的总量为：种，
而丙不在排头，且甲或乙在排尾的排列方式：
当甲在排尾，乙排第一位，丙有种排法，丁就种，共种；
当甲在排尾，乙排第二位或第三位，丙有种排法，丁就种，共种；
此时，甲在排尾的排列方式有4种；
同理，当乙在排尾同样也有4 种；
所以满足丙不在排头，且甲或乙在排尾的排列方式有8种，
所以，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率
故答案为：B.
【分析】根据题意，利用分类加法计数原理谈论甲乙的位置，得到满足事件的总数，接着利用全排列求出基本事件的总数，利用古典概型计算公式进行求解即可得到结果.
6．（2024·全国甲卷）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1（0，-4）、F2（0，4），且经过点P（﹣6，4），则双曲线C的离心率是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：据题意，由F1（0，-4），F2（0，4） ，则c=4，
又（﹣6，4）在该双曲线上，根据定义有：
，
根据两点坐标公式得：，，
所以2a=4，则a=2；
所以
故答案为：C.
【分析】根据焦点坐标得c得值，根据定义求得a的值，进而求出离心率.
7．（2024·全国甲卷）曲线f（x）＝x6+3x﹣1在（0，﹣1）处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
A． B． C． D．﹣
【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：，所以切线斜率，
利用点斜式，则切线方程为：y+1=3x，即3x-y-1=0，
令，则；令，则；
所以切线与两坐标轴所围成的三角形面积.
故答案为：A.
【分析】利用求导先求出切线斜率，进而求出切线方程，即可求出与坐标轴的交点，进而求出结果.
8．（2024·全国甲卷）函数f（x）＝﹣x2+（ex﹣e﹣x）sinx的区间[﹣2.8，2.8]的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：由f（x）＝﹣x2+（ex﹣e﹣x）sinx ，
则，
所以f(x)为偶函数，根据图象排除AC选项，
利用特殊值：当x=1时，
，所以B符合.
故答案为：B.
【分析】先判断函数奇偶性，接着利用特殊值x=1，进而得到结果.
9．（2024·全国甲卷）已知，则＝（ ）
A．2+1 B．2﹣1 C． D．1﹣
【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，分子分母同时除以得：
，解得，
则
故答案为：B.
【分析】利用齐次式化简得，再利用两角和的正切公式求解即可得到结果.
10．（2024·全国甲卷）已知直线ax+y+2-a=0与圆C：x2+y2+4y-1=0交于A、B两点，则|AB|的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：对于直线ax+y+2-a=0可化为a(x-1)+y+2=0，当x=1时，y=-2，即直线过定点M(1，-2)
将点M代入圆的方程得1+4-8-1=-4<0，故点M在圆内，
对于圆可化为，圆心为(0，-2)，半径为，
CM=1，当CM⊥AB时，圆心C到AB的距离最大，此时AB最小，
由勾股定理得AB=2AM=2
故答案为：C.
【分析】直线过定点(1，-2)且在圆内，当CM垂直于弦AB时，AB取最小值.
11．（2024·全国甲卷）已知α、β是两个平面，m、n是两条直线，α∩β＝m．下列四个命题：
①若m∥n，则n∥α或n∥β
②若m⊥n，则n⊥α，n⊥β
③若n∥α，且n∥β，则m∥n
④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n
其中，所有真命题的编号是（ ）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①③④
【答案】A
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】 【解答】解：如图，
对①，当，因为，，则，
当，因为，，则，
当既不在也不在内，
因为，，
则且，故①正确；
对②，若，则与不一定垂直，n可以在面内，故②错误；
对③，如图，过直线n分别作两平面与、分别相交于直线l1和直线I2，
由，
得，同理，
根据基本事实四，则，
所以.，
所以，
又∩=m，
则，
根据基本事实四，则，③正确；
对于 ④ ， 若n与α和β所成的角相等，根据同角定理，
则，则④错误.
故答案为：A.
【分析】借助正方体与直线，平面的位置关系进行判断即可得到结果.
12．（2024·全国甲卷）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，则sinA+sinC＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：由，
根据正弦定理有：
又因为，即，
所以；
根据余弦定理，
所以，
根据正弦定理得：，
即，结合，
因为
所以，
因为A，B，C 是三角形的内角，所以
所以
故答案为：C.
【分析】根据题意，结合正弦定理化简出得，根据余弦定理与正弦定理化简得，结合完全平方公式展开即可得到结果.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2024·全国甲卷）函数在[0，π]上的最大值是 ．
【答案】2
【知识点】两角和与差的正弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：先化简，由；
由，则，当时，即，f(x)有最大值为2
故答案为：2.
【分析】先利用两角差的正弦定理对f(x)化简成一角一函数，求出所给的函数区间，结合正弦函数的原型函数图象即可得到结果.
14．（2024·全国甲卷）已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为r2和r1，母线长分别为2(r1-r2)和3(r1-r2)，则两个圆台的体积之比 .
【答案】
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图，甲乙两圆台的高分别为，，
于是
故答案为：.
【分析】画出草图，求出甲乙两圆台的高，再直接求出两圆台的体积之比即可.
15．（2024·全国甲卷）已知a＞1，，则a＝ ．
【答案】64
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由，利用换底公式将式子化成以2为底，
即，对式子进行化简得：，
即，
利用因式分解得，
所以或，
因为a＞1，所以，
所以，即，
故答案为：64.
【分析】将利用换底公式转化成，接着化简式子，得到进而因式分解得到即可得到结果.
16．（2024·全国甲卷）曲线y＝x3﹣3x与y＝﹣（x﹣1）2+a在（0，+∞）上有两个不同的交点，则a的取值范围为 ．
【答案】（﹣2，1）
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：据题意，令，
分离参数得：，
下研究的函数图象；
由
则，
令，则，
所以，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，并且，，
此时，图象如下所示：
因为曲线y＝x3﹣3x与y＝﹣（x﹣1）2+a在（0，+∞）上有两个不同的交点，
转化为有两个交点，
所以，
故答案为：.
【分析】令由曲线y＝x3﹣3x与y＝﹣（x﹣1）2+a在（0，+∞）上有两个不同的交点，转化为有两个交点，进而利用求导求出的函数图象，进而求出a的取值范围.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（2024·全国甲卷）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an+1﹣3．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{Sn}的通项公式．
【答案】（1）解：由2Sn＝3an+1﹣3，
当，
两式相减得：，
所以，所以
等比数列 {an} 的公比为，而由2Sn＝3an+1﹣3，
即2S1＝3a2﹣3，所以，代入，则，
所以.
（2）解：由（1）可得：等比数列 {an} 的公比为，首项，
利用等比数列的前n项公式得：
.
【知识点】等比数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）利用sn与an的关系，再列出式子，两式相减即可判断出{an}的公比，进而求出首项，即可得到其通项公式；
（2）由（1）得到{an}的首项与公比，利用求和公式即可得到结果.
18．（2024·全国甲卷）某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
总计 96 52 2 150
（1）填写如下列联表：
优级品 非优级品
甲车间
乙车间
能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的估级品率存在差异？
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5．设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果＞p+1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（≈12.247）
附：，
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）解：根据题意可得列联表如下所示：
优级品 非优级品 总数
甲车间 26 24 50
乙车间 70 30 100
总计 96 54 1
将上面的数值代入公式计算得：，
又因为，
所以有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.
（2）解：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为，
所以用频率估计概率可得，
根据题意，升级改造前该工厂产品的优级品率，
则，
可知，
所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.
【知识点】随机抽样和样本估计总体的实际应用；独立性检验；2×2列联表
【解析】【分析】（1）将列联表进行补充，并将数值代入公式进行计算得，再进行比较即可得到结果；
（2）根据题意先计算出，在代入进行计算比较，即可得到结论.
19．（2024·全国甲卷）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC∥AD，CD∥EF，AB＝DE＝EF＝CF＝2，CD＝4，，，M为CD的中点．
（1）证明：EM∥平面BCF；
（2）求点M到ADE的距离．
【答案】（1）证明：根据题意，因为为的中点，
所以，四边形为平行四边形，
所以，又因为平面，平面，
所以平面；
（2）解：如图所示，
过B作交于，连接，
因为四边形为等腰梯形，且，所以，
由（1）可知：为平行四边形，所以，又，
所以为等边三角形，又为中点，所以，
又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以，
四边形为平行四边形，，所以为等腰三角形，
与底边上中点重合，，，
因为，所以，所以互相垂直，
利用等体积法可得，
所以，
，，
设点到的距离为，
则，
解得，
即点到的距离为.
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）根据题意，由得到四边形为平行四边形，进而证明，结合直线与平面平行的判定定理即可得到结果；
（2）过B作交于，连接，易证三线两两垂直，利用等体积法即可得到结果.
20．（2024·全国甲卷）已知函数f（x）＝a（x﹣1）﹣lnx+1．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若a≤2时，证明：当x＞1时，f（x）＜ex﹣1恒成立．
【答案】（1）解：据题意，，
，
当时，恒成立，故在上单调递减；
当时，时，，单调递增，
时，，单调递减.
综上所述：
当时，的单调递减区间为；
时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）证明：
因为，且，所以，
下求的最小值；
由
，令，
则，
易知在单调递增，
又，所以恒成立，
所以在上单调递增，
又，所以，，
所以在上单调递增
且，
故恒成立，
所以 f（x）＜ex﹣1恒成立 .证毕.
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；
（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，，将问题转化为求的最小值大于0恒成立，利用两次求导，结合函数的零点，求出g(x)在单调递增，且，即可求出结果.
21．（2024·全国甲卷）已知椭圆C：的右焦点为F，点M（1，）在椭圆C上，且MF⊥x轴．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P（4，0）的直线与椭圆C交于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB与MF交于Q，证明：AQ⊥y轴．
【答案】（1）解：设，由题设有且 M（1，）在椭圆C上 ，
所以，故，即，
解得，所以，
故椭圆方程为.
（2）证明：直线的斜率必定存在，
设，，，
由
消去y得：，
故，故，
由韦达定理得：，
而，故直线，
故，
所以
，
故，
即轴.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）设，根据的坐标及轴即得到通径的长度，借助二级结论可求基本量，故可求椭圆方程.
（2）设，，，联立直线方程和椭圆方程，用的坐标表示，结合韦达定理化简可得，故可证轴.
四、选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（2024·全国甲卷）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝ρcosθ+1．
（1）写出C的直角坐标方程；
（2）直线l：（t为参数），若C与l交于A、B两点，|AB|＝2，求a的值．
【答案】（1）解：由，
将代入，
故可得，
两边平方后得：.
（2）解：对于直线的参数方程消去参数，得直线的普通方程为.
联立，
得，
，
所以，设，根据韦达定理，
所以，
则，
解得
【知识点】极坐标系；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】（1）根据公式即可得到的直角方程.
（2）将直线的新的参数方程代入的直角方程，将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求的值.
五、[选修4-5：不等式选讲]
23．（2024·全国甲卷）实数a，b满足a+b≥3．
（1）证明：2a2+2b2＞a+b；
（2）证明：|a﹣2b2|+|b﹣2a2|≥6．
【答案】（1）证明：，
当时等号成立，则，
因为，
所以；
（2）证明：利用三角不等式，则有：
【知识点】不等式的证明；比较法；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用放缩法，先比较2a2+2b2与的大小，再利用可得到结果；
（2）利用三角不等式放缩，结合绝对值不等式的化简即可得到结果.
1 / 1
