2025届上海行知中学高三数学三模试卷及答案（2025.04）（含答案）

行知中学2024-2025学年第二学期高三年级数学三模
2025.5
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.设，集合，若，则=_______.
2.首项为2，公比为的无穷等比数列的各项和为_______.
3.大圆面积为的球的体积是__________.
4.已知，则=___________.
5.已知，则在上的数量投影是__________.
6.在的展开式中，第2项和第4项的系数相同，则=________.
7.已知幂函数过点，若，则实数的取值范围是_____.
8.随机变量,，若，则实数的值
为________.
9.已知复数，集合所构成区域的面积是_________.
10.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中依次取出4个不同的数，分别记作，若和的奇偶性相同，则的取法共有_________种.
11.（教材）如图，要在和两地之间修一条笔直的隧道，现从地和地测量得到：,， 为确定隧道的方向，可求得=______.（精确到）
12.已知，函数的定义域是，且满足.记函数的值域为，若存在，使得对于任意符合要求的函数，均满足：，则实数的取值范围是_________.
二、选择题（本答题共4小题，满分18分，13-14每小题4分，15-16每小题5分）
13.成对数据的回归方程为，则它们在处的离差是（ ）
A. B.
C. D.
14.“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15. 如图，长方体中，，是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（ ）
A． B． C． D．
16.已知曲线为曲线上任一点，以下4个命题：①曲线与直线恰有四个公共点；②曲线与直线相切；③是的函数；④是的函数. 正确的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
三、解答题
17. (本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，为线段的中点，,.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面的夹角的正弦值．
18.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
已知，函数
（1）若，求函数的表达式及定义域；
（2）若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数的取值范围.
19. (本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分)
2025世界人工智能大会将在上海举办，为普及人工智能相关知识，滨江中学组织学生参加“人工智能”知识竞赛，竞赛分为理论知识和实践能力两个部分，每部分的成绩分为三档，分别为基础、中等、优异．现从参加活动的学生中随机选择20位，统计其两部分成绩，成绩统计人数如表：
基础 中等 优异
基础
中等
优异
（1）若从这20位参加竞赛的学生中随机抽取一位，抽到理论或实践至少一项成绩为优异的学生概率为．求的值；
（2）在（1）的前提下，用样本估计总体，从全市理论成绩为优异的学生中，随机抽取人，求至少有一人实践能力的成绩为优异的概率；
（3）若基础、中等和优异对应得分为分、分和分，当参赛学生理论成绩的方差最小时，求的值．
20.(本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分)
如图，是抛物线上一点，过点的直线与轴分别交于两点，且是线段的中点，是抛物线上异于点的动点
（1）证明：直线是抛物线的切线；
（2）已知,且的重心是的焦点，求所在的直线方程；
（3）若分别在线段上，且，交于点，求证：点是的重心.
21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)
把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为（是正整数），为的导函数.记，
（1）若，求证：是等比数列；
（2）若,，是否存在正数，使得；
（3）已知在上有最小值，求证“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有”
行知中学2024-2025学年第二学期高三年级数学三模
2025.5
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.设，集合，若，则=_______.
【答案】2
2.首项为2，公比为的无穷等比数列的各项和为_______.
【答案】6
3.大圆面积为的球的体积是__________.
【答案】
4.已知，则=___________.
【答案】
5.已知，则在上的数量投影是__________.
【答案】
6.在的展开式中，第2项和第4项的系数相同，则=________.
【答案】4
7.已知幂函数过点，若，则实数的取值范围是_________.
【答案】
8.随机变量,，若，则实数的值
为________.
【答案】95.5
9.已知复数，集合所构成区域的面积是_________.
【答案】
10.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中依次取出4个不同的数，分别记作，若和的奇偶性相同，则的取法共有_________种.
【答案】1584
11.（教材）如图，要在和两地之间修一条笔直的隧道，现从地和地测量得到：,， 为确定隧道的方向，可求得=______.（精确到）
【答案】52.5
12.已知，函数的定义域是，且满足.记函数的值域为，若存在，使得对于任意符合要求的函数，均满足：，则实数的取值范围是_________.
【答案】
二、选择题（本答题共4小题，满分18分，13-14每小题4分，15-16每小题5分）
13.成对数据的回归方程为，则它们在处的离差是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
14.“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
15. 如图，长方体中，，是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
16.已知曲线为曲线上任一点，以下4个命题：①曲线与直线恰有四个公共点；②曲线与直线相切；③是的函数；④是的函数. 正确的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
三、解答题
17. (本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，为线段的中点，,.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面的夹角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）连接交于点，是的中点，是中点.
又平面，平面，平面.
（2）建立如图所示的空间直角坐标系.
则,
，.
设平面的法向量为，则
令，则.是平面的一个法向量.
，设直线与平面所成角为，
则直线与平面所成角的正弦值为.
18.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
已知，函数
（1）若，求函数的表达式及定义域；
（2）若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】（1），令，则，
即因为，所以，
又得，定义域为
（2）由（1）得，方程，
即，
可转化为，且
①当即时，，符合题意；
②当即时，
(i)当时，符合题意
(ii)当时，且时，要满足题意，则有
或无解
综上可得，的取值范围.
19. (本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分)
2025世界人工智能大会将在上海举办，为普及人工智能相关知识，滨江中学组织学生参加“人工智能”知识竞赛，竞赛分为理论知识和实践能力两个部分，每部分的成绩分为三档，分别为基础、中等、优异．现从参加活动的学生中随机选择20位，统计其两部分成绩，成绩统计人数如表：
基础 中等 优异
基础
中等
优异
（1）若从这20位参加竞赛的学生中随机抽取一位，抽到理论或实践至少一项成绩为优异的学生概率为．求的值；
（2）在（1）的前提下，用样本估计总体，从全市理论成绩为优异的学生中，随机抽取人，求至少有一人实践能力的成绩为优异的概率；
（3）若基础、中等和优异对应得分为分、分和分，当参赛学生理论成绩的方差最小时，求的值．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）由题意，，得.
（2）记事件理论成绩为优异的学生，事件实践成绩为优异， 由（1）知，
设表示从全市理论成绩为优异的学生中抽取到实践能力成绩为优异的成功次数，
则服从，所以
故至少有一个人实践能力的成绩为优异的概率
（3）由题意，，
设理论成绩为X，则X取值为，对应的人数分别为
所以理论成绩X的分布是
所以参赛学生理论竞赛的平均成绩为，
所以参赛学生理论成绩的方差为
因为，所以当时，方差最小.
20.(本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分)
如图，是抛物线上一点，过点的直线与轴分别交于两点，且是线段的中点，是抛物线上异于点的动点
（1）证明：直线是抛物线的切线；
（2）已知,且的重心是的焦点，求所在的直线方程；
（3）若分别在线段上，且，交于点，求证：点是的重心.
【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析
【解析】（1）设，因为是线段的中点，所以.
则，所以直线的方程为，即.
联立，整理得，所以，
因此，直线是抛物线的切线.
（2）设，中点为，
由已知得，解得，从而
若直线斜率不存在，则,，与重心矛盾，故斜率存在；
设，联立得：，
因为，所以，所以所在直线方程是
（3）因为三点共线，所以.
又因为，设，则，所以，
所以，因为是线段的中点，
所以，即，所以，所以是的重心.
21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)
把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为（是正整数），为的导函数.记，
（1）若，求证：是等比数列；
（2）若,，是否存在正数，使得；
（3）已知在上有最小值，求证“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有”
【答案】（1）证明见解析 （2）不存在 （3）证明见解析
【解析】（1），因为，
所以是以为公比的等比数列
（2），所以
且
令
则得：在严格增，在严格减
①当时，，所以与矛盾；
②当时，，所以
令
则，所以在上严格减，所以，从而矛盾
综上，不存在正数，使得.
（3）必要性:若为偶函数，
则，
当，因为，故;
充分性：若对于任意正实数，均有，其中，
因为有最小值，不妨设，
由于任意，令，则，
故最小元素为，中最小元素为，
又 则对任意成立,则，
若，则对任意成立是偶函数，
若，此后取，
，
综上，任意，即是偶函数.
故"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有”.