第6章　立体几何初步 6.2　柱、锥、台的体积--北师大版高中数学必修第二册课件（共35页PPT）

(共35张PPT)
第六章
6.2　柱、锥、台的体积
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式及其三种几何体体积计算公式的内在联系.
2.会利用柱体、锥体、台体的体积计算公式求有关几何体的体积,并掌握求几何体体积的基本技巧.
基础落实·必备知识一遍过
知识点　柱体、锥体、台体的体积公式
名称 体积(V)公式 备注
柱体 棱柱 V=　　　 h为棱柱的高
S为棱柱的底面面积
圆柱 V=πr2h=Sh r为圆柱的底面半径
h为圆柱的高
S为圆柱的底面面积
锥体 棱锥 V=　　　 S为棱锥的底面面积
h为棱锥的高
圆锥 r为圆锥的底面半径
h为圆锥的高
S为圆锥的底面面积
Sh
三棱锥的每个面都可以作为底面
名称 体积(V)公式 备注
台体 棱台 V=　　　 　 S上,S下分别为棱台上、下底面的面积
h为棱台的高
圆台 V= πh(r2+rr'+r'2) = (S上+S下+ )h r,r'分别为圆台上、下底面的半径
h为圆台的高,S上,S下分别为圆台上、下底面的面积
名师点睛
在台体的体积公式中,如果设S上=S下=S,就得到柱体的体积公式V柱体=Sh;如果设S上=0,S下=S,就得到锥体的体积公式V锥体= Sh.因此,柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系,可表示为
由图可见,柱体、锥体的体积公式是台体的体积公式的特例.
思考辨析
1.求三棱锥的体积时有何技巧
提示 因为三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面,因此求三棱锥的体积时可以更换三棱锥的顶点和底面,寻求底面积与高易求的三棱锥.
2.台体可以还原为锥体,那么台体的体积可以怎样求
提示 台体是由锥体用平行于底面的平面截得的空间几何体,所以它的体积也可以转化为两个锥体的体积之差.求解过程如下:
如图所示,设台体(棱台或圆台)上、下底面面积分别是S',S,高是h,设截得台体时去掉的锥体的高是x,则截得这个台体的锥体的高是 h+x,则V台体=V大锥体-V小锥体=
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)从同一顶点出发的长方体的三条棱长分别为a,b,c,则V长方体=abc.(　　)
(2)同底面积等高的柱体的体积是锥体体积的3倍.(　　)
(3)圆台上、下底面半径分别为2,6,母线长为6,则圆台的体积为48π.(　　)
(4)若圆锥的高扩大为原来的2倍,底面半径缩短为原来的 ,则圆锥的体积变为原来的 .(　　)
√
√
×
√
2.把一张长为6、宽为4的矩形纸片卷成一个圆柱形,使其对边恰好重合,所围圆柱的底面半径是多少 所得圆柱体积是多少
重难探究·能力素养速提升
探究点一　柱体体积的计算
【例1】 已知一个正三棱柱的侧面展开图是一个长为9 cm,宽为6 cm的矩形,求此正三棱柱的体积.
解 设正三棱柱的高为h cm,底面等边三角形的边长为a cm.
①若正三棱柱的底面周长为9 cm,则高h=6 cm,3a=9 cm,∴a=3 cm,
规律方法　柱体体积的计算方法
(1)公式法.
求出底面积和高,运用公式求出体积.
(2)记住特殊的柱体的体积公式.
①正方体的体积=棱长的立方;
②长方体的体积=长×宽×高.
变式训练1已知一个圆柱的底面直径和母线长均为4,则该圆柱的体积为(　)
A.2π B.4π C.8π D.16π
D
解析 V圆柱=πr2h=π×(4÷2)2×4=16π.
探究点二　锥体体积的计算
【例2】 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.截面A1DB将正方体分成两部分,其体积分别为V1,V2,且V2>V1.
(1)求V1,V2以及V1∶V2;
(2)求点A到平面A1BD的距离d.
(2)三棱锥A1-ABD与三棱锥A-A1BD 是同一个几何体.
在△A1BD中,A1B=BD=A1D= a,
取BD的中点H,连接A1H,
变式探究若本例中的正方体改为长方体,则对应截面将该几何体分成两部分的体积之比是否会发生变化 试证明你的结论.
解 不会.证明如下,不妨设在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,AD=b,AA1=c.截面将长方体分为两个几何体,其中较小部分是一个三棱锥A1-ABD,底面△ABD是两直角边分别为a,b的直角三角形,其面积S= ×AB×AD= ab.底面ABD上的高h=AA1=c,
所以V1∶V2=1∶5,故比值没发生变化.
规律方法　锥体体积的计算方法
(1)锥体的体积公式V= Sh既适合棱锥,也适合圆锥,其中棱锥可以是正棱锥,也可以不是正棱锥.
(2)三棱锥的体积求解具有灵活性,因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面,所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换,使得转换后,该三棱锥的底面的面积易求、可求,高易求、可求,这一方法叫作等积法.
(3)有些柱体还可以利用分割法或补形法进行求解.无论分割法还是补形法都是要将所给的几何体分割成或补成易求解的几何体,体现了间接思维和化归的数学思想.
探究点三　台体体积的计算
【例3】 圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°,那么该圆台的表面积和体积分别是多少 (结果中保 留π)
解 如图所示,设圆台的上底面周长为c,因为扇环的圆心角是180°,
所以c=π·SA=2π×10,所以SA=20,同理可得SB=40,
所以AB=SB-SA=20,
所以S表面积=S侧+S上+S下=π(10+20)×20+π×102+π×202
=1 100π(cm2).故圆台的表面积为1 100π cm2.
设圆台的高为h,上底面半径r1=10 cm,下底面半径r2=20 cm,
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)柱体、锥体、台体的体积公式及其内在联系;
(2)利用公式求几何体体积.
2.方法归纳:等体积法、割补法.
3.常见误区:(1)由于锥体与柱体体积计算公式混淆而出现错误;(2)易忽视体积公式的使用条件.
学以致用·随堂检测促达标
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1.某圆锥的母线长为5 cm,底面半径长为3 cm,则该圆锥的体积为(　　)
A.12π cm3 B.15π cm3
C.36π cm3 D.45π cm3
A
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2.如图,在正方体中,S为平面A1B1C1D1上一点,则四棱锥S-ABCD的体积占正方体体积的(　　)
B
解析 由于四棱锥S-ABCD的高与正方体的棱长相等,底面是正方形,根据柱体和锥体的体积公式,得四棱锥S-ABCD的体积占正方体体积的 ,故选B.
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3.如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3,则该几何体的体积为(　　)
A.5π
B.6π
C.20π
D.10π
D
解析 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱,如图,则圆柱的体积为π×22×5=20π,故所求几何体的体积为10π.
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4.棱台的上、下底面面积分别是2,4,高为3,则该棱台的体积是　　　　　.
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5.[2024湖南湘潭高二检测]如图,在三棱锥P-ABC中,侧面PAB⊥底面ABC,且PA⊥AB,PA=5,△ABC的面积为6.
(1)求三棱锥P-ABC的体积;
(2)若AB=5,AC=4,且∠BAC为锐角,求证:BC⊥平面PAC.
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(1) 解在三棱锥P-ABC中,侧面PAB⊥底面ABC,侧面PAB∩底面ABC=AB,且PA⊥AB,PA 平面PAB,
所以PA⊥平面ABC,
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由余弦定理可得,BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠BAC=9,
即BC=3,所以AC2+BC2=AB2,
所以△ABC是以C为直角的直角三角形,即AC⊥BC.
因为PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,所以PA⊥BC.
因为PA∩AC=A,PA,AC 平面PAC,
所以BC⊥平面PAC.
本 课 结 束