第5章　函数应用 1.2　利用二分法求方程的近似解--北师大版高中数学必修第一册课件（共38页PPT）

(共38张PPT)
第五章
1.2　利用二分法求方程的近似解
基础落实·必备知识一遍过
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目录索引
课程标准 1.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图.
2.能借助计算工具用二分法求方程的近似解.
3.了解用二分法求方程近似解具有的一般性.
基础落实·必备知识一遍过
知识点　二分法
1.定义
　 　　　　　　　　 此条件不可缺少
对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b],若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线,
　　　　　　　,则每次取区间的　　　　,将区间一分为二,再经比较,按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法.
f(a)·f(b)<0
中点
2.用二分法求方程
f(x)=0近似解的过程
其中:“初始区间”是一个两端点函数值异号的区间;
新区间的一个端点是原区间的中点,另一端点是原区间两端点中的一个,并且新区间两端点的函数值异号.
名师点睛
二分法的步骤的记忆口诀
定区间,找中点,中值计算两边看;
同号去,异号算,零点落在异号间;
周而复始怎么办 精确度上来判断.
思考辨析
是否所有的函数的零点都可以用二分法求解
提示 不是,只有满足函数图象在零点附近连续,且当该零点左右函数值异号时,才能应用“二分法”求函数零点.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)用二分法最后一定能求出函数的零点.(　　)
(2)二分法所求出的方程的解都是近似解.(　　)
(3)当用二分法求函数零点的近似值时,每次等分区间后,零点必定在右侧区间内.(　　)
(4)当用二分法求函数零点时,若达到精确度后,所得区间内任一个数均可视为零点的近似值.(　　)
×
×
×
√
2.[2024湖北荆州期末]下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)
A
解析 由二分法的定义知,若函数f(x)在区间[a,b]上连续,且满足f(a)·f(b)<0,则可以利用二分法求函数f(x)的零点的近似值,故选项A不能用二分法求图中函数零点.故选A.
3.用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时,经计算f(0.64)<0,f(0.72)>0, f(0.68)<0,则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为(　　)　　　　　　　　　　　　　
A.0.9 B.0.7 C.0.5 D.0.4
B
解析 由题意可知函数的零点在(0.68,0.72)内,四个选项中只有0.7满足
|0.7-0.68|<0.1,故选B.
4.[人教B版教材例题]已知函数f(x)=x2+ax+1有两个零点,在区间(-1,1)内是单调的,且在该区间中有且只有一个零点,求实数a的取值范围.
解 因为函数f(x)的图象是开口向上的抛物线,因此满足条件的函数图象的示意图如图①②所示.
图①
图②
因此(2-a)(a+2)<0且|a|≥2,解得a<-2或a>2.
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探究点一　二分法定义的理解
【例1】 (1)下列图象表示的函数中,能使用二分法求零点的是(　　)
C
解析 能用二分法求函数零点的函数,在零点的左右两侧附近的函数值符号相反,由图象可得,选项A,B,D不能满足此条件,故选C.
(2)用二分法求函数f(x)=x3+5的零点时,可以取的初始区间为(　 )
A.[-2,1] B.[-1,0]
C.[0,1] D.[1,2]
A
解析 由于f(-2)=(-2)3+5=-3<0,f(1)=13+5=6>0,f(-2)·f(1)<0,且f(x)为R上的增函数,因此可以将[-2,1]作为初始区间,故选A.
规律方法　1.在二分法中,初始区间的选择不唯一,一般应在两个整数间,初始区间不同时,二分的次数可能不同.
2.如果函数f(x)的某个零点x0的左右两侧附近的函数值是同号的,那么这样的零点就不能用二分法求解.
变式训练1(1)已知函数f(x)的图象如图,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　)
A.4,4
B.3,4
C.5,4
D.4,3
D
解析 图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4;左右函数值异号的零点有3个,所以可以用二分法求解的个数为3,故选D.
(2)用二分法求函数y=f(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时,已知f(2)·f(4)<0,取区间(2,4)内的中点x1= =3,计算得f(4)·f(3)>0,则函数零点所在的区间是(　　)
A.(2,4) B.(2,3)
C.(3,4) D.无法确定
B
解析 由f(2)·f(4)<0,f(4)·f(3)>0知f(2)·f(3)<0.
故函数零点所在的区间是(2,3).
探究点二　用二分法求方程的近似解
【例2】 求方程lg x-2-x+1=0的近似解(精确度为0.1).
解 令f(x)=lg x-2-x+1,函数f(x)的定义域为(0,+∞).因为函数f(x)在(0,+∞)内单调递增(证明略),所以f(x)最多有一个零点.又因为f(1)=0.5>0,f(0.1)<0,所以方程在[0.1,1]上有唯一实数解.使用二分法求解,如下表:
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
1 0.1 -0.933 033 1 0.5 0.9
2 0.1 -0.933 033 0.55 0.057 343 0.45
3 0.325 -0.286 415 0.55 0.057 343 0.225
4 0.437 5 -0.097 435 0.55 0.057 343 0.112 5
5 0.493 75 -0.016 670 0.55 0.057 343 0.056 25
至此,得到区间[0.493 75,0.55],其区间长度为0.55-0.493 75=0.056 25<0.1,由于要求的精度为0.1,则这一区间内的任一数都可作为方程的近似解,不妨取0.5作为方程的近似解.
规律方法　利用二分法求方程近似解的注意事项
(1)要选好计算的初始区间,这个区间既要包含函数的零点,又要使其长度尽量小.
(2)在求解过程中,可借助表格或数轴清楚地显示出逐步缩小的零点所在区间及其长度.
(3)根据给定的精确度,及时检验所取区间长度是否达到要求,及时终止计算.
变式训练2用二分法求方程2x+x=4在[1,2]上的近似解(精确度为0.2).参考数据如下表:
x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
解 令f(x)=2x+x-4,f(x)为增函数,则f(1)=2+1-4=-1<0,f(2)=22+2-4=2>0.因此可取区间[1,2]作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,见表如下:
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
第1次 1 -1 2 2 1
第2次 1 -1 1.5 0.33 0.5
第3次 1.25 -0.37 1.5 0.33 0.25
第4次 1.375 -0.035 1.5 0.33 0.125
∵|1.375-1.5|=0.125<0.2,
∴区间[1.375,1.5]上的任意一个数都是满足精确度的近似解,如可取1.4(答案不唯一).
探究点三　二分法的实际应用
【例3】 现有12个小球,从外观上看完全相同,除了1个小球质量不合标准外,其余的小球质量均相同,用同一架天平(无砝码),限称三次,把这个“坏球”找出来,并说明此球是偏轻还是偏重.如何称
解 先在天平左右各放4个球.有两种情况:
(1)若平,则“坏球”在剩下的4个球中.
取剩下的4个球中的3个球放天平的一端,取3个好球放天平的另一端,
①若仍平,则“坏球”为4个球中未取到的那个球,将此球与1个好球放上天平比一比,即知“坏球”是轻还是重;
②若不平,则“坏球”在天平一端的3个球之中,且知是轻还是重.任取其中2个球分别放在天平左右两端,无论平还是不平,均可确定“坏球”.
(2)若不平,则“坏球”在天平上的8个球中,不妨设天平右端较重.
从右端4个球中取出3个球,置于一容器内,然后从左端4个球中取3个球移到右端,再从外面好球中取3个补到左端,看天平,有三种可能.
①若平,则“坏球”是容器内3个球之一且偏重;
②若左端重,“坏球”已从左端换到右端,因此,“坏球”在从左端移到右端的3个球中,并且偏轻;
③若右端重,据此知“坏球”未变动位置,而未被移动过的球只有两个(左右各一),“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重).
显然对于以上三种情况的任一种,再用天平称一次,即可找出“坏球”,且知其是轻还是重.
规律方法　二分法在实际问题中的应用
二分法的思想在实际生活中的应用十分广泛,在电线线路、自来水管道、煤气管道等铺设线路比较隐蔽的故障排除方面有着重要的作用,当然在一些科学实验设计及资料的查询方面也有着广泛的应用.
变式训练3在26枚崭新的金币中,有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点),现在只有一架天平,则应用二分法的思想,最多称　　　　　次就可以发现这枚假币.
3
解析 从26枚金币中取18枚,将这18枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,①若天平不平衡,则假币一定在质量小的那9枚金币里面.从这9枚金币中拿出6枚,然后将这6枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,若天平平衡,则假币一定在剩下的那3枚金币里;若不平衡,则假币一定在质量小的那3枚金币里面,从含有假币的3枚金币里取两枚,分别放在天平两端,若天平平衡,则剩下的那一枚是假币,若不平衡,则质量小的那一枚是假币.②若天平平衡,则假币在剩下的8枚金币里,从这8枚金币中取6枚,将这6枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,若天平平衡,假币在剩下的两枚里,若天平不平衡,假币在质量小的3枚里.在含有假币的金币里取2枚分别放在天平左右两端,即可找到假币.综上可知,最多称3次就可以发现这枚假币.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)二分法的定义;
(2)利用二分法求函数零点、方程近似解的步骤.
2.方法归纳:转化与化归、二分法.
3.常见误区:二分法并不适用于求所有零点,只能用于求函数的变号零点.
学以致用·随堂检测促达标
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1.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是(　　)
A.x1 B.x2
C.x3 D.x4
C
解析 能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a,b]上连续,且f(a)·f(b)<0.
而x3左右两边的函数值都小于零,不满足区间端点处函数值符号相异的条件,故选C.
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2.用二分法求函数的零点,经过若干次运算后函数的零点在区间(a,b)内,当|a-b|<ε(ε为精确度)时,函数零点的近似值 与真实零点的误差最大不超过(　　)
C.ε D.2ε
B
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4
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3.用二分法求方程f(x)=0在区间(0,1)内的近似解时,经计算,f(0.425)<0, f(0.532)>0,f(0.605)<0,即得到方程的一个近似解为　　　 　　　.(精确度为0.1)
0.6(答案不唯一)　
解析 ∵0.605-0.532=0.073<0.1,
∴(0.532,0.605)内的值都可以作为方程精确度为0.1的一个近似解.
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4.[2024山东潍坊期末]已知函数f(x)满足对任意x1,x2∈[a,b],都有
(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0,且f(a)·f(b)<0.在用二分法求零点的过程中,依次确定了
若x0的近似值小于0.001(精确度)时,一共至少需要进行　　　　　次区间中点函数值的计算.
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5.求方程x2=2x+1的一个近似解(精确度为0.1).
解 设f(x)=x2-2x-1,因为f(2)=-1<0,f(3)=2>0,所以可以取区间[2,3]作为计算的初始区间.用二分法逐步计算,列表如下:
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
1 2 -1 3 2 1
2 2 -1 2.5 0.25 0.5
3 2.25 -0.437 5 2.5 0.25 0.25
4 2.375 -0.109 375 2.5 0.25 0.125
5 2.375 -0.109 375 2.437 5 0.066 406 25 0.062 5
因为|2.375-2.437 5|=0.062 5<0.1,
所以方程x2=2x+1的一个近似解可取2.4.
本 课 结 束