第1章　1.3　第1课时　交集与并集--北师大版高中数学必修第一册课件（共44页PPT）

(共44张PPT)
第一章
1.3　第1课时　交集与并集
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
目录索引
课程标准 1.理解两个集合的并集与交集的含义.
2.能求两个集合的并集与交集.
3.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　交集　　　　　　　　 缺一不可
概念 一般地,由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合,叫作集合A与B的交集,记作A∩B,读作“A交B”
符号表示 A∩B ={x|x∈A,　　　　x∈B}
图形表示
性质 对于任何集合A,B,有A∩B=B∩A,A∩B A,A∩B B,A∩A=A,A∩ =
且
名师点睛
求两个集合的交集,结果还是一个集合.当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交集.
思考辨析
1.A∩B是把集合A与集合B的部分元素组合在一起吗

2.两个集合交集中的元素一定在两个集合中吗
3.若两个集合A,B的交集是空集,则两个集合有什么特征
提示 A∩B是把集合A,B中的公共元素组合在一起.
提示 当两个集合有公共元素时,两个集合交集中的元素一定在两个集合中;若两个集合没有公共元素,则两个集合的交集是空集.
提示 若两个集合A,B的交集是空集,则两个集合中至少有一个集合是空集或者两个集合不是空集,但是两个集合没有公共元素.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)集合A和集合B的公共元素组成的集合就是集合A与B的交集.(　　)
(2)若A∩B= ,则A,B均为空集.(　　)
×
×
2.已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为(　　)　 　　　　　　　　　　　　
A.5 B.4
C.3 D.2
D
知识点2　并集
概念 一般地,由　　　　属于集合A　　　　属于集合B的元素组成的集合,叫作集合A与B的并集,记作A∪B,读作“A并B”
符号表示 A∪B={x|x∈A,　　　x∈B}
图形表示
性质 对任何集合A,B,有∪B=B∪A,A A∪B,B A∪B,A∪A=A,A∪ =A
所有
或
或
名师点睛
并集符号语言中,“x∈A,或x∈B”包括下列三种情况:①x∈A,且x B;②x A,且x∈B;③x∈A,且x∈B.可用下图形象地表示.
思考辨析
1.A∪B是把A和B的所有元素组合在一起吗
2.若两个集合的并集是空集,则这两个集合有什么特征
提示 不一定,当两集合没有公共元素时,A∪B中的元素就是由集合A和集合B的所有元素组成,当两集合有公共元素时,由集合中元素的互异性可知,两集合的公共元素只出现一次.
提示 两个集合的并集是空集,则这两个集合都是空集.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1){1,2,3,4}∪{0,2,3}={1,2,3,4,0,2,3}.(　　)
(2)若x∈A∩B,则x∈A∪B.(　　)
(3)若A,B中分别有3个元素,则A∪B中最多有6个元素.(　　)
×
√
√
2.[2024哈尔滨高一期末]已知集合A={x|x<1},B={x|-1≤x≤1},则A∪B=(　　)
A.{x|-1B.{x|-1≤x≤1}
C.{x|-1≤x<1}
D.{x|x≤1}
D
解析 ∵A={x|x<1},B={x|-1≤x≤1},∴A∪B={x|x≤1}.
3.[人教A版教材习题]设A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角形},求A∩B,A∪B.
解 A∩B={x|x是等腰直角三角形};A∪B={x|x是等腰三角形或直角三角形}.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　集合的交集与并集运算
角度1并集运算
【例1】 (1)设集合A={x|x2-2x-3=0},B={x|x2-4x+3=0},则A∪B=(　　)
A.{1} B.{1,3}
C.{-1,1,3} D.{-1,1}
C
解析 A={-1,3},B={1,3},A∪B={-1,1,3}.
(2)已知集合A={x|x<2},B={x≥1},则A∪B=(　　)
A.{x|x<2} B.{x|1≤x<2}
C.{x|x≥1} D.R
D
解析 在数轴上表示出集合A,B,则A∪B=R.
变式训练1(1)[2024内蒙古赤峰高一期末]已知集合A={x∈N|x≤2},B={2,3},则A∪B=(　　)
A.{x|x≤3} B.{1,2,3}
C.{2,3} D.{0,1,2,3}
D
解析 集合A={x∈N|x≤2}={0,1,2},B={2,3},所以A∪B={0,1,2,3}.
★(2)已知集合P={x|-1A.{x|0C.{x|-1B
解析 ∵P={x|-1角度2交集运算
【例2】 (1)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=(　　)
A.{3} B.{5}
C.{3,5} D.{1,2,3,4,5,7}
C
解析 直接由交集定义可得A∩B={3,5}.
(2)设集合M={x|-3A.[1,2) B.[1,2]
C.(2,3] D.[2,3]
A
解析 在数轴上表示出集合M,N,如图:
∴M∩N={x|1≤x<2}.
规律方法　求两个集合交集、并集的方法技巧
当求两个集合的并集、交集时,对于用描述法给出的集合,首先明确集合中的元素,其次将两个集合化为最简形式;对于连续的数集常借助于数轴写出结果,此时要注意数轴上方所有“线”下面的实数组成了并集,数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集,此时要注意当端点不在集合中时,应用空心圈表示;对于用列举法给出的集合,则依据并集、交集的含义,可直接观察或借助于Venn图写出结果.
变式训练2(1)[2024浙江绍兴高一期末]已知集合A={-2,0,1,3},B={-1,1,3},则A∩B=(　　)
A.{-2,-1,0,1,3} B.{-1,1,3}
C.{1,3} D.{-2,1}
C
解析 因为A={-2,0,1,3},B={-1,1,3},所以A∩B={1,3}.
★(2)[2024陕西西安高一阶段检测]已知集合A={x|x>1},B={x|x<5},则A∩B=(　　)
A.R B.{x|1C.{x|x>5} D.{x|x<1}
B
解析∵A={x|x>1},B={x|x<5},∴A∩B={x|1探究点二　已知集合的交集、并集求参数
【例3】 已知a∈R,集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9}.若9∈A∩B,则实数a的值为　　　　　.
5或-3
解析 ∵9∈A∩B,∴9∈A,且9∈B,
∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.
当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},符合题意;
当a=3时,A={-4,5,9},B={-2,-2,9},集合B不满足集合中元素的互异性,故a≠3;
当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},符合题意.
综上可得实数a的值为5或-3.
变式探究例3中,将“9∈A∩B”改为“A∩B={9}”,其余条件不变,求实数a的值及A∪B.
解 ∵A∩B={9},∴9∈A.
∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.
当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},
由于A∩B={-4,9},不符合题意,故a≠5;
当a=3时,A={-4,5,9},B={-2,-2,9},集合B不满足集合中元素的互异性,故a≠3;
当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},且A∩B={9},符合题意.
综上可得a=-3.此时A∪B={-8,-4,-7,4,9}.
规律方法　已知两个有限集运算结果求参数值的方法
对于这类已知两个有限集的运算结果求参数值的问题,一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程求解.另外,在处理有关含参数的集合问题时,要注意对求解结果进行检验,检验求解结果是否满足集合中元素的有关特性,尤其是互异性.
【例4】 集合A={x|-1(1)若A∩B= ,求实数a的取值范围;
(2)若A∪B={x|x<1},求实数a的取值范围.
解 (1)A={x|-1∴数轴上点x=a在点x=-1左侧,且包含点x=-1,
∴a的取值范围为(-∞,-1].
(2)A={x|-1在数轴上表示出集合A,B,如图所示,
∴数轴上点x=a在点x=-1和点x=1之间,不包含点x=-1,但包含点x=1.∴a的取值范围为(-1,1].
变式探究例4(1)中,把“A∩B= ”改为“A∩B≠ ”,求a的取值范围.
解 利用数轴表示出两个集合(图略),可知要使A∩B≠ ,需数轴上点x=a在点x=-1右侧且不包含点x=-1,所以a的取值范围为(-1,+∞).
规律方法　已知集合运算求参数的思路
此类问题常借助数轴解决,首先根据集合间的关系画出数轴,然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)求解,特别要注意端点值的取舍.当集合的元素能一一列举时,常借助集合的关系列关于参数的方程(组)求解,但求解后要代入检验是否符合题意.
探究点三　集合的交集、并集性质的应用
【例5】 设集合M={x|-2(-∞,2]
变式训练3[2024陕西宝鸡高一期末]已知集合A={x|2a-1B={x|-1≤x≤2}.
(1)若a=-1,求A∪B;
(2)若A∩B=A,求实数a的取值范围.
解 (1)因为当a=-1时,A={x|-3(2)因为A∩B=A,所以A B.
当A= ,即2a-1≥a+1,即a≥2时,满足题意;
所以0≤a≤1.
综上,实数a的取值范围为{x|0≤x≤1或x≥2}.
【例6】 设集合A={x|x2-2x=0},B={x|x2-2ax+a2-a=0,a∈R}.
(1)若A∩B=B,求a的取值范围;
(2)若A∪B=B,求a的值.
解 由x2-2x=0,得x=0或x=2.∴A={0,2}.
(1)∵A∩B=B,∴B A,∴B= 或{0}或{2}或{0,2}.
当B= 时,Δ=4a2-4(a2-a)=4a<0,∴a<0;
综上所述,a的取值范围是{a|a=1,或a≤0}.
(2)∵A∪B=B,∴A B.∵A={0,2},而B中方程至多有两个根,
∴A=B,由(1)知a=1.
规律方法　利用交集、并集运算求参数的思路
思路一:涉及A∩B=B或A∪B=A的问题,可利用集合的运算性质,转化为集合之间的关系求解,要注意空集的特殊性
思路二:将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举,则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系,要注意集合中元素的互异性;与不等式有关的集合,则可利用数轴得到不同集合之间的关系
变式训练4已知集合M={x|2x-4=0},集合N={x|x2-3x+m=0},
(1)当m=2时,求M∩N,M∪N;
(2)当M∩N=M时,求实数m的值.
解 (1)由题意得M={2}.
当m=2时,N={x|x2-3x+2=0}={1,2},
∴M∩N={2},M∪N={1,2}.
(2)∵M∩N=M,∴M N.
∵M={2},∴2∈N,∴2是关于x的方程x2-3x+m=0的解,即4-6+m=0,解得m=2.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)交集、并集的概念及运算;
(2)交集、并集的性质;
(3)由交集、并集的关系式求参数值或范围.
2.方法归纳:数形结合、分类讨论.
3.常见误区:由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论;求解参数后,易忽视代入原集合进行检验这一步骤.
学以致用·随堂检测促达标
1
2
3
4
5
1.设集合A={x∈N+|-1≤x≤2},B={2,3},则A∪B=(　　)
A.{-1,0,1,2,3} B.{1,2,3}
C.[-1,2] D.[-1,3]
B
解析 集合A={1,2},B={2,3},则A∪B={1,2,3}.
1
2
3
4
5
2.[2024陕西咸阳高一期末]已知集合A={y|y=2x,x∈R}, B={(x,y)|y=x+1,x,y∈R},则(　　)
A.A∩B={1,2}
B.A∩B={(1,2)}
C.A=B=R
D.A∩B=
D
解析 集合A为数集,集合B为点集,元素类型不同,所以A∩B= .
1
2
3
4
5
3.已知集合M={-1,0,1},P={0,1,2,3},则图中阴影部分所表示的集合是(　　)
A.{0,1}
B.{0}
C.{-1,2,3}
D.{-1,0,1,2,3}
D
解析 由Venn图,可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M={-1,0,1}, P={0,1,2,3},故M∪P={-1,0,1,2,3}.故选D.
1
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3
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4.[2024山东威海高一月考]设集合A={(x,y)|y=ax+1},B={(x,y)|y=x+b},且A∩B={(2,5)},则a=　　　,b=　　　.
2
3
1
2
3
4
5
5.已知集合A={x|-2(1)当m=3时,求A∩B;
(2)若A∩B=B,求实数m的取值范围.
解 (1)当m=3时,B={x|3≤x<6},
又A={x|-2∴A∩B={x|3≤x≤5}.
(2)由A∩B=B得B A,∵m即实数m的取值范围是(-2,2].
本 课 结 束