第1章　3.2　第1课时　基本不等式--北师大版高中数学必修第一册课件（共35页PPT）

(共35张PPT)
第一章
3.2　第1课时　基本不等式
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
目录索引
课程标准 1.理解基本不等式 (a≥0,b≥0).
2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题.
3.能运用基本不等式证明不等式及解决简单的实际问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　基本不等式
1.基本不等式:设a≥0,b≥0,那么 ,当且仅当a=b时,等号成立.这个不等式称为基本不等式,其中, 称为a,b的算术平均值, 称为a,b的几何平均值.因此基本不等式又称为均值不等式.
　 　　　　　不可忽略此条件
2.基本不等式可以表述为:两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.
3.基本不等式的几何解释:在同一个圆中,半径大于或等于半弦.
名师点睛
1.基本不等式的条件是a,b都是非负实数,当且仅当a=b时,等号成立,即“a=b”是
思考辨析
1.已知a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时,等号成立).如果a>0,b>0,我们用
分别代替不等式中的a,b,可得到什么形式


2.基本不等式中a,b只能是具体的某个数吗
提示 a,b既可以是具体的某个数,也可以是代数式.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)若a≠0,则 .(　　)
(2)对于任意a,b∈R,a2+b2≥2ab.(　　)
(3)当n∈N+时, .(　　)
×
√
√
2.[人教A版教材习题]已知a,b∈R,求证:
知识点2　利用基本不等式求最值
当x,y均为正数时,下面的命题均成立:
(1)若x+y=s(s为定值),则当且仅当x=y时,xy取得最大值 ;
(2)若xy=p(p为定值),则当且仅当 x=y时,x+y取得最小值2 .
名师点睛
1.上述的结论也叫作最值定理.语言描述为:
(1)两个正数的和为常数时,它们的积有最大值;
(2)两个正数的积为常数时,它们的和有最小值.可简记为“和定积最大,积定和最小”.
2.应用上述结论时要注意以下三点:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(2)若xy=4,则x+y的最小值为4.(　　)
(3)若x>0,y>0,且x+y=2,则2xy的最大值为1.(　　)
√
×
×
2.[2024宁夏中卫高一期末]已知x>0,y>0,且x+y=10,则xy的最大值为　　　　.
25
3.[人教B版教材习题]已知x>0,求y=x+ 的最小值,并说明x为何值时y取得最小值.
4.[人教A版教材习题]已知-1≤x≤1,求1-x2的最大值.
解 当x=±1时,1-x2=0.
当-10,1+x>0,
当且仅当1+x=1-x,
即x=0时,等号成立.
所以1-x2的最大值为1,此时x=0.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　对基本不等式的理解
【例1】 (多选题)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,不成立的是(　　)
ABC
规律方法　应用基本不等式时的注意点
(1)各项或各因式均为正;
(2)和或积为定值;
(3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”.
变式训练1下列结论不成立的是(　　)
A.若a,b∈R,则a10+b10≥2a5b5
B.若x≠0,则x2+ ≥2
C.若 ≥2,则必有a>0,b>0
D.若a∈R,则有a2+9≥6a
C
探究点二　利用基本不等式求最值
【例2】 (1)已知x>0,则 +x的最小值为(　　)
A.6 B.5 C.4 D.3
A
(2)已知a>0,b>0,且ab=1,则a+4b的最小值为　　　　.
4
规律方法　利用基本不等式求最值时的注意点
一是各项均为正数;二是寻求定值,求和式最小值时应使积为定值,求积式最大值时应使和为定值(恰当变形,合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧);三是检验是否具备等号成立的条件.
探究点三　利用基本不等式证明不等式
【例3】 (1)已知a,b,c为不全相等的正实数,求证:
规律方法　利用基本不等式证明不等式的注意事项
(1)利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有和式或积式,通过将和式转化为积式或将积式转化为和式,从而达到放缩的目的.
(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到.
(3)解题时要注意技巧,当不能直接利用基本不等式时,可将原不等式进行组合、构造,以满足能使用基本不等式的形式.
(4)在证明不等式的过程中,注意充分利用“1”的代换,即把常数1替换为已知的式子,然后经过整理后再利用基本不等式进行证明.
变式训练3(1)已知a,b,c,d都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
证明 因为a,b,c,d都是正数,
当且仅当ab=cd,且ac=bd时,等号成立.
故(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
(2)已知a>0,b>0,且a+b=2,求证:
本节要点归纳
1.知识清单:
(2)“和定积最大,积定和最小”.
2.方法归纳:配凑法,常值代换法.
3.常见误区:注意等号成立的条件.
学以致用·随堂检测促达标
1
2
3
4
5
D
1
2
3
4
5
2.已知正数x,y满足 ,则xy有(　　)
A.最小值12 B.最大值12
C.最小值144 D.最大值144
C
1
2
3
4
5
3.已知t>0,则 的最小值为　　　.
-1
1
2
3
4
5
4. 已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是　　　　.
1
2
3
4
5
5.已知a,b,c为正数,且a+b+c=1,证明:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc.
本 课 结 束