第1章　3.2　第2课时　习题课　基本不等式的应用--北师大版高中数学必修第一册课件（共28页PPT）

(共28张PPT)
第一章
3.2　第2课时　习题课　基本不等式的应用
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
目录索引
重难探究·能力素养速提升
探究点一　利用基本不等式求函数和代数式的最值
角度1通过变形后应用基本不等式求最值
【例1-1】 求下列函数的最值,并求出相应的x值.
规律方法　利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件.解题时应对照已知条件和欲求的式子,运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设使用基本不等式的条件,具体可以归纳为:一不正,用其相反数,改变不等号方向;二不定,应凑出定和或定积;三不等,一般需用其他方法,如尝试利用函数的单调性(在第二章学习).
C.最大值1 D.最小值1
D
角度2应用“1”的代换转化为基本不等式求最值
【例1-2】 已知正数a,b满足a+b=1,则 的最小值为　　　　　.
4
变式探究将本例反过来,已知正数a,b满足 =4,则a+b的最小值为　　　　.
1
规律方法　在利用基本不等式求最值时,常用的技巧就是“1”的代换,其目的是借助“1”将所求式子的结构进行调整,优化到能够利用基本不等式求解为止.
角度3含有多个变量的条件的最值问题
【例1-3】 已知正数a,b满足 =3,求ab的取值范围.
变式探究本例中,若将条件改为“正数a,b满足2a+b+6=ab”,求ab的最小值.
规律方法　含有多个变量的条件最值问题,一般方法是采取减少变量的个数,将问题转化为只含有一个变量的函数的最值问题进行解决;如果条件等式中,含有两个变量的和与积的形式,还可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解,或者通过构造一元二次方程,利用根的分布解决问题.
探究点二　利用基本不等式解决实际应用中的最值问题
【例2】 如图,要设计一张矩形广告牌,该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分),这两栏的面积之和为18 000 cm2,四周空白的宽度为10 cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告牌的长与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告牌面积最小
即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500.
故当广告牌的宽为140 cm,长为175 cm时,可使矩形广告牌的面积最小.
规律方法　求实际问题中最值的一般思路:(1)先读懂题意,设出变量,理清思路,列出函数关系式.(2)把实际问题抽象成函数的最值问题.(3)在定义域内,求函数的最值时,一般先考虑用基本不等式,当用基本不等式求最值的条件不具备时,再考虑函数的单调性(单调性在第二章学习).(4)正确写出 答案.
变式训练2[2024北京房山高一期末]某养殖场要建造一个长方体无盖养殖水池,其容积为3 200 m3,深为2 m.已知池底每平方米的造价为15元,池壁每平方米的造价为12元,那么怎样设计水池能使总造价最低 最低总造价是多少
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)“和定积最大,积定和最小”;
(2)求解应用题的方法与步骤:
①审题,②建模(列式),③解模,④作答.
2.方法归纳:配凑法、常值代换法.
3.常见误区:缺少等号成立的条件.
学以致用·随堂检测促达标
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1.函数y=2x(2-x)(其中0D
解析 ∵00,
∴y=2x(2-x)≤2( )2=2,当且仅当x=2-x,即x=1时,等号成立,函数的最大值是2.
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2.已知实数m,n满足2m+n=2,其中mn>0,则 的最小值为(　　)
A.12 B.8
C.6 D.4
D
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3.已知x>0,y>0,且x+4y=1,则xy的最大值为　　　　.
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4.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25 (x∈N+),则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是　　　万元.
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5.在下面等号右侧两个分数的分母方块处,各填上一个正整数,并且使这两个正整数的和最小, ,试求这两个数.
本 课 结 束