1.3.2基本不等式 课件（共18张PPT） （北师大版2019必修第一册）

(共18张PPT)
3.2 基本不等式
北师大版（2019）高中数学必修第一册
第一章 预备知识
第3节 不等式
导入课题
新知讲授
典例剖析
课堂小结
对于任意实数x和y，
总是成立的，
即，
变形得，
当且仅当时，等号成立.
这个式子可以推出一个我们高中数学中很重要的式子，今天我们要重点学习这个式子——基本不等式.
一、基本不等式
导入课题
基本不等式：设，取，，代入可得
，当且仅当等号成立.
这个不等式称为基本不等式，其中称为的算术平均值，称为的几何平均值， 因
此，基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为：
两个非负数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.
新知探究
典例剖析
课堂小结
几何解释：如图，AB 是半圆O 的直径，点 C 在 AB 上，且AC=a，CB =b.过点 C 作 AB 的垂线，交弧 AB 于点 D ，连接 AD，OD，BD.显然OD=OA=；利用三角形相似，可证得△ACD∽△DCB，从而 CD=.
从图中可以看出，OD≥CD，当且仅当点 C 与圆心 O 重合时，等号成立，
即”半径大于等于半弦”.
所以.
二、均值不等式(完整版)
导入课题
均值不等式(完整版)：，当且仅当等号成立.
上述不等式中，每个部分是平均数，因此称它为平均值不等式，简称均值不等式，其中为平方平均数，为调和平均数.
新知探究
典例剖析
课堂小结
的证明：要证，只需证，只需证，只需证
，只需证，而显然成立，因此成立.
几何解释：如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C 在 AB 上，且 ，，过点 O 作 AB 的垂线，
交弧 AB 于点 F ，显然，
所以，所以，
从图中可以看出，当且仅当点 C 与圆心 O 重合时，等号成立.
所以.
二、均值不等式(完整版)
导入课题
完整版均值不等式：，当且仅当等号成立.
上述不等式中，每个部分是平均数，因此称它为平均值不等式，简称均值不等式，其中为平方平均数，为调和平均数.
新知探究
典例剖析
课堂小结
的证明：要证，只需证，只需证，只需证，只
需证，而显然成立，所以成立.
所以，当且仅当等号成立，
由不等式的性质1可得，当且仅当等号成立.
三、基本不等式的应用
导入课题
新知探究
典例剖析
课堂小结
基本不等式的应用：当均为正数时，下面的命题均成立：
(1)若，则当且仅当时，取得最大值;
(2)若，则当且仅当时，取得最小值.
证明：（1）由基本不等式和，得，
所以，当且仅当时，不等式等号成立，
此时取得最大值.
(2)同理可证.
应用1，把一段长为16 cm 的细铁丝弯成形状不同的矩形，当矩形的长，宽分别为何值时，面积最大？
应用2，面积为16 的所有不同形状的矩形中，矩形的长，宽分别为何值时，周长最小？
解：设长、宽分别为，则，所以当且仅当时，面积，联立
与，得.
解：设长、宽分别为，则，所以当且仅当时，取得最小值，此时周长
，联立与，得.
基本不等式的应用的前提条件
一正，二定，三相等
导入课题
新知探究
典例剖析
课堂小结
例4 已知，求证：.
解：
因为，所以由基本不等式，得
，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
上面三式相加，得，即
，当且仅当时，等号成立.
教材27页例题
解：
（1）设每间禽舍的长为，宽为，则，即，
则每间禽舍的面积，
应用基本不等式，有，即，所以，
当且仅当时，不等式中的等号成立，联立与，得，=3.
因此，当每间禽舍的长、宽分别设计为 4.5 m和 3 m 时，
可使每间禽舍面积最大，最大面积为.
导入课题
新知探究
典例剖析
课堂小结
例5 如图，动物园要围成四间相同面积的长方形禽舍，一面可
利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.（接头处不计）
（1）现有可围36 m长钢筋网的材料，当每间禽舍的长、宽各
设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？
（2）若使每间禽舍面积为24 ，则每间禽舍的长、宽各设计
为多长时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小？
教材29页例题
导入课题
新知探究
典例剖析
课堂小结
例5 如图，动物园要围成四间相同面积的长方形禽舍，一面可
利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.（接头处不计）
（1）现有可围36 m长钢筋网的材料，当每间禽舍的长、宽各
设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？
（2）若使每间禽舍面积为24 ，则每间禽舍的长、宽各设计
为多长时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小？
解：
（2）设每间禽舍的长为，宽为，则，
则钢筋网总长 ，应用基本不等式，
有，即 ，当且仅当时，不等式中的等号成立，
联立与，得，=4.
因此，当每间禽舍的长、宽分别设计为 6 m和 4 m 时，可使钢筋网总长最小，最
小钢筋网总长为.
导入课题
新知探究
典例剖析
课堂小结
练习1：已知，,试用不同方法求函数的最大值.
解：方法一（利用二次函数图像和性质），
依题意知，二次函数的对称轴为，开口向下，如图，
因为，所以当时，函数取得最大值，且最大值为.
方法二（利用基本不等式），
依题意得，，因为，
所以，即
，当且仅当，即时，等号成立，
当且仅当时，函数有最大值，且最大值为.
教材30页练习
导入课题
新知探究
典例剖析
课堂小结
练习2：已知直角三角形的面积为，当两条直角边各为多长时，两条直角边的长度和最小，最小值是多少？
解：设直角三角形的两条直角边分别为，
所以，即，
因为两条直角边的长度和为，
由基本不等式知，
所以，当且仅当时，等号成立，
联立与，得，
所以当两条直角边都为时，两条直角边的长度和最小，且最小值为8.
教材30页练习
导入课题
新知探究
典例剖析
课堂小结
练习3：用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆长度是多少？
解：设矩形的长、宽分别为，
依题意得，
因为所用篱笆长度为，
由基本不等式知，
所用，
即，当且仅当时，等号成立，
联立与，得，
所以当矩形的长和宽都为时，篱笆长度最短，且最短篱笆长度为.
教材30页练习
导入课题
新知探究
典例剖析
课堂小结
练习4：已知均为正数，试求证：若，则当且仅当时，取得最小值.
证明：由基本不等式和，得，
所以，当且仅当时，不等式等号成立，
此时取得最小值.
教材30页练习
导入课题
新知探究
典例剖析
课堂小结
思考：（1）若对任意的正数满足，求的最小值；
（2）若，，求的最小值.
解：（1）因为，所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
联立与，得显然存在这样的正数，所以等号能成立，
所以的最小值为12.
（2）因为，
所以，当且仅当时，等号成立，
联立与，得显然存在满足，所以等号能成立，
所以的最小值为.
1的妙用
均值不等式的应用
导入课题
新知探究
典例剖析
课堂小结
课堂
小结
两种应用
应用基本不等式求式子的最值
应用均值不等式证明不等式
两种方法
代数证明法
几何解释法
两种式子
基本不等式
均值不等式
导入课题
新知探究
典例剖析
课堂小结
课堂
小结
本节重点
思想方法
1，基本不等式是高中数学中比较重要的一种不等式，要熟练地掌握基本不等式的用法.
2，均值不等式的代数证明方法和几何证明方法.
一、基本不等式
二、均值不等式(完整版)
，
当且仅当，等号成立
三、基本不等式的应用
基本不等式的应用：当均为正数时，
下面的命题均成立：
(1)若，
则当且仅当时，取得最大值;
(2)若，
则当且仅当时，取得最小值.
导入课题
新知探究
典例剖析
课堂小结
课后作业
作业1：课本P30 A组T5(1)(2).
作业2：已知 x>0，y>0，且满足x+y-2xy＝0，
当 x＋2y 取得最小值时， x和y的值 .（提示：1的妙用）
作业3：已知集合，，
且，求的取值范围.
作业2：的最小值为，,
谢谢聆听！