1.4.1一元二次函数 同步练习（含解析）——高一数学北师大版（2019）必修第一册同步课时作业

1.4.1一元二次函数
1.若一元二次函数在区间上的函数值y随自变量x的增大而减小，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数，如果，且，则它的图象可能是( ).
A. B. C. D.
3.已知函数的图象如图，则此函数的解析式可能为( ).
A. B.
C. D.
4.设，则函数的图象可能是( ).
A. B.
C. D.
5.如果函数在区间上的函数值y随x的增大而减小，那么实数a的取值范围是( ).
A. B. C. D.
6.设，若二次函数的图象为下列图象中的一个，则a的值为( ).
A.1 B.-1 C. D.
7.函数在区间上的最小值为( )
A. B.-1 C. D.-2
8.如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为.给出四个结论:
①；②；③；④.其中正确结论是( )
A.②④ B.①④ C.②③ D.①③
9.（多选）已知函数，，则下列说法正确的是( ).
A.其图象开口向上，且始终与x轴有两个不同的交点
B.无论k取何值，其图象始终过定点
C.其图象的对称轴的位置不确定，但开口大小不会因k的取值不同而改变
D.函数的最小值大于
10.（多选）如图是二次函数图象的一部分，图象经过点，其图象的对称轴为直线，则下列结论正确的是( ).
A. B. C. D.
11.若函数的图象位于x轴下方，则实数a的取值范围是__________.
12.已知二次函数的图象如图所示，下列结论中：
①；
②3是方程的一个根；
③；
④当时，y随x的增大而减小；
⑤，
正确的有____________.
13.已知矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧面积最大为_________(结果保留)；
14.抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，C点在y轴正半轴上，若是直角三角形，则________________.
15.如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位为千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹为方程表示的曲线，其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，当它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由题意得，解得.
2.答案：D
解析：且，，.故函数图象开口向上，且与y轴相交于负半轴.
3.答案：A
解析：由题图可知，抛物线开口向上，，排除CD；顶点的横坐标，故；图象与y轴交于负半轴，故，排除B.
4.答案：D
解析：A中，，，，，不合题意；
B中，，，，，不合题意；
C中，，，，，不合题意；
D中，，，，.故选D.
5.答案：B
解析：当时，，满足题意；当时，必有解得.
综上，实数a的取值范围是.
6.答案：B
解析：从左向右数，由第一个函数图象与第二个函数图象，知函数图象与x轴的两个交点为对称点，则两根之和为0.已知，故可排除.由第三个函数图象与第四个函数图象，知一个根为0，另一个根为正数，即，又，，图象开口向下，应为第三个图象.由图象过原点，得，解得或（舍去）.
7.答案：C
解析：因为的图象开口向上，对称轴为直线，所以在区间上，当时，函数取得最小值.故选C.
8.答案：B
解析：①∵二次函数的图象是抛物线，∴与x轴有两个交点，，即，正确;②∵抛物线的开口向下，．∵与y轴的交点在y轴的正半轴上，．∵对称轴为，错误;③时y有最大值，由图象可知，错误;④把代入解析式得，两边相加整理得，即，正确．
9.答案：ABC
解析：对于A选项，函数的二次项系数大于0，故其图象开口向上，函数对应的一元二次方程为，其判别式恒成立，故其图象始终与x轴有两个不同的交点，故A选项正确；
对于B选项，当时，函数值，故B选项正确；
对于C选项，由于一元二次函数图象的开口大小只与二次项系数有关，故无论k取何实数，该函数图象的形状都与的图象形状相同，故C选项正确；
对于D选项，函数的最小值为，因为，所以y的最小值小于等于，故D选项错误.
10.答案：AD
解析：函数图象与x轴交于两点，
，即，A正确.
函数图象的对称轴为直线，
，，B错误.
结合题图，当时，，即，C错误.
函数图象的对称轴为直线，
.又函数图象开口向下，
，，即，D正确.
11.答案：
解析：当时，函数表示一条直线，不满足题意；当时，要使函数的图象位于x轴下方，则需满足且，解得.综上，实数a的取值范围是.
12.答案：②③⑤
解析：由图可知，①抛物线开口向下，故错误，不符合题意；②方程的一个根是-1，函数对称轴为，则3是方程的一个根，符合题意；③当时，，正确，符合题意；④当时，y随x的增大而减小，错误，不符合题意；⑤抛物线和x轴有两个交点，故，符合题意.故结论正确的有②③⑤.
13.答案：
解析：设矩形的一边是，则另一条边是.
则圆柱的侧面积，
当时，圆柱的侧面积最大，
最大值为，故矩形的长和宽都是10cm时
所形成的圆柱的侧面积最大，即为.
14.答案：-1
解析：设，，，
由于是直角三角形，所以，且直角为C，
又，，所以，
故答案为：-1.
15.答案：（1）10千米
（2）横坐标a不超过6时，炮弹可以击中目标
解析：（1）令，得.
由实际意义和题设条件知，.
所以，当且仅当时取等号.
所以炮的最大射程是10千米.
（2）因为，所以炮弹可以击中目标等价于存在，使成立，
即关于k的方程有正根.
由，得.
此时，（不考虑另一根）.
所以，当横坐标a不超过6时，炮弹可以击中目标.