2.4.2直线与圆锥曲线的综合问题 同步课时作业（含解析） 2025-2026学年北师大版（2019）高中数学选择性必修第一册

2.4.2直线与圆锥曲线的综合问题
同步课时作业
1.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )
A.有且仅有一条 B.有且仅有两条
C.有无穷多条 D.不存在
2.已知抛物线，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B（点A在x轴下方），点与点A关于x轴对称.若直线AB的斜率为1，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
3.倾斜角为的直线l与抛物线相切，分别与x轴、y轴交于A，B两点，则过A，B两点的最小圆截抛物线的准线所得的弦长为( )
A.4 B.2 C. D.
4.设抛物线的焦点为F，准线为l，P为拋物线上一点，，A为垂足，如果直线AF的倾斜角等于60°，那么等于( )
A. B. C. D.3
5.已知点是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程是( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线上三点，B，C，直线AB，AC是圆的两条切线，则直线BC的方程为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆的右焦点F是抛物线的焦点，过F作倾斜角为60°的直线交抛物线于A，B（A在x轴上方）两点，则的值为( )
A. B.2 C.3 D.4
8.已知双曲线C：的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则( )
A. B. C. D.
9.（多选）已知焦点在x轴上，离心率为的椭圆与双曲线具有相同的左、右焦点，且以线段为直径的圆恰好经过它们的公共点，则双曲线的方程不可能是( )
A. B. C. D.
10.（多选）设抛物线的焦点为F，直线l过点F且与C交于A，B两点.若，则直线l的方程为( )
A. B. C. D.
11.顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线所得弦长为，则抛物线方程为__________.
12.若抛物线的弦被点平分，则此弦所在直线的斜率为__________.
13.设点P是椭圆上的动点，F为椭圆C的右焦点，定点，则的取值范围是__________.
14.已知椭圆过点，离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求过点且斜率为的直线被椭圆C所截线段的中点的坐标.
15.已知椭圆的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，直线OM，ON的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由.
答案以及解析
1.答案：B
解析：过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，
若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不适合.
故设直线AB的斜率为k，则直线AB为
代入抛物线得，
A、B两点的横坐标之和等于5，
，，则这样的直线有且仅有两条，故选B.
2.答案：C
解析：抛物线的焦点，设，，则.因为直线AB的斜率为1，所以直线AB的方程为.
联立方程得，，则，.
直线的斜率，故直线的斜率为.故选C.
3.答案：B
解析：直线l的倾斜角为，直线l的斜率为-1，则设直线l的方程为.
由消去x整理得，，解得.
直线l的方程为，令，得；令，得，即，.
过A，B两点的最小圆即以AB为直径的圆，其圆心为，半径为，方程为.
又抛物线的准线方程为，过A，B两点的最小圆截抛物线的准线所得的弦长为.故选B.
4.答案：C
解析：在中，由抛物线的定义，可得.，.过P作于B，，，故选C.
5.答案：A
解析：设直线l与椭圆交于，两点，由得.
又，，
，解得.
因此直线l的方程为，
即，故选A.
6.答案：B
解析：设，，则直线BC的方程为，直线AC的方程为，直线AB的方程为.因为直线AC与圆相切，所以，化简得.同理，，则b，c是方程的两根，，.所以直线BC的方程为，即.
7.答案：C
解析：设，，由题意知，所以，，所以抛物线的方程为.过F且倾斜角为60°的直线的方程为，代入抛物线方程，得，解得，.
解法一 易得，，所以，故选C.
解法二 由抛物线的定义，得，，所以，故选C.
8.答案：D
解析：根据双曲线的离心率，得，即，即，所以，，所以双曲线的渐近线方程为，易知渐近线与圆相交.
通解：由得.设，，则，.所以，故选D.
优解：圆心到渐近线的距离，所以，故选D.
9.答案：ABC
解析：设椭圆的方程为，双曲线的方程为，焦距为是曲线与在第一象限内的公共点.连接，则，解得.由已知条件，得，所以.化简并整理，得，即(分别是曲线和的离心率).因为，所以，于是，则.选项A，B，C中的不满足该等式，故选ABC.
10.答案：CD
解析：由抛物线，得其焦点.由题意，设直线l的方程为，点，.联立消去y，得.则，，.根据抛物线的定义，得，.因为，所以，则，解得或（舍去）.所以，所以，解得，即直线l的方程为.故选CD.
11.答案：或
解析：设所求抛物线方程为，已知直线方程变形为，设抛物线截直线所得的弦长为，联立方程得消去y得，整理得，，得或.由一元二次方程根与系数的关系得，，所以，解得或，所以所求抛物线方程为或.
12.答案：1
解析：设过点A的弦的端点为，.
由题意知直线MN的斜率存在，则两式作差可得，因此直线MN的斜率为.
13.答案：
解析：如图，设是椭圆的左焦点，连接，，则，
.
，
，
.
的取值范围是.
14.答案：（1）
（2）
解析：（1）将点的坐标代入椭圆C的方程得，.
由，得，即，
，圆C的方程为.
（2）过点且斜率为的直线方程为.
设直线与椭圆C的交点为，，
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，
消去y得，即，则，
，，
则所截线段的中点坐标为.
15.答案：（1）
（2）的面积为定值
解析：（1）因为椭圆过点，所以，
又，，联立解得，，，
所以椭圆C的方程为.
（2）设，，，
联立得，
，
所以
则
，
所以，满足.
所以
，
又原点到直线的距离，
所以，
所以的面积为定值.