进阶训练(九) 球的切、接、截问题
1．B [设内切球的半径为r(r＞0)，由球的表面积为S＝4πr2＝16π，
得r2＝4，所以r＝2，又球内切于正方体，
所以正方体的棱长等于球的直径，则a＝2r＝4．故选B．]
2．D [球的表面积为4πR2＝20π，可得其半径为R＝，
圆柱的底面半径为r＝1，在轴截面中，可知圆柱的高为h＝2＝4，
所以圆柱的体积为πr2h＝4π．故选D．]
3．C [如图所示，由条件△ABC为直角三角形，则斜边AB的中点O1为△ABC的外接圆的圆心，
连接OO1得OO1⊥平面ABC，OO1＝＝，
∵OO1∥PA，PA＝2OO1＝5，∴PA⊥平面ABC，
∴三棱锥的体积为×3×4×5＝10．故选C．]
4．A [设△ABC外接圆的半径为r，因为AB＝AC＝1，BC＝，
由余弦定理可得，cos A＝＝－，
因为0°
由正弦定理可得，2r＝＝2，即r＝1，
因为直三棱柱ABC-A1B1C1的各个顶点都在球O的球面上，球O的体积为π＝，
即球的半径R＝2，
由直三棱柱和球的性质可知，R2＝r2＋，即4＝1＋，
所以AA1＝2，故该三棱柱的体积V＝×1×1××2＝．故选A．]
5．D [设圆锥的高为h，又圆锥的底面半径为1，体积为π，
∴×π×12×h＝π，
∴h＝2，∴圆锥的母线长为＝3．
设圆锥内切球的半径为r，则圆锥内切球的半径即为圆锥的轴截面的内切圆的半径，
根据等面积法可得：×2×2＝×(3＋3＋2)×r，∴r＝，
∴该圆锥内切球的体积为πr3＝π×＝π．故选D．]
6．A [如图，取CD的中点E，连接AE，BE，
∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为2的等边三角形，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，
令△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，
O为外接球的球心，由BE＝3，BG＝2，
得球O的半径R＝＝，
故球O的表面积为4πR2＝25π．
故选A．]
7． [令球半径为R，则R3＝36π，解得R＝3 cm，
所以截面圆的半径r＝＝(cm)．]
8．36π [依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为3＝6，高为＝3，
因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，故体积为36π．]
9．20π [不妨设AB＝AC＝，BC＝3，
由余弦定理可得cos A＝
＝＝－，
由A∈(0，π)，则A＝，
所以△ABC的外接圆半径r＝＝，
可得该三棱柱的外接球的半径
R＝＝，
所以该三棱柱的外接球的表面积为S＝4πR2＝20π．]
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1．(2024·白银靖远县校级期末)若棱长为a的正方体的内切球的表面积为16π，则a＝( )
[A] 2 [B] 4
[C] [D] 2
2．(2025·西安莲湖区模拟)已知圆柱的底面直径为2，它的两个底面的圆周都在同一个表面积为20π的球面上，该圆柱的体积为( )
[A] 8π [B] 6π
[C] 5π [D] 4π
3．(2024·南宁良庆区期末)已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，AB＝5，AC＝3，BC＝4，PB为球O的直径，PB＝10，则这个三棱锥的体积为( )
[A] 30 [B] 15
[C] 10 [D] 5
4．(2024·泉州鲤城区期末)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各个顶点都在球O的球面上，且AB＝AC＝1，BC＝，球O的体积为π，则该三棱柱的体积为( )
[A] [B] 1
[C] [D] 3
5．(2025·吉林模拟)已知圆锥的底面半径为1，体积为π，则该圆锥内切球的体积为( )
[A] π [B] π
[C] π [D] π
6．(2024·白银靖远县期末)在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC＝BD＝2，∠BCD＝60°．若AB＝3，A，B，C，D四点都在球O的表面上，则球O的表面积为( )
[A] 25π [B] 36π
[C] 12π [D] 24π
7．(2024·张家口尚义县月考)球的体积为36π cm3，用一个平面截球，若球心到截面的距离为2 cm，则截面圆的半径为_________cm．
8．(2025·温州模拟)侧棱和底面边长都是3的正四棱锥的各顶点都在以O为球心的球面上，则其外接球的体积为________．
9．(2024·锡林郭勒盟期末)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长分别为，3，高AA1＝2，则该三棱柱的外接球的表面积为________．
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