三角函数中ω的范围问题
题型一 三角函数的单调性与ω的关系
[典例1] 已知函数f(x)＝sin(ω＞0)在上单调递减，则ω的取值范围为( )
A．(0,1] B．[1,2]
C． D．
C [设函数f(x)的最小正周期为T，由题意得≥π－，即T≥π.
又T＝，所以解得0＜ω≤2.
又x∈，所以ωx＋∈，所以＜ω＋≤.
要使函数f(x)在上单调递减，则解得≤ω≤.故选C．]
根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f(x)的单调递减区间，从而建立关于ω的不等式组，求得ω的取值范围．
[跟进训练]
1．若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx－1在[0,2π]上恰有5个零点，且在上单调递增，则正实数ω的取值范围为__________.
[依题意，函数f(x)＝2sin－1，由f(x)＝0，得sin＝，
则ωx＋＝2kπ＋或ωx＋＝2kπ＋，k∈Z.
由x∈[0,2π]，得ωx＋∈，由f(x)在[0,2π]上恰有5个零点，
得≤2πω＋<，解得≤ω<.
由－≤ωx＋≤，得－≤x≤，即函数f(x)在上单调递增，
因此 ，即－≤－，且≥，解得0<ω≤，所以≤ω≤.
所以正实数ω的取值范围为.]
题型二 三角函数图象的对称性与ω的关系
[典例2] (2025·青岛模拟)若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的图象在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则ω的取值范围为( )
A．(5,8) B．(5,8]
C．(5,11] D．[5,11)
B [由题意，函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin，因为x∈，可得＜ωx＋＜(1＋ω)，要使得函数f(x)的图象在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则满足π＜(1＋ω)≤，解得5＜ω≤8，所以ω的取值范围为(5,8]．]
解决此类问题的关键在于弄清周期T＝与所给区间的关系，建立关于ω的不等式组，进而求出ω的取值范围．
[跟进训练]
2．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)，若直线x＝是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴，点是函数y＝f(x)的图象的一个对称中心，则ω的最小值为________.
[根据题意可得ω×＋φ＝＋k1π，ω×＋φ＝k2π，k1，k2∈Z，
两式相减得ωπ＝＋(k1－k2)π＝＋kπ，k∈Z，
又ω＞0，故ωmin＝.]
题型三 三角函数的最值与ω的关系
[典例3] 已知函数f(x)＝sin(ω＞0)在区间上单调递增，且f(x)在区间上只取得一次最大值，则ω的取值范围为( )
A． B．
C． D．
B [由于函数f(x)＝sin(ω＞0)在上单调递增，x∈，ωx＋∈，
－ω＋≥－且ω＋≤，
解得ω≤且ω≤，所以0＜ω≤.
又因为f(x)在区间上只取得一次最大值，
即x∈时，ωx＋∈.
所以≤ω＋＜，解得≤ω＜.
综上，ω的取值范围是.
故选B.]
利用三角函数的最值、极值与区间的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的取值范围．
[跟进训练]
3．若函数f(x)＝sin(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是________.
∪ [由f(x)在区间(π，2π)内没有最值，知f(x)在区间(π，2π)上单调．由x∈(π，2π)可得ωx＋∈.当f(x)在区间(π，2π)上单调递增时，可得－＋2kπ≤ωπ＋<2ωπ＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋2k≤ω≤＋k，k∈Z，当k≠0时，无解，令k＝0，得－≤ω≤，又ω>0，故0<ω≤；当f(x)在区间(π，2π)上单调递减时，可得＋2kπ≤ωπ＋<2ωπ＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋2k≤ω≤＋k，k∈Z，当k≠0时，无解，令k＝0，得≤ω≤.
综上，ω∈∪.]
题型四 三角函数的零点与ω的关系
[典例4] (2025·济南调研)已知函数f(x)＝sin πωx－cos πωx(ω＞0)在[0,1]内恰有3个最值点和4个零点，则实数ω的取值范围是________.
[因为f(x)＝sin πωx－cos πωx＝2sin(ω＞0)，
且当0≤x≤1时，－≤πωx－≤πω－，
又函数f(x)在[0,1]内恰有3个最值点和4个零点，
所以3π≤πω－＜，解得≤ω＜.]
三角函数相邻两个零点之间的“水平间隔”为，根据三角函数的零点个数，可以研究ω的取值范围．
[跟进训练]
4．(多选)已知函数f(x)＝cos(ω＞0)，则下列说法正确的是( )
A．若f(x)＝f(π－x)，则ω的最小值为
B．若将f(x)的图象向右平移个单位长度得到的图象对应的函数是奇函数，则ω的最小值为
C．若f(x)在上单调递减，则0＜ω≤
D．若f(x)在上只有1个零点，则0＜ω＜
ABC [对于A，由f(x)＝f(π－x)，可得f(x)的图象关于直线x＝对称，
所以ω·＋＝kπ，k∈Z，可得ω＝2k－，k∈Z，
因为ω＞0，所以ω的最小值为，故A正确；
对于B，将f(x)的图象向右平移个单位长度得到的图象对应的函数是g(x)＝cos＝cos，因为g(x)为奇函数，
所以－ω＋＝＋kπ，k∈Z，则ω＝－－2k，k∈Z，所以ω的最小值为，故B正确；
对于C，函数f(x)＝cos(ω＞0)的单调递减区间为2kπ≤ωx＋≤π＋2kπ，k∈Z，则
－≤x≤＋，k∈Z，
令k＝0，－≤x≤，则≥π 0＜ω≤，故C正确；
对于D，若f(x)在上只有1个零点，则0＜ω＜，取ω＝1，令f(x)＝cos＝0，则x＋＝＋kπ，k∈Z，
则x＝＋kπ，k∈Z，所以当x∈时，f(x)无零点，故D错误．故选ABC．]
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第四章 三角函数与解三角形
高考培优4 三角函数中ω的范围问题
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题型一 三角函数的单调性与ω的关系
根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f(x)的单调递减区间，从而建立关于ω的不等式组，求得ω的取值范围．
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题型二 三角函数图象的对称性与ω的关系
A．(5,8) B．(5,8]
C．(5,11] D．[5,11)
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题型三 三角函数的最值与ω的关系
利用三角函数的最值、极值与区间的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的取值范围．
题型四 三角函数的零点与ω的关系
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2门世2有
3厚
