指数式、对数式、幂式的大小比较
题型一 临界值法比较大小
[典例1] (1)(2024·天津高考)若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
(2)已知a＝log52，b＝，c＝0.70.3，则a，b，c的大小关系为( )
A．a
C．b(1)B (2)A [(1)因为y＝4.2x在R上单调递增，且－0.3<0<0.3，
所以0<4.2－0.3<1<4.20.3，即0因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上单调递增，且0<0.2<1，
所以log4.20.2所以b>a>c.
故选B.
(2)因为log51因为b＝＝log0.70.1>log0.70.7＝1，
所以b>1.因为0.71<0.70.3<0.70，
所以0.7 临界值法比较大小的关键是寻找合适的中间值，如常考虑a，b，c与特殊数字“0”“1”“”的大小关系．
[跟进训练]
1．(1)(2025·菏泽模拟)若a＝2.1，b＝－1，c＝log23，则下列关系正确的是( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
(2)已知a＝，b＝，c＝－1.1，则( )
A．aC．c(1)A (2)B [(1)因为2.1＜0＝1，log23＝log2＞log2＝＞1，
所以a＜b＜c.故选A．
(2)根据换底公式log32＝，log52＝.
因为log25>log23>1，
所以0故1<<<2.
又c＝－1.1＝21.1>21＝2，
所以b题型二 特值法、设元法比较大小
[典例2] 设x，y，z为正实数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．3y＜2x＜5z B．2x＜3y＜5z
C．3y＜5z＜2x D．5z＜2x＜3y
A [法一(特值法)：取z＝1，则由2x＝3y＝5得x＝log25，y＝log35，所以2x＝log225＜log232＝5z,3y＝log3125＜log3243＝5z，所以5z最大．取y＝1，则由2x＝3得x＝log23，所以2x＝log29＞3y.综上可得，3y＜2x＜5z.故选A．
法二(设元法)：设2x＝3y＝5z＝k，则x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，所以＝logk2，＝logk3，＝logk5.又易知k＞1,5＜2＜3，所以logk5＜logk2＜logk3，即0＜＜＜，所以3y＜2x＜5z.故选A．]
本题利用特值法求解，显得简洁、明了；利用设元法求解，关键在于转化为比较，，的大小，其优点是便于运用对数函数的单调性．
[跟进训练]
2．(多选)设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＞0，则，，的大小关系可能是( )
A．＜＜ B．＜＜
C．＝＝ D．＜＜
ACD [法一(特值法)：取x＝2，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝3，z＝5，此时易知＝＝，选项C正确；取x＝4，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝9，z＝25，此时易知＜＜，选项A正确；取x＝，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝，z＝，此时易知＜＜，选项D正确．
法二(设元法)：设log2x＝log3y＝log5z＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k，所以＝2k－1，＝3k－1，＝5k－1.又易知k＞0，若k＝1，则＝1，＝1，＝1，所以＝＝，所以选项C有可能正确；若0＜k＜1，则根据函数f(t)＝tk－1在(0，＋∞)上单调递减可得2k－1＞3k－1＞5k－1，所以＜＜，所以选项D有可能正确；若k＞1，则根据函数f(t)＝tk－1在(0，＋∞)上单调递增可得2k－1＜3k－1＜5k－1，所以＜＜，所以选项A有可能正确．]
题型三 构造函数法比较大小
[典例3] (1)(2025·威海模拟)已知a＝3ln 2π，b＝2ln 3π，c＝3ln π2，则下列选项正确的是( )
A．a＞b＞c B．c＞a＞b
C．c＞b＞a D．b＞c＞a
(2)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则( )
A．a>2b B．a<2b
C．a>b2 D．a(1)D (2)B [(1)＝，＝，＝，因为6π＞0，所以a，b，c的大小比较可以转化为，，的大小比较．
设f(x)＝，则f′(x)＝，当x＝e时，f′(x)＝0，当x＞e时，f′(x)＜0，当0＜x＜e时，f′(x)＞0，所以f(x)在(e，＋∞)上单调递减．因为e＜3＜π＜4，所以＞＞＝，所以b＞c＞a.故选D.
(2)令f(x)＝2x＋log2x，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增．又2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b<22b＋log2(2b)，所以f(a) 破解此类问题的关键是发现题眼、构造函数，如(1)的题眼是“对a，b，c同除以6π”，进而从，，中发现共性函数f(x)＝.
[跟进训练]
3．(1)若2x－2y＜3－x－3－y，则( )
A．ln(y－x＋1)＞0 B．ln(y－x＋1)＜0
C．ln|x－y|＞0 D．ln|x－y|＜0
(2)已知x＝x，logy＝，x＝logxz，则( )
A．x＜y＜z B．y＜x＜z
C．z＜x＜y D．z＜y＜x
(1)A (2)B [(1)由2x－2y<3－x－3－y，得2x－3－x<2y－3－y，即2x－x<2y－y.设f(x)＝2x－x，则f(x)0，所以y－x＋1>1，所以ln(y－x＋1)>0.故选A．
(2)令f(x)＝x－x，则f(x)在R上单调递增，由f(1)＞0，f＜0，则存在x∈，使得f(x)＝0，即x＝x，而logy＝ y＝，因为x＜，所以x－y＝x－＞0 x＞y.x＝logxz z＝xx＞x＝x.
综上，y＜x＜z.故选B.]
题型四 数形结合法比较大小
[典例4] (1)设x1，x2，x3均为实数，且e－x1＝ln x1，e－x2＝ln(x2＋1)，e－x3＝lg x3，则( )
A．x1C．x2(2)已知x，r，z均为大于0的实数，且2x＝3r＝log5z，则x，r，z的大小关系正确的是( )
A．x>r>z B．x>z>r
C．z>x>r D．z>r>x
(1)D (2)C [(1)画出函数y＝x，y＝ln x，y＝ln(x＋1)，y＝lg x的图象，如图所示，
由图象可知x2(2)因为x，r，z均为大于0的实数，
所以令2x＝3r＝log5z＝t＞1，进而将问题转化为函数y＝2x，y＝3x，y＝log5x的图象与直线y＝t(t＞1)的交点的横坐标x1，x2，x3的大小关系，故作出各函数图象，如图，由图可知x3＞x1＞x2，即z＞x＞r.故选C．
]
本例(1)(2)均属于方程根的问题，求解的关键是等价转化为相应函数图象的交点问题，如本例(2)将问题转化为函数y＝2x，y＝3x，y＝log5x的图象与直线y＝t(t>1)的交点的横坐标的大小关系，再作出图象，数形结合求解即可．
[跟进训练]
4．(多选)下列大小关系正确的是( )
A．1.92<21.9 B．22.9<2.92
C．< D．log74ABD [作出y＝2x和y＝x2的图象，如图所示．由图象可得，当x∈(0,2)时，2x>x2，
当x∈(2,4)时，x2>2x,1.92<21.9,22.9<2.92，故A，B正确．
令f(x)＝，则f(x)＝1＋，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以>，故C错误．
log74－log127＝log74－＝<＝<0，所以log7421世纪教育网(www.21cnjy.com)(共27张PPT)
第二章 函数的概念与性质
高考培优1 指数式、对数式、幂式的大小比较
√
题型一 临界值法比较大小
[典例1] (1)(2024·天津高考)若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
A．aC．b√
(1)B (2)A [(1)因为y＝4.2x在R上单调递增，且－0.3<0<0.3，
所以0<4.2－0.3<1<4.20.3，即0因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上单调递增，且0<0.2<1，
所以log4.20.2所以b>a>c.
故选B.
所以b>1.因为0.71<0.70.3<0.70，
所以0.7√
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
A．aC．c√
√
题型二 特值法、设元法比较大小
[典例2] 设x，y，z为正实数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．3y＜2x＜5z B．2x＜3y＜5z
C．3y＜5z＜2x D．5z＜2x＜3y
A [法一(特值法)：取z＝1，则由2x＝3y＝5得x＝log25，y＝log35，所以2x＝log225＜log232＝5z,3y＝log3125＜log3243＝5z，所以5z最大．取y＝1，则由2x＝3得x＝log23，所以2x＝log29＞3y.综上可得，3y＜2x＜5z.故选A．
√
√
√
√
题型三 构造函数法比较大小
[典例3] (1)(2025·威海模拟)已知a＝3ln 2π，b＝2ln 3π，c＝3ln π2，则下列选项正确的是( )
A．a＞b＞c B．c＞a＞b
C．c＞b＞a D．b＞c＞a
(2)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则( )
A．a>2b B．a<2b
C．a>b2 D．a√
(2)令f(x)＝2x＋log2x，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增．又2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b<22b＋log2(2b)，所以f(a)√
[跟进训练]
3．(1)若2x－2y＜3－x－3－y，则( )
A．ln(y－x＋1)＞0 B．ln(y－x＋1)＜0
C．ln|x－y|＞0 D．ln|x－y|＜0
A．x＜y＜z B．y＜x＜z
C．z＜x＜y D．z＜y＜x
√
题型四 数形结合法比较大小
[典例4] (1)设x1，x2，x3均为实数，且e－x1＝ln x1，e－x2＝ln(x2＋1)，e－x3＝lg x3，则( )
A．x1C．x2(2)已知x，r，z均为大于0的实数，且2x＝3r＝log5z，则x，r，z的大小关系正确的是( )
A．x>r>z B．x>z>r
C．z>x>r D．z>r>x
√
√
(2)因为x，r，z均为大于0的实数，
所以令2x＝3r＝log5z＝t＞1，进而将问题转化为函数y＝2x，y＝3x，y＝log5x的图象与直线y＝t(t＞1)的交点的横坐标x1，x2，x3的大小关系，故作出各函数图象，如图，由图可知x3＞x1＞x2，即z＞x＞r.故选C．
本例(1)(2)均属于方程根的问题，求解的关键是等价转化为相应函数图象的交点问题，如本例(2)将问题转化为函数y＝2x，y＝3x，y＝log5x的图象与直线y＝t(t>1)的交点的横坐标的大小关系，再作出图象，数形结合求解即可．
√
[跟进训练]
4．(多选)下列大小关系正确的是( )
A．1.92<21.9
B．22.9<2.92
√
√
ABD [作出y＝2x和y＝x2的图象，如图所示．由图象可得，当x∈(0,2)时，2x>x2，
当x∈(2,4)时，x2>2x,1.92<21.9,22.9<2.92，故A，B正确．