(共28张PPT)
第一章 勾股定理
1.3勾股定理的应用
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
巩固训练
05
课堂小结
06
作业设计
01
教学目标
能从实际问题中抽象出直角三角形模型，运用勾股定理列方程求解。
01
经历 “情境抽象 — 图形构建 — 代数求解” 的应用过程，体会转化思想与方程建模的逻辑。
02
通过解决装修检测、几何体展开等问题，提升从复杂情境中提取数学信息的能力。
03
感受勾股定理在古代数学与现代生活中的应用价值，增强文化自信与数学应用意识。
04
02
新知导入
回顾引入
1.勾股定理的内容是什么
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.
2.勾股定理逆定理的内容是什么
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
02
新知导入
勾股定理可以用于已知两边求第三边.
勾股定理逆定理可以用于判定一个三角形是否直角三角形.
3.勾股定理及其逆定理的作用是什么？
03
新知探究
装修工人李叔叔想检测某块装修用砖(如图1-16)的边AD和边BC是否分别垂直于边AB。
(1)如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？
能.
若卷尺足够长，则只要量得AD,BC,AB,BD,AC 的长，然后验证AD2+AB2是否等于BD2及BC2+AB2是否等于AC2即可.
03
新知探究
(2)李叔叔测得边AD长30cm，边AB长40cm，点B，D之间的距离是50cm。边AD垂直于边AB吗？
边AD垂直于边AB.
因为AD2+AB2=302+402=2 500，BD2=502=2 500，
所以AD2+AB2= BD2，
所以△ABD 为直角三角形，且∠A=90°，
所以AD⊥AB.
03
新知探究
(3)如果李叔叔随身只带了一个长度为20cm的刻度尺，那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗？
他能检验边AD是否垂直于边AB.
如在边AB，AD上各量出一段较短的线段AB’，AD’的长度，连接B’D’，再量出线段B’D’的长度，
若B’D’2=AB’2+AD’2，则边AD垂直于边AB；
否则，边AD不垂直于边 AB.
同样的方法可检验边BC是否垂直于边AB.
03
新知探究
如图1-17，正方形纸片ABCD的边长为8cm，点E是边AD的中点，将这张正方形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G，交边CD于点F。你能求出DF的长吗？
分析
仔细审题，根据折叠的性质得,,点为的中点，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可.
03
新知探究
解析
解：设，则.
因为点是的中点，
所以.
在中，由勾股定理，
得，
即，解得，
所以的长为.
03
新知探究
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
(1)读懂题意，分析已知、未知间的关系；
(2)构造直角三角形；
(3)利用勾股定理等列方程；
(4)解决实际问题.
概括
04
例题讲解
今有池方一丈，生其中央，出水一尺。引赴岸，适与岸齐。
问：水深、长各几何？(选自《九章算术》)
题目大意：有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺(如图1-18)。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面。这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
例1
分析
仔细审题,将实际问题转化为数学问题，构建直角三角形模型，设未知数，列方程求解.
04
例题讲解
解析
解：设水池的深度为尺，则芦苇的长度为尺。由于芦苇位于水池中央，所以为尺。在中，由勾股定理，可得
即
。
解得
。
因此，水池的深度是尺，芦苇的长度是尺。
04
例题讲解
分析
根据题意，求立体图形上最短路程，将立体图形展开成平面图形，依据"两点之间，线段最短"，构建直角三角形利用勾股定理解决.
如图，有一底面周长为24dm，高为6dm的圆柱，在圆柱上底面的B点有一只蜗牛，要从B点爬到距底面1dm的A处，请计算蜗牛的最短路程.
例2
解析
解：如图为圆柱的侧面展开图，由题意知，
由勾股定理得：
故.
故蜗牛的最短路程为13dm.
04
例题讲解
04
新知讲解
解决立体图形上的最短距离问题的主要方法是：将立体图形转化为平面图形，利用勾股定理解决；
主要依据是：两点之间，线段最短．
方法总结
05
巩固训练
1.如图，一根直立于水中的芦苇BD高出水面1米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且点C到BD的距离AC=3米，则芦苇BD的长度为 米．
5
2.如图，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是 .
3.一消防队员要爬上高12米的建筑物，进行灭火抢险，为安全起见，梯子底端距建筑物至少5米，若梯子顶端恰好到达建筑物顶端，则梯子的长至少为( )
A.12米 B.7米 C.17米 D.13米
05
巩固训练
D
4.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面米处折断，树尖恰好碰到地面，经测量米，则树高为( )
A.米 B. C.米 D.米
C
05
巩固训练
5.为了丰富少年儿童的业余生活，某社区计划建一座图书馆，地址计划选在如图所示的线段上，该社区有两所学校分别在点和点处，于，于已知，，，试问：图书馆应该建在距点多少处，才能使它到两所学校的距离相等？
解：设，则，
在中，由勾股定理得：；
在中，由勾股定理得：；
若，则，
解得：．
答：图书室应该建在距点处，才能使它到两所学校的距离相等
05
课堂小结
通过本节课的学习你收获了什么？
知识:勾股定理的应用:将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，求线段长，可结合方程.
勾股定理的逆定理的应用：判断一个三角形是否为直角三角形.
方法:利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
(1)读懂题意，分析已知、未知间的关系；
(2)构造直角三角形；
(3)利用勾股定理等列方程；
(4)解决实际问题.
思想:模型思想，数形结合思想，转化思想，方程思想
1.如图，从电线杆离地8m 的A处向地面B处拉一条长17m的缆绳，则B处到电线杆底部C处的距离为( )
A． B． C． D．
06
作业设计
基础达标：
C
C
2.如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，则木杆折断之前的高度是( )
A．4m B．5m C．8m D．9m
3.一般轮船A以16海里/时的速度从港口P出发向东北方向航行，同时轮船B以30海里时的速度从港口P出发向东南方向航行，2小时后，两船相距 海里．
06
作业设计
68
基础达标：
4.圆柱的底面圆的周长是12，高是8，蚂蚁从下底面的点沿侧面爬到点，最短路径的长是 .
10
6.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为( )
A.2m B. C. D.
5.如图所示，将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是( )
A. B.
C. D.
06
作业设计
能力提升：
D
D
8.如图，在四边形中，对角线分别为，，且于点，若，，则 .
7.如图，供给船要给C岛运送物资，从海岸线AB的港口A出发向北偏东40°方向直线航行60nmile到达C岛.测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向.若A，B两港口之间的距离为65nmile，则C岛到港口B的距离是 nmile.
06
作业设计
能力提升：
40
25
06
作业设计
9.“村村通”是我国的一项重要民生工程，如图，、、三个村都分别修建了一条互通的公路，其中，现要在公路边修建一个景点，(、、在同一直线上)，为方便村村民到达景点，又修建了一条公路，测得：，，.
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求公路的长.
迁移拓展：
06
作业设计
(1)解： 是直角三角形，
理由如下：在中，
∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形且；
(2)设，则，
在中，
由勾股定理得 ，
即，解得，
答：公路的长为.
Thanks!
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分课时学案
课题 1.3勾股定理的应用 单元 第一单元 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.能从实际问题中抽象出直角三角形模型，运用勾股定理列方程求解。 2.经历 “情境抽象 — 图形构建 — 代数求解” 的应用过程，体会转化思想与方程建模的逻辑。 3.通过解决装修检测、几何体展开等问题，提升从复杂情境中提取数学信息的能力。 4.感受勾股定理在古代数学与现代生活中的应用价值，增强文化自信与数学应用意识。
重点 1.运用勾股定理解决实际问题的基本步骤（建模→设元→列方程→求解）。 2.典型问题模型的构建。
难点 将实际问题转化为直角三角形模型，尤其是隐含直角条件的挖掘.
教学过程
导入新课 【回顾引入】 1.勾股定理的内容是什么？ 2.勾股定理逆定理的内容是什么？ 3.勾股定理及其逆定理的作用是什么？
新知讲解 探究活动一： 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖（如图1-16）的边AD和边BC是否分别垂直于边AB。 （1）如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？ （2）李叔叔测得边AD长30cm，边AB长40cm，点B，D之间的距离是50cm。边AD垂直于边AB吗？ （3）如果李叔叔随身只带了一个长度为20cm的刻度尺，那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗？ 尝试思考： 如图1-17，正方形纸片ABCD的边长为8cm，点E是边AD的中点，将这张正方形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G，交边CD于点F。你能求出DF的长吗？ 典例精讲 例1：今有池方一丈，生其中央，出水一尺。引赴岸，适与岸齐。问：水深、长各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺（如图1-18）。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面。这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 总结归纳： 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： 例2. 如图，有一底面周长为24 dm，高为6 dm的圆柱，在圆柱上底面的B点有一只蜗牛，要从B点爬到距底面1 dm的A处，请计算蜗牛的最短路程. 总结归纳： 解决立体图形上的最短距离问题的主要方法是： 依据为：
课堂练习 巩固训练 1.如图，一根直立于水中的芦苇高出水面米，一阵风吹来，芦苇的顶端恰好到达水面的处，且点到的距离米，则芦苇的长度为 米． 2.如图，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是 3.一消防队员要爬上高米的建筑物，进行灭火抢险，为安全起见，梯子底端距建筑物至少米，若梯子顶端恰好到达建筑物顶端，则梯子的长至少为( ) A.米 B.米 C.米D.米 4.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面米处折断，树尖恰好碰到地面，经测量米，则树高为( ) A.米 B. C.米 D.米 5.为了丰富少年儿童的业余生活，某社区计划建一座图书馆，地址计划选在如图所示的线段上，该社区有两所学校分别在点和点处，于，于已知，，，试问：图书馆应该建在距点多少处，才能使它到两所学校的距离相等？
作业布置 基础达标： 1．如图，从电线杆离地的处向地面处拉一条长的缆绳，则处到电线杆底部处的距离为（ ） A． B． C． D． 2．如图，一木杆在离地面处折断，木杆顶端落在离木杆底端处，则木杆折断之前的高度是（ ） A． B． C． D． 3．一般轮船A以16海里/时的速度从港口P出发向东北方向航行，同时轮船B以30海里时的速度从港口P出发向东南方向航行，2小时后，两船相距 海里． 4．圆柱的底面圆的周长是12，高是8，蚂蚁从下底面的点沿侧面爬到点，最短路径的长是 . 能力提升： 5．如图所示，将一根的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度，则h的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（ ） A．2m B． C． D． 7．如图，供给船要给C岛运送物资，从海岸线AB的港口A出发向北偏东40°方向直线航行60nmile到达C岛．测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向．若A，B两港口之间的距离为65nmile，则C岛到港口B的距离是 nmile． 8．如图，在四边形中，对角线分别为，，且于点，若，，则 ． 拓展迁移 9．“村村通”是我国的一项重要民生工程，如图，、、三个村都分别修建了一条互通的公路，其中，现要在公路边修建一个景点，（、、在同一直线上），为方便村村民到达景点，又修建了一条公路，测得：，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求公路的长．
参考答案：
例题精讲：
例1：解：设水池的深度OA为x尺，则芦苇的长度OB为(r+1)尺。由于芦苇位于水池中央，所以AC为5尺。在Rt△OAC中，由勾股定理，可得
AC2+QA2=OC2
即
52+x2=(x+1)2。
解得x=12
12+1=13。
因此，水池的深度是12尺，芦苇的长度是13尺。
例2：解：如图，圆柱的侧面展开图，由题意知，
由勾股定理得：
所以.
故蜗牛的最短路程为.
课堂练习：
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】解：设，则，
在中，由勾股定理得：；
在中，由勾股定理得：；
若，则，
解得：．
答：图书室应该建在距点处，才能使它到两所学校的距离相等
作业布置：
1． ．
2． C．
3． ．
4． 10．
5． D．
6． D．
7． 25．
8． 40．
9．（1）解： 是直角三角形，
理由如下：在中，
∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形且；
（2）设，则，
在中，
由勾股定理得 ，
即，解得，
答：公路的长为．
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1.3勾股定理的应用教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 一单元
课题 1.3勾股定理的应用 课时 1
课标要求 依据 2022 新课标，本节课需引导学生运用勾股定理解决实际问题，发展数学建模与直观想象素养，体会定理在跨学科情境中的应用价值，强化 “用数学” 的意识。
教材分析 本节是勾股定理的应用专题，教材通过 “装修检测垂直”“正方形折叠”“《九章算术》葭生池中” 等经典案例，构建 “实际问题→几何建模→方程求解” 的应用链条。内容既衔接定理与逆定理的知识基础，又通过立体图形展开渗透转化思想，为中考几何应用题及函数建模奠定基础。
学情分析 学生已掌握勾股定理的理论知识，但在 “实际问题数学化” 过程中存在三重困难：①几何图形的抽象；②跨学科情境的转化；③方程思想的应用。需通过分步拆解模型突破思维瓶颈。
教学目标 1.能从实际问题中抽象出直角三角形模型，运用勾股定理列方程求解。 2.经历 “情境抽象 — 图形构建 — 代数求解” 的应用过程，体会转化思想与方程建模的逻辑。 3.通过解决装修检测、几何体展开等问题，提升从复杂情境中提取数学信息的能力。 4.感受勾股定理在古代数学与现代生活中的应用价值，增强文化自信与数学应用意识。
教学重点 1.运用勾股定理解决实际问题的基本步骤(建模→设元→列方程→求解)。 2.典型问题模型的构建。
教学难点 将实际问题转化为直角三角形模型，尤其是隐含直角条件的挖掘.
教法与学法分析 教法：采用 “案例链式教学法”，以 “装修检测→纸片折叠→古代算题” 为主线，通过问题串引导建模，结合几何画板动态演示折叠过程。 学法：小组合作完成 “卷尺测垂直” 模拟实验，绘制 “实际问题→数学模型” 转化流程图，强化建模步骤的可视化表达。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 回顾引入 1.勾股定理的内容是什么 勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2. 2.勾股定理逆定理的内容是什么 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 3.勾股定理及其逆定理的作用是什么？ 勾股定理可以用于已知两边求第三边. 勾股定理逆定理可以用于判定一个三角形是否直角三角形. 以问题形式回顾旧知，引入新课 思考问题 复习旧知，引入新课
探究活动一： 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖(如图1-16)的边AD和边BC是否分别垂直于边AB。 (1)如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？ (1)能.若卷尺足够长，则只要量得AD，BC，AB，BD，AC 的长，然后验证 AD2+AB2是否等于BD2及BC2+AB2是否等于AC2即可. (2)李叔叔测得边AD长30cm，边AB长40cm，点B，D之间的距离是50cm。边AD垂直于边AB吗？ (2)边AD垂直于边AB.
因为AD2+AB2=302+402=2 500，BD2=502=2 500，
所以AD2+AB2= BD2，
所以△ABD 为直角三角形，且∠A=90°，
所以AD⊥AB. (3)如果李叔叔随身只带了一个长度为20cm的刻度尺，那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗？ (3)他能检验边AD是否垂直于边AB.
如在边AB，AD上各量出一段较短的线段AB’，AD’的长度，连接B’D’，再量出线段B’D’的长度，
若B’D’2=AB’2+AD’2，则边AD垂直于边AB；
否则，边AD不垂直于边 AB. 同样的方法可检验边BC是否垂直于边AB. 根据实际问题，引发学生思考 联系实际，思考问题 唤起学生的好奇心和求知欲，激发学生对勾股定理及其逆定理应用的兴趣，从而自然的引入新课。
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二： 尝试思考： 如图1-17，正方形纸片ABCD的边长为8cm，点E是边AD的中点，将这张正方形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G，交边CD于点F。你能求出DF的长吗？ 解：设DF=x cm，则EF=FC=DC-DF=(8-x)cm. 因为点E是AD的中点，所以DE=1/2AD=4 cm. 在Rt△DEF中，由勾股定理，得DE2 +DF2 =EF2，即42 +x2 =(8-x)2，解得x=3， 所以DF的长为3 cm. 方法总结： 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： (1)读懂题意，分析已知、未知间的关系； (2)构造直角三角形； (3)利用勾股定理等列方程； (4)解决实际问题. 引导学生用勾股定理结合方程思想解决正方形折叠问题 认真思考，小组合作探究 引导学生用勾股定理结合方程思想解决正方形折叠问题，进一步提高学生的应用意识.
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三： 例题精讲： 例1：今有池方一丈，生其中央，出水一尺。引赴岸，适与岸齐。问：水深、长各几何？(选自《九章算术》) 题目大意：有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺(如图1-18)。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面。这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 解：设水池的深度OA为x尺，则芦苇的长度OB为(x+1)尺。由于芦苇位于水池中央，所以AC为5尺。在Rt△OAC中，由勾股定理，可得 AC2+QA2=OC2 即 52+x2=(x+1)2。 解得x=12 12+1=13。 因此，水池的深度是12尺，芦苇的长度是13尺。 例2. 如图，有一底面周长为24 dm，高为6 dm的圆柱，在圆柱上底面的B点有一只蜗牛，要从B点爬到距底面1 dm的A处，请计算蜗牛的最短路程. 解：如图，圆柱的侧面展开图，由题意知， 由勾股定理得： 所以. 故蜗牛的最短路程为. 方法总结： 解决立体图形上的最短距离问题的主要方法是：将立体图形转化为平面图形； 主要依据是：两点之间，线段最短. 引导学生用勾股定理解决古典问题，建立数学模型. 学生积极思考，小组合作交流. 通过利用勾股定理解决古典问题，构建数学模型，进一步提升应用意识.
环节四：巩固内化，拓展延伸 巩固训练 1.如图，一根直立于水中的芦苇高出水面米，一阵风吹来，芦苇的顶端恰好到达水面的处，且点到的距离米，则芦苇的长度为 米. 2.如图，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是 . 3.一消防队员要爬上高米的建筑物，进行灭火抢险，为安全起见，梯子底端距建筑物至少米，若梯子顶端恰好到达建筑物顶端，则梯子的长至少为( ) A.米 B.米 C.米 D.米 4.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面米处折断，树尖恰好碰到地面，经测量米，则树高为( ) A.米 B. C.米 D.米 5.为了丰富少年儿童的业余生活，某社区计划建一座图书馆，地址计划选在如图所示的线段上，该社区有两所学校分别在点和点处，于，于已知，，，试问：图书馆应该建在距点多少处，才能使它到两所学校的距离相等？ 答案： 1.【答案】 2.【答案】 3.【答案】D 4.【答案】C 5.【答案】解：设，则， 在中，由勾股定理得：； 在中，由勾股定理得：； 若，则， 解得：. 答：图书室应该建在距点处，才能使它到两所学校的距离相等 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 1.知识： 勾股定理的应用:将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，求线段长，可结合方程. 勾股定理的逆定理的应用：判断一个三角形是否为直角三角形. 2.方法： 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： (1)读懂题意，分析已知、未知间的关系； (2)构造直角三角形； (3)利用勾股定理等列方程； (4)解决实际问题. 3.思想： 模型思想，数形结合思想，转化思想，方程思想 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 1.3勾股定理的应用 应用勾股定理解决实际问题的一般思路： 1、在解决实际问题时，首先要画出适当的示意图，将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问题。 2、在直角三角形中，只知道一边的长度，另外两边只知道它们的关系时，运用勾股定理列方程方法求解。 例1： 例2： 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标： 1.如图，从电线杆离地的处向地面处拉一条长的缆绳，则处到电线杆底部处的距离为( ) A. B. C. D. 2.如图，一木杆在离地面处折断，木杆顶端落在离木杆底端处，则木杆折断之前的高度是( ) A. B. C. D. 3.一般轮船A以16海里/时的速度从港口P出发向东北方向航行，同时轮船B以30海里时的速度从港口P出发向东南方向航行，2小时后，两船相距 海里. 4.圆柱的底面圆的周长是12，高是8，蚂蚁从下底面的点沿侧面爬到点，最短路径的长是 . 能力提升： 5.如图所示，将一根的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度，则h的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为( ) A.2m B. C. D. 7.如图，供给船要给C岛运送物资，从海岸线AB的港口A出发向北偏东40°方向直线航行60nmile到达C岛.测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向.若A，B两港口之间的距离为65nmile，则C岛到港口B的距离是 nmile. 8.如图，在四边形中，对角线分别为，，且于点，若，，则 . 拓展迁移： 9.“村村通”是我国的一项重要民生工程，如图，、、三个村都分别修建了一条互通的公路，其中，现要在公路边修建一个景点，(、、在同一直线上)，为方便村村民到达景点，又修建了一条公路，测得：，，. (1)判断的形状，并说明理由； (2)求公路的长. 答案： 1． ． 2． C． 3． ． 4． 答案为：10． 5． D． 6． D． 7． 25． 8． 40． 9．（1）解： 是直角三角形， 理由如下：在中， ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形且； （2）设，则， 在中， 由勾股定理得 ， 即，解得， 答：公路的长为．
教学反思 本节课通过真实情境激发了应用兴趣，但部分学生在折叠问题中仍难以准确找到不变量，反映出空间观念的薄弱。后续可增加 “立体图形展开路径” 的探究活动，并通过 “错题建模流程图” 分析错误成因，强化 “图形变换中边长不变” 的关键认知。同时，可引入无人机测距等现代科技案例，拓展定理的应用维度。
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