命题区间3 函数的图象与性质
(单项选择题每小题5分，填空题每小题5分，共80分)
考向一 函数的图象及其应用
1．(2024·全国甲卷文T8子母题)函数f (x)＝(3x－3－x)sin x在区间[－π，π]的大致图象为( )
[A] [B]
[C] [D]
2．(2023·天津卷T4)函数f (x)的图象如图所示，则f (x)的解析式可能为( )
[A] [B]
[C] [D]
3．(2024·全国甲卷文T8子母题)函数f (x)＝sin (2x－2－x)在上的图象大致为( )
[A] [B]
[C] [D]
4．(2022·全国甲卷理T5改编题)如图为函数f (x)＝xαsin x的部分图象，则α的值可能是( )
[A]4 [B]3
[C]2 [D]1
5．(补偿题)函数f (x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
[A]a>0，b>0，c<0
[B]a<0，b>0，c>0
[C]a<0，b>0，c<0
[D]a<0，b<0，c<0
6．(2024·全国甲卷文T8姊妹题)已知函数f (x)的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )
[A]f (x)＝x2＋ln [B]f (x)＝x3ln
[C]f (x)＝x3＋ln [D]f (x)＝x2ln
7．(2023·天津卷T4姊妹题)已知函数f (x)＝x2＋，g(x)＝sin x，则图象为如图的函数可能是( )
[A]y＝f (x)＋g(x)－
[B]y＝f (x)－g(x)－
[C]y＝f (x)g(x)
[D]y＝
考向二 函数的性质及其应用
8．(2024·天津卷T4)下列函数是偶函数的是( )
[A]f (x)＝ [B]f (x)＝
[C]f (x)＝ [D]f (x)＝
9．(2024·新高考Ⅰ卷T8)已知函数f (x)的定义域为R，f (x)>f (x－1)＋f (x－2)，且当x<3时，f (x)＝x，则下列结论中一定正确的是( )
[A]f (10)>100 [B]f (20)>1 000
[C]f (10)<1 000 [D]f (20)<10 000
10．(2024·新高考Ⅰ卷T6姊妹题)已知函数f (x)＝则不等式f (2a2－1)＞f (3a＋4)的解集为( )
[A](－∞，－1) [B]
[C](－∞，－1) [D]
11．(2023·新高考Ⅰ卷T4)设函数f (x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是( )
[A](－∞，－2] [B][－2，0)
[C](0，2] [D][2，＋∞)
12．(2024·新高考Ⅰ卷T8子母题)已知函数f (x)的定义域为R，且f (x)＝f (x＋2)－f (x＋1)，f (0)＝0，则＝( )
[A]f (2 023) [B]f (2 024)
[C]f (2 025) [D]f (2 026)
13．(2022·新高考Ⅱ卷T8子母题)已知函数f (x)为定义在R上的偶函数，且f (x)不恒为0，f (x＋y)＋f (x－y)＝2f (x)f (y)，f (1)＝0，
[A]－3 [B]－2
[C]－1 [D]1
14．(2024·上海卷T4)已知f (x)＝x3＋a，x∈R，且f (x)是奇函数，则a＝________．
15．(2023·全国甲卷理T13文T14)若f (x)＝(x－1)2＋ax＋sin 为偶函数，则a＝________．
16．(2024·新高考Ⅰ卷T6子母题)若函数f (x)＝满足对任意x1≠x2，都有＜0成立，则实数a的取值范围为________．
5/5专题二 函数与导数
高考真题衍生卷·命题区间3
1．B [由f (x)＝(3x－3－x)sin x，可知f (－x)＝(3－x－3x)·sin (－x)＝(3x－3－x)sin x＝f (x)，函数为偶函数，排除A、C，当x＝时，0，排除D，故选B．]
2．D [由题图可知，f (x)图象关于y轴对称，为偶函数，故AB错误，当x>0时，恒大于0，与题图不符合，故C错误．故选D．]
3．B [f (－x)＝sin (2－x－2x)＝－sin (2x－2－x)＝－f (x)，所以f (x)为奇函数，图象关于原点对称，排除CD；
令t＝2x－2－x，则t在上单调递增，且x＝0时，t＝0，x＝时，令t1＝，
－π2＝2π＋2－π－2－π2<0，即t1<π，
所以f (x)＝sin (2x－2－x)在上大于0，排除A．
故选B．]
4．D [由题图可知f (x)为偶函数，
因为y＝sin x为奇函数，所以y＝xα也为奇函数，排除A和C；
如果α＝3，即f (x)＝x3·sin x，则f >2，与题图不符，所以不能取3，故排除B．故选D．]
5．C [函数在P处无意义，由图象看P在y轴右侧，得c<0，
f (0)＝>0，所以b>0，
由f (x)＝0得ax＋b＝0，即x＝－，
即函数的零点x＝－>0，所以a<0．
综上a<0，b>0，c<0．故选C．]
6．B [由已知图象可得f (x)的图象关于原点对称，即f (x)为奇函数．
对于A，f (x)＝x2＋ln 的定义域为R，f (－x)＝＋ln ＝f (x)，则f (x)为偶函数，可排除选项A；
对于D，由f (x)＝0，可得x＝0或＝1，
由＝1，可得sin x＝0，所以x＝kπ，k∈Z，对照图象，无π这个零点，故排除选项D；
对于C，f (x)＝x3＋ln ，f (0)＝0＋ln 1＝0，由所给图象设第一个正的零点为m，1则f (m)＝m3＋ln >0，可排除选项C；
对于B，f (x)＝x3ln ，由f (x)＝0，可得x＝0或＝1，由＝1，可得cos x＝0，所以x＝kπ＋，k∈Z，对照图象，B可能成立．故选B．]
7．D [易知函数f (x)＝x2＋是偶函数，g(x)＝sin x是奇函数，给出的图象对应的函数是奇函数．选项A，y＝f (x)＋g(x)－＝x2＋sin x为非奇非偶函数，不符合题意，排除A；选项B，y＝f (x)－g(x)－＝x2－sin x也为非奇非偶函数，不符合题意，排除B；因为当x∈(0，＋∞)时，f (x)单调递增，且f (x)>0，当x∈时，g(x)单调递增，且g(x)>0，所以y＝f (x)g(x)在上单调递增，由图象可知所求函数在上不单调，排除C．故选D．]
8．B [对于A，f (x)＝，函数定义域为R，但f (－1)＝，f (1)＝，则f (－1)≠f (1)，故A错误；
对于B，f (x)＝，函数定义域为R，
且f (－x)＝＝f (x)，则f (x)为偶函数，故B正确；
对于C，f (x)＝x≠－1}，不关于原点对称，则f (x)不是偶函数，故C错误；
对于D，f (x)＝，函数定义域为R，因为f (1)＝，f (－1)＝，则f (1)≠f (－1)，则f (x)不是偶函数，故D错误．故选B．]
9．B [因为当x<3时f (x)＝x，
所以f (1)＝1，f (2)＝2，
又因为f (x)>f (x－1)＋f (x－2)，
则f (3)>f (2)＋f (1)＝3，
f (4)>f (3)＋f (2)>5，
f (5)>f (4)＋f (3)>8，
f (6)>f (5)＋f (4)>13，
f (7)>f (6)＋f (5)>21，
f (8)>f (7)＋f (6)>34，
f (9)>f (8)＋f (7)>55，
f (10)>f (9)＋f (8)>89，
f (11)>f (10)＋f (9)>144，
f (12)>f (11)＋f (10)>233，
f (13)>f (12)＋f (11)>377，
f (14)>f (13)＋f (12)>610，
f (15)>f (14)＋f (13)>987，
f (16)>f (15)＋f (14)>1 597>1 000，则依次下去可知f (20)>1 000，则B正确；且无证据表明ACD一定正确．故选B．]
10．D [函数f (x)＝中，y＝＋1在x＜0上单调递减，y＝2－x2在x≥0上单调递减，且＋1＝2－02，则函数f (x)＝在定义域R上单调递减，
因为f (2a2－1)＞f (3a＋4)，所以2a2－1＜3a＋4，解得－1＜a＜，即不等式f (2a2－1)＞f (3a＋4)的解集为．故选D．]
11．D [设t＝x(x－a)＝x2－ax，图象的对称轴为x＝，抛物线开口向上．因为y＝2t是关于t的增函数， 所以要使f (x)在区间(0，1)单调递减，则t＝x2－ax在区间(0，1)单调递减，即≥1，即a≥2，故实数a的取值范围是[2，＋∞)．故选D．]
12．C [由f (x)＝f (x＋2)－f (x＋1)可得f (x＋2)＝f (x)＋f (x＋1)，
所以f (2 024)f (2 025)＝f (2 024)[f (2 024)＋f (2 023)]＝f 2(2 024)＋f (2 023)f (2 024)
＝f 2(2 024)＋f (2 023)[f (2 023)＋f (2 022)]
＝f 2(2 024)＋f 2(2 023)＋f (2 022)f (2 023)
＝f 2(2 024)＋f 2(2 023)＋f (2 022)[f (2 022)＋f (2 021)]
＝f 2(2 024)＋f 2(2 023)＋f 2(2 022)＋f (2 021)·f (2 022)
＝f 2(2 024)＋f 2(2 023)＋f 2(2 022)＋…＋f 2(2)＋f (2)f (1)，
又f (0)＝0，即f (1)＝f (2)，
所以f (2 024)f (2 025)＝f 2(2 024)＋f 2(2 023)＋f 2(2 022)＋…＋f 2(2)＋f 2(1)，
则＝f (2 025)．故选C．]
13．C [令x＝0，则f (y)＋f (－y)＝2f (0)f (y)，
因为f (x)不恒为0，且f (x)为偶函数，
所以2f (y)[1－f (0)]＝0，所以f (0)＝1．
令y＝1，则f (x＋1)＋f (x－1)＝2f (x)f (1)，
则f (x＋1)＋f (x－1)＝0，即f (x＋1)＝－f (x－1)，
f (x)＝－f (x－2)，f (x＋2)＝－f (x)＝f (x－2)，
f (x)＝f (x＋4)，所以f (x)的周期为4．
令x＝y＝1，则f (2)＋f (0)＝2f (1)·f (1)，则f (2)＝－1，
f (3)＝f (－1)＝f (1)＝0，f (4)＝f (0)＝1，f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，
14．0 [由题意，可得f (0)＝0＋a＝0，解得a＝0，
当a＝0时，f (x)＝x3，满足f (－x)＝(－x)3＝－x3＝－f (x)，即f (x)是奇函数，故a＝0符合题意．]
15．2 [因为f (x)为偶函数，所以f (－x)＝f (x)，即(－x－1)2－ax＋sin ＝(x－1)2＋ax＋sin ，解得a＝2．]
16．
4/5
