【新课预习衔接】1.3不等式（培优卷.含解析）2025-2026学年高一上学期数学必修第一册北师大版（2019）

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新课预习衔接 不等式
一．选择题（共5小题）
1．（2024 襄城区校级模拟）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，则x+2y的最小值为（　　）
A．8 B． C．9 D．
2．（2024 唐县校级期末）若x＞1，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024 故城县校级模拟）对于实数a，b，c，下列说法正确的是（　　）
A．若a＞b，则
B．若a＞b，则ac2＞bc2
C．若a＞0＞b，则ab＜a2
D．若c＞a＞b，则
4．（2024 雁峰区校级期末）已知a＞0，b＞0，a+b＝1，则的最小值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．9
5．（2024秋 江西月考）已知x，y为正实数，且x+y＝1，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 随州模拟）设正实数a，b满足a+b＝1，则下列结论正确的是（　　）
A．有最小值4 B．有最小值
C．有最大值 D．a2+b2有最小值
（多选）7．（2024春 沙坪坝区校级月考）已知a，b，c∈R，则下列结论正确的是（　　）
A．若a＞b＞0，则
B．若ac2＞bc2，则a＞b
C．若a＞b＞0，
D．的最小值为
三．填空题（共3小题）
8．（2024 樊城区校级模拟）已知正实数x，y满足4x+7y＝4，则的最小值为 　 　．
9．（2024 宜宾三模）已知x＞1，求x的最小值是　 　．
10．（2024 红谷滩区校级模拟）已知实数x、y满足x（x+y）＝2+2y2，则7x2﹣y2的最小值为 　 　．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 环县校级期末）已知a＞0，b＞0，且a+b﹣ab＝0．
（1）求ab的最小值；
（2）求2a+3b的最小值．
12．（2024 牡丹区校级月考）已知方程ax2﹣bx+3＝0的解为1，3．
（1）求实数a，b的值；
（2）若m＞0，n＞0，且am+bn＝3，求的最小值．
13．（2024 福州期末）（1）已知x＞1，求的最小值；
（2）若a，b均为正实数，且满足a+2b＝1，求的最小值．
14．（2024春 浦城县期中）若正数a，b满足ab＝4a+b+t，t∈R．
（1）当t＝0时，求a+4b的最小值；
（2）当t＝5时，求ab的取值范围．
15．（2024 洛阳期末）（1）已知a＞0，b＞0，且2a+b＝1，求ab的最大值；
（2）已知正数x，y满足x+3y＝3xy﹣1，求2x+3y的最小值．
新课预习衔接 不等式
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 襄城区校级模拟）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，则x+2y的最小值为（　　）
A．8 B． C．9 D．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【答案】C
【分析】由条件可得1，x+2y＝（x+2y）（）＝5，运用基本不等式即可得到所求最小值．
【解答】解：x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，可得：1，
则x+2y＝（x+2y）（）＝55+25+4＝9，当且仅当x＝y＝3，取得最小值9．
故选：C．
【点评】本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，考查变形的技巧和运算能力，属于基础题．
2．（2024 唐县校级期末）若x＞1，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式；数学运算．
【答案】A
【分析】将原式构造成两正数2（x﹣1），和的形式，然后利用基本不等式求解．
【解答】解：因为x＞1，且．
当且仅当，即时取等号．
故选：A．
【点评】本题考查基本不等式的应用，注意构造法的应用．属于基础题．
3．（2024 故城县校级模拟）对于实数a，b，c，下列说法正确的是（　　）
A．若a＞b，则
B．若a＞b，则ac2＞bc2
C．若a＞0＞b，则ab＜a2
D．若c＞a＞b，则
【考点】不等关系与不等式；等式与不等式的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【答案】C
【分析】根据不等式的基本性质及恰当的特殊值可逐一判断．
【解答】解：对于A选项，若a＝0或b＝0，或显然无意义．故A选项错误；
对于B选项，若c＝0，则ac2＝bc2．故B选项错误；
对于C选项，因为a＞0＞b，所以各项同时乘以a得a2＞0＞ab．故C正确；
对于D选项，因为c＞a＞b，所以﹣c＜﹣a＜﹣b，所以0＜c﹣a＜c﹣b，
所以，即．因为根据题意不知道a，b的符号，
所以无法满足同向可乘性的条件．故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，是基础题．
4．（2024 雁峰区校级期末）已知a＞0，b＞0，a+b＝1，则的最小值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．9
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】转化思想；综合法；不等式；逻辑推理；数学运算．
【答案】C
【分析】利用基本（均值）不等式及“1”的活用，可得代数式的最小值．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+b＝1，可得b＝1﹣a，
∴8，
当且仅当，即，时取等号，
∴的最小值为8．
故选：C．
【点评】本题考查基本不等式的性质的应用，属于基础题．
5．（2024秋 江西月考）已知x，y为正实数，且x+y＝1，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】综合法；不等式；能力层次；数学运算．
【答案】C
【分析】化简为，然后利用基本不等式即可求出最小值
【解答】解：因为x+y＝1，则，
由于，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为．
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 随州模拟）设正实数a，b满足a+b＝1，则下列结论正确的是（　　）
A．有最小值4 B．有最小值
C．有最大值 D．a2+b2有最小值
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】计算题；转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【答案】ACD
【分析】由a+b＝1，根据，逐一判断各选项即可．
【解答】解：正实数a，b满足a+b＝1，
对于A，即有a+b≥2，可得0＜ab，
即有4，即有a＝b时，取得最小值4，故A正确；
对于B，由0，可得有最大值，故B错误；
对于C，由，
可得a＝b时，取得最大值，故C正确；
对于D，由a2+b2≥2ab可得2（a2+b2）≥（a+b）2＝1，
则a2+b2，当a＝b时，a2+b2取得最小值，故D正确．
综上可得A，C，D均正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了基本不等式及其应用，考查了转化思想，属于基础题．
（多选）7．（2024春 沙坪坝区校级月考）已知a，b，c∈R，则下列结论正确的是（　　）
A．若a＞b＞0，则
B．若ac2＞bc2，则a＞b
C．若a＞b＞0，
D．的最小值为
【考点】不等关系与不等式．
【专题】整体思想；综合法；不等式；数学抽象．
【答案】BC
【分析】利用特征值判断A，根据不等式的性质判断B，利用基本不等式判断C，根据对勾函数的性质判断D．
【解答】解：对于A，当c＝0时，，故A错误；
对于B，若ac2＞bc2，则c2≠0，即c2＞0，所以a＞b，故B正确；
对于C，因为a＞b＞0，所以，当且仅当a＝2b时取等号，
所以，显然，
所以，当且仅当a＝2b时取等号，故C正确；
对于D，因为，
令，则t≥1，令，
由对勾函数的性质可知，函数在[1，+∞）上单调递增，
所以f（t）min＝f（1）＝3，
所以 ，当且仅当a＝0时取等号，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，基本不等式及对勾函数单调性的综合应用，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
8．（2024 樊城区校级模拟）已知正实数x，y满足4x+7y＝4，则的最小值为 　　．
【考点】运用“1”的代换构造基本不等式．
【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】由4x+7y＝2（x+3y）+（2x+y），结合基本不等式求解即可．
【解答】解：因为4x+7y＝4，
所以，
所以，
因为x，y为正实数，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，即时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
9．（2024 宜宾三模）已知x＞1，求x的最小值是　5　．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用关系式的变换和基本不等式，求出最小值．
【解答】解：由于x＞1，所以x﹣1＞0，
所以5，当且仅当x＝3时，等号成立．
故答案为：5
【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式，属于基础题．
10．（2024 红谷滩区校级模拟）已知实数x、y满足x（x+y）＝2+2y2，则7x2﹣y2的最小值为 　　．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】计算题；整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【答案】．
【分析】依题意可得（x+2y）（x﹣y）＝2，令x+2y＝m，x﹣y＝n，则mn＝2，即可用含m、n的式子表示x、y，再代入7x2﹣y2，利用基本不等式计算可得．
【解答】解：因为实数x，y满足x（x+y）＝2+2y2，
化为（x+2y）（x﹣y）＝2，
令x+2y＝m，x﹣y＝n，则mn＝2．
联立可得，，
则
，
当且仅当，即，时取等号．
故答案为：．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 环县校级期末）已知a＞0，b＞0，且a+b﹣ab＝0．
（1）求ab的最小值；
（2）求2a+3b的最小值．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】整体思想；综合法；不等式；数学运算．
【答案】（1）4；
（2）．
【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可；
（2）利用基本不等式中的常数代换技巧求解即可．
【解答】解：（1）因为a+b﹣ab＝0，所以，所以，
所以ab≥4，当且仅当，即a＝b＝2时等号成立，即ab的最小值为4；
（2），
当且仅当即，即时，等号成立，
所以2a+3b的最小值为．
【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，属于中档题．
12．（2024 牡丹区校级月考）已知方程ax2﹣bx+3＝0的解为1，3．
（1）求实数a，b的值；
（2）若m＞0，n＞0，且am+bn＝3，求的最小值．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；不等式；数学运算．
【答案】（1）a＝1，b＝4；
（2）3．
【分析】（1）根据韦达定理可求a，b；（2）利用“1”的代换结合基本不等式可求的的最小值．
【解答】解：（1）因为方程ax2﹣bx+3＝0的解为1，3，故，故a＝1，b＝4．
（2）由（1）可得m+4n＝3，
故，
当且仅当的时等号成立，
故的最小值为3．
【点评】本题考查了二次不等式与二次方程间的关系应用及基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．
13．（2024 福州期末）（1）已知x＞1，求的最小值；
（2）若a，b均为正实数，且满足a+2b＝1，求的最小值．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】整体思想；综合法；不等式；数学运算．
【答案】（1）8；（2）．
【分析】（1）先将函数解析式变形，再利用基本不等式求出最值；
（2）结合1的妙用，利用基本不等式求出最值．
【解答】解：（1）因为x＞1，所以x﹣1＞0，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为8．
（2）因为a，b均为正实数，a+2b＝1，
所以a+1＞0，b＞0，（a+1）+2b＝2，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．
【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，属于中档题．
14．（2024春 浦城县期中）若正数a，b满足ab＝4a+b+t，t∈R．
（1）当t＝0时，求a+4b的最小值；
（2）当t＝5时，求ab的取值范围．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【答案】（1）25；
（2）[25，+∞）．
【分析】（1）由已知可得1，然后利用乘1法，结合基本不等式可求；
（2）由已知，结合基本不等式即可直接求解．
【解答】解：（1）当t＝0时，4a+b＝ab，
所以1，
所以a+4b＝（a+4b）（）＝1725，
当且仅当且ab＝4a+b，即a＝b＝5时取等号；
（2）当t＝5时，ab＝4a+b+55，当且仅当b＝4a，即a，b＝10时取等号，
解得ab≥25，
故ab的取值范围为[25，+∞）．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
15．（2024 洛阳期末）（1）已知a＞0，b＞0，且2a+b＝1，求ab的最大值；
（2）已知正数x，y满足x+3y＝3xy﹣1，求2x+3y的最小值．
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式；数学运算．
【答案】（1）；（2）7．
【分析】（1）由已知直接利用基本不等式即可求解；
（2）由题意得，（x﹣1）（3y﹣1）＝2，2x+3y＝2（x﹣1）+（3y﹣1）+3，然后结合基本不等式即可求解．
【解答】解：（1）因为a＞0，b＞0，且2a+b＝1，当且仅当a，b时取等号，
所以ab，
故ab的最大值为；
（2）因为正数x，y满足x+3y＝3xy﹣1，
所以（x﹣1）（3y﹣1）＝2，
则2x+3y＝2（x﹣1）+（3y﹣1）+33＝7，
当且仅当2x﹣2＝3y﹣1，即x＝2，y＝1时取等号，
所以2x+3y的最小值为7．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
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