【新课预习衔接】1.4一元二次函数与一元二次不等式（培优卷.含解析）2025-2026学年高一上学期数学必修第一册北师大版（2019）

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新课预习衔接 一元二次函数与一元二次不等式
一．选择题（共5小题）
1．（2024 湖南月考）设集合A＝{x|（x+1）（x﹣4）＜0}，B＝{x|2x+a＜0}，且A∩B＝{x|﹣1＜x＜3}，则a＝（　　）
A．6 B．4 C．﹣4 D．﹣6
2．（2024 市中区校级模拟）已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|（x+1）（x﹣3）＜0}，则（ RA）∩B＝（　　）
A．（3，+∞） B．（﹣1，+∞） C．（﹣1，3） D．（﹣1，1]
3．（2024 叙州区校级期末）不等式2x2+x﹣1＜0的解集为（　　）
A． B．{或x＞1}
C． D．{x|x＜﹣1或x}
4．（2024 安徽学业考试）不等式x2﹣x﹣2＜0的解集为（　　）
A．{x|﹣2＜x＜1} B．{x|﹣1＜x＜2}
C．{x|x＜﹣2或x＞1} D．{x|x＜﹣1或x＞2}
5．（2024春 石家庄期末）不等式x2+ax+4＜0的解集为空集，则a的取值范围是（　　）
A．[﹣4，4] B．（﹣4，4）
C．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞） D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 宿州期末）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，则下列说法正确的是（　　）
A．a＞0
B．a+b+c＜0
C．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为{x|x或x}
D．的最小值为6
（多选）7．（2024 番禺区校级模拟）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|1＜x＜3}，则（　　）
A．a＜0
B．a+b+c＝0
C．4a+2b+c＜0
D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集是{x|x＜﹣1或x}
三．填空题（共3小题）
8．（2024春 大新县校级期末）不等式ax2+bx+c＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），则不等式cx2+bx+a＞0的解集是 　 　．
9．（2024 滕州市期末）关于x的不等式ax2+（a+b）x+2＞0的解集为（﹣3，1），则a+b＝　 　．
10．（2024 富平县校级期末）若关于x的不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为 　 　．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 沙依巴克区校级期末）设函数f（x）＝mx2﹣（m+1）x+1．
（1）若对任意的x∈R，均有f（x）+m≥0成立，求实数m的取值范围；
（2）若m＞0，解关于x的不等式f（x）＜0．
12．（2024 朝阳区校级期末）已知全集U＝R，集合A＝（x|x2﹣4x+3≤0}，B＝{x||x﹣3|＜1}，C＝{x|2a≤x≤a+2，a∈R}．
（Ⅰ）分别求A∩B，A∪（ UB）；
（Ⅱ）若B∪C＝B，求a的取值范围；
（Ⅲ）若A∩C≠ ，求a的取值范围．
13．（2024 唐县校级期末）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b∈R且a≠0），x∈R．
（1）若函数f（x）的最小值为f（1）＝0，求f（x）的解析式，并写出单调区间；
（2）在（1）的条件下，f（x）＞x+k在区间[1，3]上恒成立，试求k的取值范围．
14．（2024春 西湖区校级期末）二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1，且f（0）＝2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x∈[﹣1，2]时，y＝f（x）的图象恒在y＝﹣x+a图象的上方，试确定实数a的取值范围．
15．（2024 海淀区期末）已知集合．
（Ⅰ）求A∪B，A∩ RB；
（Ⅱ）记关于x的不等式x2﹣（2m+4）x+m2+4m≤0的解集为M，若B∪M＝R，求实数m的取值范围．
新课预习衔接 一元二次函数与一元二次不等式
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 湖南月考）设集合A＝{x|（x+1）（x﹣4）＜0}，B＝{x|2x+a＜0}，且A∩B＝{x|﹣1＜x＜3}，则a＝（　　）
A．6 B．4 C．﹣4 D．﹣6
【考点】一元二次不等式及其应用；交集及其运算．
【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算．
【答案】D
【分析】先求出集合A，B，再由交集的定义求解即可．
【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜4}，，
∵A∩B＝{x|﹣1＜x＜3}，∴，∴a＝﹣6．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，是基础题．
2．（2024 市中区校级模拟）已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|（x+1）（x﹣3）＜0}，则（ RA）∩B＝（　　）
A．（3，+∞） B．（﹣1，+∞） C．（﹣1，3） D．（﹣1，1]
【考点】一元二次不等式及其应用；交、并、补集的混合运算．
【专题】整体思想；综合法；集合；数学运算．
【答案】D
【分析】根据条件，求出B＝{x|﹣1＜x＜3}和 RA＝{x|x≤1}，再根据集合的运算，即可求出结果．
【解答】解：由（x+1）（x﹣3）＜0，得到﹣1＜x＜3，
所以B＝{x|﹣1＜x＜3}，
又A＝{x|x＞1}，所以 RA＝{x|x≤1}，
故（ RA）∩B＝{x|﹣1＜x≤1}．
故选：D．
【点评】本题主要考查了集合的补集及交集运算，属于基础题．
3．（2024 叙州区校级期末）不等式2x2+x﹣1＜0的解集为（　　）
A． B．{或x＞1}
C． D．{x|x＜﹣1或x}
【考点】一元二次不等式及其应用．
【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【答案】C
【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可．
【解答】解：由2x2+x﹣1＜0，
即（2x﹣1）（x+1）＜0，得，
所以不等式2x2+x﹣1＜0的解集为．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
4．（2024 安徽学业考试）不等式x2﹣x﹣2＜0的解集为（　　）
A．{x|﹣2＜x＜1} B．{x|﹣1＜x＜2}
C．{x|x＜﹣2或x＞1} D．{x|x＜﹣1或x＞2}
【考点】一元二次不等式及其应用．
【专题】综合题；方程思想；演绎法；不等式．
【答案】B
【分析】不等式x2﹣x﹣2＜0化为（x﹣2）（x+1）＜0，即可解出不等式x2﹣x﹣2＜0的解集．
【解答】解：不等式x2﹣x﹣2＜0化为（x﹣2）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜2．
∴不等式x2﹣x﹣2＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
5．（2024春 石家庄期末）不等式x2+ax+4＜0的解集为空集，则a的取值范围是（　　）
A．[﹣4，4] B．（﹣4，4）
C．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞） D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
【考点】一元二次不等式及其应用．
【专题】不等式的解法及应用．
【答案】A
【分析】利用一元二次函数图象，分析不等式解集为空集的条件，再求解即可．
【解答】解：∵不等式x2+ax+4＜0的解集为空集，∴Δ＝a2﹣16≤0 ﹣4≤a≤4．
故选：A．
【点评】本题考查一元二次不等式的解集．
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 宿州期末）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，则下列说法正确的是（　　）
A．a＞0
B．a+b+c＜0
C．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为{x|x或x}
D．的最小值为6
【考点】一元二次不等式及其应用．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【答案】BCD
【分析】由不等式与方程的关系得，从而可得b＝﹣5a，c＝6a，且a＜0，再依次对四个选项判断即可．
【解答】解：∵不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，
∴，
即b＝﹣5a，c＝6a，且a＜0，
故选项A错误；
a+b+c＝a﹣5a+6a＝2a＜0，故选项B正确；
cx2﹣bx+a＜0可化为6ax2+5ax+a＜0，
即6x2+5x+1＞0，
故不等式的解集为{x|x或x}，
故选项C正确；
（﹣9a）+（）≥6，
当且仅当a时，等号成立，
故选项D正确；
故选：BCD．
【点评】本题考查了二次不等式及二次方程关系及基本不等式的应用，属于中档题．
（多选）7．（2024 番禺区校级模拟）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|1＜x＜3}，则（　　）
A．a＜0
B．a+b+c＝0
C．4a+2b+c＜0
D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集是{x|x＜﹣1或x}
【考点】由一元二次不等式的解求参数．
【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【答案】ABD
【分析】由已知结合二次不等式与二次方程的转化关系检验各选项即可判断．
【解答】解：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|1＜x＜3}，
所以a＜0且1，3为方程ax2+bx+c＝0的两根，A正确；
故，
所以b＝﹣4a，c＝3a，
所以a+b+c＝a﹣4a+3a＝0，B正确；
4a+2b+c＝4a﹣8a+3a＝﹣a＞0，C错误；
由不等式cx2﹣bx+a＝3ax2+4ax+a＜0可得3x2+4x+1＞0，
解得x＜﹣1或x，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了二次不等式与二次方程转化关系的应用，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
8．（2024春 大新县校级期末）不等式ax2+bx+c＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），则不等式cx2+bx+a＞0的解集是 　{x|x或x}　．
【考点】一元二次不等式及其应用．
【专题】不等式的解法及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】由已知得到ax2+bx+c＝0的两个根为﹣2和3，利用根与系数关系得到系数的比，变形后得到的值，由此求出方程cx2+bx+a＝0的两根，则不等式cx2+bx+a＞0的解集可求．
【解答】解：∵不等式ax2+bx+c＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），
∴a＜0，且3，﹣2为方程ax2+bx+c＝0的两根．
∴，
两式相比得，又
设方程cx2+bx+a＝0的两根分别为x1，x2（x1＜x2）．
则，即解得．
由6＜0，a＜0知c＞0．
∴cx2+bx+a＞0的解集是{x|x或x}．
故答案为：{x|x或x}．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，以及一元二次方程的根与系数关系，容易出错的地方是忽略c的符号．
9．（2024 滕州市期末）关于x的不等式ax2+（a+b）x+2＞0的解集为（﹣3，1），则a+b＝　　．
【考点】一元二次不等式及其应用．
【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【答案】．
【分析】分析可知，﹣3、1是关于x的方程ax2+（a+b）x+2＝0的两根，利用韦达定理可得出a+b的值．
【解答】解：因为关于x的不等式ax2+（a+b）x+2＞0的解集为（﹣3，1），
则a＜0，且﹣3、1是关于x的方程ax2+（a+b）x+2＝0的两根，
由韦达定理可得，，解得，
所以，．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次方程与二次不等式转化关系的应用，还考查了方程的根与系数关系，属于基础题．
10．（2024 富平县校级期末）若关于x的不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为 　[﹣1，0）∪（6，7]　．
【考点】一元二次不等式及其应用．
【专题】分类讨论；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【答案】[﹣1，0）∪（6，7]．
【分析】结合已知条件，对参数进行分类讨论即可求解．
【解答】解：由题意，x2﹣（m+3）x+3m＝（x﹣3）（x﹣m）＜0，
①若m＞3，则不等式的解为：3＜x＜m，
因为不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0的解集中恰有3个整数，
所以6＜m≤7；
②若m＝3，则不等式无解，不满足题意；
③若m＜3，则不等式的解为：m＜x＜3，
因为不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0的解集中恰有3个整数，
所以﹣1≤m＜0．
综上所述，实数m的取值范围为[﹣1，0）∪（6，7]．
故答案为：[﹣1，0）∪（6，7]．
【点评】本题考查不等式的解法及其运用，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于基础题．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 沙依巴克区校级期末）设函数f（x）＝mx2﹣（m+1）x+1．
（1）若对任意的x∈R，均有f（x）+m≥0成立，求实数m的取值范围；
（2）若m＞0，解关于x的不等式f（x）＜0．
【考点】二次函数的性质与图象．
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】（1）m；（2）①当m＝1时，解集为 ，②当m＞1时，解集为，③当0＜m＜1时，解集为．
【分析】（1）问题转化为mx2﹣（m+1）x+m+1≥0对任意的x∈R成立，结合二次函数的性质求出m的范围即可；
（2）问题转化为（x﹣1）（mx﹣1）＜0，通过讨论m的范围，求出不等式的解集即可．
【解答】解：（1）由题意得，f（x）+m≥0对任意的x∈R成立，
即mx2﹣（m+1）x+m+1≥0对任意的x∈R成立，
①当m＝0时，显然不符合题意；
②当m≠0时，只需，解得，
综上：．
（2）由f（x）＜0得mx2﹣（m+1）x+1＜0，
即（x﹣1）（mx﹣1）＜0，
①当m＝1时，解集为 ，
②当m＞1时，解集为，
③当0＜m＜1时，解集为．
【点评】本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．
12．（2024 朝阳区校级期末）已知全集U＝R，集合A＝（x|x2﹣4x+3≤0}，B＝{x||x﹣3|＜1}，C＝{x|2a≤x≤a+2，a∈R}．
（Ⅰ）分别求A∩B，A∪（ UB）；
（Ⅱ）若B∪C＝B，求a的取值范围；
（Ⅲ）若A∩C≠ ，求a的取值范围．
【考点】一元二次不等式及其应用；交、并、补集的混合运算．
【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算．
【答案】（Ⅰ）A∩B＝{x|2＜x≤3}，A∪（ UB）＝{x|x≤3或x≥4}；
（Ⅱ）（1，2）；
（Ⅲ）[﹣1，]．
【分析】（Ⅰ）先求出集合A，B，再利用集合的基本运算求解；
（Ⅱ）由B∪C＝B可得C B，分C＝ 和C≠ 两种情况讨论，分别求出a的取值范围，最后取并集即可；
（Ⅲ）先求出A∩C＝ 时a的取值范围，再取补集即可．
【解答】解：（Ⅰ）集合A＝（x|x2﹣4x+3≤0}＝{x|1≤x≤3}，B＝{x||x﹣3|＜1}＝{x|2＜x＜4}，
∴A∩B＝{x|2＜x≤3}， UB＝{x|x≤2或x≥4}，
∴A∪（ UB）＝{x|x≤3或x≥4}；
（Ⅱ）∵B∪C＝B，∴C B，
①当C＝ 时，2a＞a+2，∴a＞2，
②当C≠ 时，则，
解得1＜a＜2，
综上所述，a的取值范围为（1，2）∪（2，+∞）；
（Ⅲ）若A∩C＝ ，
①当C＝ 时，2a＞a+2，∴a＞2，
②当C≠ 时，或，
∴a＜﹣1或a≤2，
综上所述，若A∩C＝ ，则a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞），
所以若A∩C≠ ，则a的取值范围[﹣1，]．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的包含关系，以及集合的基本运算，属于中档题．
13．（2024 唐县校级期末）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b∈R且a≠0），x∈R．
（1）若函数f（x）的最小值为f（1）＝0，求f（x）的解析式，并写出单调区间；
（2）在（1）的条件下，f（x）＞x+k在区间[1，3]上恒成立，试求k的取值范围．
【考点】二次函数的性质与图象；函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】（1）f（x）＝x2﹣2x+1，f（x）单调减区间为（﹣∞，1]，单调增区间为[1，+∞）；
（2）．
【分析】（1）根据函数f（x）的最小值为f（1）＝0，可得f（1）＝a+b+1＝0，且，可得a，b的值，从而得到f（x）的解析式，根据对称轴和开口方向写单调区间；
（2）分离参数k，求解二次函数f（x）在区间[1，3]上的最小值，即可得k的范围．
【解答】解：（1）由题意知f（1）＝a+b+1＝0，且，
∴a＝1，b＝﹣2，∴f（x）＝x2﹣2x+1，
因为函数f（x）对称轴x＝1，开口向上，
∴f（x）单调减区间为（﹣∞，1]，单调增区间为[1，+∞）；
（2）f（x）＞x+k在区间[1，3]上恒成立，
转化为x2﹣3x+1＞k在[1，3]上恒成立．
设g（x）＝x2﹣3x+1，x∈[1，3]，且对称轴为，
则g（x）在取得最小值，
∴．
∴，即k的取值范围为．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，考查转化能力，属于中档题．
14．（2024春 西湖区校级期末）二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1，且f（0）＝2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x∈[﹣1，2]时，y＝f（x）的图象恒在y＝﹣x+a图象的上方，试确定实数a的取值范围．
【考点】二次函数的性质与图象．
【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】（1）f（x）＝x2﹣2x+2．
（2）．
【分析】（1）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），利用f（0）＝2求得c，由f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1可求得a，b，即得答案；
（2）依题意可得当x∈[﹣1，2]时，x2﹣2x+2＞﹣x+a恒成立，参变分离可得a＜x2﹣x+2恒成立，再令g（x）＝x2﹣x+2，x∈[﹣1，2]，求出g（x）min，即可求出参数的取值范围．
【解答】解：（1）由题意设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），
由f（0）＝2得c＝2；
由f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1得a（x+1）2+b（x+1）+c﹣ax2﹣bx﹣c＝2x﹣1，
即2ax+a+b＝2x﹣1恒成立，故，则，
故f（x）＝x2﹣2x+2；
（2）因为当x∈[﹣1，2]时，y＝f（x）的图象恒在y＝﹣x+a图象的上方，
所以当x∈[﹣1，2]时，x2﹣2x+2＞﹣x+a恒成立，
即当x∈[﹣1，2]时，a＜x2﹣x+2恒成立，
令g（x）＝x2﹣x+2，x∈[﹣1，2]，则在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即实数a的取值范围为．
【点评】本题考查了二次函数的图像与性质，属于基础题．
15．（2024 海淀区期末）已知集合．
（Ⅰ）求A∪B，A∩ RB；
（Ⅱ）记关于x的不等式x2﹣（2m+4）x+m2+4m≤0的解集为M，若B∪M＝R，求实数m的取值范围．
【考点】一元二次不等式及其应用；交、并、补集的混合运算．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．
【答案】（Ⅰ）A∪B＝{x|x＜2或x≥4}，A∩ RB＝{x|1＜x＜2}．
（Ⅱ）{m|0≤m≤1}．
【分析】（Ⅰ）先求解出一元二次不等式，绝对值不等式的解集为集合A，B，然后根据并集概念求解出A∪B，再根据交集和补集概念求解出A∩ RB；
（Ⅱ）根据不等式先求解出M，然后根据B∪M＝R，列出关于m的不等式组，由此能求出实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵x2﹣x﹣2＜0，解得﹣1＜x＜2，
∴A＝{x|﹣1＜x＜2}，
∵|x|，解得x≥4或x≤1，∴B＝{x|x≤1或x≥4}，
∴A∪B＝{x|x＜2或x≥4}，
∵ RB＝{x|1＜x＜4}，
∴A∩ RB＝{x|1＜x＜2}．
（Ⅱ）∵关于x的不等式x2﹣（2m+4）x+m2+4m≤0的解集为M，
由x2﹣（2m+4）x+m2+4m≤0，得m≤x≤m+4，
∴M＝{x|m≤x≤m+4}，
∵B∪M＝R，∴，解得0≤m≤1，
∴实数m的取值范围是{m|0≤m≤1}．
【点评】本题考查一元二次不等式，绝对值不等式的解法、集合的运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
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