【新课预习衔接】2.4函数的奇偶性与简单的幂函数（培优卷.含解析）2025-2026学年高一上学期数学必修第一册北师大版（2019）

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新课预习衔接 函数的奇偶性与简单的幂函数
一．选择题（共4小题）
1．（2024 东台市期末）已知f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）单调递增，且f（4）＝0，则满足不等式x f（x﹣1）＜0的x的取值范围是（　　）
A．（﹣3，1） B．（1，5）
C．（﹣3，0）∪（1，5） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，5）
2．（2024 七里河区校级期末）若是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增，则m的值为（　　）
A．﹣1或3 B．1或﹣3 C．﹣1 D．3
3．（2024 孝南区校级期末）设偶函数f（x）的定义域为R，当∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，则，f（π），f（﹣3）的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024 河池模拟）已知a＞0且a≠1，则“b＝﹣1”是“函数为偶函数”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二．多选题（共2小题）
（多选）5．（2024秋 琼山区校级月考）对于定义在R上的函数f（x），若f（x+1）是奇函数，f（x+2）是偶函数，且f（x）在[1，2]上单调递减，则（　　）
A．f（3）＝0
B．f（0）＝f（4）
C．
D．f（x）在[3，4]上单调递减
（多选）6．（2024 大通县期末）已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）＝0，当1≤x≤2时，f（x）＝﹣x+1，则（　　）
A．f（x）的图象关于点（1，0）对称
B．f（3）＝1
C．当﹣2≤x≤2时，f（x）＝﹣|x|+1
D．f（x）在[0，+∞）上单调递减
三．填空题（共4小题）
7．（2024 江苏期末）若f（x）是偶函数且在[0，+∞）上单调递增，又f（﹣2）＝1，则不等式f（x﹣1）＜1的解集为 　 　．
8．（2024 杨浦区校级期末）已知函数f（x）＝a是奇函数，则常数a＝　 　．
9．（2024 川汇区校级期末）已知幂函数f（x）＝（n2+2n﹣2）x（n∈Z）在（0，+∞）上是减函数，则n的值为　 　．
10．（2024 贵阳期末）幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm在区间（0，+∞）上单调递增，则实数m的值为 　 　．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 滕州市期末）已知幂函数y＝f（x）的图象过点．
（1）求出函数y＝f（x）的解析式；
（2）判断y＝f（x）在[0，+∞）上的单调性并用定义法证明．
12．（2024 静宁县校级期末）已知函数是幂函数，且f（3）＜f（5）．
（1）求实数m的值；
（2）若f（2a+1）＜f（3﹣4a），求实数a的取值范围．
13．（2024 阿勒泰地区期末）设a∈R，函数（a＞0）．
（1）若函数y＝f（x）是奇函数，求a的值；
（2）请判断函数y＝f（x）的单调性，并用定义证明．
14．（2024春 渑池县校级期末）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）＝f（x）+m在R上有三个零点，求m的取值范围．
15．（2024 盐都区期末）设m为实数，已知函数是奇函数．
（1）求m的值；
（2）求证：f（x）是R上的增函数；
（3）当x∈[﹣1，2）时，求函数f（x）的取值范围．
新课预习衔接 函数的奇偶性与简单的幂函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024 东台市期末）已知f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）单调递增，且f（4）＝0，则满足不等式x f（x﹣1）＜0的x的取值范围是（　　）
A．（﹣3，1） B．（1，5）
C．（﹣3，0）∪（1，5） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，5）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】C
【分析】依题意，可得当x＜0时，f（x）单调递增，且f（﹣4）＝0，x f（x﹣1）＜0 或，分别解之后取并即可．
【解答】解：∵f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）单调递增，且f（4）＝0，
∴当x＜0时，f（x）单调递增，且f（﹣4）＝0，
又x f（x﹣1）＜0，
∴或，即或，
解得1＜x＜5或﹣3＜x＜0．
故选：C．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质与应用，考查运算求解能力，属于中档题．
2．（2024 七里河区校级期末）若是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增，则m的值为（　　）
A．﹣1或3 B．1或﹣3 C．﹣1 D．3
【考点】幂函数的单调性与最值；幂函数的概念．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】D
【分析】由题意，根据幂函数的性质即可求解．
【解答】解：因为是幂函数，
则m2﹣2m﹣2＝1，则m＝﹣1或m＝3，
当m＝﹣1，y＝x0＝1，不符合题意，
当m＝3，f（x）＝x12，则f（x）在区间（0，+∞）上是单调递增函数，符合题意，
则m＝3满足题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
3．（2024 孝南区校级期末）设偶函数f（x）的定义域为R，当∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，则，f（π），f（﹣3）的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】A
【分析】根据函数f（x）为偶函数，得到，f（﹣3）＝f（3），再利用x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数求解．
【解答】解：因为函数f（x）为偶函数，
所以，f（﹣3）＝f（3），
因为当x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，
又，
所以，即．
故选：A．
【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的综合运用，属于基础题．
4．（2024 河池模拟）已知a＞0且a≠1，则“b＝﹣1”是“函数为偶函数”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】函数的奇偶性；充分条件与必要条件．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算．
【答案】A
【分析】根据题意，由偶函数的定义分析“b＝﹣1”和“函数为偶函数”的关系，即可得答案．
【解答】解：根据题意，当b＝﹣1时，f（x）＝﹣（ax+a﹣x），其定义域为R，有f（﹣x）＝f（x），f（x）为偶函数，
则“b＝﹣1”是“函数为偶函数”的充分条件，
反之，当b＝1时，f（x）＝ax+a﹣x，其定义域为R，有f（﹣x）＝f（x），f（x）为偶函数，
“b＝﹣1”不是“函数为偶函数”的必要条件，
故“b＝﹣1”是“函数为偶函数”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查函数奇偶性的判断，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．
二．多选题（共2小题）
（多选）5．（2024秋 琼山区校级月考）对于定义在R上的函数f（x），若f（x+1）是奇函数，f（x+2）是偶函数，且f（x）在[1，2]上单调递减，则（　　）
A．f（3）＝0
B．f（0）＝f（4）
C．
D．f（x）在[3，4]上单调递减
【考点】抽象函数的奇偶性；定义法求解函数的单调性．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．
【答案】ABC
【分析】根据函数的奇偶性结合函数的对称性结合函数的单调性分别判断各个选项即可．
【解答】解：令g（x）＝f（x+1），因为f（x+1）是奇函数，
所以g（﹣x）＝f（﹣x+1）＝﹣g（x）＝﹣f（x+1），
即f（﹣x+1）＝﹣f（x+1），
所以f（x）的图象关于点（1，0）对称．
令h（x）＝f（x+2），因为f（x+2）是偶函数，
所以h（﹣x）＝f（﹣x+2）＝h（x）＝f（x+2），
即f（﹣x+2）＝f（x+2），
所以f（x）的图象关于直线x＝2对称．
A选项，由f（﹣x+1）＝﹣f（x+1），令x＝0，可得f（1）＝﹣f（1） f（1）＝0，
由f（﹣x+2）＝﹣f（x+2），令x＝1，可得f（1）＝f（3）＝0，故A正确；
B选项，由f（﹣x+2）＝f（x+2），令x＝2，可得f（0）＝f（4），故B正确．
C选项，由f（﹣x+1）＝﹣f（x+1），令，可得，故C正确．
D选项，由f（x）在[1，2]上单调递减，
结合f（x）的图象关于点（1，0）对称，
可知f（x）在[0，1]上单调递减，
由f（1）＝0可知f（x）在[0，2]上单调递减，
又f（x）的图象关于直线x＝2对称，
则f（x）在[2，4]上单调递增，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查了抽象函数的奇偶性、对称性及利用赋值法求抽象函数的值，属于中档题．
（多选）6．（2024 大通县期末）已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）＝0，当1≤x≤2时，f（x）＝﹣x+1，则（　　）
A．f（x）的图象关于点（1，0）对称
B．f（3）＝1
C．当﹣2≤x≤2时，f（x）＝﹣|x|+1
D．f（x）在[0，+∞）上单调递减
【考点】函数的奇偶性．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；直观想象；数学运算．
【答案】AC
【分析】对于A，由题意可得f（1+x）＝﹣f（1﹣x），即可得f（x）的图象关于点（1，0）对称，即可判断；
对于B，在f（x）+f（2﹣x）＝0中，令x＝3，即可求出f（3）的值，即可判断；
对于C，根据函数在[1，2]上的解析式及函数的奇偶性，求出函数在[﹣2，2]上的解析式即可判断；
对于D，由f（3）＝f（1）＝0，即可判断．
【解答】解：对于A，因为f（x）+f（2﹣x）＝0，所以f（x）＝﹣f（2﹣x），即f（1+x）＝﹣f（1﹣x），所以f（x）的图象关于点（1，0）对称，A正确；
对于B，在f（x）+f（2﹣x）＝0中，令x＝3，得f（3）＝﹣f（﹣1）＝﹣f（1）＝0，B错误；
对于C，当0≤x≤1时，1≤2﹣x≤2，所以f（2﹣x）＝﹣（2﹣x）+1＝x﹣1，又f（x）+f（2﹣x）＝0，
所以f（x）＝﹣f（2﹣x）＝﹣x+1，
即当0≤x≤2时，f（x）＝﹣x+1，
而f（x）为偶函数，所以当﹣2≤x≤0时，f（x）＝x+1，
综上可知，当﹣2≤x≤2时，f（x）＝﹣|x|+1，C正确；
对于D，由B的解析可知f（3）＝f（1）＝0，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了偶函数的性质、对称性及用赋值法求函数值，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
7．（2024 江苏期末）若f（x）是偶函数且在[0，+∞）上单调递增，又f（﹣2）＝1，则不等式f（x﹣1）＜1的解集为 　（﹣1，3）　．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】结合函数的奇偶性和函数的单调性求解即可．
【解答】解：因为f（x）是偶函数，所以f（2）＝f（﹣2）＝1，
所以f（x﹣1）＜f（2），
又因为在[0，+∞）上单调递增，
所以|x﹣1|＜2，
解得：﹣1＜x＜3．
故答案为：（﹣1，3）．
【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查运算求解能力，属于基础题．
8．（2024 杨浦区校级期末）已知函数f（x）＝a是奇函数，则常数a＝　　．
【考点】函数的奇偶性．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据奇函数的性质可得f（0）＝0，由此求得常数a的值．
【解答】解：∵知函数f（x）＝a是奇函数，故有f（0）＝a0，∴a，
故答案为：．
【点评】本题主要考查奇函数的性质，属于基础题．
9．（2024 川汇区校级期末）已知幂函数f（x）＝（n2+2n﹣2）x（n∈Z）在（0，+∞）上是减函数，则n的值为　1　．
【考点】幂函数的概念；幂函数的单调性与最值．
【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】1．
【分析】根据幂函数的定义和性质，列方程和不等式求出n的值．
【解答】解：幂函数f（x）＝（n2+2n﹣2）x（n∈Z）中，
令n2+2n﹣2＝1，
解得n＝﹣3或n＝1；
又f（x）在（0，+∞）上是减函数，
所以n2﹣3n＜0，
解得0＜n＜3；
所以n的值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．
10．（2024 贵阳期末）幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm在区间（0，+∞）上单调递增，则实数m的值为 　3　．
【考点】幂函数的概念；幂函数的单调性与最值．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】3．
【分析】根据幂函数的定义与单调性可得出关于m的等式与不等式，即可解得实数m的值．
【解答】解：因为幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm在区间（0，+∞）上单调递增，
则，解得m＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查幂函数的定义，属于基础题．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 滕州市期末）已知幂函数y＝f（x）的图象过点．
（1）求出函数y＝f（x）的解析式；
（2）判断y＝f（x）在[0，+∞）上的单调性并用定义法证明．
【考点】幂函数的概念．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象；数学运算．
【答案】（1）f（x）．
（2）f（x）在[0，+∞）上单调递增；证明过程见详解．
【分析】（1）代入点，求解即可．
（2）判断f（x）在[0，+∞）上单调递增；根据定义法证明即可．
【解答】解：（1）因为y＝f（x）是幂函数，所以设f（x）＝xα．
代入点，得到2α，解得．
故解析式为f（x）．
（2）f（x）在[0，+∞）上单调递增．
证明：令x1＞x2≥0，
则f（x1）﹣f（x2），因为x1＞x2≥0，所以f（x1）﹣f（x2）＞0．
故f（x）在[0，+∞）上单调递增．
【点评】本题主要考查函数的单调性，属于基础题．
12．（2024 静宁县校级期末）已知函数是幂函数，且f（3）＜f（5）．
（1）求实数m的值；
（2）若f（2a+1）＜f（3﹣4a），求实数a的取值范围．
【考点】幂函数的单调性与最值；幂函数的概念．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】（1）m＝1；
（2）．
【分析】（1）由已知f（3）＜f（5）及幂函数的定义即可求m；
（2）结合幂函数的单调性即可求解不等式．
【解答】解：（1）因为是幂函数，
所以4m2﹣3m＝1，
解得m＝1或，
当时，，此时f（3）＞f（5），不符合题意；
当m＝1时，，此时f（3）＜f（5），符合题意．
综上，m＝1；
（2）因为，所以f（x）的定义域为[0，+∞），且在[0，+∞）上单调递增，
所以f（2a+1）＜f（3﹣4a），即0≤2a+1＜3﹣4a，
解得，即实数a的取值范围是．
【点评】本题主要考查了幂函数的定义及性质的应用，属于基础题．
13．（2024 阿勒泰地区期末）设a∈R，函数（a＞0）．
（1）若函数y＝f（x）是奇函数，求a的值；
（2）请判断函数y＝f（x）的单调性，并用定义证明．
【考点】函数的奇偶性；由函数的单调性求解函数或参数．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．
【答案】（1）a＝1；
（2）函数y＝f（x）在R上为增函数，证明见解析．
【分析】（1）根据奇函数的性质，f（﹣x）＝﹣f（x），即可求解；
（2）首先根据解析式的形式，判断函数的单调性，再利用函数单调性的定义，即可证明．
【解答】解：（1）若函数y＝f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），
，则，
解得a＝±1，由a＞0，得a＝1；
（2）由（1）知，函数为单调递增函数，证明如下：
设x1＜x2，
，
因为x1＜x2，所以，即且，，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以函数y＝f（x）在R上为增函数．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质，函数的单调性的判断与证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
14．（2024春 渑池县校级期末）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）＝f（x）+m在R上有三个零点，求m的取值范围．
【考点】函数的奇偶性；函数解析式的求解及常用方法．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据函数的奇偶性求出x＜0时，f（x）的解析式即可；
（2）问题转化为直线y＝﹣m与f（x）的图象有三个交点，作出f（x）的图象，数形结合即可求出m的范围．
【解答】解：（1）因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，
当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x，
令x＜0，则﹣x＞0，
所以f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+2（﹣x）＝﹣x2﹣2x＝﹣f（x），
所以x＜0时，f（x）＝x2+2x，
所以f（x）．
（2）令g（x）＝f（x）+m＝0，则﹣m＝f（x），
作出函数f（x）的图象，如图所示：
根据图象，要保证函数g（x）＝f（x）+m在R上有三个零点，
则直线y＝﹣m与f（x）的图象有三个交点，
则﹣1＜﹣m＜1，即实数m的取值范围是（﹣1，1）．
【点评】本题主要考查函数解析式的求法，函数奇偶性的性质，数形结合思想的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
15．（2024 盐都区期末）设m为实数，已知函数是奇函数．
（1）求m的值；
（2）求证：f（x）是R上的增函数；
（3）当x∈[﹣1，2）时，求函数f（x）的取值范围．
【考点】奇偶性与单调性的综合；由函数的单调性求解函数或参数；函数的奇偶性．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．
【答案】（1）m＝2；
（2）证明见解析；
（3）．
【分析】（1）利用f（0）＝0，求出m的值，验证即可；
（2）利用函数单调性的定义证明即可；
（3）利用函数的单调性求解函数的值域即可．
【解答】（1）解：函数是奇函数，
则f（0），解得m＝2，
经检验，当m＝2时，f（x）为奇函数，
所以m的值为2；
（2）证明：由（1）可知，，
设x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2），
因为x1＜x2，
所以，，
故f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）是R上的增函数；
（3）解：由（2）可知，函数f（x）在x∈[﹣1，2）上单调递增，
所以f（﹣1）≤f（x）＜f（2），
即，
故函数f（x）的取值范围为．
【点评】本题考查了函数性质的综合应用，奇函数定义以及性质的应用，函数单调性的证明，单调性定义的应用，函数值域的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
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