【新课预习衔接】3.2指数幂的运算性质（培优卷.含解析）2025-2026学年高一上学期数学必修第一册北师大版（2019）

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新课预习衔接 指数幂的运算性质
一．选择题（共3小题）
1．（2024春 永宁县校级期末）已知3a＝6b＝10，则2，ab，a+b的大小关系是（　　）
A．ab＜a+b＜2 B．ab＜2＜a+b C．2＜a+b＜ab D．2＜ab＜a+b
2．（2024 海淀区校级三模）下列函数中，满足对任意的x1，x2∈（0，+∞），都有f（x1x2）＝f（x1）f（x2）的是（　　）
A．f（x）＝2x2 B．f（x）＝lnx
C． D．f（x）＝﹣x3
3．（2024 中山市期末）将化成分数指数幂的形式是（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共2小题）
（多选）4．（2023 汕头一模）已知2x＝3y＝36，则下列说法正确的是（　　）
A．xy＝2（x+y） B．xy＞16 C．x+y＜9 D．x2+y2＜32
（多选）5．（2024 白云区校级期中）下列说法中正确的是（　　）
A． B．16的4次方根是±2
C． D．
三．填空题（共5小题）
6．（2024 新化县期末）　 　．
7．（2024春 化州市期中）计算：（0.25）﹣0.56250.25＝　 　．
8．（2024 安宁区校级期末）求值：（π﹣3）0＝　 　．
9．（2024 奉贤区期末）已知a＞0，用有理数指数幂的形式表示　 　．
10．（2024 阆中市校级开学）已知m﹣x2，则　 　；
四．解答题（共5小题）
11．（2024 朝阳期末）计算：．
12．（2024秋 江苏月考）设f（x），g（x），求证：
（1）[g（x）]2﹣[f（x）]2＝1；
（2）f（2x）＝2f（x） g（x）；
（3）g（2x）＝[g（x）]2+[f（x）]2．
13．（2024春 保定期末）（1）计算：；
（2）已知a2x＝2，求的值．
14．（2024 湖北期末）化简或计算下列各式．
（1）；
（2）．
15．（2024 江西期末）回答下面两题：
（1）计算：　 　；
（2）计算：已知a+a﹣1＝6，则　 　．
新课预习衔接 指数幂的运算性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．（2024春 永宁县校级期末）已知3a＝6b＝10，则2，ab，a+b的大小关系是（　　）
A．ab＜a+b＜2 B．ab＜2＜a+b C．2＜a+b＜ab D．2＜ab＜a+b
【考点】有理数指数幂及根式．
【专题】计算题；转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】D
【分析】由3a＝6b＝10知a＝log310，b＝log610，lg3，lg6，从而解得．
【解答】解：∵3a＝6b＝10，
∴a＝log310＞2，b＝log610＞1，
∴ab＞2，a+b＞2，
∴lg3+lg6＝lg18＞1，
∴a+b＞ab，
故a+b＞ab＞2，
故选：D．
【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，属于基础题．
2．（2024 海淀区校级三模）下列函数中，满足对任意的x1，x2∈（0，+∞），都有f（x1x2）＝f（x1）f（x2）的是（　　）
A．f（x）＝2x2 B．f（x）＝lnx
C． D．f（x）＝﹣x3
【考点】有理数指数幂及根式；对数的运算性质．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】C
【分析】根据各项函数解析式，结合指对数运算性质或特例判断是否满足题设，即可得答案．
【解答】解：A：若f（x）＝2x2，由f（x1x2）＝f（x1）f（x2），得，取x1＝x2＝1，得2＝4不成立；
B：若f（x）＝lnx，由f（x1x2）＝f（x1）f（x2），得ln（x1x2）＝lnx1lnx2，取x1＝1，x2＝2，得ln2＝0不成立；
C：若，则，即f（x1x2）＝f（x1）f（x2），成立；
D：若f（x）＝﹣x3，由f（x1x2）＝f（x1）f（x2），得，取x1＝x2＝1，得﹣1＝1不成立．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数解析式的判断，属于基础题．
3．（2024 中山市期末）将化成分数指数幂的形式是（　　）
A． B． C． D．
【考点】有理数指数幂及根式．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】A
【分析】利用分数指数幂的意义及运算化简即可．
【解答】解：．
故选：A．
【点评】本题主要考查指数幂的运算，属于基础题．
二．多选题（共2小题）
（多选）4．（2023 汕头一模）已知2x＝3y＝36，则下列说法正确的是（　　）
A．xy＝2（x+y） B．xy＞16 C．x+y＜9 D．x2+y2＜32
【考点】有理数指数幂及根式．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】ABC
【分析】把指数式化为对数式可得x＝log236，y＝log336，再利用对数的运算性质可判断A，结合基本不等式可判断B，因为x+y＝4+2（），利用对勾函数y＝x的单调性可判断C，由对数函数的性质得到x，y的范围，进而求出x2+y2＞34，从而判断D．
【解答】解：∵2x＝3y＝36，
∴x＝log236，y＝log336，
∴log362+log363＝log366，
∴，即xy＝2（x+y），故选项A正确，
由基本不等式可得2，∴xy＞16，故选项B正确，
x+y＝log236+log336＝2log26+2log36＝2（1+log23+log32+1）＝4+2（log23+log32）＝4+2（），
∵，∴，
而对勾函数y＝x在（，2）上单调递增，
∴2，
∴x+y＜4+29，故选项C正确，
∵x＝log236＝2log26＝2（1+log23），∴x＞2（1）＝5，
∴x2＞25，
∵y＝log336＝2log36＝2（1+log32）＞3，∴y2＞9，
∴x2+y2＞34，故选项D错误，
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质以及对数函数的性质，属于中档题．
（多选）5．（2024 白云区校级期中）下列说法中正确的是（　　）
A． B．16的4次方根是±2
C． D．
【考点】有理数指数幂及根式．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】BD
【分析】利用根式的定义即可求解．
【解答】解：负数的3次方根是一个负数，，故A错误；
16的4次方根有两个，为±2，故B正确；
，故C错误；
是非负数，所以，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查指数幂的运算，属于基础题．
三．填空题（共5小题）
6．（2024 新化县期末）　π　．
【考点】有理数指数幂及根式．
【专题】对应思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】π．
【分析】根据指数幂的运算性质计算即可．
【解答】解：
＝π﹣3+2+1
＝π．
故答案为：π．
【点评】本题考查了指数幂的运算性质，是基础题．
7．（2024春 化州市期中）计算：（0.25）﹣0.56250.25＝　0　．
【考点】有理数指数幂及根式．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】化小数为分数，化小数指数为分数指数，化负指数为正指数，然后利用有理指数幂的运算化简求值．
【解答】解：（0.25）﹣0.56250.25．
故答案为0．
【点评】本题考查了有理指数幂的化简求值，是基础的计算题．
8．（2024 安宁区校级期末）求值：（π﹣3）0＝　﹣3　．
【考点】有理数指数幂及根式．
【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用指数的性质、运算法则直接求解．
【解答】解：（π﹣3）0
1
＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查指数式化简求值，考查指数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9．（2024 奉贤区期末）已知a＞0，用有理数指数幂的形式表示　　．
【考点】有理数指数幂及根式．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】．
【分析】根式形式化为分数指数幂形式再由指数运算化简即可．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题考查了有理数指数幂的运算性质，属于基础题．
10．（2024 阆中市校级开学）已知m﹣x2，则　．　；
【考点】有理数指数幂及根式．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】．
【分析】m﹣x2，可得mx2，于是m﹣x+mx＝2．对于利用乘法公式即可得出．
【解答】解：∵m﹣x2，∴mx2，
∴m﹣x+mx＝2，
则，
故答案为：．
【点评】本题考查了指数幂的运算性质、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 朝阳期末）计算：．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】．
【分析】化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简求值．
【解答】解：
＝﹣6
．
【点评】本题考查有理指数幂的运算性质，是基础题．
12．（2024秋 江苏月考）设f（x），g（x），求证：
（1）[g（x）]2﹣[f（x）]2＝1；
（2）f（2x）＝2f（x） g（x）；
（3）g（2x）＝[g（x）]2+[f（x）]2．
【考点】有理数指数幂及根式．
【专题】函数思想；整体思想；综合法；函数的性质及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】把已知式子整体代要证的等式化简可得．
【解答】证明：（1）∵f（x），g（x），
∴[g（x）]2﹣[f（x）]2＝[]2﹣[]2
1；
（2）∵f（x），g（x），
∴f（2x）
＝2 2f（x） g（x）；
（3））∵f（x），g（x），
∴[g（x）]2+[f（x）]2＝[]2+[]2
g（2x）
【点评】本题考查函数解析式的求解，整体代入是解决问题的关键，属基础题．
13．（2024春 保定期末）（1）计算：；
（2）已知a2x＝2，求的值．
【考点】有理数指数幂及根式；对数的运算性质．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据指数和对数公式化简；
（2）利用立方和差公式和指数公式化简求解．
【解答】解：（1）原式；
（2）因为a2x＝2，所以，
所以．
【点评】本题主要考查指数幂的运算，属于基础题．
14．（2024 湖北期末）化简或计算下列各式．
（1）；
（2）．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】（1）；
（2）0.09
【分析】（1）（2）利用根式与分数指数互化、指数幂的运算性质可化简所求代数式．
【解答】解：（1）原式．
（2）原式．
【点评】本题主要考查指数幂的运算，属于基础题．
15．（2024 江西期末）回答下面两题：
（1）计算：　　；
（2）计算：已知a+a﹣1＝6，则　±2　．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．
【答案】（1）；（2）±2．
【分析】（1）利用分式指数幂的运算公式，化简求值；
（2）首先求，即可化简求值．
【解答】解：（1）原式；
（2），
所以．
【点评】本题考查的知识要点：指数的运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
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