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函数的方程与零点
知识点一 函数的零点
1. 函数零点的定义
对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
零点存在性定理:
一般地，如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数 在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根.
相关结论:
①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.
②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.
③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号.
④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.
知识点二 二分法
对于在区间上连续不断且的函数，通过不断把函数的零点所在的区间一分为 二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
对于给定精确度，利用二分法求函数零点近似值的步骤如下:
①确定区间，验证，给定精确度;
②求区间的中点;
③计算;
a.若，则就是函数的零点;
b.若，则令(此时零点);
c.若，则令(此时零点).
④判断是否达到精确度，即:若，则得到零点近似值(或);
否则重复②③④.
【题型一】 函数的零点
【例1】已知函数的零点是1和2，则函数的零点为 .
【答案】0
【详解】∵的零点是1和2，∴，即，①
，即. ②
由①②可解得，.
将m，n的值代入函数，得.
令，得，解得.∴函数的零点是0
（1）函数的零点所在区间（零点存在性定理）
【例2】已知函数，则的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为和在上都是连续的增函数，
所以在上是连续的增函数，所以在上至多有一个零点，
因为，，
所以，所以唯一的零点所在的区间为，故选：C
变式1 函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数，
因为，则，即，可得，
，，所以，函数的零点所在的区间是.
故选：B.
变式2 函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】易知增函数加增函数为增函数，函数在定义域上单调递增，且，
，所以存在唯一零点，且.
故选：C.
（2） 零点比大小
【例3】实数a，b，c满足，则下列关系式中可能成立的是 .（填正确序号）
①；②；③；④.
【答案】①③④
【详解】不妨设，因为，所以，
记，如图，作出函数的图象，
设函数交点的纵坐标为，
函数交点的纵坐标为，由图可知，
①当时，，②当时，，③当时，，
④当时，， ⑤当时，，
综上所述的关系可能是，，，，，
故①③④正确，②错误.
故答案为：①③④.
【例4】已知函数的零点分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】令，可得，所以，即；
令，可得，即，所以，即；
令，可得，由此可得，所以，即，
作的图象，如图， 由图象可知，，所以.
故选：D
变式3 函数，，的零点分别为a，b，c，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】令，可得，因为，所以，，
可得，所以；
令，可得，因为，所以，，
可得，所以；
令，可得，因为，所以，，
可得，所以；综上，.
故选：A.
（3）零点与反函数
【例5】已知函数有两个零点，，则有
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为有两个零点，，即与有两个交点
由题意，分别画和的图象如下所示：
由图可知在和分别有一个交点，不妨设，，
那么在上有，即①，在有②，
①②相加有
，即
故选：C．
【例6】（多选题）已知函数的零点为，的零点为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】∵函数的零点为，的零点为，
∴函数与函数图象的交点的横坐标为，
函数与函数图象的交点的横坐标为，
作函数、函数、函数的图象如图6，点A的横坐标为，点B的横坐标为，
∵函数与函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称，
∴点A、B关于直线对称，又∵点A、B在直线上，∴点A、B关于原点对称，
对于A：∴，故选项A错误；
对于B：易知，故选项B正确；
对于C：∵，，，∴，即选项C正确；
对于D：由零点存在定理易知，，∴，即，，故选项D正确，
故选:BCD．
变式4（多选题）已知函数，的零点分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】因为函数与的图象关于直线对称，图象也关于直线对称，
设与图象的交点为A，
与图象的交点为，
则与关于直线对称，则，．
因为，所以，则，即，
因为的图象与直线的交点为，
所以，，，则．
故选：ABD.
【题型二】零点的个数
（1） 数形结合判断零点个数（转化为图像的交点个数）
【例7】已知函数，则函数的零点个数为
【答案】3
【详解】 设，设，则.
又，所以1是函数的一个零点；
因为，，所以，.
又，，所以，.
根据零点的存在定理，可知，，使得，即是函数的一个零点；
因为，，所以，.
又，，所以，.
根据零点的存在定理，可知，，使得，即是函数的一个零点.
结合函数图象以及的增长速度可知，当或时，函数没有零点.
综上所述，函数的零点为1，，，共3个零点.
变式5 已知，则方程的实数解个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】当时，由，得，则或，
解得或或，即当时，方程有3个实根，
当时，方程化为，令，
函数在上单调递增，于是，因此方程在上无实根，
所以方程的实数解个数为3.故选：A
（2）由零点个数求参数取值范围（分离参数）
【例8】已知函数，
若，有1个零点，求的取值范围。
若，有2个零点，求的取值范围。
若，有零点，求的取值范围。
若，有1个零点，求的取值范围。
若，有2个零点，求的取值范围。
【例9】已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】函数有两个不同的零点，等价于方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根，等价于函数与函数的图象有两个不同的交点．
，，
作出函数与函数的大致图象如图所示．
数形结合可知：当时，两个函数的图象有两个不同的交点，即函数有两个不同的零点．
故选：B.
变式6 若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ．
【答案】
【详解】因为在上均为增函数，则函数在区间上为增函数，
故若在区间上存在零点，则，可得．
故答案为：.
【例10】已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【详解】有题知：函数恰有个零点，
等价于函数与有个交点.
当函数与相切时，
即：，，
，解得或（舍去）.
所以根据图象可知：.
变式7 已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数取值范围是 .
【答案】
【详解】∵函数有三个不同的零点，∴函数的图象与直线有三个不同的交点，作出的图象和直线，如图，
，，，，射线的斜率为，
∴当时，直线与函数的图象有三个不同的交点．
故答案为：．
变式8 已知函数，若函数有三个零点，则实数a的取值范围是
【答案】
【详解】（1）当a<0时，，
令，得，或（舍去），令，得，令，得，
若函数有三个零点，则，无解，即不可能有三个零点；
当a=0时，，由（1）知有，或，三个零点，满足题意；
（3）当a>0时，，
当时有一个零点，是函数的一个零点，所以当时函数只有一个零点，
令，得，或（舍去），
令，得，即不论a取大于0的何值，是函数的一个零点，故有三个零点，
综上，实数a的取值范围是
【例11】对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”
（1）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；
（2）若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）根据局部奇函数的定义，存在，使；
∴，令，令，因为，所以，
设函数，任取，
所以在时单调递减，在时单调递增，，，
所以，，即，所以，即实数m的取值范围为.
（2）根据局部奇函数的定义知，存在，使；∴；
令，∵，当且仅当时取等号，
即当且仅当时取等号，∴，则：，
可将该式看成关于n的方程，当有解，
设，于是有或，
由，由，
综上得m的取值范围为．
变式9 已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点．
（1）若函数在区间内有局部对称点，求实数的取值范围；
（2）若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）方程=在区间上有解,于是,
设),,，其中，所以.
（2）,由于,
所以=.
于是=(*)在上有解.
令),则,
所以方程(*)变为=在区间内有解，需满足条件:.
即,，化简得.
【题型三】内横外竖破解复合函数零点问题
复合函数零点问题的法则：内函数横着走，外函数竖着走，参变分离横竖皆来．
将函数分为和一内一外两个函数，分别作出其图形，找到竖着外函数的零点，，，然后将，，作纵坐标在内函数当中横插从而找到交点来确定零点．
（1）嵌套函数零点个数
【例12】（多选题） 定义域和值域均为(常数)的函数和的图象如图所示，下列四个命题中正确的结论是（ ）
A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有三个解
C．方程有且仅有九个解 D．方程有且仅有一个解
【答案】AD
变式10 定义域和值域均为（常数的函数和的图象如图所示，给出下列四个命题:
(1)方程有且仅有三个解；(2)方程有且仅有三个解；
(3)方程有且仅有九个解；(4)方程有且仅有一个解．
那么，其中正确命题的个数是
【答案】(1)(4)
【例13】 已知函数，则函数的零点个数是 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【详解】令，则，
作出的图象和直线，由图象可得有两个交点，设横坐标为，
∴.当时，有，即有一解；当时，有三个解，
∴综上，共有4个解，即有4个零点.
变式11 已知函数若方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是 ；函数的零点个数是 .
【答案】
【详解】作出大致图象如下：
若方程有三个不等的实根，由图象可得实数的取值范围是；
令，则，可得，
且，
结合图象可知方程的一个根，另一个根，
当时，与的图象有1个交点，所以有1个实根，
当时，与的图象有3个交点，所以有3个实根，
综上所述：共有4个零点.
故答案为：；4.
（2）嵌套函①数的参数取值范围
外函数可因式分解，先外后内
【例14】已知函数，若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为
【答案】
【详解】当时，函数单调递增，函数取值集合是，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，函数取值集合是，
方程，化为，解得或，
如图，观察图象知，的解，即函数的图象与直线交点的横坐标，
显然方程只有一个解，
要原方程有四个不同的实数根，当且仅当有3个不同的实根，
因此直线与函数的图象有3个公共点，则，
所以实数的取值范围为.
变式12 已知函数.若关于的方程有且仅有四个不相等的实数解，求的取值范围.
【答案】
【详解】令，由可得，
整理得，解得或，作出函数的图象如下图所示：
因为，所以，
若，则直线与函数的图象有个公共点，
直线与函数的图象有个公共点，
此时，关于的方程有个不同的实数根，不合乎题意；
所以，则直线与函数的图象有个公共点，
所以，则.
变式13 已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数的取值范围是 ．
【答案】且.
【详解】，解得或，
画出及，的图象，如下：
其中，随着的增大，无限接近于直线，
故要想有4个不同的实根，
则需且，解得且.
故答案为：且.
②外函数不可因式分解，先内后外
【例15】已知函数，，若函数有6个零点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】画出的图象如下：
因为最多两个零点，
即当，或时，有两个不等零点，
要想有六个零点，结合函数图象，要和分别有3个零点，
则且，即的两个不等零点，
则要满足，解得，故实数的取值范围为
【例16】已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数m的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【详解】令，则原函数等价为．做出函数的图象如图，
图象可知：当时，函数有一个零点．
①当时，函数有三个零点．
②当时，函数有四个零点．
③当时，函数有三个零点．
④当时，函数有两个零点．
要使关于的函数有6个不同的零点，
则函数有两个根，，且，或，，
令，则由根的分布可得，
将，代入得：，此时的另一个根为，不满足，，
若，，则，解得：，故答案为：．
变式14 已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是
【答案】
【详解】因为函数恰有5个零点，
所以方程有5个根．
设，结合图象可得至多有三根，
则方程化为，此方程有两个不等的实根，，
结合的图象可知，，，
令，则由二次函数的零点的分布情况得：，解得．
【例17】 若函数，
（1）若不等式在上有解，求实数的取值范围；
（2）关于的方程有且仅有二个不同的实根，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)．
【详解】（1），化为，即，
令，则，因为，所以，问题化为，
记，因为，所以，所以；
（2）原方程化为，,
令，时，是减函数，且，时，是增函数且，，则，
所以时，有两个实数解，时，无实数解．
原问题转化为（*）在上只有1个实根，
，或，
时，方程（*）的解为满足题意
时，方程（*）的解为，满足题意，
，即或时，方程（*）有两个不等的实根，，不妨设，则，，
，即时，方程（*）的解为，，满足题意．
即时，，满足题意．
综上，实数的取值范围是．
变式15 已知二次函数，若函数与的图象有两个公共点，求实数的取值范围.
【答案】
【详解】由函数与的图象有两个公共点，
即，整理得,
此方程有两个实数根，令，，
则关于m的方程只有一个正实数根，
①若即时，，所以；
②若即时，满足只有一个正实数根，
有两种情况，有2个相等的正实根或两异号根，
即 或 ，解得或，
综上所述，t的取值范围是.
【题型四】 求与零点有关表达式的取值范围
【例18】函数，若，且互不相等，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】函数的图象如下图所示：
若，且互不相等，
不妨设，则，即，所以，
又，，所以，
又由变形得，解得，
所以，
变式16 已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围是
【答案】
【详解】由题设，当时，
当时，当且仅当时等号成立，故，且上递增，上递减，
当时单调递增，且，综上可得，如下函数图象：
∴要使有三个不同的零点，则，
由图知：有，当时令，则，有，，
∴且，而在上递减，
∴.
课后作业
1．己知偶函数.
(1)求实数k的值；
(2)若且对任意，不等式恒成立，求实数m的最大值；
(3)设，若方程有且只有一个解，求p的取值范围.
【答案】(1)；(2)4；(3)
【详解】（1）因为函数为偶函数，则，有，
，得恒成立，得；
（2）由（1）知，，，得或，即，
不等式，为，
即，恒成立，
设，当时，，
设，，
因为，所以，，则，
则，即
所以函数在上单调递增，所以，
即，恒成立，
则恒成立，即，
设，，设，
则，
因为，所以，，则，所以，
所以在上单调递增，当时的最小值为，
所以，实数的最大值为；
（3）由（1）知，，令，则，
整理为，
设，则，
可得，整理为，
原题转化为关于的方程在上只有1个实数根，则有，
当时，即时，方程为，得，符合题意，
当时，即时，方程的根为或，
由题意可得或，得或，
综上可得的取值范围是.
2．已知函数，则函数的零点个数是（ C ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【详解】当时，易知单调递增，则；
当时，，则，
令，解得，令，解得，
当时，，令，
令，由函数与函数在上单调递增，
则函数在上单调递增，所以，故函数在上无零点；
当时，，
令，则，化简可得，
，由对称轴，
当时，，当时，，
所以方程在有两个不相等的实数根，
故函数在上有两个零点；
当时，，令，
整理可得，易知该函数在上单调递减，则，
可得，由函数与函数在上单调递增，
则在上单调递增，所以，故在上无零点.
综上所述，函数在其定义域内有两个零点.
3．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的单调递增区间为
B．函数有两个零点
C．若方程有3个实根，则
D．方程的所有实根之和为
【答案】BCD
【详解】作出分段函数的图像，如图所示，
选项A：有图像可知，函数的单调递增区间为，A错；
选项B：
如图可知，函数的图像与的图像有两个交点，所以函数有两个零点,B正确；
选项C：有图像可知，当时，函数的图像与的图像有3个不同的交点，C正确；
选项D：当时，由，可得：，
由，可得，
所以方程的所有实根之和为D正确；
4．（多选）已知函数，函数，则下列结论正确的是（ ）
A．存在，使得没有零点
B．若，则有个零点
C．若，则有个零点
D．若有个零点，则的取值范围为
【答案】BCD
【详解】令，解得或；令，解得或或．
根据函数图象的平移变换，可画出的简图，如图所示．
令，则，令，则．
当时，只有1解，且，此时只有解，所以只有个零点．
当时，有解，即或．
有解；有解．所以有个零点．
当时，有3解．
当时，只有1解；
当时，有解；
当时，有解．所以有个零点．
当时，有3解，即或1或3．
只有1解；有2解；有3解．所以有6个零点．
当时，有2解．
当时，有2解；当时，有3解．所以有5个零点．
当时，只有1解有2解，所以有2个零点．
当时，只有1解，且，此时只有1解，所以只有个零点．
综上所述，对任意的，都有零点，A错，
若，则有个零点，B对，
若，则有个零点，C对，
若有个零点，则的取值范围为，D对，
5．（多选）已知函数，若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】如图示，作出和的图像.
当时，.
因为存在使得，所以.
由图示可知关于对称，所以，所以.故A正确；
令，即，解得： 或.
所以由图示可知：.故B正确.
因为当时，，所以，，所以时，有，即的图像关于对称，所以关于对称，所以，所以，即，所以.
因为，所以.故C错误；
因为关于对称，所以，所以.
又因为，所以.故D正确.
故选：ABD
6．已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为
【答案】
【详解】当时，在上单调递增，函数值集合为，
在上单调递减，函数值集合为，
当时，在上单调递增，函数值集合为，
函数的图象如下：
方程化为，解得或，
方程有5个不等的实数根，
等价于与的图象与直线和共有五个交点，而，
因此或，解得或，
所以的取值范围为.
故答案为：
7．已知函数，．若方程有4个不相同的实数根，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【详解】考虑方程，由的图象得：
当时，方程无解；当或时，方程一解；
当，方程两解．
故方程有4个不相同的实数根，等价于方程在区间上有两个不同实根，
则，解得：，所以实数a的取值范围为．
故答案为：．
8.已知函数.
（1）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）由可得，即对于恒成立，
∴时，，
又，在单减，在单增，则，解得；
（2）
由可得，
整理得，设，得，
由的图象知，原方程有三个解，则关于t的方程有两解，，
设两解为，则或或，
∴或或，解得.
9．已知函数若方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】作出图像，
令，则方程有6个不同的实数根等价于有2个不同的实数解，且，
则，解得，
故选：.
已知函数，函数且，函数有2个零点，求实数的取值范围.
【答案】.
【详解】函数有2个零点，
即关于的方程有2个不相等的实数根，
化简上述方程得，即，
所以，所以.
令，得关于的方程.
记，且，
①当时，函数的图象开口向上，图象恒过点，方程只有一个正实根，不符合题意.
②当时，函数的图象开口向下，图象恒过点，
因为，要满足题意，则方程应有两个正实根，即，
解得或，又，所以.
综上，的取值范围是.
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函数的方程与零点
知识点一 函数的零点
1. 函数零点的定义
对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
零点存在性定理:
一般地，如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数 在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根.
相关结论:
①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.
②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.
③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号.
④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.
知识点二 二分法
对于在区间上连续不断且的函数，通过不断把函数的零点所在的区间一分为 二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
对于给定精确度，利用二分法求函数零点近似值的步骤如下:
①确定区间，验证，给定精确度;
②求区间的中点;
③计算;
a.若，则就是函数的零点;
b.若，则令(此时零点);
c.若，则令(此时零点).
④判断是否达到精确度，即:若，则得到零点近似值(或);
否则重复②③④.
【题型一】 函数的零点
【例1】已知函数的零点是1和2，则函数的零点为 .
【答案】0
【详解】∵的零点是1和2，∴，即，①
，即. ②
由①②可解得，.
将m，n的值代入函数，得.
令，得，解得.∴函数的零点是0
（1）函数的零点所在区间（零点存在性定理）
【例2】已知函数，则的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为和在上都是连续的增函数，
所以在上是连续的增函数，所以在上至多有一个零点，
因为，，
所以，所以唯一的零点所在的区间为，故选：C
变式1 函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
变式2 函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
（2） 零点比大小
【例3】实数a，b，c满足，则下列关系式中可能成立的是 .（填正确序号）
①；②；③；④.
【答案】①③④
【详解】不妨设，因为，所以，
记，如图，作出函数的图象，
设函数交点的纵坐标为，
函数交点的纵坐标为，由图可知，
①当时，，②当时，，③当时，，
④当时，， ⑤当时，，
综上所述的关系可能是，，，，，
故①③④正确，②错误.
故答案为：①③④.
【例4】已知函数的零点分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】令，可得，所以，即；
令，可得，即，所以，即；
令，可得，由此可得，所以，即，
作的图象，如图， 由图象可知，，所以.
故选：D
变式3 函数，，的零点分别为a，b，c，则（ ）
A． B．
C． D．
（3）零点与反函数
【例5】已知函数有两个零点，，则有
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为有两个零点，，即与有两个交点
由题意，分别画和的图象如下所示：
由图可知在和分别有一个交点，不妨设，，
那么在上有，即①，在有②，
①②相加有
，即
故选：C．
【例6】（多选题）已知函数的零点为，的零点为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】∵函数的零点为，的零点为，
∴函数与函数图象的交点的横坐标为，
函数与函数图象的交点的横坐标为，
作函数、函数、函数的图象如图6，点A的横坐标为，点B的横坐标为，
∵函数与函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称，
∴点A、B关于直线对称，又∵点A、B在直线上，∴点A、B关于原点对称，
对于A：∴，故选项A错误；
对于B：易知，故选项B正确；
对于C：∵，，，∴，即选项C正确；
对于D：由零点存在定理易知，，∴，即，，故选项D正确，
故选:BCD．
变式4（多选题）已知函数，的零点分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【题型二】零点的个数
（1） 数形结合判断零点个数（转化为图像的交点个数）
【例7】已知函数，则函数的零点个数为
【答案】3
【详解】 设，设，则.
又，所以1是函数的一个零点；
因为，，所以，.
又，，所以，.
根据零点的存在定理，可知，，使得，即是函数的一个零点；
因为，，所以，.
又，，所以，.
根据零点的存在定理，可知，，使得，即是函数的一个零点.
结合函数图象以及的增长速度可知，当或时，函数没有零点.
综上所述，函数的零点为1，，，共3个零点.
变式5 已知，则方程的实数解个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
（2）由零点个数求参数取值范围（分离参数）
【例8】已知函数，
若，有1个零点，求的取值范围。
若，有2个零点，求的取值范围。
若，有零点，求的取值范围。
若，有1个零点，求的取值范围。
若，有2个零点，求的取值范围。
【例9】已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】函数有两个不同的零点，等价于方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根，等价于函数与函数的图象有两个不同的交点．
，，
作出函数与函数的大致图象如图所示．
数形结合可知：当时，两个函数的图象有两个不同的交点，即函数有两个不同的零点．
故选：B.
变式6 若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ．
【例10】已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【详解】有题知：函数恰有个零点，
等价于函数与有个交点.
当函数与相切时，
即：，，
，解得或（舍去）.
所以根据图象可知：.
变式7 已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数取值范围是 .
变式8 已知函数，若函数有三个零点，则实数a的取值范围是
【例11】对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”
（1）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；
（2）若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）根据局部奇函数的定义，存在，使；
∴，令，令，因为，所以，
设函数，任取，
所以在时单调递减，在时单调递增，，，
所以，，即，所以，即实数m的取值范围为.
（2）根据局部奇函数的定义知，存在，使；∴；
令，∵，当且仅当时取等号，
即当且仅当时取等号，∴，则：，
可将该式看成关于n的方程，当有解，
设，于是有或，
由，由，
综上得m的取值范围为．
变式9 已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点．
（1）若函数在区间内有局部对称点，求实数的取值范围；
（2）若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围．
【题型三】内横外竖破解复合函数零点问题
复合函数零点问题的法则：内函数横着走，外函数竖着走，参变分离横竖皆来．
将函数分为和一内一外两个函数，分别作出其图形，找到竖着外函数的零点，，，然后将，，作纵坐标在内函数当中横插从而找到交点来确定零点．
（1）嵌套函数零点个数
【例12】（多选题） 定义域和值域均为(常数)的函数和的图象如图所示，下列四个命题中正确的结论是（ ）
A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有三个解
C．方程有且仅有九个解 D．方程有且仅有一个解
【答案】AD
变式10 定义域和值域均为（常数的函数和的图象如图所示，给出下列四个命题:
(1)方程有且仅有三个解；(2)方程有且仅有三个解；
(3)方程有且仅有九个解；(4)方程有且仅有一个解．
那么，其中正确命题的个数是
【例13】 已知函数，则函数的零点个数是 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【详解】令，则，
作出的图象和直线，由图象可得有两个交点，设横坐标为，
∴.当时，有，即有一解；当时，有三个解，
∴综上，共有4个解，即有4个零点.
变式11 已知函数若方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是 ；函数的零点个数是 .
（2）嵌套函数的参数取值范围
①外函数可因式分解，先外后内
【例14】已知函数，若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为
【答案】
【详解】当时，函数单调递增，函数取值集合是，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，函数取值集合是，
方程，化为，解得或，
如图，观察图象知，的解，即函数的图象与直线交点的横坐标，
显然方程只有一个解，
要原方程有四个不同的实数根，当且仅当有3个不同的实根，
因此直线与函数的图象有3个公共点，则，
所以实数的取值范围为.
变式12 已知函数.若关于的方程有且仅有四个不相等的实数解，求的取值范围.
变式13 已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数的取值范围是 ．
②外函数不可因式分解，先内后外
【例15】已知函数，，若函数有6个零点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】画出的图象如下： 因为最多两个零点，
即当，或时，有两个不等零点，
要想有六个零点，结合函数图象，要和分别有3个零点，
则且，即的两个不等零点，
则要满足，解得，故实数的取值范围为
【例16】已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数m的范围是
【答案】
【详解】令，则原函数等价为．做出函数的图象如图，
①当时，函数有一个零点．
②当时，函数有三个零点．
③当时，函数有四个零点．
④当时，函数有三个零点．
⑤当时，函数有两个零点．
要使关于的函数有6个不同的零点，
则函数有两个根，，
且，或，，
令，则由根的分布可得，
将，代入得：，此时的另一个根为，不满足，，
若，，则，解得：，故答案为：．
变式14 已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是
【例17】 若函数，
（1）若不等式在上有解，求实数的取值范围；
（2）关于的方程有且仅有二个不同的实根，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)．
【详解】（1），化为，即，
令，则，因为，所以，问题化为，
记，因为，所以，所以；
（2）原方程化为，,
令，时，是减函数，且，时，是增函数且，，则，
所以时，有两个实数解，时，无实数解．
原问题转化为（*）在上只有1个实根，
①，或，
时，方程（*）的解为满足题意
时，方程（*）的解为，满足题意，
②，即或时，方程（*）有两个不等的实根，，不妨设，则，，
，即时，方程（*）的解为，，满足题意．
即时，，满足题意．
综上，实数的取值范围是．
变式15 已知二次函数，若函数与的图象有两个公共点，求实数的取值范围.
【题型四】 求与零点有关表达式的取值范围
【例18】函数，若，且互不相等，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】函数的图象如下图所示：
若，且互不相等，
不妨设，则，即，所以，
又，，所以，
又由变形得，解得，
所以，
变式16 已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围是
课后作业
1．己知偶函数.
(1)求实数k的值；
(2)若且对任意，不等式恒成立，求实数m的最大值；
(3)设，若方程有且只有一个解，求p的取值范围.
2．已知函数，则函数的零点个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的单调递增区间为
B．函数有两个零点
C．若方程有3个实根，则
D．方程的所有实根之和为
4．（多选）已知函数，函数，则下列结论正确的是（ ）
A．存在，使得没有零点
B．若，则有个零点
C．若，则有个零点
D．若有个零点，则的取值范围为
5．（多选）已知函数，若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为
7．已知函数，．若方程有4个不相同的实数根，则实数a的取值范围为 .
已知函数.
（1）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.
9．已知函数若方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
已知函数，函数且，函数有2个零点，求实数的取值范围.
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