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函数的零点
【题型一】零点的应用
【例1】实数a，b，c满足，则下列关系式中可能成立的是 .（填正确序号）
①；②；③；④.
【答案】①③④
【详解】不妨设，因为，所以，
记，如图，作出函数的图象，
设函数交点的纵坐标为，
函数交点的纵坐标为，由图可知，
①当时，，②当时，，③当时，，
④当时，， ⑤当时，，
综上所述的关系可能是，，，，，
故①③④正确，②错误.
故答案为：①③④.
【例2】已知函数的零点分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】令，可得，所以，即；
令，可得，即，所以，即；
令，可得，由此可得，所以，即，
作的图象，如图， 由图象可知，，所以.
故选：D
变式1 函数，，的零点分别为a，b，c，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】令，可得，因为，所以，，
可得，所以；
令，可得，因为，所以，，
可得，所以；
令，可得，因为，所以，，
可得，所以；综上，.
故选：A.
【例3】已知函数有两个零点，，则有
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为有两个零点，，即与有两个交点
由题意，分别画和的图象如下所示：
由图可知在和分别有一个交点，不妨设，，
那么在上有，即①，在有②，
①②相加有
，即
故选：C．
【例4】（多选题）已知函数的零点为，的零点为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】∵函数的零点为，的零点为，
∴函数与函数图象的交点的横坐标为，
函数与函数图象的交点的横坐标为，
作函数、函数、函数的图象如图6，点A的横坐标为，点B的横坐标为，
∵函数与函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称，
∴点A、B关于直线对称，又∵点A、B在直线上，∴点A、B关于原点对称，
对于A：∴，故选项A错误；
对于B：易知，故选项B正确；
对于C：∵，，，∴，即选项C正确；
对于D：由零点存在定理易知，，∴，即，，故选项D正确，
故选:BCD．
变式2（多选题）已知函数，的零点分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】因为函数与的图象关于直线对称，图象也关于直线对称，
设与图象的交点为A，
与图象的交点为，
则与关于直线对称，则，．
因为，所以，则，即，
因为的图象与直线的交点为，
所以，，，则．
故选：ABD.
【题型二】判断零点的个数
【例5】已知函数，则函数的零点个数为 ．
【答案】3
【详解】由，得或.
当时，，
所以当，单调递减；
当，单调递增，
所以时，有极小值.
又时，，
画出函数的图象如图所示，由图可知：函数的零点个数为3.
变式3 设函数，则函数的零点个数为 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】3
【详解】函数的图象如图所示，
由，得，令，则，
当时，，得，
当时，，则，所以当时，，由图象可知方程有两个实根，
当 时，，由图象可知，方程有1个实根，
综上，方程有3个实根，
【题型三】根据零点个数求参数
【例6】设是定义域为的偶函数，且，当时， ，若函数有3个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为函数满足，所以函数的对称轴为，
又是定义域为的偶函数，当时， ，
所以当时，，且，
所以当时，所以，
当时，所以， 令，得，
则将函数有3个不同的零点，转化为与有3个交点，作出图象如下图所示，联立，整理得，
则，解得（舍去），
联立，整理得，则，解得（舍去），所以要使与有3个交点，所以，
变式4 已知定义在（0，+）上的函数f（x）满足：，若方程在（0，2]上恰有三个根，则实数k的取值范围是___________.
【答案】
【详解】方程在（0，2]上恰有三个根，
即直线与函数的图像有三个交点，
当时，，则，
当时，；当时，，
所以f（x）在（0，）上单调递减，f（x）在（，1]上单调递增.
结合函数的“周期现象”得f（x）在（0，2]上的图像如下：
由于直线l；过定点A（0，）.如图连接A，B（1，0）两点作直线，过点A作的切线l2，
设切点P（，），其中，则斜率
切线过点A（0，）.
则，即，则，
当直线绕点A（0，）在与之间旋转时.
直线与函数在[-1，2]上的图像有三个交点，故
【例7】 设，函数若在区间内恰有6个零点，则的取值范围是（ ）
【答案】
【详解】在区间内恰有6个零点，又最多有两个零点，
当时，至少有四个根，，
令，即，，，
又，，即，
令，解得或，
①若且，解得，
此时在有2个零点，
只需要在有4个零点，
这4个零点分别为
故且，解得，此时有6个零点，满足题意，
②当且时，解得，
此时在有1个零点，
只需要在有5个零点，
这5个零点分别为，
故且，解得，此时有6个零点，满足题意，
③当且时，解得，
此时在有1个零点，
只需要在有5个零点，
这5个零点分别为，
故且，解得不存在，
综上可得或。
变式5 已知函数在定义域上有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当时，令，解得：；
当时，令，解得：，
令，则，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，；
在定义域上有三个零点，为一个零点且有两个解，
，解得：，即实数的取值范围是，故选：B.
【例8】已知函数，若方程有两个不同实根，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】作出函数的图象如下：
令，则方程有两个不同实根，
当时，方程的根为，此时无实根，不符合题意，舍去；
当时，若方程有两相等实根，
则，解得或，
当时，方程的根，此时无根，不符合题意，舍去；
当时，方程的根，此时有两个不同实根，符合题意；
若方程有两个不同实根，设为，
所以，解得或
同时有或或
所以或或或
解得.
综上或
故答案为：.
变式6（多选题）已知函数，则（ ）
A．若函数有3个零点，则
B．函数有3个零点
C．，使得函数有6个零点
D．，函数的零点个数都不为4
【答案】BD
【详解】函数的图象如下图所示：
A：令，
当函数有3个零点时，函数与直线有三个不同的交点，
由图象可知，，因此本选项不正确；
B：由函数的图象可知：，
令，可解，舍去，
当时，由图象可知有三个实数解，因此本选项正确；
C：当函数有6个零点时，此时有，
当时，即，
当时，，
由图象可知，函数与直线最多有三个不同的交点，
因此要想有函数有6个零点，必有，
因此本选项不正确；
D：由，
令，则，
当时，即或，
当时，有两个不同的实根，
当时，有三个不同的实根
所以此时函数有五个零点，
当时，，或，或，
由图象可知此时时函数一共有七个零点，
当时，，或，或，
由图象可知函数此时一共有6个零点，
当时，，或，
由图象可知函数此时一共有3个零点，
当时，，即，此时不等式的解集为空集，
综上所述：，函数的零点个数都不为4，
故选：BD
【题型四】求与零点有关表达式的取值范围
【例9】 已知函数，且关于的方程有三个不相等的实数解，，.若，则的值为 .
【答案】1
【详解】，设所以
当时恒成立，所以在单调递增，
如图所示：
令，又因为
即，即在有两个根
即
根据韦达定理得：
所以
故答案为：1
【例10】函数，若，且互不相等，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】函数的图象如下图所示：
若，且互不相等，
不妨设，
则，即，所以，
又，，所以，
又由变形得，解得，所以，故选：C.
变式7 函数若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】画出函数的图象如图，
因为，且，
由图可知点的横坐标分别为，
其中，
因为的图象关于对称，
所以，又
所以，
因为，所以，即的取值范围是，故选：B.
【题型五】 复合零点个数求参数的范围
（一）外函数可因式分解，先外后内
【例11】已知函数，若关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令，即，得或，
则直线和直线与函数的图象共有个交点.
当时，，，令，得.
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
函数的极大值为，且当时，，
如下图所示：
由于关于的方程有个不同的实数解，
由图象可知，直线与函数的图象只有一个交点，
所以，直线与函数的图象有个交点，所以，解得.
因此，实数的取值范围是.故选：D.
变式8（多选题）已知函数若函数有4个零点，则的取值可能是（ ）
A． B．-1 C．0 D．2
【答案】AC
【详解】令，即，解得或.当时，.由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，且.画出的图象，如图所示.由图可知有2个不同的实根，则有4个零点等价于有2个不同的实根，且，故.
故选：AC
（二）外函数不可因式分解，先内后外
【例12】 设若关于x的方程有6个实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】作函数的图象如下，
令f(x) =t，则方程可化为
要使关于x的方程有6个实数解，
则方程在( 0, 4)内有两个不同的实数根，
解得，
变式9 已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数m的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令，则原函数等价为．
做出函数的图象如图，
图象可知：当时，函数有一个零点．
当时，函数有三个零点．
当时，函数有四个零点．
当时，函数有三个零点．
当时，函数有两个零点．
要使关于的函数有6个不同的零点，
则函数有两个根，，且，或，，
令，则由根的分布可得，将，代入得：，
此时的另一个根为，不满足，，
若，，则，解得：，故答案为：．
【例13】 设，函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当时，的大致图象如图1，此时令，可得，观察图象可解得或，即方程有2个根，则此时只有2个零点，不合题意；
当时，的大致图象如图2，此时令，可得或，
由图易知恰有一根，则需满足有两根，而和均为的根，
则需满足时，，
又时的对称轴为，则，解得，则，
综上，的取值范围为.
变式10 已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】令，，，因此，函数在上单调递增，在上单调递减，
时，，且时，恒成立，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
时，，在R上的图象如图，
当时，由得，即，由得，则有函数的零点为-2，0，
函数有三个零点，当且仅当和共有三个零点，即和共有三个零点，
当，即时，和各一个零点，共两个零点，
当，即时，有两个零点，有一个零点，共三个零点，
当，即时，有三个零点，有一个零点，共四个零点，
当，即时，有两个零点，有一个零点，共三个零点，
当，即时，和各有一个零点，共两个零点，
当，即时，无零点，要有三个零点，当且仅当有三个零点，必有，
所以实数的取值范围是.
【例14】若函数有极值点，，且，则关于x的方程的不同实数根个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】，
对于有是方程的两根
令，则，，，不妨设，利用有两根，所以，根据三次函数的性质，可以画出的图像，如图所示，又因为，所以由图可知，有1个解，有2个解
故选：A．
变式11（多选题）已知函数存在两个极值点，且，．设的零点个数为，方程的实根个数为，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．一定能被3整除 D．的取值集合为
【答案】AB
【详解】由题意可知为二次函数，且为的零点，
由得或，
当时，令，解得或；令，解得；
可知：在内单调递增，在内单调递减，
则为极大值点，为极小值点，
若，则，
因为，即，两者相矛盾，故，
则有2个根，有1个根，可知，
若，可知，；
若，可知，；
若，可知，；
故A正确；
当时，令，解得；令，解得或；
可知：在内单调递增，在内单调递减，
则为极大值点，为极小值点，
若，则，
因为，即，两者相矛盾，故，
若，即，可知，，；
若，即，可知，，；
若，即，可知，，；
此时，故B正确；
综上所述：的取值集合为，的取值集合为，
故CD错误；
故选：AB.
【题型六】恒成立之零点重合--穿针引线的应用
【例15】已知a＞0，，若时，关于x的不等式恒成立，则的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【详解】设，
因为，所以当时，，当时，，
根据不等式可知或
对于，必有即
则当时，，
当且仅当时等号成立，所以，的最小值为.
故选:D.
【例16】若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【详解】当时，关于的不等式在上恒成立，
即关于的不等式在上恒成立，，
， ，
由得，得，
在递减，在递增，
，所以
当时，，，
所以必有，，
必有，即，，，
考虑函数，
在单调递增，且，
所以，，满足题意，
所以或.
故选：C
变式12 已知，，若时，关于x的不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，时，，时，，
所以，，故，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
故选：C．
变式11 若存在实数，使得关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以不等式可变形为，
令，由题意可得函数和函数的图象，
一个在直线的上方，一个在直线的下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值.
由求导可得，令，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；所以，
由求导可得，
令，可得或，
①当时，时，，单调递增；
时，，单调递减；所以有最大值，无最小值，不符合题意，
②当时，时，，单调递减；时，，单调递增；
此时，所以，即，即，
所以实数的取值范围是.故选：D.
课后作业
1．已知定义在上的函数和都是偶函数，当时，，则函数在上的零点个数是
【答案】8
【详解】因为是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，即.又因为函数为偶函数，所以，即，
所以函数的周期为.
因为当时，，
所以，，在上单调递增.
作出函数与函数 的图象如图所示.由图可得，交点共有个，
故函数的零点个数为.
2．已知函数，则函数的零点个数是 ．
【答案】4
【详解】令，则，
作出的图象和直线，由图象可得有两个交点，设横坐标为，
∴.
当时，有，即有一解；当时，有三个解，
∴综上，共有4个解，即有4个零点.
3．已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题设，当时，
当时，当且仅当时等号成立，故，且上递增，上递减，
当时单调递增，且，
综上可得，如下函数图象：
∴要使有三个不同的零点，则，
由图知：有，当时令，则，有，，
∴且，而在上递减，
∴，故选：A
4．已知函数关于x的方程在上有四个不同的解，，，，且．若恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】画出函数的图象，如图所示：
，由图易知，当时，方程无解，故只有时才有四个不相同的解，且．由，解得或，从而，
由余弦函数的性质知，关于直线对称，则，
由，即①，解得x＝1或x＝9，从而，
令得，则，
故等价于，故，恒成立，所以（当且仅当时取得最小值），所以，故选：D．
5．设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，．若在区间内关于的方程恰有个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由可得，
所以，函数和函数在上的图象有个交点，
因为对任意的，都有，即，
所以，函数是周期为的周期函数，
因为是定义在上的偶函数，且当时，，则.
作出函数和函数在上的图象如下图所示：
要使得函数和函数在上的图象有个交点，
则，解得.
因此，实数的取值范围是，故选：A.
6．已知定义在上的奇函数，满足，当时，，若函数在区间上有个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，可得，
所以图象关于中心对称，
因为是定义在上的奇函数，所以即，
所以周期为，
若在区间上有个零点，
则与图象在区间上有个交点，
作与图象如图：
函数是定义域为的奇函数，所以，
所以，
由图知：与图象在区间上有个交点横坐标分别为：
，，，，，，，，，，，，，
第个交点横坐标为，所以实数的取值范围是，
7．已知函数，若关于的函数有6个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】作出的函数图象如下：
设，则当或时，方程只有1解，
当时，方程有2解，
当时，方程有3解，
当时，方程无解．
∵关于的函数有6个不同的零点，
∴关于的方程在上有两解，
∴，解得．
故答案为：．
8．已知函数，（是自然对数的底数），若函数有4个不同的零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】令得，
所以在单调递减，在单调递增，
且当时，，，
所以图像如图所示：
由图像可得令解得或，
令，
由图像可得当时，有一个解；当时，有两个解；当时有三个解；当时有两个解；当时有两个解；当时有一个解；当时，无解；
所以当有四个不同的解时，，
故答案为：
9．设a∈R，函数f(x)，若函数f(x)在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．（2，]∪（，] B．（，2]∪（，]
C．（2，]∪[，3） D．（，2）∪[，3）
【答案】A
【详解】最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，
由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，
，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，
则可解得a的取值范围是，故选：A．
10．已知函数 ，若函数在内恰有5个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当时，对任意的，在上至多个零点，不合乎题意，所以，.
函数的对称轴为直线，.
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且.
①当时，即当时，则函数在上无零点，
所以，函数在上有个零点，
当时，，则，
由题意可得，解得，此时不存在；
②当时，即当时，函数在上只有一个零点，
当时，，则，则函数在上只有个零点，
此时，函数在上的零点个数为，不合乎题意；
③当时，即当时，函数在上有个零点，
则函数在上有个零点，
则，解得，此时；
④当时，即当时，函数在上有个零点，
则函数在上有个零点，
则，解得，此时，.
综上所述，实数的取值范围是，故选：D.
11．已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （ ）
A． B．3 C．6 D．9
【答案】B
【详解】由题意得：为R上的增函数，且
当时，，，
当时，，，
方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，
作出函数与的图象如下图所示：
由图可知与图象关于对称，
则两点关于对称，中点在图象上，
由，解得：.
所以.故选：B
已知函数，且关于的方程有三个不相等的实数解且，则的值为 .
【答案】1
【分析】把方程变形为，看成方程组的根，画出的图像，与一元二次方程的根的情况.
【详解】，设
所以
当时恒成立，
所以在单调递增，
如图所示：
令，又因为
即，即在有两个根
即
根据韦达定理得：
所以
故答案为：1
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函数的零点
【题型一】零点的应用
【例1】实数a，b，c满足，则下列关系式中可能成立的是 .（填正确序号）
①；②；③；④.
【答案】①③④
【详解】不妨设，因为，所以，
记，如图，作出函数的图象，
设函数交点的纵坐标为，
函数交点的纵坐标为，由图可知，
①当时，，②当时，，③当时，，
④当时，， ⑤当时，，
综上所述的关系可能是，，，，，
故①③④正确，②错误.
故答案为：①③④.
【例2】已知函数的零点分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】令，可得，所以，即；
令，可得，即，所以，即；
令，可得，由此可得，所以，即，
作的图象，如图， 由图象可知，，所以.
故选：D
变式1 函数，，的零点分别为a，b，c，则（ ）
A． B．
C． D．
【例3】已知函数有两个零点，，则有
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为有两个零点，，即与有两个交点
由题意，分别画和的图象如下所示：
由图可知在和分别有一个交点，不妨设，，
那么在上有，即①，在有②，
①②相加有
，即
故选：C．
【例4】（多选题）已知函数的零点为，的零点为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】∵函数的零点为，的零点为，
∴函数与函数图象的交点的横坐标为，
函数与函数图象的交点的横坐标为，
作函数、函数、函数的图象如图6，点A的横坐标为，点B的横坐标为，
∵函数与函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称，
∴点A、B关于直线对称，又∵点A、B在直线上，∴点A、B关于原点对称，
对于A：∴，故选项A错误；对于B：易知，故选项B正确；
对于C：∵，，，∴，即选项C正确；
对于D：由零点存在定理易知，，∴，即，，故选项D正确，故选:BCD．
变式2（多选题）已知函数，的零点分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【题型二】判断零点的个数
【例5】已知函数，则函数的零点个数为 ．
【答案】3
【详解】由，得或.
当时，，
所以当，单调递减；
当，单调递增，
所以时，有极小值.
又时，，画出函数的图象如图所示，
由图可知：函数的零点个数为3.
变式3 设函数，则函数的零点个数为 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型三】根据零点个数求参数
【例6】设是定义域为的偶函数，且，当时， ，若函数有3个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为函数满足，所以函数的对称轴为，
又是定义域为的偶函数，当时， ，
所以当时，，且，
所以当时，所以，
当时，所以， 令，得，
则将函数有3个不同的零点，转化为与有3个交点，作出图象如下图所示，联立，整理得，
则，解得（舍去），
联立，整理得，则，解得（舍去），所以要使与有3个交点，所以，
变式4 已知定义在（0，+）上的函数f（x）满足：，若方程在（0，2]上恰有三个根，则实数k的取值范围是___________.
【例7】 设，函数若在区间内恰有6个零点，则的取值范围是（ ）
【答案】
【详解】在区间内恰有6个零点，又最多有两个零点，
当时，至少有四个根，，
令，即，，，
又，，即，
令，解得或，
①若且，解得，
此时在有2个零点，
只需要在有4个零点，
这4个零点分别为
故且，解得，此时有6个零点，满足题意，
②当且时，解得，
此时在有1个零点，
只需要在有5个零点，
这5个零点分别为，
故且，解得，此时有6个零点，满足题意，
③当且时，解得，
此时在有1个零点，
只需要在有5个零点，
这5个零点分别为，
故且，解得不存在，
综上可得或，
变式5 已知函数在定义域上有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例8】已知函数，若方程有两个不同实根，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】作出函数的图象如下：令，则方程有两个不同实根，
当时，方程的根为，此时无实根，不符合题意，舍去；
当时，若方程有两相等实根，
则，解得或，
当时，方程的根，此时无根，不符合题意，舍去；
当时，方程的根，此时有两个不同实根，符合题意；
若方程有两个不同实根，设为，
所以，解得或
同时有或或
所以或或或
解得.综上或故答案为：.
变式6（多选题）已知函数，则（ ）
A．若函数有3个零点，则
B．函数有3个零点
C．，使得函数有6个零点
D．，函数的零点个数都不为4
【题型四】求与零点有关表达式的取值范围
【例9】 已知函数，且关于的方程有三个不相等的实数解，，.若，则的值为 .
【答案】1
【详解】，设所以
当时恒成立，所以在单调递增，
如图所示：
令，又因为
即，即在有两个根，即
根据韦达定理得：
所以
【例10】函数，若，且互不相等，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】函数的图象如下图所示：
若，且互不相等，
不妨设，
则，即，所以，
又，，所以，
又由变形得，解得，所以，故选：C.
变式7 函数若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型五】 复合零点个数求参数的范围
（一）外函数可因式分解，先外后内
【例11】已知函数，若关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令，即，得或，
则直线和直线与函数的图象共有个交点.
当时，，，令，得.
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
函数的极大值为，且当时，，
如下图所示：
由于关于的方程有个不同的实数解，
由图象可知，直线与函数的图象只有一个交点，
所以，直线与函数的图象有个交点，所以，解得.
因此，实数的取值范围是.故选：D.
变式8（多选题）已知函数若函数有4个零点，则的取值可能是（ ）
A． B．-1 C．0 D．2
（二）外函数不可因式分解，先内后外
【例12】设若关于x的方程有6个实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】作函数的图象如下，
令f(x) =t，则方程可化为
要使关于x的方程有6个实数解，
则方程在( 0, 4)内有两个不同的实数根，
解得，
变式9 函数，若函数有6个不同的零点，则实数m的范围是（ ）
A． B． C． D．
【例13】 设，函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当时，的大致图象如图1，此时令，可得，观察图象可解得或，即方程有2个根，则此时只有2个零点，不合题意；
当时，的大致图象如图2，此时令，可得或，
由图易知恰有一根，则需满足有两根，而和均为的根，
则需满足时，，
又时的对称轴为，则，解得，综上，范围为.
变式10 已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例14】若函数有极值点，，且，则关于x的方程的不同实数根个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】，
对于有是方程的两根
令，则，，，
不妨设，利用有两根，所以，根据三次函数的性质，
可以画出的图像，如图所示，
又因为，所以由图可知，有1个解，有2个解
故选：A．
变式11 （多选题）已知函数存在两个极值点，且，．设的零点个数为，方程的实根个数为，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．一定能被3整除 D．的取值集合为
【题型六】恒成立之零点重合--穿针引线的应用
【例15】已知a＞0，，若时，关于x的不等式恒成立，则的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【详解】设，
因为，所以当时，，当时，，
根据不等式可知或
对于，必有即
则当时，，
当且仅当时等号成立，所以，的最小值为.
故选:D.
【例16】若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【详解】当时，关于的不等式在上恒成立，
即关于的不等式在上恒成立，，
， ，
由得，得，
在递减，在递增，
，所以
当时，，，
所以必有，，
必有，即，，，
考虑函数，
在单调递增，且，
所以，，满足题意，
所以或.故选：C
变式12 已知，，若时，关于x的不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式13 若存在实数，使得关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
课后作业
1．已知定义在上的函数和都是偶函数，当时，，则函数在上的零点个数是
2．已知函数，则函数的零点个数是 ．
3．已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数关于x的方程在上有四个不同的解，，，，且．若恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，．若在区间内关于的方程恰有个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知定义在上的奇函数，满足，当时，，若函数在区间上有个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，若关于的函数有6个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
8．已知函数，（是自然对数的底数），若函数有4个不同的零点，则实数的取值范围是 .
9．设a∈R，函数f(x)，若函数f(x)在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．（2，]∪（，] B．（，2]∪（，]
C．（2，]∪[，3） D．（，2）∪[，3）
10．已知函数 ，若函数在内恰有5个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （ ）
A． B．3 C．6 D．9
已知函数，且关于的方程有三个不相等的实数解且，则的值为 .
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