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函数的性质——单调性、奇偶性、周期性
知识点一 函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数的定义域为，区间：
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．
如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．
①属于定义域内某个区间上；
②任意两个自变量，且；
③都有或；
④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.
记住几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
知识点二 函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称
奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称
【奇偶函数判定】①如果或，则函数为偶函数；
②如果或，则函数为奇函数．
【注意】由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是定义域关于原点对称。
【奇偶函数的性质】
若奇函数在处有意义，则有；
必为偶函数；同理偶函数必满足。
（2）偶函数关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数关于原点对称的两个区间上单调性相同.
（3）奇偶性的运算：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
（4）若，，则必为偶函数，必为奇函数.
（5）常见的奇偶函数
函数 奇偶性 单调性 可替换函数
， 奇 增
， 偶 先减后增
， 奇 增
， 奇 减
， 奇 增
奇 减
， 奇 减
， 奇 增
， 偶 先减后增
知识点三 函数的对称性与周期性
1、函数的周期性（同为周期则相减）
（1）若，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.
若，则
若，则
若，则
若，则
若，则
若，则
2、函数的对称性（异为对称则相加除2）
(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．
(3)若，则函数关于对称．
(4)若，则函数关于对称．
(5)若，则函数关于对称．
(6)若，则函数关于对称．
3、函数的对称性与周期性的转换--借助波浪图理解记忆
(1)若函数同时关于，对称则函数的周期
(2)若函数同时关于，对称则函数的周期
(3)若函数同时关于，对称则函数的周期
(4)若偶函数关于对称则函数的周期
(5)若奇函数关于对称则函数的周期
4、复合函数的对称性
(1)若函数关于轴对称，则关于轴对称。
(2)若函数关于中心对称，则关于中心对称。
5、类周期函数
若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数．
对称性的加减运算
若关于中心对称，关于中心对称，则关于中心对称。
若关于轴对称，关于轴对称，则关于轴对称。
对称轴不一样的两个函数，或者对称中心不一样的两个函数，相加（减）之后不再具有对称性。
知识点四 抽象函数
抽象函数的性质 特殊函数模型
① ② 正比例函数
① ② 指数函数
① ② 对数函数
① ② 幂函数
【题型一】函数的单调性及应用
【例1】函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】令，解得，
令，则，
∵函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在定义域内递增，
∴根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是故选：C
【例2】已知函数的定义域为，且对任意两个不相等的实数，都有，则不等式的解集为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】不妨设，因为，
所以，
故是上的增函数，原不等式等价于，解得．故选：B.
【例3】设函数，若，，（e为自然对数的底数），则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知，函数为偶函数，且在上单调递增，又，，，所以，故．
故选：D
变式1 讨论函数（）在上的单调性.
变式2 已知函数(e为自然对数的底数)，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．[1，+∞) C． D．
变式3 已知是奇函数，且对任意且都成立，设， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【例4】已知，函数的定义域为I，若存在，使得在上的值域为，我们就说是“类方函数”.下列四个函数中是“类方函数”的是（ ）
①；②；③；④.
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
【答案】C
【详解】①中，假设是“类方函数”，因为单调递减，所以，即，又，方程无解，①不符合；
②中，假设是“类方函数”，因为，所以，所以，所以在上单调递增，所以，即，又，所以，②符合；
③中，假设是“类方函数”，易知在上单调递增，且，所以，且，所以，又，解得，③符合；
④中，假设是“类方函数”，易知在R上单调递减，且，所以，且所以，即即方程有两个正数解，由与的图象可知两图象有一个公共点，④不符合.
故选：C.
变式4 在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义域I内单调递增且有界的函数，即，，．则下列函数中，所有符合上述条件的序号是______．
①；②；③；④．
【题型二】 利用函数单调性求参数的范围
【例5】已知函数（且）在区间上单调递增，则实数的取值不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当且时，函数单调递减，
则要使在区间上单调递增，
需要满足，解得，
结合选项易知，只有不满足，故选：D.
【例6】“”是“函数是在上的单调函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】依题意，函数是在上的单调函数，
由于在上递增，所以在上递增，
所以且，即.
所以“”是“函数是在上的单调函数”的必要不充分条件.
故选：B
变式5 函数在上是减函数，则实数的范围是_______.
变式6 已知函数若，，，且仅有1个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型三】函数的奇偶性的判断与证明
【例7】若函数是偶函数，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
【答案】C
【详解】由已知，，所以，
函数为偶函数，所以，所以，整理得：，所以.故选：C.
【例8】已知函数为奇函数，则______．
【答案】2或
【详解】函数为奇函数，其定义域为
由，解得或
当时，，则，满足条件.
当时，，则，满足条件.
故答案为：2或
【例9】存在函数使得对于都有，则函数可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为对于都有，且为偶函数，
所以必为偶函数.
对于A：为奇函数.故A错误；
对于B：为非奇非偶函数.故B错误；
对于C：对于.定义域为R.因为，所以为奇函数.故C错误；
对于D：对于.定义域为R.因为，所以为偶函数.故D正确；
变式7 已知函数为偶函数，则的值为_________.
变式8 已知函数为偶函数，则______．
变式9 若是奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【例10】已知函数为定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】当时，则，因为是奇函数，所以.故选：D
【例11】已知偶函数，当时，，则的图象在点处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当时，，，解得：，
当时，；
当时，，，
又为偶函数，，即时，，
则，.
故选：A.
【例12】分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则下列说法错误的是（ ）
A． B．在上单调递减
C．关于直线对称 D．的最小值为1
【答案】B
【详解】由题，将代入得，因为分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以可得，将该式与题干中原式联立可得.
对于A：，故A正确；
对于B：，所以不可能单调递减，故B错误；
对于C：根据偶函数定义可得，所以为偶函数，表示向右平移1101个单位，故关于对称，故C正确；
对于D：根据基本不等式，当且仅当时取等，故D正确；
故选：B
变式10 已知是定义在R上的奇函数，且时，，则在上的最大值为( )
A．1 B．8 C． D．
变式11 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，求在上的解析式.
变式12 若函数是奇函数，是偶函数，且其定义域均为.若，求，的解析式.
【题型四】已知奇函数+M，求函数值
【例13】已知（a，b为实数），，则______．
【答案】-2014
【详解】，
因为为奇函数，所以，
其中，所以，
解得：，故答案为：-2014
【例14】若对，有，函数在区间上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【详解】由题设，且，
∴，则，∴为奇函数，令，
∴，即是奇函数，
∴在上的最小、最大值的和为0，即，
∴，故选：B
【例15】若函数在区间上的最大值、最小值分别为、，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以
因为函数 为奇函数，所以它在区间上的最大值、最小值之和为0，
也即，所以
变式 13 已知函数，且，则（ ）
A．2 B．3 C．－2 D．－3
变式 14 函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式 15 函数，若最大值为，最小值为，，则的取值范围是______.
【题型五】函数的对称性与周期性
【例16】已知函数的定义域为R，且对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且，则（ ）
A．2021 B． C．2022 D．
【答案】C
【详解】因为函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称，即函数为奇函数；
因为对任意，都有，令，得，又函数为奇函数，故，解得，则，即，所以4是函数的一个周期；所以.故选：C.
【例17】已知定义在R上的偶函数满足，且当时，，则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】，，，时，单调递增；
，，单调递增；
，
，，，
综上所述，，故选：A.
【例18】已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由，得，
因为，所以，
即，设，
则在上单调递减，
而，
则，解得：；
因为为R上的奇函数，所以，
则为R上的偶函数，故在上单调递增，
，
则，解得：；
综上，原不等式的解集为，故选：B.
【例19】（多选题） 已知函数，，，则（ ）
A．的图象关于对称
B．的图象没有对称中心
C．对任意的，的最大值与最小值之和为
D．若，则实数的取值范围是
【答案】ACD
【详解】因为，所以的图象关于对称，故A正确；
因为的定义域为，且，所以的图象关于对称，故B不正确；
因为，所以的图象关于对称，所以对任意的，最大值与最小值之和为，故C正确；
由，得，又在上单调递减，且，所以或，解得或，故D正确，故选：ACD.
变式16 已知是定义在R上的奇函数，若为偶函数且，则（ ）
A． B． C． D．6
变式17 已知函数满足对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且 则（ ）
A． B． C． D．
变式18 已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【例20】 已知函数满足，且函数与的图象的交点为， ，，，则（ ）
A．－4π B．－2π C．2π D．4π
变式19 已知定义域为R的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【题型六】类周期函数
【例21】定义域为的函数满足，当时，，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为当时，不等式恒成立，所以，
当时，
当时，，当时， ，因此当时，，选B.
变式20 定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【题型七】函数性质的综合
【例22】已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】∵，∴
又 ，
∴ 函数为奇函数，
又，且仅时，
∴ 函数在R上为增函数，∴ 函数为R上的增函数，
不等式可化为，
∴
∴ ∴ 或，∴ 实数的取值范围是，故选：D.
【例23】定义在上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当时，单调递减，，
当时，单调递减，，
故在上单调递减，
由，得的对称轴为，
若对任意的，不等式恒成立，
即对，不等式恒成立，
，即，即，
故实数的最大值为，故选：C.
变式21 已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式22 设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
课后作业
一、单选题
1. 已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
2.函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于( )
A．0 B．10 C． D．
3.已知为奇函数，且当时，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4.对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若函数的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5.若函数是上的单调函数，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
6.如果 ，则的取值范围是___________．
7.定义在R上的函数满足以下三个条件：①对于任意的实数，都有成立；②函数的图象关于y轴对称；③对任意的，，，都有成立.则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
8.已知函数，其中，给出以下关于函数的结论：
①②当时，函数值域为③当时方程恰有四个实根,其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
9.已知函数是上的奇函数，且，且当时，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10.已知函数，则关于t的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
11.已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
12. （多选题）下面关于函数的性质，说法正确的是（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C．在定义域上单调递减 D．点是图象的对称中心
13.（多选题）已知定义在R上的偶函数的图像是连续的，，在区间上是增函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的一个周期为6 B．在区间上单调递减
C．的图像关于直线对称 D．在区间上共有100个零点
14.（多选题）已知函数对任意都有，若函数的图象关于对称，且对任意的，且，都有，若，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．
C．的图象关于点对称 D．
三、填空题
15. 已知函数在上的最小值为1，则的值为________.
16.若函数f（x）同时满足：（1）对于定义域上的任意x，恒有；（2）对于定义域上的任意，当，恒有，则称函数f（x）为“理想函数”，下列①，②，③，④四个函数中，能被称为“理想函数”的有___________.（填出函数序号）
四、解答题
17. 设a∈R，函数；
(1)求a的值，使得f（x）为奇函数；
(2)若对任意x∈R成立，求a的取值范围．
18．设函数，是定义域为R的奇函数
(1)确定的值
(2)若，使得对一切恒成立，求出的范围.
19．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”.
(1)已知函数，试判断是否为“类函数”？并说明理由；
(2)设是定义域上的“类函数”，求实数m的取值范围；
(3)若为其定义域上的“类函数”，求实数取值范围.
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函数的性质——单调性、奇偶性、周期性
知识点一 函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数的定义域为，区间：
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．
如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．
①属于定义域内某个区间上；
②任意两个自变量，且；
③都有或；
④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.
记住几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
知识点二 函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称
奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称
【奇偶函数判定】①如果或，则函数为偶函数；
②如果或，则函数为奇函数．
【注意】由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是定义域关于原点对称。
【奇偶函数的性质】
若奇函数在处有意义，则有；
必为偶函数；同理偶函数必满足。
（2）偶函数关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数关于原点对称的两个区间上单调性相同.
（3）奇偶性的运算：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
（4）若，，则必为偶函数，必为奇函数.
（5）常见的奇偶函数
函数 奇偶性 单调性 可替换函数
， 奇 增
， 偶 先减后增
， 奇 增
， 奇 减
， 奇 增
奇 减
， 奇 减
， 奇 增
， 偶 先减后增
知识点三 函数的对称性与周期性
1、函数的周期性（同为周期则相减）
（1）若，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.
若，则
若，则
若，则
若，则
若，则
若，则
2、函数的对称性（异为对称则相加除2）
(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．
(3)若，则函数关于对称．
(4)若，则函数关于对称．
(5)若，则函数关于对称．
(6)若，则函数关于对称．
3、函数的对称性与周期性的转换--借助波浪图理解记忆
(1)若函数同时关于，对称则函数的周期
(2)若函数同时关于，对称则函数的周期
(3)若函数同时关于，对称则函数的周期
(4)若偶函数关于对称则函数的周期
(5)若奇函数关于对称则函数的周期
4、复合函数的对称性
(1)若函数关于轴对称，则关于轴对称。
(2)若函数关于中心对称，则关于中心对称。
5、类周期函数
若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数．
对称性的加减运算
若关于中心对称，关于中心对称，则关于中心对称。
若关于轴对称，关于轴对称，则关于轴对称。
对称轴不一样的两个函数，或者对称中心不一样的两个函数，相加（减）之后不再具有对称性。
知识点四 抽象函数
抽象函数的性质 特殊函数模型
① ② 正比例函数
① ② 指数函数
① ② 对数函数
① ② 幂函数
【题型一】函数的单调性及应用
【例1】函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】令，解得，
令，则，
∵函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在定义域内递增，
∴根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是故选：C
【例2】已知函数的定义域为，且对任意两个不相等的实数，都有，则不等式的解集为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】不妨设，因为，
所以，
故是上的增函数，原不等式等价于，解得．故选：B.
【例3】设函数，若，，（e为自然对数的底数），则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知，函数为偶函数，且在上单调递增，又，，，所以，故．
故选：D
变式1 讨论函数（）在上的单调性.
【详解】任取、，且，，则：
，
当时，，即，函数在上单调递减；
当时，，即，函数在上单调递增.
变式2 已知函数(e为自然对数的底数)，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．[1，+∞) C． D．
【答案】C
【详解】因为，
所以，
所以时，，函数在上为单调递增，
时，，函数在上为单调递减，
又，
所以函数为偶函数，所以，
所以可化为，所以，
所以，所以，故实数a的取值范围是，故选：C.
变式3 已知是奇函数，且对任意且都成立，设， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当时，由，
当时，由，因此函数是单调递增函数，
因为是奇函数，所以，因此当时，有，
当时，有，
因为是奇函数，所以有，
因为，所以，即，因此.
故选：B
【例4】已知，函数的定义域为I，若存在，使得在上的值域为，我们就说是“类方函数”.下列四个函数中是“类方函数”的是（ ）
①；②；③；④.
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
【答案】C
【详解】①中，假设是“类方函数”，因为单调递减，所以，即，又，方程无解，①不符合；
②中，假设是“类方函数”，因为，所以，所以，所以在上单调递增，所以，即，又，所以，②符合；
③中，假设是“类方函数”，易知在上单调递增，且，所以，且，所以，又，解得，③符合；
④中，假设是“类方函数”，易知在R上单调递减，且，所以，且所以，即即方程有两个正数解，由与的图象可知两图象有一个公共点，④不符合.
故选：C.
变式4 在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义域I内单调递增且有界的函数，即，，．则下列函数中，所有符合上述条件的序号是______．
①；②；③；④．
【答案】③④
【详解】对于①，无界，不符合题意；
对于②，不单调，不符合题意；
对于③，单调递增，且，则，符合题意；
对于④，单调递增，且，则，符合题意．
故答案为：③④
【题型二】 利用函数单调性求参数的范围
【例5】已知函数（且）在区间上单调递增，则实数的取值不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当且时，函数单调递减，
则要使在区间上单调递增，
需要满足，解得，
结合选项易知，只有不满足，故选：D.
【例6】“”是“函数是在上的单调函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】依题意，函数是在上的单调函数，
由于在上递增，所以在上递增，
所以且，即.
所以“”是“函数是在上的单调函数”的必要不充分条件.
故选：B
变式5 函数在上是减函数，则实数的范围是_______.
【答案】
【详解】函数，定义域为，
又，
因为函数在上是减函数，所以只需在上是减函数，
因此，解得.
故答案为：
变式6 已知函数若，，，且仅有1个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为R，有，即，
即与同号，所以在R上单调递增，
即在上单调递增，则，故；
因为在处的切线方程为，
即，
又，所以与没有公共点，
若函数仅有一个零点，
所以函数与图象仅有一个交点，
则与有且仅有1个公共点，且为，
所以在处的切线的斜率k大于等于1，
而，得，
即，解得，
综上，的取值范围为.故选：C.
【题型三】函数的奇偶性的判断与证明
【例7】若函数是偶函数，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
【答案】C
【详解】由已知，，所以，
函数为偶函数，所以，所以，整理得：，所以.故选：C.
【例8】已知函数为奇函数，则______．
【答案】2或
【详解】函数为奇函数，其定义域为
由，解得或
当时，，则，满足条件.
当时，，则，满足条件.
故答案为：2或
【例9】存在函数使得对于都有，则函数可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为对于都有，且为偶函数，
所以必为偶函数.
对于A：为奇函数.故A错误；
对于B：为非奇非偶函数.故B错误；
对于C：对于.定义域为R.因为，所以为奇函数.故C错误；
对于D：对于.定义域为R.因为，所以为偶函数.故D正确；
变式7 已知函数为偶函数，则的值为_________.
【答案】
【详解】因为函数为偶函数，所以，
则有=，得，则有.
变式8 已知函数为偶函数，则______．
【答案】1
【详解】由题设，，所以.故答案为：1
变式9 若是奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】易知定义域为，由为奇函数可得，即，解得.
【例10】已知函数为定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】当时，则，因为是奇函数，所以.故选：D
【例11】已知偶函数，当时，，则的图象在点处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当时，，，解得：，
当时，；
当时，，，
又为偶函数，，即时，，
则，.
故选：A.
【例12】分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则下列说法错误的是（ ）
A． B．在上单调递减
C．关于直线对称 D．的最小值为1
【答案】B
【详解】由题，将代入得，因为分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以可得，将该式与题干中原式联立可得.
对于A：，故A正确；
对于B：，所以不可能单调递减，故B错误；
对于C：根据偶函数定义可得，所以为偶函数，表示向右平移1101个单位，故关于对称，故C正确；
对于D：根据基本不等式，当且仅当时取等，故D正确；
故选：B
变式10 已知是定义在R上的奇函数，且时，，则在上的最大值为( )
A．1 B．8 C． D．
【答案】C
【详解】∵是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，
又∵，，∴，∴时，，
设，则，则，则，
即当x＞0时，，∴f(x)在上单调递减，∴f(x)在上的最大值为.
故选：C.
变式11 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，求在上的解析式.
【答案】
【详解】由题意知，.当时，.
由是奇函数，，
综上，在上，
变式12 若函数是奇函数，是偶函数，且其定义域均为.若，求，的解析式.
【答案】，
【详解】依题意，函数是奇函数，是偶函数，
解得，.
【题型四】已知奇函数+M，求函数值
【例13】已知（a，b为实数），，则______．
【答案】-2014
【详解】，
因为为奇函数，所以，
其中，所以，
解得：，故答案为：-2014
【例14】若对，有，函数在区间上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【详解】由题设，且，
∴，则，∴为奇函数，令，
∴，即是奇函数，
∴在上的最小、最大值的和为0，即，
∴，故选：B
【例15】若函数在区间上的最大值、最小值分别为、，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以
因为函数 为奇函数，所以它在区间上的最大值、最小值之和为0，
也即，所以
变式 13 已知函数，且，则（ ）
A．2 B．3 C．－2 D．－3
【答案】D
【详解】设，因为，所以为奇函数，
因为，所以，则．故选：D.
变式 14 函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，函数为上的奇函数，其图象关于原点对称，
又由函数向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所以函数关于点对称，所以，故选：C.
变式 15 函数，若最大值为，最小值为，，则的取值范围是______.
【答案】
【详解】，
令，定义域为关于原点对称，
∴，
∴为奇函数，∴，
∴，
，由对勾函数的单调性可知在上单调递减，在上单调递增，
∴，，，
∴，∴，故答案为：.
【题型五】函数的对称性与周期性
【例16】已知函数的定义域为R，且对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且，则（ ）
A．2021 B． C．2022 D．
【答案】C
【详解】因为函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称，即函数为奇函数；
因为对任意，都有，令，得，又函数为奇函数，故，解得，则，即，所以4是函数的一个周期；所以.故选：C.
【例17】已知定义在R上的偶函数满足，且当时，，则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】，，，时，单调递增；
，，单调递增；
，
，，，
综上所述，，故选：A.
【例18】已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由，得，
因为，所以，
即，设，
则在上单调递减，
而，
则，解得：；
因为为R上的奇函数，所以，
则为R上的偶函数，故在上单调递增，
，
则，解得：；
综上，原不等式的解集为，故选：B.
【例19】（多选题） 已知函数，，，则（ ）
A．的图象关于对称
B．的图象没有对称中心
C．对任意的，的最大值与最小值之和为
D．若，则实数的取值范围是
【答案】ACD
【详解】由题意知的定义域为，因为，所以的图象关于对称，故A正确；
因为的定义域为，且，所以的图象关于对称，故B不正确；
因为，所以的图象关于对称，所以对任意的，最大值与最小值之和为，故C正确；
由，得，又在上单调递减，且，所以或，解得或，故D正确，
故选：ACD.
变式16 已知是定义在R上的奇函数，若为偶函数且，则（ ）
A． B． C． D．6
【答案】C
【详解】因为是定义在R上的奇函数，又为偶函数，
所以、且，
则，即，
所以，即是以为周期的周期函数，
由，
所以，
，
，
所以；故选：C
变式17 已知函数满足对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为对任意，都有
令 得 解得
则 即
所以函数的图象关于直线对称.
又函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称，
即函数为奇函数，所以
所以 所以8是函数的一个周期，
所以故选：D.
变式18 已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由函数的图象关于直线对称可得，结合奇函数的性质可知
，.
由奇函数的性质结合在上单调递增可得在上单调递增，
所以，所以.故选：C
【例20】 已知函数满足，且函数与的图象的交点为， ，，，则（ ）
A．－4π B．－2π C．2π D．4π
【答案】B
【详解】函数满足，则的图像关于点 成中心对称.
又的图像关于点 成中心对称
所以函数与的图像的交点关于点对称.
则，
所以，故选：B
变式19 已知定义域为R的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【详解】因为函数满足，所以函数的图象关于直线对称，
又函数为偶函数，所以，
所以函数是周期为2的函数，
又的图象也关于直线对称，
作出函数与在区间上的图象，如图所示：
由图可知，函数与的图象在区间上有8个交点，且关于直线对称，
所以方程在区间上所有解的和为，故选：A.
【题型六】类周期函数
【例21】定义域为的函数满足，当时，，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为当时，不等式恒成立，所以，
当时，
当时，，当时， ，因此当时，，选B.
变式20 定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，
因为时，，所以，
因为函数满足，所以，
所以，，
又因为，恒成立，
故，
解不等式可得或.
【题型七】函数性质的综合
【例22】已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】∵，∴
又 ，
∴ 函数为奇函数，
又，且仅时，
∴ 函数在R上为增函数，∴ 函数为R上的增函数，
不等式可化为，
∴
∴ ∴ 或，∴ 实数的取值范围是，故选：D.
【例23】定义在上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当时，单调递减，，
当时，单调递减，，
故在上单调递减，
由，得的对称轴为，
若对任意的，不等式恒成立，
即对，不等式恒成立，
，即，即，
故实数的最大值为，故选：C.
变式21 已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令，则
，即函数为上的奇函数，
又，函数为上的增函数，
又，，
则，，
所以，即解得或，即实数的取值范围是或．故选：A．
变式22 设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵当x≥0时，f（x）＝x2，∴此时函数f（x）单调递增，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数f（x）在R上单调递增，
当当x<0时，f（x）＝x2，
若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥2f（x）恒成立，
∵2f（x）＝f（x），∴f（x+a）≥f（x）恒成立，
则x+a恒成立，即a≥﹣x恒成立，
∵x∈[a，a+2]，∴（）max（a+2），即a（a+2），
解得a，即实数a的取值范围是故答案为．故选：
课后作业
一、单选题
1. 已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，，，当时，恒成立，
所以在上是增函数，
原不等式变形为，即，所以．
故选：B．
2.已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于( )
A．0 B．10 C． D．
【答案】C
【详解】令，则，
∴f(x)和g(x)在上单调性相同，
∴设g(x)在上有最大值，有最小值.
∵，
∴，
∴g(x)在上为奇函数，∴，
∴，∴，
.
故选：C.
3.已知为奇函数，且当时，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】当时，，则，
所以，又，故切线方程为，即.故选：A
4.对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若函数的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】依题意，函数关于原点对称的图象与函数
的图象有两个交点，即方程有两个根，
即：，令，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
又在出的切线方程为，如图，
由图可知，要使方程有两个根，则或.
故选：B.
5.若函数是上的单调函数，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为分段函数在上的单调函数，由于开口向上，故在上单调递增，故分段函数在在上的单调递增，所以要满足：，解得：
故选：B
6.如果 ，则的取值范围是___________．
【答案】．
【详解】由已知得
令 ，则 对任意恒成立，于是在上单调减．
即
由在上单调递减得 ，解得
所以的取值范围是．
故答案为：
7.定义在R上的函数满足以下三个条件：①对于任意的实数，都有成立；②函数的图象关于y轴对称；③对任意的，，，都有成立.则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意，因为函数的图象关于y轴对称，所以，
所以，所以函数的图象关于对称，
又，所以，即，
因为，所以函数是周期为4的函数，
所以，，，
因为，且，所以，
所以函数为奇函数，
又因为对任意的，，，都有成立，即，
所以函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
因为，所以，
故选：B.
8.已知函数，其中，给出以下关于函数的结论：
①②当时，函数值域为③当时方程恰有四个实根,其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】B
【详解】当时，，是把向右平移2个单位变成后，再把纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，如图：
∵，故①正确；
由题知函数在上函数值域为，在上函数值域为，在上函数值域为，在上函数值域为，故当时，函数值域为，故②正确；
当时有无数个实数根，故③错误；
故选：B
9.已知函数是上的奇函数，且，且当时，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以，因此函数的周期为，
所以，
又函数是上的奇函数，所以，
所以，即，
所以原式，
又当时，，可得，因此原式.
故选：B．
10.已知函数，则关于t的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
，
图象关于点成中心对称，
又的定义域为，
由在上单调递增知，
在上递增，
，，
即，
，解得，又，解得，
所以.
故选：C
11.已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】的定义域为，
，故，
，
因为（当且仅当等号成立），
（当且仅当等号成立），
故，所以为上的增函数，
故可转化为：，
即转化为：，
所以对任意的恒成立，
故对任意的恒成立，
当时，恒成立，故符号，
当时，，故，
当时，的图象为开口向上的抛物线，
故对任意不恒成立，舍，
故，
故选：C.
二、多选题
12. （多选题）下面关于函数的性质，说法正确的是（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C．在定义域上单调递减 D．点是图象的对称中心
【答案】AD
【详解】
由向右平移个单位，再向上平移个单位得到，
因为关于对称，所以关于对称，故D正确；
函数的定义域为，值域为，故A正确，B错误；
函数在和上单调递减，故C错误；
故选：AD
13.（多选题）已知定义在R上的偶函数的图像是连续的，，在区间上是增函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的一个周期为6 B．在区间上单调递减
C．的图像关于直线对称 D．在区间上共有100个零点
【答案】BC
【详解】因为，取，得，故，又是偶函数，所以，所以，
故，即的一个周期为12，故A项错误；
又在区间上是增函数，所以在区间上为减函数，由周期性可知，在区间上单调递减，故B项正确；
因为是偶函数，所以的图像关于y轴对称，由周期性可知的图像关于直线对称，故C项正确；
因为在区间上是增函数，所以在区间上为减函数，，由周期性可知，在区间上，，而区间上有168个周期，故在区间上有336个零点，又，所以在区间上有337个零点，由为偶函数，可知在区间上有674个零点，故D项错误．
故选：BC项．
14.（多选题）已知函数对任意都有，若函数的图象关于对称，且对任意的，且，都有，若，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．
C．的图象关于点对称 D．
【答案】ABCD
【详解】对于选项A：由函数的图像关于对称，根据函数的图象变换，
可得函数的图象关于对称，所以函数为偶函数，所以A正确；
对于选项B：
由函数对任意都有，可得，
所以函数是周期为4的周期函数，
因为，可得，
则，所以B正确；
又因为函数为偶函数，即，所以，
可得，所以函数关于中心对称，所以C正确；
由对任意的，且，都有，
可得函数在区间上为单调递增函数，
又因为函数为偶函数，故函数在区间上为单调递减函数，故，所以D正确.
故选：ABCD
三、填空题
15. 已知函数在上的最小值为1，则的值为________.
【答案】1
【详解】由题意得，
当时，在上单调递减，
∴的最小值为，，
所以不成立；
当时，，在单调递减，在上单调递增，
∴的最小值为，符合题意.故.故答案为：1.
16.若函数f（x）同时满足：（1）对于定义域上的任意x，恒有；（2）对于定义域上的任意，当，恒有，则称函数f（x）为“理想函数”，下列①，②，③，④四个函数中，能被称为“理想函数”的有___________.（填出函数序号）
【答案】④
【详解】若是“理想函数”，则满足以下两条：
①对于定义域上的任意，恒有，即，则函数是奇函数；
②对于定义域上的任意，当时，
恒有，即，
时，，或时，，
即函数是单调递减函数．
故为定义域上的单调递减的奇函数．
①在定义域为上的奇函数，但不是减函数，所以不是“理想函数”；
②，定义域为，
单调递增，所以不是“理想函数”；
③在定义域的增函数，所以不是“理想函数”；
④，在定义域上既是奇函数，又是减函数，所以是“理想函数”．
故答案为：④.
四、解答题
17. 设a∈R，函数；
(1)求a的值，使得f（x）为奇函数；
(2)若对任意x∈R成立，求a的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)因为为奇函数，所以，可得
因为，
所以时为奇函数，所以
(2)
当时， 恒成立，
，，
当时， 恒成立，所以
当时， 恒成立，，显然不满足题意.
综上所述，
18．设函数，是定义域为R的奇函数
(1)确定的值
(2)若，使得对一切恒成立，求出的范围.
【答案】(1)2；(2).
【解析】(1)
因是定义域为的奇函数，
则，而，解得，
所以的值是2.
(2)当时，，
，
，而函数在上单调递增，，
于是得，令，函数在上单调递减，
当，即时，，因此，，解得，
所以的范围是.
19．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”.
(1)已知函数，试判断是否为“类函数”？并说明理由；
(2)设是定义域上的“类函数”，求实数m的取值范围；
(3)若为其定义域上的“类函数”，求实数取值范围.
【答案】(1)是，理由见解析；(2)；(3).
【解析】(1)由题意，函数在定义域内存在实数，满足，
可得，即，
化简整理，得，解得，
所以存在满足
所以函数是“M类函数”；
(2)当时，
可化为，
令，则，
所以方程在有解可保证是“类函数”，
即在)有解可保证是“类函数”，
设在为单调递增函数，
所以当时，取得最小值为
即，解得.
所以实数的取值范围为；
(3)
由在上恒成立，
转化为在上恒成立，即
所以.
因为为其定义域上的“类函数”，
所以存在实数使得，
当时，则，所以，所以，
即在)有解可保证是“类函数”
设在为单调递增函数，
，即，解得；
当时，，此时，不成立；
当时，则，所以，所以，
即在)有解可保证是“类函数”
设在为单调递减函数，
，即，解得.
综上所述，实数的取值范围为.
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