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函数周期性与对称性
一、函数的周期性(同为周期则相减)
(1)若,那么就称函数为周期函数,称为这个函数的周期.
若,则
若,则
若,则
若,则
若,则
二、函数的对称性(异为对称则相加除2)
(1)若函数为偶函数,则函数关于对称.
(2)若函数为奇函数,则函数关于点对称.
(3)若,则函数关于对称.
(4)若,则函数关于对称.
(5)若,则函数关于对称.
(6)若,则函数关于对称.
三、函数的对称性与周期性的转换--借助波浪图理解记忆
(1)若函数同时关于,对称则函数的周期
(2)若函数同时关于,对称则函数的周期
(3)若函数同时关于,对称则函数的周期
(4)若偶函数关于对称则函数的周期
(5)若奇函数关于对称则函数的周期
函数周期性与对称性默写模板
一、函数的周期性(同为周期则相减)
1.若,则
2.若,则
3.若,则
4.若,则
5.若,则
二、函数的对称性(异为对称则相加除2)
(1)若函数为偶函数,则函数关于 对称.
(2)若函数为奇函数,则函数关于 对称.
(3)若,则函数关于 对称.
(4)若,则函数关于 对称.
(5)若,则函数关于 对称.
(6)若,则函数关于 对称.
口诀:同为周期则相减,异为对称则相加除2;y相等为轴对称,y相加为中心对称;将复合函数的对称性带入内函数,即为外函数的对称性。
三、函数的对称性与周期性的转换--借助波浪图理解记忆
(1)若函数同时关于,对称则函数的周期 。
(2)若函数同时关于,对称则函数的周期 。
(3)若函数同时关于,对称则函数的周期 。
(4)若偶函数关于对称,则函数的周期 。
(5)若奇函数关于对称,则函数的周期 。
周期性与对称性练习
若函数为奇函数,且,则周期 。
若函数为偶函数,且,则周期 。
若函数为偶函数,且,则周期 。
若函数为奇函数,且,则周期 。
若,且,则周期 。
若,且,则周期 。
若,且,则周期 。
若函数为奇函数,且函数为偶函数,则周期 。
若函数为奇函数,且,则周期 。
若函数为偶函数,且,则周期 。
若函数为偶函数,且,则周期 。
【例1】若函数为奇函数,且,当,画出的的函数图像。并求
【例2】若函数为偶函数,且,当,画出的的函数图像。并求 1
变式 1若函数为偶函数,且,当,画出的的函数图像。并求 0
变式 2,且,当,画出的的函数图像。并求
应用
【例3】 已知定义在R上的函数满足,且是奇函数,则( )
A.是偶函数 B.的图象关于直线对称
C.是奇函数 D.的图象关于点对称
【答案】C
【详解】由可得2是函数的周期,
因为是奇函数,所以函数的图象关于点对称,
所以,,所以是奇函数,故选:C.
【例4】已知函数的定义域为R,且对任意恒成立,又函数的图象关于点对称,且,则( )
A.2021 B. C.2022 D.
【答案】C
【详解】因为函数的图象关于点对称,则函数的图象关于点对称,即函数为奇函数;
因为对任意,都有,令,得,又函数为奇函数,故,解得,则,即,所以4是函数的一个周期;
所以.故选:C.
变式3已知函数是上的奇函数,且,且当时,,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】因为,所以,因此函数的周期为,
所以,
又函数是上的奇函数,所以,
所以,即,
所以原式,
又当时,,可得,因此原式.故选:B.
变式4 已知函数满足对任意恒成立,又函数的图象关于点对称,且 则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】因为对任意,都有
令 得 解得
则 即
所以函数的图象关于直线对称.
又函数的图象关于点对称,则函数的图象关于点对称,
即函数为奇函数,所以
所以 所以8是函数的一个周期,
所以,故选:D.
【例5】已知定义在上的函数满足为偶函数,若在内单调递减,则下面结论正确的是
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】根据以及为偶函数即可得出,并且可得出,根据在内单调递减即可得结果.
【详解】,
的周期为6,
又为偶函数,
,
,
,
,
又在内单调递减,
, ,故选A.
【例6】已知定义域为R的偶函数满足,当时,,则方程在区间上所有解的和为( )
A.8 B.7 C.6 D.5
【答案】A
【详解】因为函数满足,所以函数的图象关于直线对称,
又函数为偶函数,所以,
所以函数是周期为2的函数,
又的图象也关于直线对称,
作出函数与在区间上的图象,如图所示:
由图可知,函数与的图象在区间上有8个交点,且关于直线对称,
所以方程在区间上所有解的和为,
故选:A.
变式5 已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称,且在上单调递增,若,,,则,,的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由函数的图象关于直线对称可得,结合奇函数的性质可知,.
由奇函数的性质结合在上单调递增可得在上单调递增,
所以,所以.故选:C
变式6定义在上的奇函数满足,且当时,,则方程在上的所有根的和为( )
A. B. C. D.
【详解】函数为奇函数,所以,则的对称轴为:,
由知函数周期为8,作出函数图像如下:
在上的所有根等价于函数与图像的交点,交点横坐标按如图所示顺序排列, 因为,,所以两图像在y轴左侧有504个交点,在y轴右侧有506个交点,
故选:D
【例7】已知函数,如果存在给定的实数对,使得恒成立,则称为“函数”.
(1)判断函数是否是“函数”;
(2)若是一个“函数”,求出所有满足条件的有序实数对;
(3)若定义域为R的函数是“函数”,且存在满足条件的有序实数对(0,1)和(1,4),当x[0,1]时,的值域为[1,2],求当x[2016,2016]时函数的值域.
【答案】(1)函数不是“函数”,函数是“函数”;
(2);;(3).
【详解】(1) 若是“函数”,则存在常数,使得
即时,对恒成立.而最多有两个解,矛盾,因此不是“函数”
若是“函数”,则存在常数使得
即存在常数对满足条件.因此是“函数”;
(2) 是一个“函数”,有序实数对满足恒成立,
当时,,不是常数
∴
当时,有恒成立
即恒成立.
则,
当,时,成立.
因此满足是一个“函数”,.
(3) 函数是“函数”,且存在满足条件的有序实数对和,
于是,.
x[1,2]时,2x[0,1],f(2x)[1,2],,
∴x[0,2]时,,
,
x[2,4]时,f(x)[4,16],
x[4,6]时,f(x)[16,64],
以此类推可知:x[2k,2k2]时,f(x)[22k,22k2]
x[2014,2016]时,f(x)[22014,22016],
因此时,
时,
综上可知当时函数的值域为.
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函数周期性与对称性
一、函数的周期性(同为周期则相减)
(1)若,那么就称函数为周期函数,称为这个函数的周期.
若,则
若,则
若,则
若,则
若,则
若,则
二、函数的对称性(异为对称则相加除2)
(1)若函数为偶函数,则函数关于对称.
(2)若函数为奇函数,则函数关于点对称.
(3)若,则函数关于对称.
(4)若,则函数关于对称.
(5)若,则函数关于对称.
(6)若,则函数关于对称.
三、函数的对称性与周期性的转换--借助波浪图理解记忆
(1)若函数同时关于,对称则函数的周期
(2)若函数同时关于,对称则函数的周期
(3)若函数同时关于,对称则函数的周期
(4)若偶函数关于对称则函数的周期
(5)若奇函数关于对称则函数的周期
函数周期性与对称性默写模板
一、函数的周期性(同为周期则相减)
1.若,则
2.若,则
3.若,则
4.若,则
5.若,则
6.若,则
二、函数的对称性(异为对称则相加除2)
(1)若函数为偶函数,则函数关于 对称.
(2)若函数为奇函数,则函数关于 对称.
(3)若,则函数关于 对称.
(4)若,则函数关于 对称.
(5)若,则函数关于 对称.
(6)若,则函数关于 对称.
口诀:同为周期则相减,异为对称则相加除2;y相等为轴对称,y相加为中心对称;将复合函数的对称性带入内函数,即为外函数的对称性。
三、函数的对称性与周期性的转换--借助波浪图理解记忆
(1)若函数同时关于,对称则函数的周期 。
(2)若函数同时关于,对称则函数的周期 。
(3)若函数同时关于,对称则函数的周期 。
(4)若偶函数关于对称,则函数的周期 。
(5)若奇函数关于对称,则函数的周期 。
周期性与对称性练习
若函数为奇函数,且,则周期 。
若函数为偶函数,且,则周期 。
若函数为偶函数,且,则周期 。
若函数为奇函数,且,则周期 。
若,且,则周期 。
若,且,则周期 。
若,且,则周期 。
若函数为奇函数,且函数为偶函数,则周期 。
若函数为奇函数,且,则周期 。
若函数为偶函数,且,则周期 。
若函数为偶函数,且,则周期 。
【例1】若函数为奇函数,且,当,画出的的函数图像。并求
【例2】若函数为偶函数,且,当,画出的的函数图像。并求
变式 1若函数为偶函数,且,当,画出的的函数图像。并求
变式 2,且,当,画出的的函数图像。并求
【例3】 已知定义在R上的函数满足,且是奇函数,则( )
A.是偶函数 B.的图象关于直线对称
C.是奇函数 D.的图象关于点对称
【答案】C
【详解】由可得2是函数的周期,
因为是奇函数,所以函数的图象关于点对称,
所以,,所以是奇函数,故选:C.
【例4】已知函数的定义域为R,且对任意恒成立,又函数的图象关于点对称,且,则( )
A.2021 B. C.2022 D.
【答案】C
【详解】因为函数的图象关于点对称,则函数的图象关于点对称,
即函数为奇函数;
因为对任意,都有,令,得,又函数为奇函数,故,解得,则,即,所以4是函数的一个周期;所以.故选:C.
变式3已知函数是上的奇函数,且,且当时,,则的值为( )
A. B. C. D.
变式4 已知函数满足对任意恒成立,又函数的图象关于点对称,且 则( )
A. B. C. D.
【例5】已知定义在上的函数满足为偶函数,若在内单调递减,则下面结论正确的是
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】,时,单调递增;
,,单调递增;
,
,综上所述,,故选:A.
【例6】已知定义域为R的偶函数满足,当时,,则方程在区间上所有解的和为( )
A.8 B.7 C.6 D.5
【答案】A
【详解】因为函数满足,所以函数的图象关于直线对称,
又函数为偶函数,所以,
所以函数是周期为2的函数,
又的图象也关于直线对称,
作出函数与在区间上的图象,如图所示:
由图可知,函数与的图象在区间上有8个交点,且关于直线对称,
所以方程在区间上所有解的和为,故选:A.
变式5 已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称,且在上单调递增,若,,,则,,的大小关系为( )
A. B. C. D.
变式6定义在上的奇函数满足,且当时,,则方程在上的所有根的和为( )
A. B. C. D.
【例7】已知函数,如果存在给定的实数对,使得恒成立,则称为“函数”.
(1)判断函数是否是“函数”;
(2)若是一个“函数”,求出所有满足条件的有序实数对;
(3)若定义域为R的函数是“函数”,且存在满足条件的有序实数对(0,1)和(1,4),当x[0,1]时,的值域为[1,2],求当x[2016,2016]时函数的值域.
【答案】(1)函数不是“函数”,函数是“函数”;
(2);;(3).
【详解】(1) 若是“函数”,则存在常数,使得
即时,对恒成立.而最多有两个解,矛盾,因此不是“函数”
若是“函数”,则存在常数使得
即存在常数对满足条件.因此是“函数”;
(2) 是一个“函数”,有序实数对满足恒成立,
当时,,不是常数
∴
当时,有恒成立
即恒成立.
则,
当,时,成立.
因此满足是一个“函数”,.
(3) 函数是“函数”,且存在满足条件的有序实数对和,
于是,.
x[1,2]时,2x[0,1],f(2x)[1,2],,
∴x[0,2]时,,
,
x[2,4]时,f(x)[4,16],
x[4,6]时,f(x)[16,64],
以此类推可知:x[2k,2k2]时,f(x)[22k,22k2]
x[2014,2016]时,f(x)[22014,22016],
因此时,
时,
综上可知当时函数的值域为.
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