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第二章 实数
2.1认识实数第2课时
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
巩固训练
05
课堂小结
06
作业设计
01
教学目标
理解无理数、实数的定义及分类，能准确区分有理数和无理数，掌握实数与数轴的对应关系，会进行实数的近似计算。
01
通过类比有理数探究实数性质，提升类比推理、运算求解能力，在实际情境中发展数学建模与问题解决能力。
02
感受数学知识的连贯性，体会实数在生活中的应用，激发学习兴趣，培养严谨的科学态度。
03
02
新知导入
复习回顾：
1.有理数如何进行分类？
2.有理数a的相反数、绝对值，如何表示？
有理数a的相反数为-a;绝对值为|a|;
02
新知导入
3.到原点距离为3的数有几个？分别表示的是什么？
如图，有两个，分别为-3和3
03
新知探究
一般地，不是有理数的数都是无限不循环小数吗？为了研究这个问题，我们不妨看看有理数的小数表示有什么共同特征。
把下列各数表示成小数，你发现了什么？
.
3=3.0；；；；
03
新知探究
上面这些数都是有理数.事实上,有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.
反过来,任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
那些不是有理数的数，用小数表示是无限不循环小数，无限不循环小数不是有理数。
无限不循环小数称为无理数(irrational number)。
概括
03
新知探究
除了像上面所述的数a，b是无理数外，我们十分熟悉的圆周率也是一个无理数。再如0.585885888588885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1)，也是无理数。
判断一个数是不是无理数,关键就是看它能不能写成无限不循环的小数.
注意
04
例题讲解
下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？
3.14,，,0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)
例
分析
根据无理数的定义，将其写成小数形式，有限小数和无限循环小数都是有理数，无限不循环小数是无理数.
04
例题讲解
解析
解:3.14是有限小数，，是无限循环小数，它们均为有理数.
0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)是无限不循环小数，故是无理数。
04
新知讲解
无理数常见的形式主要有三种:
①一般的无限不循环小数,如1.414 213 56…是无理数;
看似循环而实质不循环的小数,如0.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)是无理数.
②圆周率π以及含π的数,如π,2π,π+5都是无理数.
③开方开不尽的数(下一节学到)是无理数.
方法总结
03
新知探究
注意:有理数与无理数的主要区别:
①无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数;
②任何一个有理数都可以化为分数的形式,而无理数不能.
有理数和无理数统称实数(real number),即实数可以分为有理数和无理数。
概念生成
03
新知探究
无理数和有理数一样，也有正、负之分。
(1)请你把上面例题中的各数填入下面相应的集合内。
3.14，，
0.1010001000001…
03
新知探究
(2)还记得有理数的分类方法吗？你能用类似的方法对实数进行分类吗？
有理数可分为：整数和分数；还可以分成：正有理数，0和负有理数.
03
新知探究
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。
03
新知探究
在实数运算中，当遇到无理数且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度，用相应的近似有限小数代替无理数进行计算。
例如，求无理数a=1.41421356…与π=3.14159265…的和（结果保留小数点后两位），
可直接舍去α和π小数点后第三位以后的数字，
得a≈1.414，π≈3.141，
因此a+π≈1.414+3.141=4.555≈4.56。
03
新知探究
由勾股定理得:OA2=OB2=2,
故点A表示的数为a.
前面讨论的两个正方形，边长分别是a,b,且满足a2=2,b2=5。
(1)如图2-4，OA=OB,数轴上点A对应a,b中的哪个数？
03
新知探究
具体作图步骤:
以数轴原点为直角顶点，作两直角边分别为 1 和 2 的直角三角形，其斜边长度为b,
以原点为圆心、斜边为半径画弧，与数轴正半轴交点即为b的对应点，如图。
(2)你能在数轴上找到另一个数对应的点吗？与同伴进行交流。
03
新知探究
事实上，每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。也就是说，实数和数轴上的点是一一对应的。
概括
04
巩固训练
1.在下列各数，π，0，，，， (每两个2之间依次增加一个数6)中，无理数的个数有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
C
2. 把下列各数对应的序号填在相应的括号里.
①-2；②；③；④0.35；⑤0；⑥；⑦；⑧1.2020020002…（每两个2之间多一个0）
正分数集合：{_____________________…}；
非正整数集合：{___________________…}；
负有理数集合：{___________________…}；
无理数集合：{_____________________…}.
③，④
①，⑤，⑦
①，⑥，⑦，
②，⑧
3.下列说法正确的是( )
A.实数与数轴上的点一一对应 B.两个无理数的和仍是无理数
C.0既不是有理数也不是无理数 D.无理数都是带根号的数
04
巩固训练
A
4.小明同学学习了“数轴上的点与实数是一一对应的关系”后,便尝试在数轴上找一个表示无理数的点.如图,数轴的原点为O,中,,边在数轴上,,以点O为圆心,长为半径作弧,交数轴负半轴于点C,则点C所表示的数介于( )
A.和之间 B.和之间
C.和之间 D.和之间
C
05
课堂小结
通过本节课的学习你收获了什么？
知识:1.无限不循环小数称为无理数；
2.有理数和无理数统称实数；
3.实数和数轴上的点是一一对应的.
方法:类比探究法；小组合作法；自主探究法。
1.下面对“π”的描述错误的是 ( )
A.π是圆周率 B.圆的周长与直径的比值 C.是一个无理数 D.π=3.14
06
作业设计
基础达标：
D
2.下列五个数 ,3.303 003 000 …(相邻两个3之间0的个数依次加1)，-π，-0.5,3.14,其中无理数有 ( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
B
3.某中学实践教育基地有一块正方形菜地，该菜地的面积是21 m ，现决定把此正方形菜地的边长增加 1m ，则新的正方形菜地的边长范围是 ( )
A.4m与5m之间 B.5m与6m之间
C.6m与7m之间 D.7m与8m之间
06
作业设计
B
基础达标：
4.若m是无理数,且1(答案不唯一)
5.一个正方形的面积是7，那么它的边长在数轴上(如图)所对应的点的位置可能在点 .
06
作业设计
能力提升：
B
6.若一个正方形的面积增加9 cm ，则与一个边长为 4 cm的正方形的面积相等，求原正方形的面积，并判断其边长是有理数还是无理数.
解:原正方形的面积是 所以其边长是无理数
06
作业设计
能力提升：
7.面积为15π的圆的半径为x，请回答下列问题：
(1)x是有理数吗
(2)x的整数部分是多少
(3)把x的值精确到0.1是多少 精确到0.01 是多少
【解】(1)x不是有理数.
(2)x的整数部分是3.
(3)把x的值精确到0.1是3.9,精确到0.01是3.87.
06
作业设计
迁移拓展：
8.如图，每个小正方形的边长均为1，可以得到每个小正方形的面积为1.
(1)图中阴影部分的面积是多少
(2)估计阴影部分正方形的边长的值在哪两个整数之间.
【解】
(2)因为
所以边长的值在3与4之间.
06
作业设计
迁移拓展：
9.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1.已知点 C，请你按下列要求设计△ABC,使∠ACB=90°,AC=BC.
(1)AB的长为无理数，AC，BC的长均为有理数；
(2)AB的长为有理数，AC，BC的长均为无理数；
(3)三边的长均为无理数.
06
作业设计
迁移拓展：
【解】(答案不唯一)
(1)如图①所示.
(2)如图②所示.
(3)如图③所示.
Thanks!
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2.1认识实数第2课时教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 二单元
课题 2.1认识实数第2课时 课时 1
课标要求 2022 新课标要求学生理解无理数和实数的概念，掌握实数与数轴的一一对应关系，能进行实数的运算。需在具体情境中借助数轴理解实数的相反数、绝对值意义，会用有理数估算无理数范围，发展数感、运算能力与推理能力，体会数学知识的系统性及在实际生活中的应用。
教材分析 本课时是 “认识实数” 的延续，在学生初步感知无理数存在的基础上，通过类比有理数的小数表示，引入无理数概念及实数分类。教材借助正方形边长、数轴等情境，阐述实数与数轴的对应关系，构建完整知识体系，为后续方程、函数等内容的学习奠定运算与理论基础，具有承上启下的作用。
学情分析 八年级学生已初步认识无理数，具备有理数运算与逻辑思维能力，但在实数运算中，易受有理数思维定式影响，对运算法则的迁移（如无理数参与运算的规律）理解困难；在借助数轴理解实数性质时，也可能因抽象性强而产生认知障碍，需通过具体实例强化概念理解。
教学目标 1.理解无理数、实数的定义及分类，能准确区分有理数和无理数，掌握实数与数轴的对应关系，会进行实数的近似计算。 2.通过类比有理数探究实数性质，提升类比推理、运算求解能力，在实际情境中发展数学建模与问题解决能力。 3.感受数学知识的连贯性，体会实数在生活中的应用，激发学习兴趣，培养严谨的科学态度。
教学重点 无理数与实数的定义及分类，实数与数轴的一一对应关系。
教学难点 实数运算法则从有理数的迁移过程，无理数参与运算时的规律理解
教法与学法分析 教法上，采用讲授法清晰讲解无理数和实数的定义，利用类比法引导学生迁移有理数知识，借助讨论法激发思维碰撞。学法上，倡导学生自主探究、小组合作，类比有理数学习实数分类和运算，养成归纳总结、反思质疑的学习习惯，提升自主学习能力 。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 复习回顾： 1.有理数如何进行分类？ 有理数可分为：整数和分数；还可以分成：正有理数，0和负有理数. 2.有理数a的相反数、绝对值，如何表示？ 有理数a的相反数为-a；绝对值为|a|； 3.到原点距离为3的数有几个？分别表示的是什么？ 两个，分别为-3和3 创设情境，复习回顾，引发学生的学习兴趣 复习旧知，思考问题 创境导课，复习回顾，引出问题
探究活动一： 一般地，不是有理数的数都是无限不循环小数吗？为了研究这个问题，我们不妨看看有理数的小数表示有什么共同特征。 把下列各数表示成小数，你发现了什么？ 3，，. 3=3.0；；；； 上面这些数都是有理数.事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.那些不是有理数的数，用小数表示是无限不循环小数，无限不循环小数不是有理数。 总结：无限不循环小数称为无理数(irrational number)。 除了像上面所述的数a，b是无理数外，我们十分熟悉的圆周率m=3.14159265…也是一个无理数。再如0.585885888588885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1)，也是无理数。 判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不循环的小数. 将整数和分数化成小数，引发学生思考，从而引出无理数 思考问题，发现无限不循环小数不是有理数，进而得出无理数的概念 回顾有理数的情况，明确有理数都可用有限小数或无限循环小数表示，为后面引出无理数的概念作准备，进一步理解无理数的概念.
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二： 例题精讲： 例：下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？ 3.14，，，0.1010001000001…（相邻两个1之间0的个数逐次加2） 解：3.14，，是有理数。 0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)是无理数。 总结：无理数常见的形式主要有三种: ①一般的无限不循环小数，如1.414 213 56…是无理数； 看似循环而实质不循环的小数，如0.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)是无理数. ②圆周率π以及含π的数，如π，2π，π+5都是无理数. ③开方开不尽的数(下一节学到)是无理数. 注意：有理数与无理数的主要区别： ①无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数； ②任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数不能. 概念生成：有理数和无理数统称实数(real number)，即实数可以分为有理数和无理数。 通过例题，进一步巩固所学知识，进一步得出无理数的三种表现形式和实数的概念. 积极思考，会识别有理数与无理数 通过例题，进一步巩固所学知识，在例题的基础上总结无理数的表现形式，得出实数的概念.
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三： 尝试思考： 无理数和有理数一样，也有正、负之分。 (1)请你把上面例题中的各数填入下面相应的集合内。 正数有：3.14，，0.1010001000001… 负数有： (2)还记得有理数的分类方法吗？你能用类似的方法对实数进行分类吗？ 有理数可分为：整数和分数；还可以分成：正有理数，0和负有理数. 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 在实数运算中，当遇到无理数且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度，用相应的近似有限小数代替无理数进行计算。 例如，求无理数a=1.41421356…与π=3.14159265…的和（结果保留小数点后两位），可直接舍去α和π小数点后第三位以后的数字，得a≈1.414，π≈3.141， 因此a+π≈1.414+3.141=4.555≈4.56。 探究活动四： 思考交流： 前面讨论的两个正方形，边长分别是a，b，且满足a2=2，b2=5。 (1)如图2-4，OA=OB，数轴上点A对应a，b中的哪个数？ 点A表示的数为a (2)你能在数轴上找到另一个数对应的点吗？与同伴进行交流。 具体作图步骤：“以数轴原点为直角顶点，作两直角边分别为 1 和 2 的直角三角形，其斜边长度为 b，以原点为圆心、斜边为半径画弧，与数轴正半轴交点即为 b的对应点”，如图。 事实上，每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。也就是说，实数和数轴上的点是一一对应的。 在得到实数的概念的基础上，进一步类比有理数的分类和有理数的运算得出实数的运算法则。 类比有理数的分类和运算，得出实数的分类和运算法则及顺序。 运算类比的方法，得出实数的分类方法和运算法则，通过思考交流，进一步得出实数与数轴上的点是一一对应的。
环节四：巩固内化，拓展延伸 巩固训练 1.在下列各数，π，0，，，， (每两个2之间依次增加一个数6)中，无理数的个数有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2. 把下列各数对应的序号填在相应的括号里. ①-2；②；③；④0.35；⑤0；⑥；⑦；⑧1.2020020002…（每两个2之间多一个0） 正分数集合：{_________…}； 非正整数集合：{_________…}； 负有理数集合：{_________…}； 无理数集合：{_________…}. 3. 下列说法正确的是( ) A.实数与数轴上的点一一对应 B.两个无理数的和仍是无理数 C.0既不是有理数也不是无理数 D.无理数都是带根号的数 4. 小明同学学习了“数轴上的点与实数是一一对应的关系”后，便尝试在数轴上找一个表示无理数的点.如图，数轴的原点为O，中，，边在数轴上，，以点O为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点C，则点C所表示的数介于( ) A.和之间 B.和之间 C.和之间 D.和之间 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 1.知识： 无限不循环小数称为无理数； 有理数和无理数统称实数； 实数和数轴上的点是一一对应的. 2.方法： 类比探究法；小组合作法；自主探究法。 3.思想： 类比思想，数形结合思想 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 2.1认识实数第2课时 无理数： 无理数的三种表现形式： 实数： 实数的分类与运算： 例： 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标： 1.下面对“π”的描述错误的是 ( ) A.π是圆周率B.圆的周长与直径的比值C.是一个无理数D.π=3.14 2.下列五个数 ，3.303 003 000 …(相邻两个3之间0的个数依次加1)，-π，-0.5，3.14，其中无理数有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3.某中学实践教育基地有一块正方形菜地，该菜地的面积是21 m ，现决定把此正方形菜地的边长增加 1m ，则新的正方形菜地的边长范围是 ( ) A.4m与5m之间 B.5m与6m之间 C.6m与7m之间 D.7m与8m之间 能力提升： 4.若 m 是无理数，且1教学反思 本节课通过类比有理数引入实数概念，学生能初步区分有理数与无理数，但在识别 “看似循环实则不循环” 的小数时仍存困难。部分学生对实数与数轴对应关系的抽象性理解不足，在借助直角三角形边长在数轴上表示无理数时，需更多直观演示。此外，实数运算中近似计算的精确度应用，部分学生易忽略 “四舍五入” 的规则。后续可增加变式训练，如设计 “构造无理数” 的活动，强化概念理解；在数轴应用环节，采用动态几何软件辅助教学，提升直观感知效果。
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分课时学案
课题 2.1认识实数第1课时 单元 第二单元 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.理解无理数、实数的定义及分类，能准确区分有理数和无理数，掌握实数与数轴的对应关系，会进行实数的近似计算。 2.通过类比有理数探究实数性质，提升类比推理、运算求解能力，在实际情境中发展数学建模与问题解决能力。 3.感受数学知识的连贯性，体会实数在生活中的应用，激发学习兴趣，培养严谨的科学态度。
重点 无理数与实数的定义及分类，实数与数轴的一一对应关系。
难点 实数运算法则从有理数的迁移过程，无理数参与运算时的规律理解
教学过程
导入新课
新知讲解 复习回顾： 1.有理数如何进行分类？ 2.有理数a的相反数、绝对值，如何表示？ 3.到原点距离为3的数有几个？分别表示的是？ 探究活动一： 一般地，不是有理数的数都是无限不循环小数吗？为了研究这个问题，我们不妨看看有理数的小数表示有什么共同特征。 把下列各数表示成小数，你发现了什么？ 3,,. 总结： 探究活动二： 例题精讲： 例：下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？ 3.14,，,0.1010001000001…（相邻两个1之间0的个数逐次加2） 总结：无理数常见的形式主要有三种： 注意：有理数与无理数的主要区别： 概念生成：实数： 探究活动三： 尝试思考： 无理数和有理数一样，也有正、负之分。 (1)请你把上面例题中的各数填入下面相应的集合内。 (2)还记得有理数的分类方法吗？你能用类似的方法对实数进行分类吗？ 探究活动四： 思考交流： 前面讨论的两个正方形，边长分别是a,b,且满足a2=2,b2=5。 (1)如图2-4，OA=OB,数轴上点A对应a,b中的哪个数？ (2)你能在数轴上找到另一个数对应的点吗？与同伴进行交流。 事实上，每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。也就是说， 。
课堂练习 巩固训练 1.在下列各数，π，0，，，， (每两个2之间依次增加一个数6)中，无理数的个数有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2. 把下列各数对应的序号填在相应的括号里. ①-2；②；③；④0.35；⑤0；⑥；⑦；⑧1.2020020002…（每两个2之间多一个0） 正分数集合：{_________…}； 非正整数集合：{_________…}； 负有理数集合：{_________…}； 无理数集合：{_________…}. 3. 下列说法正确的是( ) A.实数与数轴上的点一一对应 B.两个无理数的和仍是无理数 C.0既不是有理数也不是无理数 D.无理数都是带根号的数 4. 小明同学学习了“数轴上的点与实数是一一对应的关系”后,便尝试在数轴上找一个表示无理数的点.如图,数轴的原点为O,中,,边在数轴上,,以点O为圆心,长为半径作弧,交数轴负半轴于点C,则点C所表示的数介于( ) A.和之间 B.和之间 C.和之间 D.和之间
作业布置 基础达标： 1下面对“π”的描述错误的是 ( ) A.π是圆周率 B.圆的周长与直径的比值 C.是一个无理数 D.π=3.14 2、下列五个数 ,3.303 003 000 …(相邻两个3之间0的个数依次加1)，一π，一0.5,3.14,其中无理数有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3.某中学实践教育基地有一块正方形菜地，该菜地的面积是21 m ，现决定把此正方形菜地的边长增加 1m ，则新的正方形菜地的边长范围是 ( ) A.4 m与5 m之间 B.5 m 与 6 m 之间 C.6 m 与 7 m之间 D.7 m 与 8 m之间 4. 若 m 是无理数,且1参考答案：
例题精讲：
例：解：3.14，，是有理数。
0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)是无理数。
巩固训练：
1.C;
2.解析：，
正分数集合：{③，④，…}
非正整数集合：{①，⑤，⑦，…}
负有理数集合：{①，⑥，⑦，…}
无理数集合：{②，⑧，…};
3.A
4.C
作业设计：
1.D
2.B【点拨 是分数，属于有理数；一0.5，3.14 是有小数,属于有理数;3.303 003 000 3…(相邻两个3之间0的个数依次加1)，-π都是无限不循环小数，属于无理数.
3. B 4.π/2(答案不唯一) 5. B
6.【解】原正方形的面积是 所以其边长是无理数
7.【解】(1)x不是有理数.
(2)x的整数部分是3.
(3)把x的值精确到0.1是3.9,精确到0.01是3.87.
8.【解】
(2)因为
所以边长的值在3与4之间.
9.【解】(答案不唯一)(1)如图①所示.
(2)如图②所示. (3)如图③所示.
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