(共35张PPT)
第二章 实数
2.1认识实数第1课时
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
巩固训练
05
课堂小结
06
作业设计
01
教学目标
能够通过对正方形边长的探究，理解非有理数存在的必要性和合理性。
01
在数系扩充的探究实践中，显著提升归纳概括、逻辑推理以及数学抽象能力；通过丰富实例分析，深刻体会从特殊到一般、分类讨论、数形结合等重要数学思想 。
02
深切感受数学知识的发展演变历程与内在紧密联系，极大激发数学探索热情，增强面对数学难题时克服困难的信心，逐步培养严谨认真的治学态度
03
02
新知导入
复习回顾
1.什么是有理数？
整数与分数统称有理数；
2.有理数是怎么分类的？
提出问题：除了有理数还有没有其他的数呢？
03
新知探究
图2-1中是两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，设法得到一个大的正方形。
拼法一:
拼法二:
03
新知探究
图2-1中是两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，设法得到一个大的正方形。
思考:(1)设大正方形的边长为a，a满足什么条件？
一个小正方形的面积为S小正方形=1×1=1.
S大正方形=S小正方形+S小正方形=1+1=2,
所以S大正方形=2.
根据正方形面积公式S大正方形=a2,
所以a2=2.
03
新知探究
图2-1中是两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，设法得到一个大的正方形。
思考:(2)a可能是整数吗？说说你的理由。
理由:(1)从“数”的角度:
因为a2=2,而12=1,22=4,32=9,…
所以12
所以a不是整数.
a不可能是整数.
(2)从“形”的角度:
在△ABC中,AC=1,BC=1,AB=a.
根据三角形的三边关系,斜边AB满足:
AC-BC即003
新知探究
图2-1中是两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，设法得到一个大的正方形。
思考:(3)a可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴进行交流。
理由:()2 = ,()2 = ,()2=.
从上面的式子中发现:两个相同的最简分数的乘积仍然是分数,
而a2=2是整数,所以a不是分数.
a不可能是分数.
03
新知探究
在等式a2=2中,a既不是整数,也不是分数,所以a不是有理数.
概括
03
新知探究
由勾股定理知直角三角形的斜边的平方等于两直角边平方和.
即斜边为边的正方形的面积是.
思考:(1)如图2-2，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？
03
新知探究
由正方形的面积公式得：
.
思考：(2)设该正方形的边长为b，b满足什么条件？
03
新知探究
没有一个整数或分数的平方为5，
也就是没有一个有理数的平方为5，
所以b不是有理数.
思考：(3)b是有理数吗？
03
新知探究
在上面的两个问题中，数a，b确实存在，但都不是有理数.
概括
03
新知探究
面积为2的正方形的边长a究竞是多少呢？
(1)如图2-3，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由。
103
新知探究
(2)边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？…借助计算器进行探索。
边长a的整数部分为1，十分位是4，百分位是1，千分位是4.
03
新知探究
(3)小明将他的探索过程整理如下：
还可以继续算下去吗？α可能是有限小数吗？
可以，不可能
03
新知探究
(4)面积为5的正方形的边长b的值是多少？b可能是有限小数吗？与同伴进行交流。
b是介于2和3之间的一个数,事实上,b=2.236 067 978…,
它既不是整数,也不是分数,
则b一定不是有理数,它是无限不循环小数.
03
新知探究
事实上，a=1.41421356…,b=2.236067977…,它们都不是有理数都是无限不循环小数。
总结：存在不是有理数的数，有理数不够用了！
概括
04
例题讲解
在△ABC中,AB=AC,AD是底边上的高,如图,若AC=10 cm，BC=8 cm.
(1)求以AD的长为边长的正方形的面积；
(2)判断AD是否为有理数，并说明理由.
例1
分析
根据等腰三角形三线合一的性质求出CD的长，根据勾股定理可得AD2,进行判断即可.
04
例题讲解
解析
【解】(1)∵ AB=AC=10cm，BC=8cm，AD⊥BC，
∴ BD=CD=4cm，
∴ AD2=AB2-BD2=102-42=84，
∴ 以AD的长为边长的正方形的面积为84 cm2.
(2)∵ AD2=84，
∴ AD既不是整数也不是分数，
即AD不是有理数.
04
例题讲解
分析
没有一个整数或分数的平方为10，但在直角三角形中，若两条直角边分别为1,3，则斜边的平方为10.
所以可以构造直角三角形，进而找到面积为10的正方形.
你会在下面的正方形网格中画出面积为10的正方形吗？试一试.
例2
解析
【解】如图，构造直角三角形AEB，使两条直角边AE=3，EB=1，
以斜边AB为边向外作正方形ABCD，
正方形ABCD就是所求的正方形.
理由：在直角三角形AEB中，
由勾股定理得，AB2=AE2+EB2=32+12=10，
正方形ABCD的面积=AB2=10.
04
例题讲解
05
巩固训练
1.下列正方形的边长不是有理数的是( )
A.面积为64的正方形 B.面积为16的正方形
C.面积为1.44的正方形 D.面积为12的正方形
D
2.已知在中，，，，那么斜边AB的长是( )
A.整数 B.分数 C.有理数 D.非有理数
D
05
巩固训练
C
3.在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则在网格上的△ABC中，边长不是有理数的边有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
05
巩固训练
4.设边长为4的正方形的对角线长为x.
(1)x是有理数吗？说说你的理由.
(2)请你估计一下x在哪两个相邻整数之间.
解析：(1)x不是有理数.理由如下：
由勾股定理可知，
首先x不可能是整数(因为，所以x在5和6之间)，
其次x也不可能是分数;
综上可知，x不是有理数.
(2) x在5和6之间.
05
课堂小结
通过本节课的学习你收获了什么？
知识:在生活中确实存在既不是整数也不是分数的数，即不是有理数的数.
方法:类比探究法，操作验证法.
1.下列说法中正确的是( )
A．不循环小数是有理数 B．分数不是有理数
C．有理数都是有限小数 D．3.1415926是有理数
06
作业设计
基础达标：
D
2．一个长方形的长与宽分别是6、3，它的对角线的长可能是( )
A．整数 B．分数 C．非有理数 D．有理数
C
3．在直角△ABC中，∠C=90°，，BC=2，则AB为( )
A.整数 B.分数 C.非有理数 D.不能确定
B
4.如图，正方形网格中，每小格正方形边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长表示有理数的边数有( )
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
06
作业设计
A
基础达标：
5.下列数中是不是有理数的是( )
A. B. C.0 D.
B
7.面积为3的正方形的边长______有理数；面积为4的正方形的边长______有理数.(填“是”或“不是”)【
8.一个高为2米，宽为1米的大门，对角线大约是______米(精确到0.01).
06
作业设计
能力提升：
6.x2=7,则x 分数， 整数， 有理数.(填“是”或“不是”)
不是
不是
不是
不是
是
2.24
06
作业设计
能力提升：
9.体积为3的正方体的棱长可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？请说明你的理由.
解:设正方体的棱长为x，则x3=3，
因为整数的3次方是整数，分数的3次方是分数，
所以正方体的棱长既不是整数也不是分数，
因此也不是有理数.
06
作业设计
能力提升：
解:(1)以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是：34；
(2)b2=34；
(3)因为b2=34，所以b不是有理数.
10.如图，(1)以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？(2)设该正方形的边长为b，b满足什么条件；(3)b是有理数吗？
06
作业设计
迁移拓展：
11.如图是由9个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段.试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段.
解：如图：
线段AB、BC的长度是有理数；
线段AC、AD的长度不是有理数.
06
作业设计
迁移拓展：
12.你会在下面的正方形网格中画出面积为13的正方形吗？试一试.
解:如图，正方形ABCD的面积为13.
Thanks!
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分课时学案
课题 2.1认识实数第1课时 单元 第二单元 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.学生能够通过对正方形边长的探究，理解非有理数存在的必要性和合理性。 2.在数系扩充的探究实践中，显著提升归纳概括、逻辑推理以及数学抽象能力；通过丰富实例分析，深刻体会从特殊到一般、分类讨论、数形结合等重要数学思想 。 3.深切感受数学知识的发展演变历程与内在紧密联系，极大激发数学探索热情，增强面对数学难题时克服困难的信心，逐步培养严谨认真的治学态度 。
重点 理解非有理数存在的必要性和合理性 。
难点 深度构建非有理数存在的必要性，能精准区分非有理数与有理数。
教学过程
导入新课 【引入思考】 复习回顾 1、什么是有理数？ 2、有理数是怎么分类的？ 提出问题：除了有理数还有没有其他的数呢？
新知讲解 探究活动一： 图2-1中是两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，设法得到一个大的正方形。 思考：（1）设大正方形的边长为a，a满足什么条件？ a可能是整数吗？说说你的理由。 a可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴进行交流。 结论： 探究活动二： 尝试思考： 思考：（1）如图2-2，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ 设该正方形的边长为b，b满足什么条件？ b是有理数吗？ 结论： 探究活动三： 思考交流： 面积为2的正方形的边长α究竞是多少呢？ (1)如图2-3，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由。 (2)边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？…借助计算器进行探索。 (3)小明将他的探索过程整理如下： 还可以继续算下去吗？α可能是有限小数吗？ (4)面积为5的正方形的边长b的值是多少？b可能是有限小数吗？与同伴进行交流。 总结： 典例精讲 例1:在△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，如图，若AC=10 cm，BC=8 cm. （1）求以AD的长为边长的正方形的面积； （2）判断AD是否为有理数，并说明理由. 例2:你会在下面的正方形网格中画出面积为10的正方形吗？试一试.
课堂练习 巩固训练 1.下列正方形的边长不是有理数的是( ) A.面积为64的正方形 B.面积为16的正方形 C.面积为1.44的正方形 D.面积为12的正方形 2.已知在中，，，，那么斜边AB的长是( ) A.整数 B.分数 C.有理数 D.非有理数 3.在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则在网格上的中，边长不是有理数的边有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.设边长为4的正方形的对角线长为x. (1)x是有理数吗？说说你的理由. (2)请你估计一下x在哪两个相邻整数之间.
作业布置 基础达标： 1. 下列说法中正确的是（ ） A．不循环小数是有理数 B．分数不是有理数 C．有理数都是有限小数 D．3.1415926是有理数 2．一个长方形的长与宽分别是6、3，它的对角线的长可能是（ ） A．整数 B．分数 C．不是有理数 D．有理数 3．在直角△ABC中，∠C=90°，，BC=2，则AB为（ ） A.整数 B.分数 C.非有理数 D.不能确定 4．如图，正方形网格中，每小格正方形边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长表示有理数的边数有（ ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 5.下列数中是不是有理数的是（ ） A. B. C.0 D. 能力提升： 6.x2=7,则x 分数， 整数， 有理数.(填“是”或“不是”) 7. 面积为3的正方形的边长______有理数；面积为4的正方形的边长______有理数.(填“是”或“不是”) 8. 一个高为2米，宽为1米的大门，对角线大约是______米(精确到0.01). 9.体积为3的正方体的棱长可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？请说明你的理由. 10.如图，（1）以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？（2）设该正方形的边长为b，b满足什么条件；（3）b是有理数吗？ 拓展迁移： 11.如图是由9个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段.试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段.2 12．你会在下面的正方形网格中画出面积为13的正方形吗？试一试
参考答案：
例题精讲：
例1：【解】（1）∵ AB=AC=10cm，BC=8cm，AD⊥BC，
∴ BD=CD=4cm，
∴ AD2=AB2-BD2=102-42=84，
∴ 以AD的长为边长的正方形的面积为84 cm2.
（2）∵ AD2=84，
∴ AD既不是整数也不是分数，
即AD不是有理数.
例2：【解】如图，构造直角三角形AEB，使两条直角边AE=3，EB=1，以斜边AB为边向外作正方形ABCD，正方形ABCD就是所求的正方形.
理由：在直角三角形AEB中，由勾股定理得，AB2=AE2+EB2=32+12=10，正方形ABCD的面积=AB2=10.
课堂练习：
1.D;2.D;3.C;
4. 解析：(1)x不是有理数.理由如下：
由勾股定理可知，首先x不可能是整数(因为，，所以x在5和6之间)，
其次x也不可能是分数;
综上可知，x不是有理数.
(2) x在5和6之间.
作业布置：
1.【解析】选D. π是不循环小数，但它不是有理数，故A错误；分数和整数统称为有理数，故B、C错误.2
2.【解析】选C.设对角线的长为m，由勾股定理得，m2=62+32=36+9=45，所以m既不是整数也不是分数即m不是有理数.21世纪教育网版权所有
3.【解析】选B.由勾股定理得，，，所以AB是分数.
4.【解析】选A
5.【解析】选B.因为π不是有理数，所以也不是有理数.
6.【解析】因为x2=7，所以x不是有理数，所以x既不是整数也不是分数，因此它不是有理数.
答案：不是、不是、不是
7.【解析】答案：不是、是
8.【解析】设对角线的长为x，则x2=22+12=5，x≈2.24
答案：2.24
9．解：设正方体的棱长为x，则x3=3，因为整数的3次方是整数，分数的3次方是分数，所以正方体的棱长既不是整数也不是分数，因此也不是有理数.21·cn·jy·com
10解：（1）以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是：34；
（2）b2=34；
（3）因为b2=34，所以b不是有理数.
11.解：如图：
线段AB、BC的长度是有理数；线段AC、AD的长度不是有理数.
12.解：如图，正方形ABCD的面积为13.
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2.1认识实数第1课时教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 二单元
课题 2.1认识实数第1课时 课时 1
课标要求 依据 2022 新课标，学生需在具体情境中，亲身经历从有理数扩充到实数的过程。要深入理解非有理数和实数概念，明晰实数由有理数与非有理数构成。能准确识别非有理数，体会其无限不循环特性，感受实数与数轴上点的一一对应关系，借此发展数感、符号意识，提升抽象思维与逻辑推理能力，增强用数学眼光观察世界、数学思维分析世界、数学语言表达世界的素养 。
教材分析 本课时为北师大版八年级上册第二章开篇内容，是学生在掌握有理数知识后的数系又一次扩充。教材借由面积为 2 的正方形边长求解等实际情境，巧妙引出非有理数概念，让学生感知数系扩充的必要性。注重引导学生通过操作、估算、思考等活动，逐步构建实数体系，为后续学习实数运算、比较大小、方程等知识夯实基础，在数学知识体系中起着承上启下的关键作用。
学情分析 八年级学生已熟知有理数运算，对勾股定理也有一定认知。但非有理数概念抽象，从有理数的有限、循环特性跨越到非有理数的无限不循环，思维跨度大，对学生挑战不小。部分学生易受有理数思维定式束缚，在理解非有理数本质及实数分类时，可能会遭遇理解困难、概念混淆等问题 。
教学目标 1.能够通过对正方形边长的探究，理解非有理数存在的必要性和合理性。 2.在数系扩充的探究实践中，显著提升归纳概括、逻辑推理以及数学抽象能力；通过丰富实例分析，深刻体会从特殊到一般、分类讨论、数形结合等重要数学思想 。 3.深切感受数学知识的发展演变历程与内在紧密联系，极大激发数学探索热情，增强面对数学难题时克服困难的信心，逐步培养严谨认真的治学态度 。
教学重点 理解非有理数存在的必要性和合理性 。
教学难点 深度构建非有理数概念，让学生切实理解非有理数的无限不循环特性，能精准区分非有理数与有理数，尤其是对无限不循环小数形成直观且深刻的认知。
教法与学法分析 教法上，综合运用讲授法清晰呈现概念内涵，利用讨论法激发学生思维碰撞，借助探究法引导学生自主探索非有理数特征。学法上，大力鼓励学生自主学习、小组合作交流，类比有理数学习实数，培养主动思考、积极归纳总结、善于合作交流的良好学习习惯。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 复习回顾 1、什么是有理数？ 整数与分数统称有理数； 2、有理数是怎么分类的？ 有理数可分为整数和分数或是正有理数，0和负有理数。 提出问题：除了有理数还有没有其他的数呢？ 有 复习回顾，引发学生的学习兴趣 回顾旧知，思考问题 创境导课，引出问题
探究活动一： 图2-1中是两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，设法得到一个大的正方形。 拼法一： 拼法二： 思考：(1)设大正方形的边长为a，a满足什么条件？ 一个小正方形的面积为S小正方形=1×1=1. S大正方形=S小正方形+S小正方形=1+1=2， 所以S大正方形=2. 根据正方形面积公式S大正方形=a2， 所以a2=2. (2)a可能是整数吗？说说你的理由。 a不可能是整数. 理由： (1)从“数”的角度： 因为a2=2，而12=1，22=4，32=9，… 所以12环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二： 尝试思考： 思考：(1)如图2-2，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ 由勾股定理知直角三角形的斜边的平方等于两直角边平方和. 即斜边为边的正方形的面积是. (2)设该正方形的边长为b，b满足什么条件？. 由正方形的面积公式得： . (3)b是有理数吗？ 没有一个整数或分数的平方为5，也就是没有一个有理数的平方为5，所以b不是有理数. 总结：在上面的两个问题中，数a，b确实存在，但都不是有理数. 探究活动三： 思考交流： 面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？ (1)如图2-3，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由。 1环节三：全班展学，互动深入 探究活动三： 例题精讲： 例1：在△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，如图，若AC=10 cm，BC=8 cm. (1)求以AD的长为边长的正方形的面积； (2)判断AD是否为有理数，并说明理由. 分析：根据等腰三角形三线合一的性质求出CD，根据勾股定理可得AD2，进行判断即可. 【解】(1)∵ AB=AC=10cm，BC=8cm，AD⊥BC， ∴ BD=CD=4cm， ∴ AD2=AB2-BD2=102-42=84， ∴ 以AD的长为边长的正方形的面积为84 cm2. (2)∵ AD2=84， ∴ AD既不是整数也不是分数， 即AD不是有理数. 例2：你会在下面的正方形网格中画出面积为10的正方形吗？试一试 分析：没有一个整数或分数的平方为10，但在直角三角形中，若两条直角边分别为1，3，则斜边的平方为10.所以可以构造直角三角形，进而找到面积为10的正方形. 【解】如图，构造直角三角形AEB，使两条直角边AE=3，EB=1，以斜边AB为边向外作正方形ABCD，正方形ABCD就是所求的正方形. 理由：在直角三角形AEB中，由勾股定理得，AB2=AE2+EB2=32+12=10，正方形ABCD的面积=AB2=10. 引导学生运用勾股定理构造直角三角形，进而得出正方形的边长。 学生积极思考，小组合作交流 运用例题巩固所学知识，进一步理解有理数不够用了，数的扩充的必要性。
环节四：巩固内化，拓展延伸 巩固训练 1.下列正方形的边长不是有理数的是( ) A.面积为64的正方形 B.面积为16的正方形 C.面积为1.44的正方形 D.面积为12的正方形 2.已知在中，，，，那么斜边AB的长是( ) A.整数 B.分数 C.有理数 D.非有理数 3.在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则在网格上的中，边长是非有理数的边有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.设边长为4的正方形的对角线长为x. (1)x是有理数吗？说说你的理由. (2)请你估计一下x在哪两个相邻整数之间. 答案： 1.D;2.D;3.C; 4.解析：(1)x不是有理数.理由如下： 由勾股定理可知，首先x不可能是整数(因为，，所以x在5和6之间)， 其次x也不可能是分数; 综上可知，x不是有理数. (2) x在5和6之间. 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 1.知识：在生活中确实存在既不是整数也不是分数的数，即不是有理数的数. 2.方法：类比探究法，操作验证法， 3.思想：类比思想，数形结合思想，从特殊到一般思想 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 2.1认识实数 在生活中确实存在既不是整数也不是分数的数，即不是有理数的数. 例1： 例2： 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标： 1.下列说法中正确的是( ) A．不循环小数是有理数 B．分数不是有理数 C．有理数都是有限小数 D．3.1415926是有理数 2．一个长方形的长与宽分别是6、3，它的对角线的长可能是( ) A．整数 B．分数 C．不是有理数 D．有理数 3．在直角△ABC中，∠C=90°，，BC=2，则AB为( ) A.整数 B.分数 C.非有理数 D.不能确定 4．如图，正方形网格中，每小格正方形边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长表示有理数的边数有( ) A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 5.下列数中是不是有理数的是( ) A. B. C.0 D. 能力提升： 6.x2=7，则x 分数， 整数， 有理数.(填“是”或“不是”) 7.面积为3的正方形的边长______有理数；面积为4的正方形的边长______有理数.(填“是”或“不是”) 8.一个高为2米，宽为1米的大门，对角线大约是______米(精确到0.01). 9.体积为3的正方体的棱长可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？请说明你的理由. 10.如图，(1)以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？(2)设该正方形的边长为b，b满足什么条件；(3)b是有理数吗？ 拓展迁移： 11.如图是由9个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段.试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段. 12．你会在下面的正方形网格中画出面积为13的正方形吗？试一试
教学反思 在教学过程中，察觉到部分学生对非有理数的判断偏差较大，模糊不清，尤其是在表示正方形的面积时，极易出错。后续教学需增添丰富多样的实例，强化概念辨析；多组织分类讨论活动，助力学生梳理思维脉络；针对学生的薄弱环节，开展专项练习并实施个别辅导，持续优化教学策略，稳步提升教学实效 。
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