(共29张PPT)
第一章 勾股定理
1.4问题解决策略：反思
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
巩固训练
05
课堂小结
06
作业设计
01
教学目标
引导学生全面回顾勾股定理问题解决过程，精准提炼常用策略，提升归纳总结能力。
01
促使学生依据不同情境，灵活选取、优化问题解决策略，增强策略运用与创新能力。
02
培养学生反思习惯，通过反思策略优劣，深化对数学思想方法理解，提升数学思维品质。
03
鼓励学生在合作反思中，积极交流，提升合作交流能力，体会团队智慧解决数学问题的优势。
04
02
新知导入
复习回顾
若一个三角形的三边满足两短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形。
1.如何判断一个三角形为直角三角形？
两点之间线段最短。直线外一点到这条直线可以画无数条线段，其中垂线段最短。
2.两点之间什么最短？直线外一点到这条直线可以画多少条线段，其中什么最短？
02
新知导入
复习回顾
圆柱体侧面展开是一个长方形。圆柱体的底面周长是展开后长方形的长，高是展开后长方形的宽。
3.圆柱体侧面展开是什么图形？圆柱体的底面周长是展开后图形的什么，高是展开后图形的什么？
03
新知探究
问题:如图1-19,一个圆柱的高为12 cm,底面圆的周长为18 cm。在圆柱的下底面的点A处有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物,那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少
活动1:理解问题
(1)在这个问题中,已知条件有哪些 你认为已知条件足够解决这个问题吗
这些条件足够解决问题。因为要求蚂蚁沿侧面爬行的最短路程，只需利用圆柱的高和底面周长，通过将侧面展开为平面图形（长方形），即可转化为直角三角形的斜边长度计算，无需额外条件。
03
新知探究
(2)沿侧面爬行的可能路线有哪些 什么情况下路线最短 请你用圆柱形水杯等物品实际感受一下。
蚂蚁沿圆柱侧面从点 A 到点 B 的路线有无数条。例如，可绕圆柱侧面螺旋上升，或沿不同角度的斜线爬行，路线形状会因缠绕方式不同而变化。
当路线为平面上的线段时最短。
用圆柱形水杯实际操作时，可在杯壁标注点 A（下底面）和点 B（上底面相对位置），用弹性绳一端固定在 A 点，另一端连接 B 点。拉紧绳子过程中会发现，绳子逐渐贴紧杯壁，最终形成一条直线（此时绳子长度最短）。这是因为两点之间线段最短，而将圆柱侧面展开为长方形后，A、B 两点在平面上的连线即为最短路线。
03
新知探究
活动2:拟订计划
(1)以前研究过最短路线问题吗 这个问题与以前研究的最短路线问题有什么不同
以前研究过多种最短路线问题，比如平面上两点之间的最短路线（直接连接两点的线段）、与垂线段相关的最短路线（点到直线的最短距离是垂线段）、将军饮马问题（利用对称点转化为两点间线段最短）等。
这些过往研究的问题均是在平面图形中进行的，而本次问题是在立体图形（圆柱侧面，属于曲面） 上研究最短路线，这是两者的核心区别。
03
新知探究
(2)如何将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题 各个点的位置如何确定
转化方法：通过将圆柱的侧面展开为平面图形（长方形），可把曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题。因为平面上 “两点之间线段最短” 的原理能直接应用，从而找到最短路径。
03
新知探究
(2)如何将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题 各个点的位置如何确定
点的位置确定：展开前可在圆柱侧面标记点 A（下底面）和点 B（上底面与 A 相对的位置）；展开后，根据点在圆柱上相对于侧面母线或底边的位置确定在长方形中的对应点 —— 如图，点 A 对应长方形的一个顶点，点 B 对应长方形长边中点（因底面周长为 18 cm，展开后长方形的长为 18 cm，B 在展开图中距离 A 所在边的垂直距离为圆柱的高 12 cm）。
03
新知探究
(2)如何将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题 各个点的位置如何确定
A
B
A
B
A
B
因为两点之间线段最短，
所以方案③的路线最短.
03
新知探究
活动3:实施计划
(1)如图1-20,将圆柱侧面剪开,确定展开图的形状,以及与圆柱的对应关系。
(2)在图1-20中标出点B的位置。
(3)在图1-20中确定A,B两点之间最短的路线,并计算它的长度。
A
B
C
高12cm，底面周长18cm.
04
例题讲解
解析
解：将圆柱的侧面展开是一个长方形,点B位于长方形长边的中点位置。
根据两点间线段最短,线段AB就是从点A到点B的最短路线。
如图所示,依题意,在中,是直角,
根据勾股定理,得。
解得。
所以,蚂蚁爬行的最短路程是。
04
新知讲解
立体图形中求两点间的最短距离,一般把立体图形展开成平面图形,连接两点,根据两点之间线段最短确定最短路线。
方法总结
03
新知探究
在拟订解决问题的方案时，我们应先全面分析问题，明确目标是找出圆柱侧面两点间的最短路线。基于圆柱的几何特征，将其侧面展开为长方形是关键思路，把曲面问题转化为熟悉的平面问题。同时，与同伴交流想法能拓宽思路，不同视角可碰撞出灵感火花，如有的同学从展开图的不同方式思考，有的从勾股定理应用条件出发。
活动4:回顾反思
(1)在拟订解决问题的方案和实施方案的过程中,你获得了哪些经验 与同伴进行交流。
03
新知探究
实施方案过程中，我们严格按照既定方案操作，精准测量圆柱相关数据，仔细绘制展开图，确保图形准确，避免因绘图误差导致计算失误。计算时，严谨代入数据运用勾股定理求解，过程中多次复核，保障计算无误。当遇到困难，通过再次回顾圆柱展开原理，结合实际模型观察，成功克服困难，这让我们明白遇到问题不能慌乱，要回归基础知识，借助实物辅助理解。
活动4:回顾反思
(1)在拟订解决问题的方案和实施方案的过程中,你获得了哪些经验 与同伴进行交流。
03
新知探究
影响结果的量主要有圆柱的高、底面周长以及 A、B 两点在圆柱上的相对位置。若改变圆柱形状，如变高变矮或变粗变细，圆柱侧面展开图的长方形长和宽会改变，A、B 两点在展开图中的相对位置也随之改变，进而影响最短路径长度。
(2)在这个问题中,影响结果的量有哪些 如果改变有关的量,你还能求解吗 例如,改变圆柱的形状,改变A,B两点的位置,改为沿着圆柱表面爬行……这时又会有哪些新的问题 选择部分问题进行研究,并与同伴进行交流。
03
新知探究
解决圆柱表面最短距离问题的经验可广泛应用。例如解决正方体表面两点之间最短距离问题，将正方体展开为平面图形，依据 “两点之间线段最短”，找出两点在展开图中的连线，利用勾股定理计算其长度，过程类似圆柱侧面展开求解。长方体也是如此，通过不同面的展开组合，确定最短路径，像快递打包问题中计算长方体盒子表面两点间胶带最短长度就可运用此方法。
(3)解决这个问题的经验,还可以运用到哪些问题中 例如,能否解决正方体、长方体等几何体表面两点之间的最短距离问题
03
新知探究
常见模型：
03
新知探究
实例一：工人给圆柱形水塔侧面刷漆，从底部一点到顶部相对一点，如何规划行走路线使刷漆路程最短。方案是将水塔侧面展开，计算展开图中两点间线段长度，确定最短路线。
实例二：在一个三棱柱形状的建筑装饰中，从一个顶点到相对侧面顶点安装灯带，求最短灯带长度。方案是将三棱柱侧面展开，分析不同展开方式下两点间距离，运用勾股定理求出最短距离。
(4)生活中还有哪些现实问题涉及几何体表面上的最短距离 举几个实例,并思考解决问题的方案。
03
新知探究
解决问题之后的反思,一般可以关注以下几个方面:反思解决问题的过程,强化解决问题的经验;比较解决问题的方法,形成多样的解决问题的方法;思考方法的本质,促进方法的运用;改变问题的条件,研究更多的问题。
(5)对于解决问题之后的回顾反思,你有哪些体会 与同伴进行交流。
03
新知探究
用勾股定是解决最短路径问题的解题步骤： 将立体图形展开成平面图形→确定相关点位置→ 构造直角三角形→根据勾股定理求解.
概括
05
巩固训练
1.解决下列几个问题，并说明它们与本节课问题的区别与联系。
(1)如图1-21，圆柱的高为13cm,底面周长为10cm,在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到离上底面1cm的点B处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
解:如图将圆柱的侧面展开是一个长方形,点C,D位于长方形长边的中点位置,。
根据两点间线段最短,线段AB就是从点A到点B的最短路线。
如图所示,依题意,在中,是直角,
根据勾股定理,得。
解得。
所以,蚂蚁爬行的最短路程是。
A
B
C
D
05
巩固训练
解:如图1,将长方体沿前面和右面展开得,.
(2)如图1-22，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm,8cm,12cm,一只蚂蚁想从盒底的点A处沿盒的外表面爬到盒顶的点B处，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁爬行的最短路程是多少？
如图2,将长方体沿前面和上面展开得,.
因为,故蚂蚁爬行的最短路程是20cm.
05
巩固训练
(3)为了营造节日气氛，学校准备在大厅圆柱上缠绕彩带。已知大厅圆柱的高为6m,底面周长为2m。如果希望彩带从圆柱底端绕圆柱4圈后正好到达顶端，那么至少需要彩带多少米？
解:如图将圆柱的侧面展开是一个长方形,
根据两点间线段最短,线段AB就是从点A到点B的最短路线。
如图所示,依题意,在中,是直角,
根据勾股定理,得。
解得。
所以,至少需要彩带10米。
05
巩固训练
2.两个正数的和是12，求它们积的最大值。
(1)你有哪些解决问题的方法？
(2)解决这个问题的过程中你积累了哪些经验？
(3)你还能提出哪些类似的问题？与同伴进行交流。
解:(1)设计一个矩形，两邻边之和为12，通过改变边长，发现当图形为正方形时面积最大，即是它们积的最大值为36.
(2)可以将代数问题转化为几何问题，进而解决.
(3)类似问题：①两个正数的和为 18，求它们的积的最大值。
②三个正数的和为 24，求它们的积的最大值。
③在周长固定为 40 的矩形中，求面积的最大值。
05
课堂小结
通过本节课的学习你收获了什么？
知识:立体图形中求两点间的最短距离,一般把立体图形展开成平面图形,连接两点,根据两点之间线段最短确定最短路线。
方法:类比探究法;小组合作法;自主探究法.
Thanks!
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1.4问题解决策略：反思教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 一单元
课题 1.4问题解决策略：反思 课时 1
课标要求 2022 新课标强调，学生要在综合与实践活动中，经历从实际情境中抽象出数学问题、构建数学模型、求解并检验结果的过程，提升综合运用数学知识与方法解决问题的能力。尤其在此主题下，着重培养学生反思问题解决策略的习惯，能回顾过程，总结经验、不足，优化策略，感悟数学思想，发展创新思维与实践能力，增强应用意识与合作交流能力。
教材分析 北师大版 2024 八上第一章围绕勾股定理展开，此综合与实践《问题解决策略：反思》作为章节升华部分，串联起全章知识应用。教材通过呈现实际问题案例，引导学生梳理解决勾股定理相关问题时采用的策略，像如何借助图形分析、数据处理来解题，助力学生从零散解题经验迈向系统策略总结，深化对勾股定理应用理解，提升问题解决能力。
学情分析 八年级学生已初步掌握勾股定理基础知识，有一定解题经验，但多停留在机械套用公式层面。在策略运用上，部分学生能凭直觉解题，却难以提炼背后通用策略；小组合作中，沟通协作能力参差不齐。他们对新鲜问题充满好奇，却易在复杂问题前因策略匮乏而退缩。
教学目标 1.引导学生全面回顾勾股定理问题解决过程，精准提炼常用策略，提升归纳总结能力。 2.促使学生依据不同情境，灵活选取、优化问题解决策略，增强策略运用与创新能力。 3.培养学生反思习惯，通过反思策略优劣，深化对数学思想方法理解，提升数学思维品质。 4.鼓励学生在合作反思中，积极交流，提升合作交流能力，体会团队智慧解决数学问题的优势。
教学重点 1.系统梳理勾股定理应用中的常见问题解决策略，如利用数形结合、方程思想解题。 2.指导学生掌握反思策略的方法，从解题思路、方法选择、结果检验等方面反思。
教学难点 帮助学生突破思维定式，深度反思策略局限性，实现策略灵活创新运用，将勾股定理应用从常规问题迁移至复杂、新颖情境。
教法与学法分析 教法上，采用问题驱动与小组讨论法，借典型问题激发思考，组织小组探讨策略，教师适时引导。学法方面，鼓励学生自主反思、合作交流，自主回顾解题历程，小组内分享策略感悟，共同进步。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 复习回顾： 1.如何判断一个三角形为直角三角形？ 若一个三角形的三边满足两短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形。 2.两点之间什么最短？直线外一点到这条直线可以画多少条线段，其中什么最短？ 两点之间线段最短。直线外一点到这条直线可以画无数条线段，其中垂线段最短。 3.圆柱体侧面展开是什么图形？圆柱体的底面周长是展开后图形的什么，高是展开后图形的什么？ 圆柱体侧面展开是一个长方形。圆柱体的底面周长是展开后长方形的长，高是展开后长方形的宽。 复习提问，引入新课 积极思考问题 复习旧知，为接下新课做铺垫
探究活动一： 解决问题之后，对解决问题的过程、方法及问题的变化等方面进行反思，可以加深对问题及解决问题的思路、策略与方法的理解，丰富解决问题的经 验，提高解决问题的能力。 问题：如图1-19，一个圆柱的高为12 cm，底面圆的周长为18 cm。在圆柱的下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 活动1：理解问题 (1)在这个问题中，已知条件有哪些？你认为已知条件足够解决这个问题吗？ 这些条件足够解决问题。因为要求蚂蚁沿侧面爬行的最短路程，只需利用圆柱的高和底面周长，通过将侧面展开为平面图形（长方形），即可转化为直角三角形的斜边长度计算，无需额外条件。 (2)沿侧面爬行的可能路线有哪些？什么情况下路线最短？请你用圆柱形水杯等物品实际感受一下。 解：蚂蚁沿圆柱侧面从点 A 到点 B 的路线有无数条。例如，可绕圆柱侧面螺旋上升，或沿不同角度的斜线爬行，路线形状会因缠绕方式不同而变化。 当路线为平面上的线段时最短。 用圆柱形水杯实际操作时，可在杯壁标注点 A（下底面）和点 B（上底面相对位置），用弹性绳一端固定在 A 点，另一端连接 B 点。拉紧绳子过程中会发现，绳子逐渐贴紧杯壁，最终形成一条直线（此时绳子长度最短）。这是因为两点之间线段最短，而将圆柱侧面展开为长方形后，A、B 两点在平面上的连线即为最短路线。 引导学生分析题意，寻找解决问题的方法。 学生讨论，交流，寻找解决问题的途径，并得出正确结论。 利用实际问题，引导学生分析问题，小组合作；及时点拨，提高学生的分析问题，解决问题的能力。
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二： 活动2：拟订计划 (1)以前研究过最短路线问题吗？这个问题与以前研究的最短路线问题有什么不同？ 以前研究过多种最短路线问题，比如平面上两点之间的最短路线（直接连接两点的线段）、与垂线段相关的最短路线（点到直线的最短距离是垂线段）、将军饮马问题（利用对称点转化为两点间线段最短）等。 这些过往研究的问题均是在平面图形中进行的，而本次问题是在立体图形（圆柱侧面，属于曲面） 上研究最短路线，这是两者的核心区别。 (2)如何将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题？各个点的位置如何确定？ 转化方法：通过将圆柱的侧面展开为平面图形（长方形），可把曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题。因为平面上 “两点之间线段最短” 的原理能直接应用，从而找到最短路径。 点的位置确定：展开前可在圆柱侧面标记点 A（下底面）和点 B（上底面与 A 相对的位置）；展开后，根据点在圆柱上相对于侧面母线或底边的位置确定在长方形中的对应点 —— 例如，点 A 对应长方形的一个顶点，点 B 对应长方形长边中点（因底面周长为 18 cm，展开后长方形的长为 18 cm，B 在展开图中距离 A 所在边的垂直距离为圆柱的高 12 cm）。 活动3：实施计划 (1)如图1-20，将圆柱侧面剪开，确定展开图的形状，以及与圆柱的对应关系。 (2)在图1-20中标出点B的位置。 (3)在图1-20中确定A，B两点之间最短的路线，并计算它的长度。 解：将圆柱的侧面展开是一个长方形，点B位于长方形长边的中点位置。 根据两点间线段最短，线段AB就是从点A到点B的最短路线。 如图所示，依题意，在Rt△ABC中，∠C是直角，BC=18÷2=9(cm)，AC=12(cm)， 根据勾股定理，得AB2=AC2+BC2=122+92=225。 解得AB=15 cm。 所以，蚂蚁爬行的最短路程是15 cm。 小结：立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线。 引导学在理解问题的基础制订计划，并实施计划. 在理解问题的基础拟定计划，小组交流，并进行实施计划. 引导学生进一步拟订计划，进而实施计划，培养学生的解决问题的能力.
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三： 活动4：回顾反思 (1)在拟订解决问题的方案和实施方案的过程中，你获得了哪些经验？与同伴进行交流。 在拟订解决问题的方案时，我们应先全面分析问题，明确目标是找出圆柱侧面两点间的最短路线。基于圆柱的几何特征，将其侧面展开为长方形是关键思路，这得益于过往将复杂问题简单化的经验，把曲面问题转化为熟悉的平面问题。同时，与同伴交流想法能拓宽思路，不同视角可碰撞出灵感火花，如有的同学从展开图的不同方式思考，有的从勾股定理应用条件出发。 实施方案过程中，我们严格按照既定方案操作，精准测量圆柱相关数据（高与底面周长），仔细绘制展开图，确保图形准确，避免因绘图误差导致计算失误。计算时，严谨代入数据运用勾股定理求解，过程中多次复核，保障计算无误。当遇到困难（如对展开图中线段对应关系存疑），通过再次回顾圆柱展开原理，结合实际模型观察，成功克服困难，这让我们明白遇到问题不能慌乱，要回归基础知识，借助实物辅助理解。 (2)在这个问题中，影响结果的量有哪些？如果改变有关的量，你还能求解吗？例如，改变圆柱的形状，改变A，B两点的位置，改为沿着圆柱表面爬行……这时又会有哪些新的问题？选择部分问题进行研究，并与同伴进行交流。 影响结果的量主要有圆柱的高、底面周长以及 A、B 两点在圆柱上的相对位置。若改变圆柱形状，如变高变矮或变粗变细，圆柱侧面展开图的长方形长和宽会改变，A、B 两点在展开图中的相对位置也随之改变，进而影响最短路径长度。改变 A、B 两点位置，如 A 点位置不变，B 点沿圆周移动，展开图中两点的水平和垂直距离改变，根据勾股定理计算的最短距离也会不同。改为沿着圆柱表面爬行，若考虑从圆柱侧面到上底面或下底面，需分多种情况讨论，如先沿侧面爬行再沿底面爬行，涉及不同平面图形组合，计算更复杂，需综合运用圆柱侧面展开、平面图形边长关系及勾股定理求解。 (3)解决这个问题的经验，还可以运用到哪些问题中？例如，能否解决正方体、长方体等几何体表面两点之间的最短距离问题？ 解决圆柱表面最短距离问题的经验可广泛应用。例如解决正方体表面两点之间最短距离问题，将正方体展开为平面图形（多种展开方式，如展开为相连的六个正方形），依据 “两点之间线段最短”，找出两点在展开图中的连线，利用勾股定理计算其长度，过程类似圆柱侧面展开求解。长方体也是如此，通过不同面的展开组合，确定最短路径，像快递打包问题中计算长方体盒子表面两点间胶带最短长度就可运用此方法。 (4)生活中还有哪些现实问题涉及几何体表面上的最短距离？举几个实例，并思考解决问题的方案。 实例一：工人给圆柱形水塔侧面刷漆，从底部一点到顶部相对一点，如何规划行走路线使刷漆路程最短。方案是将水塔侧面展开，计算展开图中两点间线段长度，确定最短路线。 实例二：在一个三棱柱形状的建筑装饰中，从一个顶点到相对侧面顶点安装灯带，求最短灯带长度。方案是将三棱柱侧面展开，分析不同展开方式下两点间距离，运用勾股定理求出最短距离。 实例三：商场在长方体柱子上布置装饰彩带，从柱子底部一角到顶部对角，怎样布置彩带最节省。方案是把长方体柱子侧面展开，找到展开图中两点的最短连线，根据勾股定理算出彩带最短长度。 (5)对于解决问题之后的回顾反思，你有哪些体会？与同伴进行交流。 解决问题之后的反思，一般可以关注以下几个方面：反思解决问题的过程，强化解决问题的经验；比较解决问题的方法，形成多样的解决问题的方法；思考方法的本质，促进方法的运用；改变问题的条件，研究更多的问题。 归纳总结： 解题步骤：
将立体图形展开成平面图形→确定相关点位置→
构造直角三角形→根据勾股定理求解. 常见模型： 引导学生回顾反思解决问题的过程，总结归纳做题经验. 小组合作交流，反思解决问题方法 通过回顾反思，总结解决问题的方法，进而培养学生分析问题，解决问题的能力.
环节四：巩固内化，拓展延伸 巩固训练 请你解答下列问题。 1.解决下列几个问题，并说明它们与本节课问题的区别与联系。 (1)如图1-21，圆柱的高为13cm，底面周长为10cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到离上底面1cm的点B处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 解：如图将圆柱的侧面展开是一个长方形，点C，D位于长方形长边的中点位置，。 根据两点间线段最短，线段AB就是从点A到点B的最短路线。 如图所示，依题意，在中，是直角， 根据勾股定理，得。 解得。 所以，蚂蚁爬行的最短路程是。 (2)如图1-22，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A处沿盒的外表面爬到盒顶的点B处，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁爬行的最短路程是多少？ 解：如图1，将长方体沿前面和右面展开得，. 如图2，将长方体沿前面和上面展开得，. 因为，故蚂蚁爬行的最短路程是20cm. (3)为了营造节日气氛，学校准备在大厅圆柱上缠绕彩带。已知大厅圆柱的高为6m，底面周长为2m。如果希望彩带从圆柱底端绕圆柱4圈后正好到达顶端，那么至少需要彩带多少米？ 解：如图将圆柱的侧面展开是一个长方形， 根据两点间线段最短，线段AB就是从点A到点B的最短路线。 如图所示，依题意，在中，是直角， 根据勾股定理，得。 解得。 所以，至少需要彩带10米。 2.两个正数的和是12，求它们积的最大值。 (1)你有哪些解决问题的方法？ (2)解决这个问题的过程中你积累了哪些经验？ (3)你还能提出哪些类似的问题？与同伴进行交流。 解：(1)设计一个矩形，两邻边之和为12，通过改变边长，发现当图形为正方形时面积最大，即是它们积的最大值为36. (2)可以将代数问题转化为几何问题，进而解决. (3)类似问题：①两个正数的和为 18，求它们的积的最大值。 ②三个正数的和为 24，求它们的积的最大值。 ③在周长固定为 40 的矩形中，求面积的最大值。 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 1.知识： 求立体图形的表面上两点间的最短路径问题时，一般要把立体图形展开成合适的平面图形，然后连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线，进而借助勾股定理等进行求解. 2.方法：小组合作法，自主探究法， 3.思想：方程思想，数形结合思想，转化思想 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 1.4问题解决策略：反思 1.情境导入 2.问题解答 3.归纳总结 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
教学反思 教学中，学生积极参与策略讨论，多数能总结常见策略，但在反思策略创新时，部分学生思维受限。后续教学需提供更多拓展性问题，启发创新思维；小组合作可优化分组，增强协作效果；评价环节要更注重对策略反思深度的考量，助力学生更好掌握问题解决策略，提升数学综合素养 。
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分课时学案
课题 1.4问题解决策略：反思 单元 第一单元 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.引导学生全面回顾勾股定理问题解决过程，精准提炼常用策略，提升归纳总结能力。 2.促使学生依据不同情境，灵活选取、优化问题解决策略，增强策略运用与创新能力。 3.培养学生反思习惯，通过反思策略优劣，深化对数学思想方法理解，提升数学思维品质。 4.鼓励学生在合作反思中，积极交流，提升合作交流能力，体会团队智慧解决数学问题的优势。
重点 1.系统梳理勾股定理应用中的常见问题解决策略，如利用数形结合、方程思想解题。 2.指导学生掌握反思策略的方法，从解题思路、方法选择、结果检验等方面反思。
难点 帮助学生突破思维定式，深度反思策略局限性，实现策略灵活创新运用，将勾股定理应用从常规问题迁移至复杂、新颖情境。
教学过程
导入新课 复习回顾： 1.如何判断一个三角形为直角三角形？ 2.两点之间什么最短？直线外一点到这条直线可以画多少条线段，其中什么最短？ 3.圆柱体侧面展开是什么图形？圆柱体的底面周长是展开后图形的什么，高是展开后图形的什么？
新知讲解 探究活动一： 解决问题之后，对解决问题的过程、方法及问题的变化等方面进行反思，可以加深对问题及解决问题的思路、策略与方法的理解，丰富解决问题的经 验，提高解决问题的能力。 问题：如图1-19，一个圆柱的高为12 cm，底面圆的周长为18 cm。在圆柱的下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 活动1:理解问题 (1)在这个问题中，已知条件有哪些？你认为已知条件足够解决这个问题吗？ (2)沿侧面爬行的可能路线有哪些？什么情况下路线最短？请你用圆柱形水杯等物品实际感受一下。 探究活动二： 活动2:拟订计划 (1)以前研究过最短路线问题吗？这个问题与以前研究的最短路线问题有什么不同？ (2)如何将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题？各个点的位置如何确定？ 活动3:实施计划 (1)如图1-20，将圆柱侧面剪开，确定展开图的形状，以及与圆柱的对应关系。 (2)在图1-20中标出点B的位置。 (3)在图1-20中确定A，B两点之间最短的路线，并计算它的长度。 探究活动三： 活动4:回顾反思 (1)在拟订解决问题的方案和实施方案的过程中，你获得了哪些经验？与同伴进行交流。 (2)在这个问题中，影响结果的量有哪些？如果改变有关的量，你还能求解吗？例如，改变圆柱的形状，改变A，B两点的位置，改为沿着圆柱表面爬行……这时又会有哪些新的问题？选择部分问题进行研究，并与同伴进行交流。 (3)解决这个问题的经验，还可以运用到哪些问题中？例如，能否解决正方体、长方体等几何体表面两点之间的最短距离问题？ (4)生活中还有哪些现实问题涉及几何体表面上的最短距离？举几个实例，并思考解决问题的方案。 (5)对于解决问题之后的回顾反思，你有哪些体会？与同伴进行交流。
课堂练习 巩固训练 请你解答下列问题。 1.解决下列几个问题，并说明它们与本节课问题的区别与联系。 (1)如图1-21，圆柱的高为13cm，底面周长为10cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到离上底面1cm的点B处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ (2)如图1-22，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A处沿盒的外表面爬到盒顶的点B处，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁爬行的最短路程是多少？ (3)为了营造节日气氛，学校准备在大厅圆柱上缠绕彩带。已知大厅圆柱的高为6m，底面周长为2m。如果希望彩带从圆柱底端绕圆柱4圈后正好到达顶端，那么至少需要彩带多少米？ 2.两个正数的和是12，求它们积的最大值。 (1)你有哪些解决问题的方法？ (2)解决这个问题的过程中你积累了哪些经验？ (3)你还能提出哪些类似的问题？与同伴进行交流。
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