中小学教育资源及组卷应用平台
分课时学案
课题 2.2平方根与立方根第2课时 单元 第二单元 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.理解平方根的概念及性质，能准确求非负数的平方根，区分平方根与算术平方根的符号表示。 2.经历 “平方运算→逆推平方根” 的探究过程，体会从特殊到一般的归纳思想，提升符号转换与运算能力。 3.通过平方根与算术平方根的对比辨析，培养严谨的数学思维习惯，感受数学概念的系统性与逻辑性。
重点 1.平方根的概念与性质。 2.平方根与算术平方根的区别。
难点 理解平方根的双重性及负数无平方根的本质原因，避免与算术平方根概念混淆。
教学过程
导入新课 复习回顾： 1.什么是算术平方根？ 2.算术平方根的性质是什么？ 3.填空 (1)9的算术平方根是_________. (2)的算术平方根是_________. (3)展厅的地面为正方形，其面积为49平方米，则其边长为_______米. 思考：平方等于9，，49的数还有吗
新知讲解 探究活动一： 思考： (1)3的平方是9，还有其他数的平方也是9吗？ (2)平方等于的数有几个？平方等于0.64的数呢？ 总结归纳： 平方根的定义： 深度思考： (1)平方根和算术平方根有哪些相同点和不同点？ (2)一个正数有几个平方根？0有几个平方根？负数呢？ 总结归纳：平方根的性质： 符号表示： 算术平方根与平方根的区别与联系： 算术平方根平方根表示方法a的取值性 质正数0负数是本身
总结：开平方： 典例精讲 例3：求下列各数的平方根： (1)64；(2)；(3)0.000 4；(4)(-25)2；(5)11. 例4：求下列各式的值： (1)； (2)； (3)。
课堂练习 巩固训练 1.的平方根( ) A B 2.下列各数中一定有平方根的是 ( ) B. C. x+3 3.已知则的平方根是( ) B C 4.已知，若的值为，则的平方根为 . 5.已知一个正数的两个不相等的平方根分别是. (1)求的值； (2)求这个正数； (3)求关于的方程 的解.
作业布置 1.4的平方根是( ) A.2 B. C. D. 2.已知实数a的一个平方根是3，则它的另一个平方根是( ) A.3 B. C. D. 3.的平方根是( ). A. B.5 C. D. 4.下列说法正确的是( ) A.正数的平方根是它本身 B.是100的一个平方根 C.100的平方根是10 D.的平方根是 能力提升： 5.下列说法正确的是( ) A.4是的算术平方根 B.平方根等于它本身的数是0和1 C.9的平方根是 D.的平方根是 6.下列各数中没有平方根的是( ) A.0 B. C. D. 7.若与是同一个数的平方根，则x的值是( ). A. B.或1 C.1 D. 8.计算：_________. 拓展迁移： 9.如图所示，某地有一地下工程，其底面是正方形，面积为，四个角均是面积为的小正方形渗水坑，根据这些条件如何求a的值 与你的同伴进行交流. 下面是小康提供的解题方案，根据解题方案，请你完成本题的解答过程. (1)设大正方形的边长为，小正方形的边长为，那么根据题意可列出关于x的方程为__________，关于y的方程为___________； (2)利用平方根的意义，可求得__________(取正值，结果保留根号)，__________(取正值，结果保留根号). 10.小明是一位善于思考、勇于创新的同学，在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根.比如：因为没有一个数的平方等于-1，所以-1没有平方根.有一天，小明想：如果存在一个数i，使，那么，因此-1就有两个平方根了.小明又想：因为，所以-4的平方根是；因为，所以-9的平方根就是.请你根据上面的信息解答下列问题： (1)求，的平方根. (2)求，，，，，，…的值，你发现了什么规律 请你将发现的规律用式子表示出来. (3)求的值.
参考答案：
例题精讲：
例1：
解：(1)因为(±8)2=64，所以64的平方根是±8，即=±8.
(2)因为()2=，所以的平方根是，即=.
(3)(±0.02)2=0.000 4，所以0.000 4的平方根是±0.02，即=±0.02.
(4)因为(±25)2=(-25)2，所以(-25)2的平方根是±25，即=±25.
(5)11的平方根是.
例2：
解：(1)
(2) ；
(3) .
课堂练习：
1.D；2.D；3.A；4.；
5.解： (1)由题意得，，解得.
(2)由(1)知，所以，所以
(3)由(1)知，所以方程为
整理得 所以.
作业布置：
1. B；2. B；3. A；4. B；5. C；6. B
7. B
解析：与是同一个数的平方根，
当与相等时，则，
解得：，
当与互为相反数时，
，
解得：；
综上：或；
故选：B.
8.答案：
解析：，
故答案为：.
9.解析：(1)因为大正方形的边长为，小正方形的边长为，
那么根据题意可列出关于x的方程为，关于y的方程为.
故答案为，.
(2)利用平方根的意义，可求得 (取正值，结果保留根号)， (取正值，结果保留根号).故答案为，.
10.答案：解析：(1)因为，所以-16的平方根是.
因为，所以-25的平方根是.
(2)，，
，，
，
规律是i每四个相邻次方为一个循环，用式子表示为，，， (其中n是非负整数).
(3)，
故原式.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2.2平方根与立方根第2课时教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 二单元
课题 2.2平方根与立方根第2课时 课时 1
课标要求 依据 2022 新课标，本节课需引导学生理解平方根的概念及性质，掌握平方根与算术平方根的区别与联系，能准确用符号表示平方根，理解开平方与平方的逆运算关系。注重通过实例培养运算能力，发展符号意识与逻辑推理素养，体会从具体到抽象的数学思维过程，同时能运用平方根知识解决简单实际问题，增强数学应用意识。
教材分析 本节是在算术平方根基础上的延伸，教材通过 “平方等于9的数有几个” 等问题引入平方根概念，探究正数、0、负数的平方根性质，明确平方根的符号表示与运算规则。例3、例4结合具体数值强化平方根的求法与符号辨析，为后续学习立方根及实数运算奠定基础，体现 “概念—性质—应用” 的认知逻辑。
学情分析 学生已掌握算术平方根的非负性，但对平方根 “正负成对” 的特性易混淆，对负数无平方根的理解停留在记忆层面，缺乏逻辑推导。符号表征的规范使用存在困难，在处理 等带平方的负数平方根时，易忽略底数的平方运算本质，需通过对比练习强化逆运算思维。
教学目标 1.理解平方根的概念及性质，能准确求非负数的平方根，区分平方根与算术平方根的符号表示。 2.经历 “平方运算→逆推平方根” 的探究过程，体会从特殊到一般的归纳思想，提升符号转换与运算能力。 3.通过平方根与算术平方根的对比辨析，培养严谨的数学思维习惯，感受数学概念的系统性与逻辑性。
教学重点 1.平方根的概念与性质。 2.平方根与算术平方根的区别。
教学难点 理解平方根的双重性及负数无平方根的本质原因，避免与算术平方根概念混淆。
教法与学法分析 教法：采用 “对比—探究” 教学法，通过表格对比算术平方根与平方根的定义、符号、个数，借助几何画板动态演示平方与开平方的逆过程。 学法：小组合作完成 “平方根性质归纳表”，通过错题辨析强化概念理解，规范符号书写。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 复习回顾： 1.什么是算术平方根？ 若一个正数的平方等于，即，则这个正数就叫做的算术平方根.记为“ ”读作“根号”.这就是算术平方根的定义.特别地规定的算术平方根是，即. 2.算术平方根的性质是什么？ ①一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根， ②算术平方根具有双重非负性. ③当时，，；当时，. 3.填空 (1)9的算术平方根是_________. (2)的算术平方根是_________. (3)展厅的地面为正方形，其面积为49平方米，则其边长为_______米. 思考：平方等于9，，49的数还有吗 创设情境，复习旧知，引入新课 复习回顾，思考问题 通过回顾算术平方根是一个正数正的平方根，从而顺其自然引出还有 一个负数的平方等于这个正数，为下面学习平方根做了心理准备.
探究活动一： 思考： (1)3的平方是9，还有其他数的平方也是9吗？ 可以是-3，由于(-3)2=9，那么这个数也可以是-3 3与-3互为相反数. (2)平方等于的数有几个？平方等于0.64的数呢？ 平方等于的数有和-，平方等于0.64的数有0.8和-0.8，两组数也分别互为相反数. 总结归纳： 平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个就叫的平方根(square root，也叫二次方根)；和的平方都等于，由定义可知和都是的平方根，即的平方根有两个和，的算术平方根只有一个是. 引导学生思考，进而引出平方根的概念. 思考问题，探究平方根的概念 让学生感受一个正数的平方根有两个，进而对平方根有一定的认识，为归纳平方根的概念作铺垫；在此基础上，引导学生用文字语言仿照算术平方根的概念得到平方根的概念，使学生的学习形成正迁移.
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二： 尝试 思考： (1)平方根和算术平方根有哪些相同点和不同点？ 相同点：1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种. 2.只有非负数才有平方根和算术平方根. 3.0的平方根是0，算术平方根也是0. 不同点：1.个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根. 2.表示法不同：平方根表示为，而算术平方根表示为 . (2)一个正数有几个平方根？0有几个平方根？负数呢？ 解：①正数有两个平方根，它们互为相反数.例如：9的平方根是+3和-3. ②0只有一个平方根，是0本身. ③负数没有平方根. 总结归纳： 平方根的性质：一个正数有两个平方根；0只有一个平方根；负数没有平方根. 注意：正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根，另一个是，它们互为相反数.这两个平方根合起来记作，读作“正、负根号a”. 算术平方根与平方根的区别与联系： 算术平方根平方根表示方法a的取值性 质正数一个正数两个互为相反数000负数没有没有是本身0，10
总结：求一个数a的平方根的运算，叫作开平方(extraction of square root)，a叫作被开方数。 引导学生对比平方根与算术平方根，找出异同点，进而归纳平方根的性质，理解 类比算术平方根的性质，探究归纳平方根的性质. 通过讨论交流，加深学生对平方根的性质，平方根与算术平方根的联系与区别的理解，了解平方与并平方互为逆运算；通过探究，培养学生的归纳概括能力.
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三： 例题精讲： 例3：求下列各数的平方根： (1)64；(2)；(3)0.0004；(4)(-25)2；(5)11. 解：(1)因为(±8)2=64，所以64的平方根是±8，即=±8. (2)因为()2=，所以的平方根是，即=. (3)(±0.02)2=0.000 4，所以0.000 4的平方根是±0.02，即=±0.02. (4)因为(±25)2=(-25)2，所以(-25)2的平方根是±25，即=±25. (5)11的平方根是. 例4：求下列各式的值： (1)； (2)； (3)。 解：(1) (2) ； (3) . 提出问题，学生独立思考后教师规范答题过程. 学生独立思考，掌握平方根的说理和符号化表达. 通过例题的讲解，帮助学生正确掌握平方根的文字说理及符号化的表达，熟练地求出一个数的平方根，强化学生对平方根性质的认识与应用.
环节四：巩固内化，拓展延伸 巩固训练 1.的平方根( ) A B 2.下列各数中一定有平方根的是 ( ) B. C. x+3 3.已知则的平方根是( ) B C 4.已知，若的值为，则的平方根为 . 5.已知一个正数的两个不相等的平方根分别是. (1)求的值； (2)求这个正数； (3)求关于的方程 的解. 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个就叫的平方根，. 平方根的性质：一个正数有两个平方根；0只有一个平方根；负数没有平方根. 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 2.2平方根与立方根第2课时 平方根的概念： 平方根的性质： 例3： 例4： 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标： 1.4的平方根是( ) A.2 B. C. D. 2.已知实数a的一个平方根是3，则它的另一个平方根是( ) A.3 B. C. D. 3.的平方根是( ). A. B.5 C. D. 4.下列说法正确的是( ) A.正数的平方根是它本身 B.是100的一个平方根 C.100的平方根是10 D.的平方根是 能力提升： 5.下列说法正确的是( ) A.4是的算术平方根 B.平方根等于它本身的数是0和1 C.9的平方根是 D.的平方根是 6.下列各数中没有平方根的是( ) A.0 B. C. D. 7.若与是同一个数的平方根，则x的值是( ). A. B.或1 C.1 D. 8.计算：_________. 拓展迁移： 9.如图所示，某地有一地下工程，其底面是正方形，面积为，四个角均是面积为的小正方形渗水坑，根据这些条件如何求a的值 与你的同伴进行交流. 下面是小康提供的解题方案，根据解题方案，请你完成本题的解答过程. (1)设大正方形的边长为，小正方形的边长为，那么根据题意可列出关于x的方程为__________，关于y的方程为___________； (2)利用平方根的意义，可求得__________(取正值，结果保留根号)，__________(取正值，结果保留根号). 10.小明是一位善于思考、勇于创新的同学，在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根.比如：因为没有一个数的平方等于-1，所以-1没有平方根.有一天，小明想：如果存在一个数i，使，那么，因此-1就有两个平方根了.小明又想：因为，所以-4的平方根是；因为，所以-9的平方根就是.请你根据上面的信息解答下列问题： (1)求，的平方根. (2)求，，，，，，…的值，你发现了什么规律 请你将发现的规律用式子表示出来. (3)求的值.
教学反思 教学中发现，部分学生对平方根 “正负成对” 特性理解不透彻，常将的平方根误写为，反映出对 “算术平方根与平方根” 符号表征的混淆。在处理的平方根时，部分学生忽略底数平方后的非负性，直接写成，暴露了对平方运算本质的认知不足。后续可增加 “平方—开平方” 分步训练，设计 “概念辨析卡” 对比符号差异，同时结合生活情境（强化应用意识，帮助学生从 “记忆层面” 过渡到 “理解层面”，提升符号运算的严谨性。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共29张PPT)
第二章 实数
2.2平方根与立方根第2课时
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
巩固训练
05
课堂小结
06
作业设计
01
教学目标
理解平方根的概念及性质，能准确求非负数的平方根，区分平方根与算术平方根的符号表示。
01
经历 “平方运算→逆推平方根” 的探究过程，体会从特殊到一般的归纳思想，提升符号转换与运算能力。
02
通过平方根与算术平方根的对比辨析，培养严谨的数学思维习惯，感受数学概念的系统性与逻辑性。
03
02
新知导入
复习回顾：
1.什么是算术平方根？
2.算术平方根的性质是什么？
①一个正数的算术平方根是一个正数;0的算术平方根是0;负数没有算术平方根.
②算术平方根具有双重非负性.
③当时,,;当时,.
若一个正数的平方等于，即，则这个正数就叫做的算术平方根.
记为“ ”读作“根号”. 特别地规定的算术平方根是，即.
02
新知导入
3.填空
(1)9的算术平方根是_________.
(2)的算术平方根是_________.
(3)展厅的地面为正方形,其面积为49平方米,则其边长为_______米.
3
7
思考：平方等于9，，49的数还有吗
03
新知探究
思考：
(1)3的平方是9，还有其他数的平方也是9吗？
可以是-3,由于(-3)2=9,
那么这个数也可以是-3
3与-3互为相反数.
03
新知探究
思考：
(2)平方等于的数有几个？平方等于0.64的数呢？
平方等于的数有和-,
平方等于0.64的数有0.8和-0.8,
两组数也分别互为相反数.
03
新知探究
平方根的定义:一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个就叫的平方根(square root，也叫二次方根).
概括
例如:和的平方都等于，由定义可知和都是的平方根，即的平方根有两个和，的算术平方根只有一个是.
03
新知探究
(1)平方根和算术平方根有哪些相同点和不同点？
相同点:1.包含关系:平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.
2.只有非负数才有平方根和算术平方根.
3.0的平方根是0，算术平方根也是0.
不同点:1.个数不同:一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根.
2.表示法不同:平方根表示为，而算术平方根表示为 .
03
新知探究
(2)一个正数有几个平方根？0有几个平方根？负数呢？
解:①正数有两个平方根,它们互为相反数.例如:9的平方根是+3和-3.
②0只有一个平方根,是0本身.
③负数没有平方根.
03
新知探究
注意:正数有两个平方根,一个是的算术平方根,另一个是,它们互为相反数.这两个平方根合起来记作,读作“正、负根号”.
平方根的性质:一个正数有两个平方根;0只有一个平方根;负数没有平方根.
总结归纳
03
新知探究
算术平方根与平方根的区别与联系：
算术平方根 平方根
表示方法
的取值
性 质 正数
0
负数
是本身
一个正数
两个互为相反数
0
0
没有
没有
0,1
0,1
总结:求一个数的平方根的运算，叫作开平方(extraction of square root),叫作被开方数。
04
例题讲解
求下列各数的平方根:
(1)64; (2); (3)0.0004; (4)(-25)2; (5)11
例3
分析
根据平方根的定义，根据平方与开平方互为逆运算，得出一个正数的平方根.
04
例题讲解
解析
解:(1)因为,所以64的平方根是,即.
(2)因为,所以的平方根是,即.
(3),所以的平方根是,即.
(4)因为,所以的平方根是,即.
(5)11的平方根是.
04
例题讲解
求下列各式的值:
(1); (2); (3).
例4
分析
根据式子的形式，结合算术平方根和平方根的性质进行计算.
04
例题讲解
解析
解:(1)
(2) ;
(3) .
05
巩固训练
1.的平方根( )
A B
D
2.下列各数中一定有平方根的是 ( )
B. C. x+3
D
3.已知则的平方根是( )
B C
A
4.已知,若的值为,则的平方根为 .
05
课堂练习
5.已知一个正数的两个不相等的平方根分别是.
(1)求的值;
(2)求这个正数；
(3)求关于的方程 的解.
解: (1)由题意得,,解得.
(2)由(1)知,所以,所以
(3)由(1)知,所以方程为
整理得 所以.
05
课堂小结
通过本节课的学习你收获了什么？
平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个就叫的平方根，.
平方根的性质：一个正数有两个平方根;0只有一个平方根;负数没有平方根.
1.4的平方根是( )
A.2 B. C. D.
06
作业设计
基础达标：
B
2.已知实数a的一个平方根是3，则它的另一个平方根是( )
A.3 B. C. D.
B
3.的平方根是( ).
A. B.5 C. D.
06
作业设计
A
基础达标：
4.下列说法正确的是( )
A.正数的平方根是它本身 B.是100的一个平方根
C.100的平方根是10 D.的平方根是
B
5.下列说法正确的是( )
A.4是的算术平方根 B.平方根等于它本身的数是0和1
C.9的平方根是 D.的平方根是
06
作业设计
能力提升：
C
6.下列各数中没有平方根的是( )
A.0 B. C. D.
B
06
作业设计
能力提升：
7.若与是同一个数的平方根，则x的值是( ).
A. B.或1 C.1 D.
解析：与是同一个数的平方根，
当与相等时，则，
解得：，
当与互为相反数时，
，
解得：；
综上：或；
故选：B.
B
06
作业设计
能力提升：
8.计算：_________.
解析：，
故答案为：.
06
作业设计
迁移拓展：
9.如图所示，某地有一地下工程，其底面是正方形，面积为，四个角均是面积为的小正方形渗水坑，根据这些条件如何求a的值 与你的同伴进行交流.
下面是小康提供的解题方案，根据解题方案，请你完成本题的解答过程.
(1)设大正方形的边长为，小正方形的边长为，
那么根据题意可列出关于x的方程为__________，关于y的方程为___________；
(2)利用平方根的意义，可求得__________(取正值，结果保留根号)，__________(取正值，结果保留根号).
解析:(1)因为大正方形的边长为，小正方形的边长为，
那么根据题意可列出关于x的方程为，关于y的方程为.
故答案为，.
(2)利用平方根的意义，可求得 (取正值，结果保留根号)， (取正值，结果保留根号).故答案为，.
06
作业设计
迁移拓展：
10.小明是一位善于思考、勇于创新的同学，在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根.比如：因为没有一个数的平方等于-1，所以-1没有平方根.有一天，小明想：如果存在一个数i，使，那么，因此-1就有两个平方根了.小明又想：因为，所以-4的平方根是；因为，所以-9的平方根就是.请你根据上面的信息解答下列问题：
(1)求，的平方根.
(2)求，，，，，，…的值，你发现了什么规律 请你将发现的规律用式子表示出来.
(3)求的值.
06
作业设计
解析:(1)因为，所以-16的平方根是.
因为，所以-25的平方根是.
(2)，，
，，
，
规律是i每四个相邻次方为一个循环，用式子表示为，，， (其中n是非负整数).
(3)，
故原式.
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine
