中小学教育资源及组卷应用平台
分课时学案
课题 2.2平方根与立方根第1课时 单元 第二单元 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.理解算术平方根的概念及符号表示，能准确求非负数的算术平方根，掌握和的性质。 2.经历 “实际问题→数学概念” 的抽象过程，体会平方与开平方的逆运算关系，发展逻辑推理与运算能力。 3.通过解决实际问题，感受算术平方根的应用价值，培养严谨的数学态度。
重点 1.掌握算术平方根的概念与求法。 2理解算术平方根的性质。
难点 理解算术平方根的非负性，会计算一个数的算术平方根。
教学过程
导入新课 情境引入: 下图中阴影部分是正方形，求出此正方形的面积，此正方形的边长是有理数还是无理数 那么我们如何表示这个斜边长呢
新知讲解 探究活动一： (1)根据图2-5填空: x2= ， y2= ， z2= ， w2= . (2) x，y，z，w中哪些是有理数，哪些是无理数？你能表示它们吗？ 总结归纳： 算术平方根的定义： 探究活动二： 思考交流： (1)在上面例1中，一些数的算术平方根的结果没有“”了，这些数有什么特点？ (2)一般地，当时，成立吗？ 思考：当时，还成立吗？ 成立吗？这里的是什么数？你是怎么理解的？与同伴进行交流。 总结归纳：算术平方根的性质： 探究活动三： 例题精讲： 【例1】求下列各数的算术平方根： （1）900； （2）1； （3） ； （4）14． 例2:由静止自由下落的物体下落的距离s(单位：m)与下落时间t(单位：s)的关系为s=4.9。有一个铁球从19.6m高的建筑物上由静止自由下落，到达地面需要多长时间？
课堂练习 巩固训练 1. 求下列各数的算术平方根： （1）；（2）；（3）. 2. 若|m-1| +=0，求m+n的值 3. 若｜a-3|+，则代数式= . 4. 用大小完全相同的240块正方形地板砖，铺一间面积为60 m2的会议室的地面，每块地板砖的边长是多少？
作业布置 基础达标： 1. -9的算术平方根是( ) A.3 B.-3 C.±3 D.不存在 2.若 ，则x 的算术平方根为 ( ) A.5 B C. D. 3.”16/25的算术平方根是4/5”的数学表达式是( A. B. C. D. 4.下列判断不正确的是 ( ) A.9的算术平方根是3 B.6是(-6) 的算术平方根 C.-5是25的算术平方根 D.19的算术平方根是 能力提升： 5.当a=5时，代数式. 的值为 . 6.若 ，则 = . 7.已知 ，是 的算术平方根，求的算术平方根. 8. 的算术平方根是( ) A B C. D. 9.若m是a的算术平方根，则 ( ) A. B. C. D. 10. 一个数值转换器的工作原理如图所示： (1)当输入的x为25时，输出的y值是 ； (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x值，并说明你的理由； (3)若输出的，请写出两个满足要求的值: . 拓展迁移： 11. 若 ，则代数式 的值是 . 12. 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”.例如:-9，-4，-1这三个数， ，其结果6，3，2都是整数，所以-1，-4，-9这三个数称为“完美组合数”. (1)这三个数是“完美组合数”吗 请说明理由. (2)若三个数是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值.
参考答案：
例题精讲：
例1：
【解】（1）因为302＝900，所以900的算术平方根是30，即 ；
（2）因为12＝1， 所以1的算术平方根是1，即；
（3）因为＝，所以的算术平方根是，即＝;
（4）14的算术平方根是.
例2：
解：将代入公式，
得，
所以。
因此，铁球到达地面需要2s。
课堂练习：
1. 【解】（1）因为＝9，所以的算术平方根是3.
（2）因为，所以的算术平方根是5.
注意：不要等于-25.
（3）因为，所以的算数平方根是 .
注意：带分数化为假分数.
2. 【解】因为|m-1| ≥0，≥0，
又|m-1| + =0，
所以 |m-1| =0，=0，
所以m=1，n=-3，所以m+n=1+(-3)=-2.
3. -1
4. 解:设每块地板砖的边长为x m.由题意得
故每块地板砖的边长是0.5 m.
作业布置：
1.D 2.B 3.C 4.C 5.3
6.2
7.【解】因为 所以x=5.因为 所以.y=4.因为z是9的算术平方根，所以z=3.所以2x+y-z=2×5+4-3=11，所以2x+y-z的算术平方根是.
8.B 【点拨】因为 所以 的算术平方根是
9. A 【点拨】因为m是a 的算术平方根，所以
10.【解】(1
(2)0，1.理由：因为0 和1 的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，所以当x=0或1时，始终输不出y值.
(3)25，5(答案不唯一)
11.
解:因为
所以 0，
所以(a+b-3=0， ab-1=0，解得a+b=3， ab=1，
所以
12.解:(1)-18，-8，-2这三个数是“完美组合数”.
理由如下:
所以-18，-8，-2这三个数是“完美组合数”.
(2)因为 所以分两种情况讨论：
①当 时，-3m=144，所以m=-48;
②当 时，-12m=144，所以m=-12(不符合题意，舍去).
综上所述，m的值是-48.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共31张PPT)
第二章 实数
2.2平方根与立方根第1课时
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
巩固训练
05
课堂小结
06
作业设计
01
教学目标
理解算术平方根的概念及符号表示,能准确求非负数的算术平方根,掌握和的性质。
01
经历 “实际问题→数学概念” 的抽象过程,体会平方与开平方的逆运算关系,发展逻辑推理与运算能力。
02
通过解决实际问题,感受算术平方根的应用价值,培养严谨的数学态度。
03
02
新知导入
问题引入:
下图中阴影部分是正方形,求出此正方形的面积,此正方形的边长是有理数还是无理数
那么我们如何表示这个斜边长呢
接下来,我们一起来学习新知识——算术平方根.
利用勾股定理可得直角三角形斜边长的平方是289,则正方形面积是289.
03
新知探究
解:由勾股定理得：在中，;
同理得:,,
(1)根据图2-5填空:
= ,
= ,
= ,
= .
03
新知探究
解: 由(1)知, ,,,
那么都是无理数.
因为,
所以,则是有理数.
(2) 中哪些是有理数,哪些是无理数？你能表示它们吗？
03
新知探究
算术平方根的定义:
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根,记为“”,读作“根号a”.
概括
1.特别地,我们规定:0的算术平方根是0,即.
2.算术平方根等于它本身的数只有0和1.
注意
03
新知探究
例如,32=9,则3是9的算术平方根,记做:;
x2=3(x>0),则x是3的算术平方根,记做:.
解:因为,所以.
现在你能说出问题引入中斜边如何表示吗？
03
新知探究
(1)在上面问题导入中,9和289的算术平方根的结果没有“”了,这些数有什么特点？
解:,
故这些数是某个正数的平方.
03
新知探究
(2)在上面问题中,,也就是。一般地,当时,成立吗？
解:立,当时,.
思考:当时,还成立吗？
解:不成立,
因为;
当时,.
03
新知探究
(3) 成立吗？这里的是什么数？你是怎么理解的？与同伴进行交流。
解:成立,这里的是非负数.
算术平方根具有双重非负性,即.
03
新知探究
算术平方根的性质:
①一个正数的算术平方根是一个正数;0的算术平方根是0;负数没有算术平方根,
②算术平方根具有双重非负性,即.
③当时,,;当时,.
概括
04
例题讲解
求下列各数的算术平方根:
(1)900； (2)1； (3) ； (4)14．
例1
分析
根据算术平方根的定义，若一个正数的平方为,那么这个正数叫的算术平方根.
04
例题讲解
解析
解:(1)因为302＝900,所以900的算术平方根是30,即 ；
(2)因为12＝1, 所以1的算术平方根是1,即；
(3)因为＝,所以的算术平方根是,即＝;
(4)14的算术平方根是.
04
例题讲解
由静止自由下落的物体下落的距离s(单位:m)与下落时间t(单位:s)的关系为.有一个铁球从19.6m高的建筑物上由静止自由下落,到达地面需要多长时间？
例2
分析
分析题意,将实际问题转化为数学问题，将s代入公式，结合算术平方根的定义，求出t，进而解决实际问题.
04
例题讲解
解析
解:将代入公式,
得,
所以。
因此,铁球到达地面需要2s。
05
巩固训练
1.求下列各数的算术平方根:
(1)；(2)；(3).
解:(1)因为＝9,所以的算术平方根是3.
(2)因为,所以的算术平方根是5.
(3)因为,所以的算数平方根是 .
注意:带分数化为假分数.
2.若|m-1| +=0,求m+n的值.
05
课堂练习
解:因为|m-1| ≥0,≥0,
又|m-1| + =0,
所以 |m-1| =0,=0,
所以m=1,n=-3,所以m+n=1+(-3)=-2.
3.若,则代数式= .
-1
4.用大小完全相同的240块正方形地板砖,铺一间面积为60 m2的会议室的地面,每块地板砖的边长是多少？
05
课堂练习
解:设每块地板砖的边长为xm.由题意得
故每块地板砖的边长是0.5m.
05
课堂小结
通过本节课的学习你收获了什么？
算术平方根的概念:
如果一个正数x的平方等于a,即,那么这个正数x叫做a的算术平方根,a的算术平方根记为,读作“根号a”,a叫做被开方数.
算术平方根的性质:
①一个正数的算术平方根是一个正数;0的算术平方根是0;负数没有算术平方根,
②算术平方根具有双重非负性,即.
③当时,,;当时,.
1.-9的算术平方根是( )
A.3 B.-3 C.±3 D.不存在
06
作业设计
基础达标：
D
2.若 ,则的算术平方根为 ( )
A.5 B C. D.
B
3."的算术平方根是"的数学表达式是( )
A. B. C. D.
C
4.下列判断不正确的是 ( )
A.9的算术平方根是3 B.6是(-6) 的算术平方根
C.-5是25的算术平方根 D.19的算术平方根是
06
作业设计
C
基础达标：
5.当a=5时,代数式的值为 .
3
5.一个正方形的面积是7，那么它的边长在数轴上(如图)所对应的点的位置可能在点 .
06
作业设计
能力提升：
B
6.若一个正方形的面积增加9 cm ，则与一个边长为 4 cm的正方形的面积相等，求原正方形的面积，并判断其边长是有理数还是无理数.
解:原正方形的面积是 所以其边长是无理数
06
作业设计
能力提升：
6.若 ,则 = .
解:因为 所以.
因为 所以.
因为是的算术平方根,所以.
所以,
所以的算术平方根是.
2
7.已知 ,是 的算术平方根,求的算术平方根.
06
作业设计
能力提升：
8.的算术平方根是( )
A B C. D.
B
9.若是的算术平方根,则 ( )
A. B. C. D.
A
10. 一个数值转换器的工作原理如图所示:
(1)当输入的x为25时,输出的y值是 ；
(2)若输入有效的x值后,始终输不出y值,请写出所有满足要求的x值,并说明你的理由；
(3)若输出的,请写出两个满足要求的值: .
06
作业设计
能力提升：
(2)0,1.理由:因为0 和1 的算术平方根是它们本身,0和1是有理数,所以当x=0或1时,始终输不出y值.
(3)25,5(答案不唯一)
06
作业设计
迁移拓展：
11. 若 ,则代数式 的值是 .
解:因为
所以 0,
所以(a+b-3=0, ab-1=0,解得a+b=3, ab=1,
所以
06
作业设计
迁移拓展：
12. 我们知道,负数没有算术平方根,但对于三个互不相等的负整数,若两两乘积的算术平方根都是整数,则称这三个数为“完美组合数”.例如:-9,-4,-1这三个数, ,其结果6,3,2都是整数,所以-1,-4,-9这三个数称为“完美组合数”.
(1)这三个数是“完美组合数”吗 请说明理由.
(2)若三个数是“完美组合数”,其中有两个数乘积的算术平方根为12,求m的值.
06
作业设计
迁移拓展：
解:(1)-18,-8,-2这三个数是“完美组合数”.
理由如下:
所以-18,-8,-2这三个数是“完美组合数”.
(2)因为 所以分两种情况讨论:
①当 时,-3m=144,所以m=-48;
②当 时,-12m=144,所以m=-12(不符合题意,舍去).
综上所述,m的值是-48.
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine中小学教育资源及组卷应用平台
2.2平方根与立方根第1课时教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 二单元
课题 2.2平方根与立方根第1课时 课时 1
课标要求 依据 2022 新课标，本节课需引导学生理解算术平方根的概念，掌握用根号表示非负数的算术平方根，能准确求非负数的算术平方根，解决实际问题。注重发展数感与运算能力，体会平方与开平方的逆运算关系，渗透数形结合思想，培养从实际情境中抽象数学概念的能力，增强数学应用意识。
教材分析 本节是实数章节的重要内容，教材从正方形边长、自由落体等实际问题出发，引入算术平方根概念，通过具体数值计算和 “思考 交流” 活动，探究 与的性质。内容既衔接有理数的平方运算，又为学习平方根、立方根及实数运算奠定基础，体现 “概念—性质—应用” 的认知逻辑。
学情分析 八年级学生已掌握有理数的平方运算，但对 “逆运算” 的抽象性理解不足。部分学生对根号表示的符号意义存在认知障碍，在处理实际问题时，可能不会建立 “平方与开平方” 的模型，需通过实例强化逆运算思维。
教学目标 1.理解算术平方根的概念及符号表示，能准确求非负数的算术平方根，掌握和的性质。 2.经历 “实际问题→数学概念” 的抽象过程，体会平方与开平方的逆运算关系，发展逻辑推理与运算能力。 3.通过解决实际问题，感受算术平方根的应用价值，培养严谨的数学态度。
教学重点 1.掌握算术平方根的概念与求法。 2理解算术平方根的性质。
教学难点 理解算术平方根的非负性，会计算一个数的算术平方根。
教法与学法分析 教法：采用 “情境 — 问题” 教学法，以教材例 1、例 2 为载体，通过类比平方运算引导逆运算思维，借助几何画板动态演示根号意义。 学法：自主探究算术平方根的求法，小组合作辨析与的区别，强化符号表征与运算训练。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 问题引入： 下图中阴影部分是正方形，求出此正方形的面积，此正方形的边长是有理数还是无理数？ 利用勾股定理可得直角三角形斜边长的平方是289，则正方形面积是289. 那么我们如何表示这个斜边长呢？ 接下来，我们一起来学习新知识——算术平方根. 创设情境，引发学生的学习兴趣，进而引入算术平方根. 观察图片，思考问题 通过简单问题，复习了勾股定理，渗透数形结合的思想，提出了前面课程中一直未解决的如何表示类似边长是无理数的问题，从而激起学生对算术平方根的学习兴趣.
探究活动一： (1)根据图2-5填空： x2= ， y2= ， z2= ， w2= . (1)x2=2，y2=3，z2=4，w2=5. (2) x，y，z，w中哪些是有理数，哪些是无理数？你能表示它们吗？ (2)x，y，w都是无理数.因为22=4，所以z=2，则z是有理数. 总结归纳： 算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“”，读作“根号a”. 注意：1.特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即＝0. 2.算术平方根等于它本身的数只有0和1. 例如，32=9，则3是9的算术平方根，记做：; x2=3(x>0)，则x是3的算术平方根，记做：. 现在你能说出问题引入中斜边如何表示吗？ 解：因为，所以. 引导学生通过先前学会的勾股定理相关知识，引出算术平方根的概念 结合学过的勾股定理，思考问题，小组合作交流. 引导学生利用逆推来由面积得出边长，进而概括出算术平方根的概念.从而培养学生分析问题、概括问题的能力.
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二： 思考交流： (1)在上面问题导入中，9和289的算术平方根的结果没有“”了，这些数有什么特点？ 这些数是某个正数的平方. (2)在上面问题中，，也就是。一般地，当时，成立吗？ 成立 思考：当时，还成立吗？ 不成立，负数的平方也是正数. (3) 成立吗？这里的是什么数？你是怎么理解的？与同伴进行交流。 成立，这里的a是非负数，算术平方根具有双重非负性，即 . 总结归纳：算术平方根的性质： ①一个正数的算术平方根是一个正数;0的算术平方根是0;负数没有算术平方根， ②算术平方根具有双重非负性. ③当时，，；当时，. 引导学生进一步理解算术平方根，探究算术平方根的性质 积极思考，讨论交流 再一次深入理解算术平方根的概念，明确只有非负数才有算术平方根.给出问题，激发学生思考，并讨论交流，引导学生从数学现象背后发现数学规律.
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三： 例题精讲： 【例1】求下列各数的算术平方根： (1)900； (2)1； (3) ； (4)14． 解：(1)因为302＝900，所以900的算术平方根是30，即 ； (2)因为12＝1， 所以1的算术平方根是1，即； (3)因为＝，所以的算术平方根是，即＝; (4)14的算术平方根是. 例2：由静止自由下落的物体下落的距离s(单位：m)与下落时间t(单位：s)的关系为。有一个铁球从19.6m高的建筑物上由静止自由下落，到达地面需要多长时间？ 解：将代入公式， 得， 所以。 因此，铁球到达地面需要2s。 利用例题巩固所学内容，引导学生探究算术平方根的性质和实际应用 积极思考，组内合作交流 进一步熟悉求一个正数的算术平方根的过程，体会平方和求非负数的算术平方根的运算的互逆关系，明确有的正数的算术平方根开方开得尽，有的正数的算术平方根只能用根号表示.利用算术平方根解决实际问题，感受数学与实际生活的密切关系.
环节四：巩固内化，拓展延伸 巩固训练 1.求下列各数的算术平方根： (1)；(2)；(3). 2.若|m-1| +=0，求m+n的值. 3.若，则代数式= . 4.用大小完全相同的240块正方形地板砖，铺一间面积为60 m2的会议室的地面，每块地板砖的边长是多少？ 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 1.知识： 算术平方根的概念： 如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数. 算术平方根的性质： ①一个正数的算术平方根是一个正数;0的算术平方根是0;负数没有算术平方根， ②算术平方根具有双重非负性，即. ③当时，，;当时，. 2.方法： 自主探究法，小组合作法，类比法，观察归纳法 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 2.2平方根与立方根第1课时 算术平方根的概念：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根. 性质：算术平方根具有双重非负性，即. 当时，，; 当时，. 例1： 例2： 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标： 1. -9的算术平方根是( ) A.3 B.-3 C.±3 D.不存在 2.若 ，则x 的算术平方根为 ( ) A.5 B C. D. 3.”的算术平方根是”的数学表达式是( A. B. C. D. 4.下列判断不正确的是 ( ) A.9的算术平方根是3 B.6是(-6) 的算术平方根 C.-5是25的算术平方根 D.19的算术平方根是 5.当a=5时，代数式的值为 . 能力提升： 6.若 ，则 = . 7.已知 ，是 的算术平方根，求的算术平方根. 8.的算术平方根是( ) A B C. D. 9.若m是a的算术平方根，则 ( ) A. B. C. D. 10. 一个数值转换器的工作原理如图所示： (1)当输入的x为25时，输出的y值是 ； (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x值，并说明你的理由； (3)若输出的，请写出两个满足要求的值： . 拓展迁移： 11. 若 ，则代数式 的值是 . 12. 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”.例如：-9，-4，-1这三个数， ，其结果6，3，2都是整数，所以-1，-4，-9这三个数称为“完美组合数”. (1)这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由. (2)若三个数是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值.
教学反思 本课时以 “实际问题—数学概念—性质应用” 为主线，通过几何情境引入算术平方根概念，学生能初步理解非负数算术平方根的意义，但在符号表征与性质应用中仍存在以下问题：部分学生对与的非负性条件理解不透彻，计算中易忽略被开方数的范围；在处理带分数算术平方根时，分数转化步骤存在错误。后续教学需强化 “双重非负性” 的辨析训练，可增加数轴动态演示环节，帮助学生建立符号与几何意义的联结，同时设计对比练习，突破符号认知障碍，提升运算严谨性。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
