(共35张PPT)
第二章 实数
2.2平方根与立方根第3课时
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
巩固训练
05
课堂小结
06
作业设计
01
教学目标
理解立方根的概念及性质，能准确求非零有理数的立方根，掌握与的性质。
01
经历 “类比平方根—探究立方根” 的学习过程，体会从 “平方” 到 “立方” 的知识迁移，发展归纳与对比能力。
02
通过立方根与平方根的对比，感受数学概念的严谨性与系统性，培养用联系的观点分析数学问题的习惯。
03
02
新知导入
复习回顾：
1.平方根的概念是什么，如何用符号表示？
2.平方根有哪些性质？
①一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0只有一个平方根;负数没有平方根.
②.
一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个就叫的平方根，也叫二次方根;
符号表示为.
02
新知导入
情境导入：图是由大小相同的小立方块搭成的几何体。
如果这个几何体的体积为,那么每个小立方块的棱长是多少？
03
新知探究
解:由题意列
因为,
所以.
1.计算：
33= ,(-2)3= ,03= .
2.导入问题中的棱长a应该怎么计算？
27
-8
0
03
新知探究
立方根的概念：
一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根(也叫做三次方根).
如是的立方根,是的立方根,0是0的立方根.
概括
03
新知探究
(1)一个数的平方根可能有两个，一个数的立方根可能有几个呢？
一个数的立方根只有一个.
例如：8的立方根为2；-27的立方根为-3；0的立方根为0.
03
新知探究
(2)求8,0，-27的立方根。
因为,所以的立方根为；
因为,所以的立方根为；
因为,所以的立方根为；
03
新知探究
(3)正数有几个立方根？0有几个立方根？负数呢？
正数有一个正的立方根;
0的立方根为0;
负数有一个负的立方根.
04
新知讲解
每个数都有一个立方根，记作,读作“三次根号”。
例如：当时，是的立方根，即;
而,是的立方根，即。
符号表示：
03
新知探究
开立方:求一个数a的立方根的运算叫作开立方(extraction of cubic root),a叫作被开方数;立方与开立方互为逆运算.
立方根的性质：
正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。
总结
03
新知探究
平方根与立方根的区别与联系:
平方根 立方根
表示方法
的取值
性 质 正数
0
负数
是本身
为任意实数
两个互为相反数
0
没有
一个正数
0
一个负数
0
0,1,-1
04
例题讲解
求下列各数的立方根:
(1)-27; (2); (3)3; (4)0.216; (5)-5.
例5
分析
根据立方根的概念，由立方运算与开立方运算互为逆运算，得出各数的立方根.
04
例题讲解
解析
的立方根是,即.
(2)因为,所以的立方根是,即.
(3)因为,所以的立方根是,即.
(4)因为,所以的立方根是,即.
(5)-5的立方根是.
03
新知探究
(1)在例5中,一些数的立方根的结果没有””了,这些数有什么特点？
这些数是某个数的立方，如是的立方, 是的立方.
03
新知探究
(2)在例5中,,也就是。
一般地，成立吗？
成立,立方与开立方互为逆运算.
03
新知探究
(3)成立吗？与同伴交流。
成立,立方与开立方互为逆运算.
03
新知探究
立方根的性质拓展：①;
②;
③;
概括
04
例题讲解
求下列各式的值:
(1); (2); (3) ; (4).
例6
分析
结合式子的形式，利用立方根的概念和性质计算即可.
04
例题讲解
解析
解:(1).
(2).
(3) .
05
巩固训练
1.64的立方根是( )
A.4 B. C.8 D.
A
2.下列说法中,正确的一项是( )
A.1的平方根是1
B.0的平方根是0
C.平方根等于本身的数是
D.立方根等于本身的数是
B
3.某个数值转换器的原理如图所示：若开始输入x的值是1，第1次输出的结果是4，第2次输出的结果是2，依次继续下去，则第次输出的结果的算术平方根的立方根是( )
A. B. C. D.
05
课堂练习
A
4.平方后等于的数是__________;立方后等于的数是_______.
5.已知的平方根是，的立方根是3，求的立方根.
05
课堂练习
解析:的平方根是，
，
，
的立方根是，
,
把的值代入解得:，
，
的立方根是，
的立方根是5.
05
课堂小结
通过本节课的学习你收获了什么？
立方根的概念：一般地,如果一个数x的立方等于,即,那么这个数x就叫做的立方根(也叫做三次方根)，记为,读作“三次根号”.
立方根的性质：①正数的立方根是正数;的立方根是;负数的立方根是负数.
②;;.
1. 体积为 9 的立方体，其棱长等于 ( )
A.9的平方根 B.9的算术平方根 C.9的立方根 D 的算术平方
06
作业设计
基础达标：
C
2.下列各式计算正确的是 ( )
B
3.已知没有平方根，且，则的立方根为 ( )
A.8 B.-8 C.±4 D.-4
D
4.若 且 ,则的值为 ( )
A.-2 B.±5 C.5 D.-5
06
作业设计
C
基础达标：
点拨:因为
所以,
因为,
所以,
因为 ,
所以,则.
5.已知满足 则 的立方根是 ( )
A B.-8 C.-2 D.±2
06
作业设计
能力提升：
C
6.的平方根为,的立方根为2，则 的值为( )
A. -3 B.3 C.±3 D.不确定
解:因为的平方根为的立方根为，
所以
解得,所以
B
06
作业设计
能力提升：
7.已知则 的值为( )
A.0或 1 B.0或 2 C.0或 6 D.0或2或6
解:因为立方根等于本身的数有0，，
所以或,
解得或0或2,
所以 的值为0或2.
B
8.现有两个大小不等的正方体茶叶罐，大正方体茶叶罐的体积为1 000 cm ,小正方体茶叶罐的体积为125 cm ，将其叠放在一起放在地面上(如图)，则这两个茶叶罐的最高点 A到地面的距离是 cm.
06
作业设计
能力提升：
解:因为大正方体的体积为,小正方体的体积为,
所以大正方体的棱长为 ,
小正方体的棱长为
所以这两个茶叶罐的最高点到地面的距离是
06
作业设计
迁移拓展：
9.已知 且 0,求的值.
解:因为 即
所以 或 或,解得或或.
因为
所以,即,
当时,
当时,;
当时,
06
作业设计
迁移拓展：
10. 先阅读材料，再解答问题.
我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根.华罗庚脱口而出，给出了答案.众人十分惊讶，忙问该题计算的奥妙.你知道华罗庚怎样迅速而准确地计算出结果的吗 请你按下面的步骤也试一试：
则 59319 的立方根是 位数；
(2)59319的个位数字是9,则 59319 的立方根的个位数字是 ；
(3)如果划去 59319 后面的三位“319”得到数59,而 ,由此可确定 59319 的立方根的十位数字是 ，因此 59319的立方根是 ；
(4)现在换一个数103823，你能按上述方法得出它的立方根吗
两
9
3
39
06
作业设计
迁移拓展：
(4)能.因为
所以103823的立方根是两位数，
因为103823的个位数字是3，
所以 103 823的立方根的个位数字是7.
因为 且 64<103<125,
所以103 823的立方根的十位数字是4.
所以103 823的立方根是47.
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2.2平方根与立方根第3课时教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 二单元
课题 2.2平方根与立方根第3课时 课时 1
课标要求 依据2022新课标，本节课需引导学生理解立方根的概念及性质，掌握用根号表示数的立方根，能准确求有理数的立方根，理解开立方与立方的逆运算关系。注重通过类比平方根的学习过程，发展迁移能力与符号意识，体会立方根在实际问题中的应用，培养运算能力与逻辑推理素养，同时渗透数学知识的系统性与结构性，增强用数学思维分析问题的意识。
教材分析 本节是平方根知识的延伸，教材从几何体体积问题引入立方根概念，通过具体数值的立方根计算，探究立方根的性质，并对比平方根与立方根的异同。内容为后续实数运算及方程求解奠定基础，体现 “概念—性质—应用” 的认知逻辑，突出类比思想在数学概念学习中的作用。
学情分析 学生已掌握平方根的概念，但易将平方根的性质迁移到立方根，忽视立方根的唯一性。对负数立方根的存在性理解不深，符号表征与运算规则易与平方根混淆。在处理实际问题时，可能不会建立 “立方与开立方” 的模型，需通过类比强化概念辨析。
教学目标 1.理解立方根的概念及性质，能准确求非零有理数的立方根，掌握与的性质。 2.经历 “类比平方根—探究立方根” 的学习过程，体会从 “平方” 到 “立方” 的知识迁移，发展归纳与对比能力。 3.通过立方根与平方根的对比，感受数学概念的严谨性与系统性，培养用联系的观点分析数学问题的习惯。
教学重点 1.立方根的概念与性质。 2.立方根的求法及与立方运算的逆关系。
教学难点 区分立方根与平方根的概念本质，避免符号混淆。
教法与学法分析 教法：采用 “类比—对比” 教学法，通过表格梳理平方根与立方根的定义、性质、符号，借助几何画板演示立方与开立方的逆过程。 学法：自主完成 “立方根性质探究表”，小组合作对比平方根与立方根的异同，强化符号书写规范。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 复习回顾： 1. 1.平方根的概念是什么，如何用符号表示？ 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个就叫的平方根，也叫二次方根； 符号表示为. 2.平方根有哪些性质？ ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根；负数没有平方根. ②. 情境导入：图是由大小相同的小立方块搭成的几何体。如果这个几何体的体积为，那么每个小立方块的棱长是多少？ 提出问题，复习回顾，由实际问题引入。 独立思考，复习平方根，引入立方根. 回顾平方根的定义、表示和立方运算，为本节课研究立方根作铺垫，有意识地使学生领会类比思想.
探究活动一： 思考：1.计算： 33= 27 ，(-2)3= -8 ，03= 0 . 2.导入问题中的棱长应该怎么计算？ 解：由题意列 因为， 所以. 总结归纳：立方根的概念： 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根(也叫做三次方根).如是的立方根，是的立方根，0是0的立方根. 由立方引入，解决引入问题，进行得出立方根的定义 思考问题，小组交流得出立方根的定义. 从实际问题引入立方根的概念，说明学习立方根的意义.
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二： 尝试思考： (1)一个数的平方根可能有两个，一个数的立方根可能有几个呢？ 一个数的立方根只有一个. (2)求8，0，-27的立方根。 因为，所以的立方根为； 因为，所以的立方根为； 因为，所以的立方根为； (3)正数有几个立方根？0有几个立方根？负数呢？ 正数有一个正的立方根，0的立方根为0，负数有一个负的立方根. 符号表示： 每个数都有一个立方根，记作，读作“三次根号”。例如：当时，是的立方根，即；而，是的立方根，即。 总结：立方根的性质： 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。 开立方：求一个数的立方根的运算叫作开立方(extraction of cubic root)，叫作被开方数。 平方根与立方根的区别与联系： 平方根立方根表示方法的取值为任意实数性 质正数两个互为相反数一个正数000负数没有一个负数是本身00，1，-1
提出问题，由平方根的性质出发，引导学生探究发现立根的性质. 思考问题，类比探究立方根的性质. 学生经历观察、思考、交流、总结，得出立方根的性质和平方根与立方根的区别和联系，加深学生对立方根和平方根的理解，锻炼学生合作探究学习的能力，激发学生的学习兴趣.
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三： 例题精讲： 例5 求下列各数的立方根： (1)-27； (2)； (3)3； (4)0.216； (5)-5. 解：(1)因为，所以的立方根是，即. (2)因为，所以的立方根是，即. (3)因为，所以的立方根是，即. (4)因为，所以的立方根是，即. (5)-5的立方根是. 思考交流： (1)在例5中，一些数的立方根的结果没有””了，这些数有什么特点？ 这些数是某个数的立方，如是的立方， 是的立方. (2)在例5中，，也就是。一般地，成立吗？ 成立，立方与开立方互为逆运算. (3)成立吗？与同伴交流。 成立，立方与开立方互为逆运算. 总结归纳： 立方根的性质拓展： ①； ②； ③； 例6. 求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 解：(1). (2). (3). (4). 引导学生利用立方根的概念和性质解决例题，进一步探究立方根的性质. 自主思考，解决例题，小组交流探究立方根的性质. 通过例题巩固立方根的概念及性质，规范学生对解题步骤的书写，进一步探究立方根的性质拓展.
环节四：巩固内化，拓展延伸 巩固训练 1.64的立方根是( ) A.4 B. C.8 D. 2.下列说法中，正确的一项是( ) A.1的平方根是1 B.0的平方根是0 C.平方根等于本身的数是 D.立方根等于本身的数是 3.某个数值转换器的原理如图所示：若开始输入x的值是1，第1次输出的结果是4，第2次输出的结果是2，依次继续下去，则第次输出的结果的算术平方根的立方根是( ) A. B.4 C.2 D. 4.平方后等于的数是_____________；立方后等于的数是_____________. 5.已知的平方根是，的立方根是3，求的立方根. 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 立方根的概念：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根(也叫做三次方根)，记为，读作“三次根号a”. 立方根的性质：①正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数.
②=a；=a；=-. 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 2.2平方根与立方根第3课时 立方根的概念：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根(也叫做三次方根)，记为，读作“三次根号a”. 立方根的性质：①正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数.
②=a；=a；=-. 例5： 例6： 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标： 1. 体积为 9 的立方体，其棱长等于 ( ) A.9的平方根 B.9的算术平方根 C.9的立方根 D 的算术平方 2.下列各式计算正确的是 ( ) 3.已知没有平方根，且，则的立方根为 ( ) A.8 B.-8 C.±4 D.-4 4.若 且 ，则的值为 ( ) A.-2 B.±5 C.5 D.-5 能力提升： 5.已知满足 则 的立方根是 ( ) A B.-8 C.-2 D.±2 6.的平方根为，的立方根为2，则 的值为( ) A. -3 B.3 C.±3 D.不确定 7.已知则 的值为( ) A.0或 1 B.0或 2 C.0或 6 D.0或2或6 8.现有两个大小不等的正方体茶叶罐，大正方体茶叶罐的体积为1 000 cm ，小正方体茶叶罐的体积为125 cm ，将其叠放在一起放在地面上(如图)，则这两个茶叶罐的最高点 A到地面的距离是 cm. 拓展迁移： 9.已知 且 0，求的值. 10. 先阅读材料，再解答问题. 我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59 319的立方根.华罗庚脱口而出，给出了答案.众人十分惊讶，忙问该题计算的奥妙.你知道华罗庚怎样迅速而准确地计算出结果的吗 请你按下面的步骤也试一试： 则 59319 的立方根是 位数； (2)59319的个位数字是9，则 59319 的立方根的个位数字是 ； (3)如果划去 59319 后面的三位“319”得到数59，而 ，由此可确定 59319 的立方根的十位数字是 ，因此 59319的立方根是 ； (4)现在换一个数103823，你能按上述方法得出它的立方根吗
教学反思 教学中发现学生易犯两类错误：①将立方根符号与平方根混淆；②忽视负数立方根的存在性。后续需增加 “平方根 vs 立方根” 的对比练习，通过 “错题辨析课” 强化概念区分。此外，可设计实际问题，提升立方根的应用能力，同时渗透 “数学建模” 思想，帮助学生建立知识与生活的联系。
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分课时学案
课题 2.2平方根与立方根第3课时 单元 第二单元 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.理解立方根的概念及性质，能准确求非零有理数的立方根，掌握与的性质。 2.经历 “类比平方根—探究立方根” 的学习过程，体会从 “平方” 到 “立方” 的知识迁移，发展归纳与对比能力。 3.通过立方根与平方根的对比，感受数学概念的严谨性与系统性，培养用联系的观点分析数学问题的习惯。
重点 1.立方根的概念与性质。 2.立方根的求法及与立方运算的逆关系。
难点 区分立方根与平方根的概念本质，避免符号混淆。
教学过程
导入新课 复习回顾： 1.平方根的概念是什么？ 2.平方根有哪些性质？ 情境导入：图是由大小相同的小立方块搭成的几何体。如果这个几何体的体积为，那么每个小立方块的棱长是多少？
新知讲解 探究活动一： 思考：1.计算： 33= ，(-2)3= ，03= . 2.导入问题中的棱长应该怎么计算？ 总结归纳：立方根的概念： 探究活动二： 尝试思考： (1)一个数的平方根可能有两个，一个数的立方根可能有几个呢？ (2)求8，0，-27的立方根。 (3)正数有几个立方根？0有几个立方根？负数呢？ 总结：立方根的性质： 开平方： 平方根与立方根的区别与联系： 典例精讲 例5 求下列各数的立方根： (1)-27； (2)； (3)3； (4)0.216； (5)-5. 思考交流： (1)在例5中，一些数的立方根的结果没有””了，这些数有什么特点？ (2)在例5中，，也就是。一般地，成立吗？ (3)成立吗？与同伴交流。 总结归纳：立方根的性质拓展： 例6. 求下列各式的值： (1)； (2)； (3)-； (4).
巩固训练 巩固训练 1.64的立方根是( ) A.4 B. C.8 D. 2.下列说法中，正确的一项是( ) A.1的平方根是1 B.0的平方根是0 C.平方根等于本身的数是 D.立方根等于本身的数是 3.某个数值转换器的原理如图所示：若开始输入x的值是1，第1次输出的结果是4，第2次输出的结果是2，依次继续下去，则第次输出的结果的算术平方根的立方根是( ) A. B.4 C.2 D. 4.平方后等于的数是_____________；立方后等于的数是_____________. 5.已知的平方根是，的立方根是3，求的立方根.
作业设计 基础达标： 1. 体积为 9 的立方体，其棱长等于 ( ) A.9的平方根 B.9的算术平方根 C.9的立方根 D 的算术平方 2.下列各式计算正确的是 ( ) 3.已知没有平方根，且，则的立方根为 ( ) A.8 B.-8 C.±4 D.-4 4.若 且 ，则的值为 ( ) A.-2 B.±5 C.5 D.-5 能力提升： 5.已知满足 则 的立方根是 ( ) A B.-8 C.-2 D.±2 6.的平方根为，的立方根为2，则 的值为( ) A. -3 B.3 C.±3 D.不确定 7. 已知 则 的值为 ( ) A.0或 1 B.0或 2 C.0或 6 D.0或2或6 8.现有两个大小不等的正方体茶叶罐，大正方体茶叶罐的体积为1 000 cm ，小正方体茶叶罐的体积为125 cm ，将其叠放在一起放在地面上(如图)，则这两个茶叶罐的最高点 A到地面的距离是 cm. 拓展迁移： 9.已知 且 0，求的值. 10. 先阅读材料，再解答问题. 我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59 319的立方根.华罗庚脱口而出，给出了答案.众人十分惊讶，忙问该题计算的奥妙.你知道华罗庚怎样迅速而准确地计算出结果的吗 请你按下面的步骤也试一试： 则 59319 的立方根是 位数； (2)59319的个位数字是9，则 59319 的立方根的个位数字是 ； (3)如果划去 59319 后面的三位“319”得到数59，而 ，由此可确定 59319 的立方根的十位数字是 ，因此 59319的立方根是 ； (4)现在换一个数103823，你能按上述方法得出它的立方根吗
参考答案：
例题精讲：
例5：
解：(1)因为，所以的立方根是，即.
(2)因为，所以的立方根是，即.
(3)因为，所以的立方根是，即.
(4)因为，所以的立方根是，即.
(5)-5的立方根是.
例6：
解：(1).
(2).
(3).
(4).
巩固训练：
1. A；2. B
3. D
解析：由题意可得，
当时，
第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是2，第三次输出的结果是1，
第四次输出的结果是4，第五次输出的结果是2，第六次输出的结果是1，
第七次输出的结果是4，第八次输出的结果是2，
……，
，
则第2020次输出的结果是4，
4. 解析：，.
故答案为：；.
5. 解析：的平方根是，
，
，
的立方根是3，
把x的值代入解得：，
，
125的立方根是5，
的立方根是5.
作业设计：
1. C 2. D 3. D
4. C 【点拨】因为 ，所以，因为，所以，因为 ，所以，则.
5. C 【点拨】由题意得，，解得，所以 ，因为-8的立方根是-2，所以的立方根是-2.
6. B 【点拨】因为2a-1的平方根为±3，3a-b+1的立方根为 2，所以 ，解得a=5，b=8，所以
7. B 【点拨】因为立方根等于本身的数有0，，所以或，解得或0或2，所以 的值为0或2.
8.15 【点拨】因为大正方体的体积为，小正方体的体积为125 cm ，所以大正方体的棱长为 10( cm)，小正方体的棱长为 所以这两个茶叶罐的最高点 A到地面的距离是10+5=15( cm).
9.【解】因为 即
所以 或 或，解得或或.
因为
所以，即，
当x=2时，
当x=3时，y=2，x+y=5；
当x=1时，
10.【解】(1)两
(2)9 (3)3；39
(4)能.因为 所以103823的立方根是两位数，因为 103 823的个位数字是3，所以 103 823的立方根的个位数字是7.因为 ，且 64<103<125，所以103 823的立方根的十位数字是4. 所以103 823的立方根是47.
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