第二章 函数（预习衔接.夯实基础.含解析）2025-2026学年高一上学期数学必修第一册北师大版（2019）

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预习衔接.夯实基础 函数
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 南通期中）已知函数f（x﹣1）的定义域为（2，4），则函数f（x）+f（x2）的定义域为（　　）
A． B． C．（1，4） D．（1，9）
2．（2024秋 龙岩期中）已知是R上的减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．[2，3） B．（2，3） C．（0，3） D．（0，3]
3．（2024秋 南宁期中）已知函数y＝f（x）的定义域是[﹣2，2]，函数，则函数y＝g（x）的定义域是（　　）
A．[﹣1，3] B．[﹣1，0）∪（0，3]
C．[1，3] D．[﹣3，0）∪（0，1]
4．（2024秋 东莞市期中）若f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，则（　　）
A．0≤a≤3 B．0≤a＜3 C．1≤a≤3 D．1≤a＜3
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 西湖区校级期中）下列函数既是偶函数，又在（﹣∞，0）上是减函数的是（　　）
A． B．y＝3|x|
C．y＝lg（x2+1） D．
（多选）6．（2024秋 龙岩期中）下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递减的为（　　）
A．f（x）＝﹣|x| B．f（x）＝x2
C． D．
（多选）7．（2024秋 嘉兴期中）下列说法不正确的是（　　）
A．函数在定义域内是减函数
B．若函数g（x）是奇函数，则一定有g（0）＝0
C．已知函数在R上是增函数，则实数a的取值范围是[﹣3，﹣1]
D．若函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则f（2x﹣1）的定义域为
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 西宁期中）已知f（6）＝6，f（8）＝5，且f（x+1）是奇函数，则f（﹣6）＝ 　 　．
9．（2024秋 西湖区校级期中）已知幂函数在（0，+∞）上是减函数，则m的值为 　 　．
10．（2024秋 闵行区期中）设a是实数，若函数为奇函数，则a＝ 　 　．
11．（2024秋 东莞市期中）函数的单调递增区间为 　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 东莞市期中）已知函数．
（1）用定义法证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数；
（2）函数f（x）的定义域为[1，+∞），若f（m2﹣m﹣1）＜f（11﹣2m），求实数m的取值范围．
13．（2024秋 嘉定区校级期中）已知幂函数，且该函数的图象经过点．
（1）确定m、n的值；
（2）求满足条件f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围．
14．（2024秋 嘉兴期中）已知函数f（x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x），记集合A为f（x）的定义域．
（1）求集合A；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）当x∈A时，求函数的值域．
15．（2024秋 嘉兴期中）已知函数，且f（1）＝2．
（1）求a；
（2）根据定义证明函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增；
（3）在区间（1，+∞）上，若函数f（x）满足f（a+2）＞f（2a﹣1），求实数a的取值范围．
预习衔接.夯实基础 函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 南通期中）已知函数f（x﹣1）的定义域为（2，4），则函数f（x）+f（x2）的定义域为（　　）
A． B． C．（1，4） D．（1，9）
【考点】抽象函数的定义域．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合抽象函数定义域的解法，即可求解．
【解答】解：函数f（x﹣1）的定义域为（2，4），
则函数f（x）的定义域为（1，3），
令，解得1＜x，
故函数f（x）+f（x2）的定义域为（1，）．
故选：B．
【点评】本题主要考查抽象函数定义域的求解，属于基础题．
2．（2024秋 龙岩期中）已知是R上的减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．[2，3） B．（2，3） C．（0，3） D．（0，3]
【考点】由函数的单调性求解函数或参数．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】分段函数在R上单调递减，需满足每一段上单调递减，且分段处左端点值大于等于右端点值，得到不等式，求出答案．
【解答】解：由题意得，
即，解得2≤a＜3，
故实数a的取值范围是[2，3）．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数、幂函数的性质，属于基础题．
3．（2024秋 南宁期中）已知函数y＝f（x）的定义域是[﹣2，2]，函数，则函数y＝g（x）的定义域是（　　）
A．[﹣1，3] B．[﹣1，0）∪（0，3]
C．[1，3] D．[﹣3，0）∪（0，1]
【考点】抽象函数的定义域．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合抽象函数定义域的求法，即可求解．
【解答】解：函数y＝f（x）的定义域是[﹣2，2]，
函数，
令，解得﹣1≤x＜0或0＜x≤3，
故函数y＝g（x）的定义域是[﹣1，0）∪（0，3]．
故选：B．
【点评】本题主要考查抽象函数定义域的求解，属于基础题．
4．（2024秋 东莞市期中）若f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，则（　　）
A．0≤a≤3 B．0≤a＜3 C．1≤a≤3 D．1≤a＜3
【考点】由函数的单调性求解函数或参数．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得答案．
【解答】解：根据题意，若f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，
则有，解可得1≤a＜3．
故选：D．
【点评】本题考查函数单调性的性质和应用，注意函数单调性的定义，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 西湖区校级期中）下列函数既是偶函数，又在（﹣∞，0）上是减函数的是（　　）
A． B．y＝3|x|
C．y＝lg（x2+1） D．
【考点】复合函数的单调性；奇函数偶函数的判断．
【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y，其定义域为[0，+∞），不是偶函数，不符合题意；
对于B，y＝3|x|，该函数既是偶函数，又在（﹣∞，0）上是减函数，符合题意；
对于C，设f（x）＝lg（x2+1），其定义域为R，有f（﹣x）＝lg（x2+1）＝f（x），f（x）为偶函数，
设t＝x2+1，则y＝lgt，t＝x2+1在（﹣∞，0）上是减函数，而y＝lgt在（0，+∞）上递增，
故该函数在（﹣∞，0）上是减函数，符合题意；
对于D，yx，函数y和函数y＝x在（﹣∞，0）上都是增函数，则yx在（﹣∞，0）上都是增函数，不符合题意．
故选：BC．
【点评】本题考查函数单调性、奇偶性的判断，注意常见函数的单调性，属于基础题．
（多选）6．（2024秋 龙岩期中）下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递减的为（　　）
A．f（x）＝﹣|x| B．f（x）＝x2
C． D．
【考点】奇函数偶函数的判断．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】AC
【分析】根据函数的解析式逐项判断．
【解答】解：A，f（x）＝﹣|x|是偶函数，又在（0，+∞）上单调递减，故正确；
B，f（x）＝x2在（0，+∞）上单调递增，故错误；
C，是偶函数，又在（0，+∞）上单调递减，故正确；
D，f（x）是奇函数，故错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断，属于基础题．
（多选）7．（2024秋 嘉兴期中）下列说法不正确的是（　　）
A．函数在定义域内是减函数
B．若函数g（x）是奇函数，则一定有g（0）＝0
C．已知函数在R上是增函数，则实数a的取值范围是[﹣3，﹣1]
D．若函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则f（2x﹣1）的定义域为
【考点】由函数的单调性求解函数或参数；奇函数偶函数的性质；抽象函数的定义域．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ABC
【分析】对于A，由函数的单调性即可判断；
对于B，举反例即可判断；
对于C，根据题意求出a的范围，即可判断；
对于D，由抽象函数的定义即可判断．
【解答】解：对于A，函数在（﹣∞，0）和（0，+∞）上是减函数，故错误；
对于B，令g（x），为奇函数，但在x＝0处无定义，故错误；
对于C，因为在R上是增函数，
所以，解得﹣3≤a≤﹣2，故错误；
对于D，因为函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，
由﹣2≤2x﹣1≤2，解得x，
所以f（2x﹣1）的定义域为，故正确．
故选：ABC．
【点评】本题考查了函数的单调性、求抽象函数的定义域，考查了奇函数的性质，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 西宁期中）已知f（6）＝6，f（8）＝5，且f（x+1）是奇函数，则f（﹣6）＝ 　﹣5　．
【考点】抽象函数的奇偶性；奇函数偶函数的性质．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】﹣5．
【分析】由题意可得f（﹣x+1）＝﹣f（x+1），令x＝7，即可得答案．
【解答】解：因为f（x+1）是奇函数，
所以f（﹣x+1）＝﹣f（x+1）．
令x＝7，
则有f（﹣6）＝﹣f（8）＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了抽象函数的奇偶性，考查了利用赋值法求抽象函数的值，属于基础题．
9．（2024秋 西湖区校级期中）已知幂函数在（0，+∞）上是减函数，则m的值为 　﹣1　．
【考点】由幂函数的单调性求解参数．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】﹣1．
【分析】根据已知条件，结合幂函数的定义与性质，即可求解．
【解答】解：幂函数在（0，+∞）上是减函数，
则，解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查幂函数的定义与性质，属于基础题．
10．（2024秋 闵行区期中）设a是实数，若函数为奇函数，则a＝ 　﹣1　．
【考点】奇函数偶函数的性质．
【专题】方程思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】﹣1．
【分析】根据奇函数的性质，建立方程，可得答案．
【解答】解：由于x＝0时，函数f（x）有意义，
则f（0）＝0，即，解得a＝﹣1，经检验成立．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查奇函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
11．（2024秋 东莞市期中）函数的单调递增区间为 　[﹣1，3）　．
【考点】求函数的单调区间．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】[﹣1，3）．
【分析】根据复合函数的单调即可求解．
【解答】解：由题意，7+6x﹣x2≥0，解得﹣1≤x≤7，
即函数的定义域为[﹣1，7]，
令u＝7+6x﹣x2，函数图象开口向下，对称轴为x＝3，
所以函数u＝7+6x﹣x2在[﹣1，3）上单调递增，在（3，7]上单调递减，
又y在定义域上单调递增，
由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为[﹣1，3）．
故答案为：[﹣1，3）．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 东莞市期中）已知函数．
（1）用定义法证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数；
（2）函数f（x）的定义域为[1，+∞），若f（m2﹣m﹣1）＜f（11﹣2m），求实数m的取值范围．
【考点】由函数的单调性求解函数或参数；定义法求解函数的单调性．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）证明见解析
（2）{m|﹣4＜m≤﹣1或2≤m＜3}．
【分析】（1）根据条件，利用函数单调性的定义，即可证明结果；
（2）根据条件和（1）结果，得到不等式组，即可求解．
【解答】解：（1）证明：根据题意，设1≤x1＜x2，
则，
又x1＜x2，x1，x2∈[1，+∞），则x1+1≥2，x2+2＞2，
所以x1﹣x2＜0，（x1+1）（x2+1）＞4，
故f（x1）﹣f（x2）＜0，
所以函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．
（2）根据题意，函数f（x）的定义域为[1，+∞），且在区间[1，+∞）上是增函数，
由f（m2﹣m﹣1）＜f（11﹣2m），
则有，解得﹣4＜m≤﹣1或2≤m＜3，
故实数m的取值范围为{m|﹣4＜m≤﹣1或2≤m＜3}．
【点评】本题考查函数单调性的判断和应用，涉及函数的定义域，属于基础题．
13．（2024秋 嘉定区校级期中）已知幂函数，且该函数的图象经过点．
（1）确定m、n的值；
（2）求满足条件f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围．
【考点】由幂函数的单调性求解参数；幂函数的特征及辨识．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）n＝2，m＝1；（2）．
【分析】根据幂函数的定义可得n，根据其性质可得m，解不等式．
【解答】解：（1）函数f（x）为幂函数，则n＝2，因为该函数图象过点，
所以，所以m2+m＝2，所以m＝1或m＝﹣2（舍去），
则n＝2，m＝1；
（2）f（x），由f（2﹣a）＞f（a﹣1），得，解得，
a的取值范围为．
【点评】本题考查幂函数的性质，属于基础题．
14．（2024秋 嘉兴期中）已知函数f（x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x），记集合A为f（x）的定义域．
（1）求集合A；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）当x∈A时，求函数的值域．
【考点】复合函数的值域；求对数函数的定义域．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）A＝{x|﹣1＜x＜1}；
（2）奇函数；
（3）．
【分析】（1）由真数大于零求解其定义域即可；
（2）由函数的奇偶性判断即可；
（3）令t＝x2+2x，利用单调性求复合函数的值域即可．
【解答】解：（1）由真数大于0可知，
解得﹣1＜x＜1，
即A＝{x|﹣1＜x＜1}；
（2），
定义域A＝{x|﹣1＜x＜1}关于原点对称，
且，
故f（x）为奇函数；
（3）令t＝x2+2x，对称轴x＝﹣1，
在x∈（﹣1，1）上，t∈（﹣1，3），
又在R上递减，
故的值域是．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，考查了复合函数的单调性，属于中档题．
15．（2024秋 嘉兴期中）已知函数，且f（1）＝2．
（1）求a；
（2）根据定义证明函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增；
（3）在区间（1，+∞）上，若函数f（x）满足f（a+2）＞f（2a﹣1），求实数a的取值范围．
【考点】由函数的单调性求解函数或参数；定义法求解函数的单调性．
【专题】函数思想；综合法；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）a＝1；
（2）证明见解析；
（3）（1，3）．
【分析】（1）由f（1）＝2，求解即可；
（2）利用函数的单调性的定义证明即可；
（3）利用函数的单调性求解不等式即可．
【解答】解：（1）因为f（1）＝2，
即2＝1+a，
解得a＝1；
（2）证明：因为，
x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2），
因为x1＜x2，x1，x2∈（1，+∞），
所以，
所以0，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
故f（x）在（1，+∞）上单调递增．
（3）因为f（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以f（a+2）＞f（2a﹣1），
所以，即，
解得1＜a＜3．
所以实数a的取值范围为（1，3）．
【点评】本题考查了利用定义法证明函数的单调性，利用函数的单调性解不等式，属于中档题．
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