第三章 指数运算与指数函数（预习衔接.夯实基础.含解析）2025-2026学年高一上学期数学必修第一册北师大版（2019）

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预习衔接.夯实基础 指数运算与指数函数
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 西湖区校级期中）设，，c＝3﹣2.3，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．a＜c＜b
2．（2024秋 朝阳区校级期中）随着我国经济的不断发展，2023年年底某地区农民人均年收入为7000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2030年年底该地区的农民人均年收入为（　　）
A．7000×1.06×7元 B．7000×1.067元
C．7000×1.06×8元 D．7000×1.068元
3．（2024秋 朝阳区校级期中）函数y＝3|x|的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024秋 宜兴市期中）已知函数，且函数图象不经过第一象限，则b的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，﹣1] C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣∞，﹣2）
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 越秀区期末）下列结论正确的有（　　）
A．函数f（x）＝loga（x+1）+loga（x﹣1）（a＞0且a≠1）是偶函数
B．函数f（x）＝2ax﹣2﹣1（a＞0且a≠1）的图像恒过定点（2，1）
C．函数在R上单调递增
D．函数与函数y＝﹣log2x的图像关于直线y＝x对称
（多选）6．（2024秋 广州期中）已知实数a满足a+a﹣1＝4，下列选项中正确的是（　　）
A．a2+a﹣2＝14 B．a﹣a﹣1＝2
C． D．
（多选）7．（2024秋 芒市校级期中）下列各式正确的有（　　）
A． B．
C． D．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 新吴区校级期中）若，则a2+a﹣2＝ 　 　．
9．（2024秋 朝阳区校级期中）计算： 　 　．
10．（2024秋 浦东新区校级期中）不等式与不等式x2+ax+b＜0解集相同，则a+b＝ 　 　．
11．（2024秋 中山市期中）求值：　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 西湖区校级期中）求下列各式的值：
（1）log78 （0.2）1﹣log53+2π0 （）﹣6；
（2）已知x﹣1+x＝7（x＞0），求．
13．（2024秋 浦东新区校级期中）已知函数f（x）＝ax（其中a＞0，且a≠1）．
（1）若f（b）+f（﹣b）＝3，求f（2b）+f（﹣2b）的值．
（2）求关于x的方程f（2x）﹣2f（x）+1＝0的解．
14．（2024秋 张家口期中）近几年3D打印手办深受青少年的喜爱，某工厂计划在2024年利用新技术生产手办，通过调查分析．生产手办全年需投入固定成本12万元，生产x（千件）手办，需另投入成本C（x）（万元）．且，由市场调研知每件手办售价90元，且每年内生产的手办当年能全部销售完．
（1）求出2024年的利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的表达式；
（2）2024年年产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？
15．（2024秋 静宁县校级期末）已知函数．
（1）若f（x）≥1，求实数x的取值范围；
（2）求f（x）的值域．
预习衔接.夯实基础 指数运算与指数函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 西湖区校级期中）设，，c＝3﹣2.3，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．a＜c＜b
【考点】指数函数的单调性与最值；对数函数的单调性与最值．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】利用指数函数与对数函数的性质分析判断即可．
【解答】解：∵y＝3x为R上的增函数，﹣2.5＜﹣2.3，
∴0＜a3﹣2.5＜c＝3﹣2.3＜1，
又b0，
∴b＜a＜c．
故选：C．
【点评】本题考查指数函数与对数函数的性质，属于基础题．
2．（2024秋 朝阳区校级期中）随着我国经济的不断发展，2023年年底某地区农民人均年收入为7000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2030年年底该地区的农民人均年收入为（　　）
A．7000×1.06×7元 B．7000×1.067元
C．7000×1.06×8元 D．7000×1.068元
【考点】指数函数的实际应用．
【专题】应用题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；数学建模．
【答案】B
【分析】根据指数增长模型计算即可．
【解答】解：设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，
根据题意得，y＝7000×1.06x，
从2023年年底到2030年年底共经过了7年，
所以2030年年底该地区的农民人均年收入为7000×1.067元．
故选：B．
【点评】本题考查了指数函数模型应用问题，是基础题．
3．（2024秋 朝阳区校级期中）函数y＝3|x|的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】指数函数图象特征与底数的关系．
【专题】数形结合；分类讨论；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】利用分段函数表示函数y＝3|x|，画出函数的大致图象，即可得出答案．
【解答】解：因为y＝3|x|，
画出函数的大致图象，如图所示：
故选：B．
【点评】本题考查了指数函数的图象与性质应用问题，是基础题．
4．（2024秋 宜兴市期中）已知函数，且函数图象不经过第一象限，则b的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，﹣1] C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣∞，﹣2）
【考点】指数函数的单调性与最值．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数据分析．
【答案】C
【分析】由题意利用指数函数的单调性和特殊点，求得b的取值范围．
【解答】解：∵函数的图象经过（0，2+b），
且函数图象不经过第一象限，则2+b≤0，故 b≤﹣2，
故选：C．
【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 越秀区期末）下列结论正确的有（　　）
A．函数f（x）＝loga（x+1）+loga（x﹣1）（a＞0且a≠1）是偶函数
B．函数f（x）＝2ax﹣2﹣1（a＞0且a≠1）的图像恒过定点（2，1）
C．函数在R上单调递增
D．函数与函数y＝﹣log2x的图像关于直线y＝x对称
【考点】指数函数图象特征与底数的关系；定义法求解函数的单调性．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BCD
【分析】根据题意，结合指数函数、对数函数，以及函数的单调性和反函数的关系，逐项判定，即可求解．
【解答】解：对于A中，函数f（x）＝loga（x+1）+loga（x﹣1），则满足，
解得x＞1，
即f（x）的定义域为（1，+∞），不关于原点对称，
所以f（x）为非奇非偶函数，故A不正确；
对于B中，函数f（x）＝2ax﹣2﹣1（a＞0且a≠1），
令x﹣2＝0，可得x＝2，
则f（2）＝2a0﹣1＝1，
所以f（x）恒过定点（2，1），所以B正确；
对于C中，函数，
因为函数y＝ex+1为单调递增函数，且y＞0
所以为递减函数，则为递增函数，所以C正确；
对于D中，由函数与函数互为反函数，
所以函数与函数y＝﹣log2x的图像关于直线y＝x对称，所以D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性，考查了反函数的定义，属于基础题．
（多选）6．（2024秋 广州期中）已知实数a满足a+a﹣1＝4，下列选项中正确的是（　　）
A．a2+a﹣2＝14 B．a﹣a﹣1＝2
C． D．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据a2+a﹣2＝（a+a﹣1）2﹣2a a﹣1即可判断A；
根据（a﹣a﹣1）2＝a2+a﹣2﹣2a a﹣1即可判断B，注意符号；
根据即可判断C；
利用立方和公式即可判断D．
【解答】解：因为a+a﹣1＝4，所以a＞0，a2+a﹣2＝（a+a﹣1）2﹣2a a﹣1＝16﹣2＝14，故A正确；
（a﹣a﹣1）2＝a2+a﹣2﹣2a a﹣1＝12，所以，故B错误；
，
又a＞0，所以，则，故C正确；，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了完全平方公式和立方和公式，是基础题．
（多选）7．（2024秋 芒市校级期中）下列各式正确的有（　　）
A． B．
C． D．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BCD
【分析】运用根式的化简方法直接求解即可．
【解答】解：∵∴A项错误；
∵，
∴B项正确；
∵，∴C项正确；
∵，∴D项正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了根式的化简，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 新吴区校级期中）若，则a2+a﹣2＝ 　47　．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】47．
【分析】结合指数幂的运算性质即可求解．
【解答】解：若，
则a+a﹣1+2＝9，即a+a﹣1＝7，
则a2+a﹣2+2＝49，即a2+a﹣2＝47．
故答案为：47．
【点评】本题主要考查了指数幂的运算性质，属于基础题．
9．（2024秋 朝阳区校级期中）计算： 　﹣19681　．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】﹣19681．
【分析】根据对数的运算性质和指数幂的运算性质求解．
【解答】解：原式＝log39+（﹣27）3（﹣19683）＝2+（﹣19683）＝﹣19681．
故答案为：﹣19681．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质，考查了指数幂的运算性质，属于基础题．
10．（2024秋 浦东新区校级期中）不等式与不等式x2+ax+b＜0解集相同，则a+b＝ 　﹣5　．
【考点】指数函数的单调性与最值．
【专题】转化思想；定义法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】﹣5．
【分析】根据y＝2x在R上单调递增，判断大小列不等式进行解答即可．
【解答】解：不等式可化为23﹣3x，
因为y＝2x在R上单调递增，
所以x2﹣2x﹣3＜3﹣3x，整理得x2+x﹣6＜0，
由题意知两不等式的解集相同，则a＝1，b＝﹣6，
所以a+b＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了函数与不等式的应用问题，是基础题．
11．（2024秋 中山市期中）求值：　　．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】根据根式、分数指数幂运算、零指数幂运算得出结果．
【解答】解： ．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 西湖区校级期中）求下列各式的值：
（1）log78 （0.2）1﹣log53+2π0 （）﹣6；
（2）已知x﹣1+x＝7（x＞0），求．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】综合法；函数的性质及应用；能力层次；运算求解．
【答案】（1）；
（2）18．
【分析】（1）结合指数及对数的运算性质进行化简即可求解；
（2）结合指数幂的运算性质即可求解．
【解答】解：（1）log78 （0.2）1﹣log53+2π0 （）﹣6
＝﹣162
＝﹣1616
；
（2）因为x﹣1+x＝7，x＞0，
则（x）2＝x+x﹣1+2＝9，
则x3，
（）3+（x）3＝（x）（x+x﹣1﹣1）
＝3（×7﹣1）＝18．
【点评】本题主要考查了指数及对数的运算性质的应用，属于基础题．
13．（2024秋 浦东新区校级期中）已知函数f（x）＝ax（其中a＞0，且a≠1）．
（1）若f（b）+f（﹣b）＝3，求f（2b）+f（﹣2b）的值．
（2）求关于x的方程f（2x）﹣2f（x）+1＝0的解．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值；函数的值．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）7；
（2）x＝0．
【分析】（1）将f（b）+f（﹣b）代入函数解析式，结合完全平方公式可求得a2b+a﹣2b的值．
（2）将f（2x）﹣2f（x）+1＝0代入函数解析式可得具体方程，再结合完全平方公式可解得方程的解．
【解答】解：（1）因为f（x）＝ax，
所以f（b）+f（﹣b）＝ab+a﹣b＝3，
所以（ab+a﹣b）2＝a2b+a﹣2b+2＝9，
所以a2b+a﹣2b＝7，
所以f（2b）+f（﹣2b）＝a2b+a﹣2b＝7．
（2）因为f（2x）﹣2f（x）+1＝a2x﹣2ax+1＝0，
则（ax﹣1）2＝0，即ax＝1，
所以x＝0．
【点评】本题主要考查了指数幂的运算性质的应用，属于基础题．
14．（2024秋 张家口期中）近几年3D打印手办深受青少年的喜爱，某工厂计划在2024年利用新技术生产手办，通过调查分析．生产手办全年需投入固定成本12万元，生产x（千件）手办，需另投入成本C（x）（万元）．且，由市场调研知每件手办售价90元，且每年内生产的手办当年能全部销售完．
（1）求出2024年的利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的表达式；
（2）2024年年产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？
【考点】指数函数的实际应用．
【专题】应用题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；数学建模；运算求解．
【答案】（1）L（x）；
（2）年产量为10（千件）时工厂所获利润最大，最大利润是8万元．
【分析】（1）分0＜x＜6和x≥6两种情况，得到函数解析式；
（2）当0＜x＜6时，利用函数单调性得到当x＝4时，L（x）max＝4万元，当x≥6时，利用基本不等式求出最大值，比较后得到结论．
【解答】解：（1）当0＜x＜6时，利润函数L（x）＝9x﹣（x2+x）﹣12＝﹣x2+8x﹣12；
当x≥6时，利润函数，
所以利润L（x）关于年产量x的解析式为L（x）；
（2）若0＜x＜6，则L（x）＝﹣x2+8x﹣12，即L（x）＝﹣（x﹣4）2+4，
所以当x＝4时，利润函数的最大值为L（x）max＝4万元；
若x≥6，则L（x）＝﹣（x）+28≤﹣228＝8，
当且仅当时，即x＝10时，利润函数取得最大值为L（x）max＝8万元，
因为8＞4，所以2024年年产量为10千件时，该工厂所获利润最大，最大利润是8万元．
【点评】本题考查了利润函数模型应用问题，是基础题．
15．（2024秋 静宁县校级期末）已知函数．
（1）若f（x）≥1，求实数x的取值范围；
（2）求f（x）的值域．
【考点】指数函数的值域．
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）[0，2]；
（2）（0，3]．
【分析】（1）根据指数函数单调性可得﹣x2+2x≥0，结合二次不等式运算求解即可；
（2）根据二次函数分析可知﹣x2+2x≤1，结合指数函数性质求值域．
【解答】解：（1）因为，且y＝3x在定义域R内单调递增，
则﹣x2+2x≥0，解得0≤x≤2，
所以实数x的取值范围是[0，2]．
（2）因为﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1≤1，当且仅当x＝1时等号成立，
且y＝3x在定义域R内单调递增，则，
又因为，所以f（x）的值域为（0，3]．
【点评】本题考查了指数函数的图象与性质应用问题，是基础题．
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