4．1 一元二次函数 (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
[课时目标]
1．理解函数y＝ax2(a≠0)与y＝a(x－h)2＋k(a≠0)及y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象之间的关系．
2．能利用配方法或图象法掌握一元二次函数的重要性质．
逐点清(一) 一元二次函数的图象及变换
[多维理解]
1．一元二次函数的定义
一般地，把形如________________(a，b，c是常数)的函数叫作一元二次函数，其中a，b，c分别称为________________、一次项系数和____________．通常把一元二次函数的图象叫作__________．
2．一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的实数根 有两个不相等的实数根x1，x2(x13.一元二次函数的图象变换
一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移______个单位长度，再向上(或向下)平移______个单位长度而得到．
|微|点|助|解|
任意一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都可转化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，都可由y＝ax2的图象经过适当的平移得到，具体平移方法如图所示：
上述平移规律：“h值正、负，左、右移”，即“加时左移，减时右移”；“k值正、负，上、下移”，即“加时上移，减时下移”．
[微点练明]
1．函数y＝2x(3－x)的图象可能是( )
2．把函数y＝x2的图象向下平移1个单位长度，将得到的函数图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到的函数解析式为( )
A．y＝2x2－1 B．y＝2x2－2
C．y＝2x2＋1 D．y＝2x2＋2
3．在同一坐标系中作出下列函数的图象．
(1)y＝x2；(2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x.并分析如何把y＝x2的图象变换成y＝2x2－4x的图象．
逐点清(二) 求一元二次函数的解析式
一元二次函数的解析式的三种不同形式：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
[例1] 已知一元二次函数的最大值是8，且当x＝2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝－1.求此一元二次函数的解析式．
听课记录：
|思|维|建|模|
求一元二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，选用解析式的形式，利用待定系数法求解．
(1)若已知条件是图象上的三个点，则设所求一元二次函数为一般式y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的形式．
(2)若已知一元二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求一元二次函数为顶点式y＝a(x－h)2＋k(其中顶点(h，k)，a为常数，a≠0)．
(3)若已知一元二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1,0)，(x2,0)，则设所求一元二次函数为两根式y＝a(x－x1)(x－x2)(a为常数，且a≠0)．
[针对训练]
1．根据下列条件，求一元二次函数的解析式：
(1)过点(1,1)，(0,2)，(3,5)；
(2)图象顶点为(1,2)并且过点(0,4)；
(3)图象过点(2,0)，(4,0)，(0,3)．
逐点清(三) 一元二次函数的性质
一元二次函数的图象与性质
函数 一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0)
图象 a>0 a<0
性质 抛物线开口向____，并向上无限延伸 抛物线开口向____，并向下无限延伸
对称轴是x＝h；顶点坐标是________
在区间(－∞，h]上函数值y随x的增大而减小，在区间[h，＋∞)上函数值y随x的增大而增大抛物线有最低点，当x＝h时，y有最小值，ymin＝________ 在区间(－∞，h]上函数值y随x的增大而增大，在区间[h，＋∞)上函数值y随x的增大而减小抛物线有最高点，当x＝h时，y有最大值，ymax＝________
[例2] 已知函数y＝x2－3x－.
(1)求函数图象的顶点坐标、对称轴方程和最值；
(2)若x∈[1,4]，求函数值的取值范围．
听课记录：
|思|维|建|模|
二次函数最值问题的解法
抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合对称轴的位置，根据函数的变化趋势及分类讨论的思想即可完成．
[针对训练]
2．已知一元二次函数y＝－2x2＋4x＋3，请回答下列问题：
(1)试确定该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)指出函数y＝－2x2＋4x＋3的图象是由函数y＝－2x2的图象经过怎样的变换得到的；
(3)求函数值的变化趋势及函数的最值．
一元二次函数
[逐点清(一)]
[多维理解]
1．y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 二次项系数 常数项 抛物线 3.|h| |k|
[微点练明] 1.B 2.B
3．解：列表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3
y＝x2 9 4 1 0 1 4 9
y＝x2－2 7 2 －1 －2 －1 2 7
y＝2x2－4x 30 16 6 0 －2 0 6
描点、连线即得相应函数的图象，如图所示．
由图象可知由y＝x2到y＝2x2－4x(即y＝2(x－1)2－2)的变化过程如下．
法一：先把y＝x2的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2的图象，然后把y＝(x－1)2的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2(x－1)2的图象，最后把y＝2(x－1)2的图象向下平移2个单位长度便可得到y＝2x2－4x的图象．
法二：先把y＝x2的图象向下平移1个单位长度得到y＝x2－1的图象，然后再把y＝x2－1的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2－1的图象，最后把y＝(x－1)2－1的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，便可得到y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图象．
[逐点清(二)]
[例1] 解：法一：利用一般式
设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
∴所求一元二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7.
法二：利用顶点式
设y＝a(x－m)2＋n.
∵当x＝2时，y＝－1，且x＝－1时，y＝－1.
∴抛物线的对称轴为x＝＝.
∴m＝.又根据题意知函数有最大值8，
∴n＝8.∴y＝a2＋8.
又抛物线过点(2，－1)，
∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴y＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
[针对训练]
1．解：(1)设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由题设知
∴函数的解析式为y＝x2－2x＋2.
(2)设所求函数解析式为y＝a(x－1)2＋2(a≠0)．
整理得y＝ax2－2ax＋a＋2，
∴a＋2＝4，∴a＝2.
∴函数的解析式为y＝2x2－4x＋4.
(3)设所求函数解析式为y＝a(x－2)(x－4)(a≠0)，整理得y＝ax2－6ax＋8a，
∴8a＝3，∴a＝.
∴函数的解析式为y＝x2－x＋3.
[逐点清(三)]
上 下 (h，k) k k
[例2] 解：(1)配方，得
y＝x2－3x－＝(x－3)2－，
所以函数图象的顶点坐标为，
对称轴方程为x＝3，最小值为－，无最大值．
(2)由于3∈[1,4]，所以函数值在区间[1,3]上随x的增大而减小，在区间[3,4]上随x的增大而增大，
所以当x＝3时，ymin＝－，
当x＝1时，ymax＝×4－＝－，
所以x∈[1,4]时，
函数值的取值范围为.
[针对训练]
2．解：(1)∵y＝－2x2＋4x＋3＝－2(x－1)2＋5，∴该一元二次函数图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1,5)．
(2)由(1)可知，将函数y＝－2x2的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，即可得到函数y＝－2x2＋4x＋3的图象．
(3)由(1)知，函数图象的开口向下，对称轴为直线x＝1，则可得在区间(－∞，1]上，函数值y随自变量x的增大而增大，在区间[1，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而减小．故函数在x＝1处取得最大值5，即ymax＝5，无最小值．
1 / 4(共61张PPT)
4.1
一元二次函数
(教学方式:基本概念课——逐点理清式教学)
课时目标
1.理解函数y=ax2(a≠0)与y=a(x-h)2+k(a≠0)及y=ax2+bx+c(a≠0)的图象之间的关系.
2.能利用配方法或图象法掌握一元二次函数的重要性质.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 一元二次函数的图象及变换
逐点清(二) 求一元二次函数的解析式
逐点清(三) 求数列的通项公式
4
课时跟踪检测
逐点清(一)
一元二次函数的图象及变换
01
多维理解
1.一元二次函数的定义
一般地,把形如__________________ (a,b,c是常数)的函数叫作一元二次函数,其中a,b,c分别称为____________、一次项系数和________.通常把一元二次函数的图象叫作________.
y=ax2+bx+c(a≠0)
二次项系数
常数项
抛物线
2.一元二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
一元二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0) 的实数根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1续表
3.一元二次函数的图象变换
一元二次函数y=a(x-h)2+k的图象可以由y=ax2的图象经过向左(或向右)平移____个单位长度,再向上(或向下)平移____个单位长度而得到.
|h|
|k|
|微|点|助|解|
任意一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)都可转化为y=a(x+h)2+k的形式,都可由y=ax2的图象经过适当的平移得到,具体平移方法如图所示:
上述平移规律:“h值正、负,左、右移”,即“加时左移,减时右移”;“k值正、负,上、下移”,即“加时上移,减时下移”.
1.函数y=2x(3-x)的图象可能是 ( )
微点练明
解析:由2x(3-x)=0得x=0或x=3,可知图象与x轴的交点为(0,0),(3,0),排除A、C.又y=2x(3-x)=-2x2+6x,所以图象开口向下,故排除D.
√
2.把函数y=x2的图象向下平移1个单位长度,将得到的函数图象上各点横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍,得到的函数解析式为 ( )
A.y=2x2-1 B.y=2x2-2
C.y=2x2+1 D.y=2x2+2
解析:y=x2→y=x2-1→y=2(x2-1)=2x2-2.
√
3.在同一坐标系中作出下列函数的图象.
(1)y=x2;(2)y=x2-2;(3)y=2x2-4x.并分析如何把y=x2的图象变换成y=2x2-4x的图象.
解:列表:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y=x2 9 4 1 0 1 4 9
y=x2-2 7 2 -1 -2 -1 2 7
y=2x2-4x 30 16 6 0 -2 0 6
描点、连线即得相应函数的图象,如图所示.
由图象可知由y=x2到y=2x2-4x(即y=2(x-1)2-2)的变化过程如下.
法一:先把y=x2的图象向右平移1个单位长度得到y=(x-1)2的图象,然后把y=(x-1)2的图象横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍,得到y=2(x-1)2的图象,最后把y=2(x-1)2的图象向下平移2个单位长度便可得到y=2x2-4x的图象.
法二:先把y=x2的图象向下平移1个单位长度得到y=x2-1的图象,然后再把y=x2-1的图象向右平移1个单位长度得到y=(x-1)2-1的图象,最后把y=(x-1)2-1的图象横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍,便可得到y=2(x-1)2-2,即y=2x2-4x的图象.
逐点清(二)
求一元二次函数的解析式
02
一元二次函数的解析式的三种不同形式:
(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0).
(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0).
(3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
[例1] 已知一元二次函数的最大值是8,且当x=2时,y=-1;当x=-1时,y=-1.求此一元二次函数的解析式.
解:法一:利用一般式
设y=ax2+bx+c(a≠0).
由题意得解得
∴所求一元二次函数的解析式为y=-4x2+4x+7.
法二:利用顶点式
设y=a(x-m)2+n.
∵当x=2时,y=-1,且x=-1时,y=-1.
∴抛物线的对称轴为x==.
∴m=.又根据题意知函数有最大值8,
∴n=8.
∴y=a+8.又抛物线过点(2,-1),
∴a+8=-1,解得a=-4,
∴y=-4+8=-4x2+4x+7.
|思|维|建|模|
求一元二次函数解析式的方法,应根据已知条件的特点,选用解析式的形式,利用待定系数法求解.
(1)若已知条件是图象上的三个点,则设所求一元二次函数为一般式y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的形式.
(2)若已知一元二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值,则设所求一元二次函数为顶点式y=a(x-h)2+k(其中顶点(h,k),a为常数,a≠0).
(3)若已知一元二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1,0),(x2,0),则设所求一元二次函数为两根式y=a(x-x1)(x-x2)(a为常数,且a≠0).
针对训练
1.根据下列条件,求一元二次函数的解析式:
(1)过点(1,1),(0,2),(3,5);
解:设函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),
由题设知
∴函数的解析式为y=x2-2x+2.
(2)图象顶点为(1,2)并且过点(0,4);
解:设所求函数解析式为y=a(x-1)2+2(a≠0).
整理得y=ax2-2ax+a+2,∴a+2=4,∴a=2.
∴函数的解析式为y=2x2-4x+4.
(3)图象过点(2,0),(4,0),(0,3).
解:设所求函数解析式为y=a(x-2)(x-4)(a≠0),
整理得y=ax2-6ax+8a,∴8a=3,∴a=.
∴函数的解析式为y=x2-x+3.
逐点清(三) 一元二次函数的性质
03
一元二次函数的图象与性质
函数 一元二次函数y=a(x-h)2+k(a,h,k是常数,a≠0)
图象 a>0 a<0
性质 抛物线开口向___,并向上无限延伸 抛物线开口向___,并向下无限延伸
对称轴是x=h;顶点坐标是_____
在区间(-∞,h]上函数值y随x的增大而减小,在区间[h,+∞)上函数值y随x的增大而增大 在区间(-∞,h]上函数值y随x的增大而增大,在区间[h,+∞)上函数值y随x的增大而减小
抛物线有最低点,当x=h时,y有最小值,ymin=___ 抛物线有最高点,当x=h时,y有最大值,ymax=___
上
下
(h,k)
k
k
续表
[例2] 已知函数y=x2-3x-.
(1)求函数图象的顶点坐标、对称轴方程和最值;
解:配方,得
y=x2-3x-=(x-3)2-,
所以函数图象的顶点坐标为,
对称轴方程为x=3,最小值为-,无最大值.
(2)若x∈[1,4],求函数值的取值范围.
解:由于3∈[1,4],所以函数值在区间[1,3]上随x的增大而减小,在区间[3,4]上随x的增大而增大,
所以当x=3时,ymin=-,
当x=1时,ymax=×4-=-,
所以x∈[1,4]时,函数值的取值范围为.
|思|维|建|模|
二次函数最值问题的解法
抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合对称轴的位置,根据函数的变化趋势及分类讨论的思想即可完成.
针对训练
2.已知一元二次函数y=-2x2+4x+3,请回答下列问题:
(1)试确定该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;
解:∵y=-2x2+4x+3=-2(x-1)2+5,
∴该一元二次函数图象的开口向下,对称轴是直线x=1,顶点坐标是(1,5).
(2)指出函数y=-2x2+4x+3的图象是由函数y=-2x2的图象经过怎样的变换得到的;
解:由(1)可知,将函数y=-2x2的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移5个单位长度,即可得到函数y=-2x2+4x+3的图象.
(3)求函数值的变化趋势及函数的最值.
解:由(1)知,函数图象的开口向下,对称轴为直线x=1,则可得在区间(-∞,1]上,函数值y随自变量x的增大而增大,在区间[1,+∞)上,函数值y随自变量x的增大而减小.故函数在x=1处取得最大值5,即ymax=5,无最小值.
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1.在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2(m是常数,且m≠0)的图象可能是 ( )
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解析:当m>0时,函数y=mx+m函数值随x的增大而增大,且图象交y轴于正半轴,函数y=-mx2+2x+2的图象开口向下,对称轴在y轴右侧.当m<0时,函数y=mx+m函数值随x的增大而减小,且图象交y轴于负半轴,函数y=-mx2+2x+2的图象开口向上,对称轴在y轴左侧.满足上述条件的只有D选项.
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2.如果一元二次函数y=5x2+mx+4的对称轴是x=1,则当x=1时,y= ( )
A.10 B.-10
C.-1 D.19
解析:由题意得对称轴为-=1,解得m=-10,则y=5x2-10x+4,所以当x=1时,y=5-10+4=-1.
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3.关于二次函数y=-2x2+1,下列说法正确的是 ( )
A.它的图象开口方向是向上
B.当x<-1时,y随x的增大而增大
C.它的顶点坐标是(-2,1)
D.当x=0时,y有最大值是2
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解析:∵二次函数y=-2x2+1,a=-2,∴该函数图象开口向下,故选项A错误;当x<0时,y随x的增大而增大,故选项B正确;它的顶点坐标为(0,1),故选项C错误;当x=0时,y有最大值1,故选项D错误.
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4.将y=x2的图象向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度后所得函数解析式为 ( )
A.y=(x+2)2+1 B.y=(x-2)2+1
C.y=(x-2)2-1 D.y=(x+2)2-1
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5.(多选)如图是一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,图象的对称轴为直线x=-1.则下面四个结论正确的是 ( )
A.b2>4ac B.2a-b=1
C.a-b+c=0 D.5a16
√
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解析:易知一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个交点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,A正确;函数图象的对称轴为直线x=-1,则-=-1,即2a-b=0,B错误;结合图象可知,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,C错误;由函数图象的对称轴为直线x=-1知,b=2a,因为5>2,a<0,所以5a<2a,即5a16
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6.已知函数y=2x2-mx+3在[-2,+∞)上y随x的增大而增大,则实数m的取值范围是 ( )
A.(-∞,-8] B.(-∞,-3]
C.[-2,+∞) D.[13,+∞)
解析:因为函数y=2x2-mx+3=2+3-在[-2,+∞)上y随x的增大而增大,则≤-2,解得m≤-8,所以实数m的取值范围是(-∞,-8].
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7.(多选)若所求的一元二次函数图象与一元二次函数y=2x2-4x-1有相同的顶点,则所求一元二次函数可以为 ( )
A.y=-x2+2x+4 B.y=-x2-2x-3
C.y=-5x2+10x-8 D.y=x2-2x-2
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解析:因为y=2x2-4x-1=2(x-1)2-3,
y=-x2+2x+4=-(x-1)2+5,
y=-x2-2x-3=-(x+1)2-2,
y=-5x2+10x-8=-5(x-1)2-3,
y=x2-2x-2=(x-1)2-3,
所以所求一元二次函数可以为选项C、D中的函数.
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8.已知二次函数y=-(x+h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为 ( )
A.-3或-6 B.-1或-6
C.-1或-3 D.-4或-6
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2
解析:当-h<2,即h>-2时,有-(2+h)2=-1,解得h1=-1,h2=-3(舍去);当2≤-h≤5,即-5≤h≤-2时,函数有最大值,为0,不符合题意;当-h>5,即h<-5时,有-(5+h)2=
-1,解得h3=-4(舍去),h4=-6.综上所述,h的值为-1或-6.
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√
9.设A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=3(x+1)2+4m(m为常数)上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为 ( )
A.y1C.y3解析:∵抛物线y=3(x+1)2+4m(m为常数)的开口向上,对称轴为直线x=-1,而点C(2,y3)离直线x=-1的距离最远,点A(-2,y1)离直线x=-1最近,∴y116
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10.函数y=x2-4x+5在区间[0,m]上的最大值为5,最小值为1,则实数m的取值范围是 .
解析:y=x2-4x+5=(x-2)2+1,在[0,+∞)上的图象如图,
由题意得2≤m≤4.
[2,4]
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11.当a-1≤x≤a时,二次函数y=x2-4x+3的最小值为8,则a的值为 .
解析:当y=8时,有x2-4x+3=8,解得x1=-1,x2=5.∵当a-1≤x≤a时,函数有最小值8,∴a-1=5或a=-1,∴a=6或a=-1.
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-1或6
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12.已知函数y=(m2-3m)是二次函数,则m= ,此时函数的最大值为 .
解析:由题意得∴
∴m=2,此时y=-2x2,函数的最大值为0.
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13.一元二次函数的图象过点(0,1),对称轴为x=2,最小值为-1,则它的解析式是 .
解析:依题意可设y=a(x-2)2-1(a>0),
又其图象过点(0,1),∴4a-1=1,∴a=.
∴y=(x-2)2-1=x2-2x+1.
16
y=x2-2x+1
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14.(10分)已知抛物线y=ax2+6x-8与直线y=-3x相交于点A(1,m).
(1)求抛物线的解析式;
解:由题意得,点A(1,m)在直线y=-3x上,
∴m=-3×1=-3.把x=1,y=-3代入y=ax2+6x-8,得a+6-8=-3,求得a=-1.
∴抛物线的解析式是y=-x2+6x-8.
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(2)(1)中的抛物线经过怎样的平移可以得到y=ax2的图象.
解:∵y=-x2+6x-8=-(x-3)2+1,∴顶点坐标为(3,1).
∴把抛物线y=-x2+6x-8向左平移3个单位长度后得到y=-x2+1的图象,再把y=-x2+1的图象向下平移1个单位长度得到y=-x2的图象.
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15.(12分)如图,已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两
点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0).
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标.
解:把点B的坐标(3,0)代入抛物线y=-x2+mx+3,得0=-32+3m+3,解得m=2,所以y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,所以顶点坐标为(1,4).
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(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标.
解:点P是抛物线对称轴l上的一个动点,则PA=PB,
连接BC交抛物线对称轴l于点P,则此时PA+PC的值最
小,设直线BC的解析式为y=kx+b,由抛物线方程易得点
C(0,3),又点B(3,0),所以解得所以
直线BC的解析式为y=-x+3,当x=1时,y=-1+3=2,所以当PA+PC的值最小时,点P的坐标为(1,2).
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16.(13分)求函数y=-x(x-a)在[-1,1]上的最大值.
解:函数y=-+图象的对称轴方程为x=,应分<-1,-1≤≤1,>1,
即a<-2,-2≤a≤2和a>2这三种情形讨论.
①当a<-2时,函数大致图象如图1所示,
由图可知ymax=-a-1;
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②当-2≤a≤2时,函数大致图象如图2所示,
由图可知ymax=;
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③当a>2时,函数大致图象如图3所示,
由图可知ymax=a-1.
综上,当a<-2时,
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ymax=-a-1,
当-2≤a≤2时,ymax=,
当a>2时,ymax=a-1.
16课时跟踪检测(十三) 一元二次函数
(满分100分，选填小题每题5分)
1．在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝－mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是( )
2．如果一元二次函数y＝5x2＋mx＋4的对称轴是x＝1，则当x＝1时，y＝( )
A．10 B．－10
C．－1 D．19
3．关于二次函数y＝－2x2＋1，下列说法正确的是( )
A．它的图象开口方向是向上
B．当x<－1时，y随x的增大而增大
C．它的顶点坐标是(－2,1)
D．当x＝0时，y有最大值是2
4．将y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后所得函数解析式为( )
A．y＝(x＋2)2＋1 B．y＝(x－2)2＋1
C．y＝(x－2)2－1 D．y＝(x＋2)2－1
5．(多选)如图是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象的对称轴为直线x＝－1.则下面四个结论正确的是( )
A．b2>4ac B．2a－b＝1
C．a－b＋c＝0 D．5a6．已知函数y＝2x2－mx＋3在[－2，＋∞)上y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－8] B．(－∞，－3]
C．[－2，＋∞) D．[13，＋∞)
7．(多选)若所求的一元二次函数图象与一元二次函数y＝2x2－4x－1有相同的顶点，则所求一元二次函数可以为( )
A．y＝－x2＋2x＋4 B．y＝－x2－2x－3
C．y＝－5x2＋10x－8 D．y＝x2－2x－2
8．已知二次函数y＝－(x＋h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为( )
A．－3或－6 B．－1或－6
C．－1或－3 D．－4或－6
9．设A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝3(x＋1)2＋4m(m为常数)上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为( )
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3
C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
10．函数y＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则实数m的取值范围是________．
11．当a－1≤x≤a时，二次函数y＝x2－4x＋3的最小值为8，则a的值为________．
12．已知函数y＝(m2－3m)xm2－2m＋2是二次函数，则m＝________，此时函数的最大值为________．
13．一元二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式是________．
14．(10分)已知抛物线y＝ax2＋6x－8与直线y＝－3x相交于点A(1，m)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)(1)中的抛物线经过怎样的平移可以得到y＝ax2的图象．
15．(12分)如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3,0)．
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标．
(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA＋PC的值最小时，求点P的坐标．
16．(13分)求函数y＝－x(x－a)在[－1,1]上的最大值．
课时跟踪检测(十三)
1．选D 当m>0时，函数y＝mx＋m函数值随x的增大而增大，且图象交y轴于正半轴，函数y＝－mx2＋2x＋2的图象开口向下，对称轴在y轴右侧．当m<0时，函数y＝mx＋m函数值随x的增大而减小，且图象交y轴于负半轴，函数y＝－mx2＋2x＋2的图象开口向上，对称轴在y轴左侧．满足上述条件的只有D选项．
2．选C 由题意得对称轴为－＝1，解得m＝－10，则y＝5x2－10x＋4，所以当x＝1时，y＝5－10＋4＝－1.
3．选B ∵二次函数y＝－2x2＋1，a＝－2，∴该函数图象开口向下，故选项A错误；当x<0时，y随x的增大而增大，故选项B正确；它的顶点坐标为(0,1)，故选项C错误；当x＝0时，y有最大值1，故选项D错误．
4．C
5．选AD 易知一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有两个交点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，A正确；函数图象的对称轴为直线x＝－1，则－＝－1，即2a－b＝0，B错误；结合图象可知，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，C错误；由函数图象的对称轴为直线x＝－1知，b＝2a，因为5>2，a<0，所以5a<2a，即5a6．选A 因为函数y＝2x2－mx＋3＝22＋3－在[－2，＋∞)上y随x的增大而增大，则≤－2，解得m≤－8，所以实数m的取值范围是(－∞，－8]．
7．选CD 因为y＝2x2－4x－1＝2(x－1)2－3，
y＝－x2＋2x＋4＝－(x－1)2＋5，
y＝－x2－2x－3＝－(x＋1)2－2，
y＝－5x2＋10x－8＝－5(x－1)2－3，
y＝x2－2x－2＝(x－1)2－3，
所以所求一元二次函数可以为选项C、D中的函数．
8．选B 当－h＜2，即h＞－2时，有－(2＋h)2＝－1，解得h1＝－1，h2＝－3(舍去)；当2≤－h≤5，即－5≤h≤－2时，函数有最大值，为0，不符合题意；当－h＞5，即h＜－5时，有－(5＋h)2＝－1，解得h3＝－4(舍去)，h4＝－6.综上所述，h的值为－1或－6.
9．选A ∵抛物线y＝3(x＋1)2＋4m(m为常数)的开口向上，对称轴为直线x＝－1，而点C(2，y3)离直线x＝－1的距离最远，点A(－2，y1)离直线x＝－1最近，∴y1＜y2＜y3.
10．解析：y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，在[0，＋∞)上的图象如图，
由题意得2≤m≤4.
答案：[2,4]
11．解析：当y＝8时，有x2－4x＋3＝8，解得x1＝－1，x2＝5.∵当a－1≤x≤a时，函数有最小值8，∴a－1＝5或a＝－1，∴a＝6或a＝－1.
答案：－1或6
12．解析：由题意得
∴∴m＝2，此时y＝－2x2，函数的最大值为0.
答案：2 0
13．解析：依题意可设y＝a(x－2)2－1(a>0)，
又其图象过点(0,1)，∴4a－1＝1，∴a＝.
∴y＝(x－2)2－1＝x2－2x＋1.
答案：y＝x2－2x＋1
14．解：(1)由题意得，点A(1，m)在直线y＝－3x上，
∴m＝－3×1＝－3.把x＝1，y＝－3代入y＝ax2＋6x－8，得a＋6－8＝－3，求得a＝－1.
∴抛物线的解析式是y＝－x2＋6x－8.
(2)∵y＝－x2＋6x－8＝－(x－3)2＋1，
∴顶点坐标为(3,1)．
∴把抛物线y＝－x2＋6x－8向左平移3个单位长度后得到y＝－x2＋1的图象，再把y＝－x2＋1的图象向下平移1个单位长度得到y＝－x2的图象．
15．解：(1)把点B的坐标(3,0)代入抛物线y＝－x2＋mx＋3，得0＝－32＋3m＋3，解得m＝2，所以y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，所以顶点坐标为(1,4)．
(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，则PA＝PB，
连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA＋PC的值最小，设直线BC的解析式为y＝kx＋b，由抛物线方程易得点C(0,3)，又点B(3,0)，所以解得所以直线BC的解析式为y＝－x＋3，当x＝1时，y＝－1＋3＝2，所以当PA＋PC的值最小时，点P的坐标为(1,2)．
16．解：函数y＝－2＋图象的对称轴方程为x＝，应分<－1，－1≤≤1，>1，即a<－2，－2≤a≤2和a>2这三种情形讨论．
①当a<－2时，函数大致图象如图1所示，
由图可知ymax＝－a－1；
②当－2≤a≤2时，函数大致图象如图2所示，
由图可知ymax＝；
③当a>2时，函数大致图象如图3所示，
由图可知ymax＝a－1.
综上，当a<－2时，
ymax＝－a－1，当－2≤a≤2时，ymax＝，
当a>2时，ymax＝a－1.
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