1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
(教学方式:深化学习课梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.
2.会借助零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.
3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.
(一)函数的零点
1．函数零点的概念
使得__________的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点．
2．函数的零点、函数的图象、方程的根的关系
|微|点|助|解|
(1)函数的零点是实数，而不是点．如函数f(x)＝x＋1的零点是－1，而不是(－1,0)．
(2)并不是所有的函数都有零点，如函数f(x)＝，y＝x2＋1均没有零点．
(3)若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内．
(4)零点的概念沟通了函数与方程，使方程解的问题可以通过研究函数图象性质得以解决．函数零点的个数决定了相应方程实数解的个数．
(5)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数解，也是函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交点的横坐标．
(二)零点存在定理
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条______的曲线，并且在区间端点的函数值____________，即____________，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解.
|微|点|助|解|
(1)定理要求函数在闭区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0；
(2)闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，f(a)f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件；
(3)该定理是用来判断函数的变号零点，比如y＝x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点．
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若f(a)f(b)>0，则f(x)在[a，b]上无零点．( )
(2)若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．( )
(3)若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)f(b)<0.( )
2.下列各图象表示的函数中，没有零点的是( )
3．对于函数f(x)，若f(－1)f(3)<0，则( )
A．方程f(x)＝0一定有一实数解
B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实根
D．方程f(x)＝0可能无实数解
4．函数f(x)＝3x－4的零点所在区间为( )
A．(0,1) B．(－1,0)
C．(2,3) D．(1,2)
5．函数f(x)＝2 022x－2 023的零点是( )
A. B．2 023
C．－2 023 D.
题型(一) 求函数的零点
[例1] (1)求函数f(x)＝－x2－4x－4的零点；
(2)求函数f(x)＝的零点．
听课记录：
[变式拓展]
1．将本例(1)的题设改为：若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a，b的值．
2．将本例(1)的题设改为：已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．
|思|维|建|模| 探究函数零点的两种求法
代数法 求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点
几何法 与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点
[针对训练]
1．(多选)方程(x2－4)＝0的解可以是( )
A．x＝－2 B．x＝－
C．x＝ D．x＝2
题型(二) 函数零点所在区间的判定
[例2] 函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是( )
A．(1,2) B．(2,3)
C.和(3,4) D．(e，＋∞)
[例3] 若x0是方程ex＋x＝2的解，则x0属于区间( )
A.(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
听课记录：
[变式拓展]
1．若例2的题设改为：若方程log3x＋x＝3的解所在的区间是(k，k＋1)且k∈Z，则k＝________.
2．若例3的题设改为：若函数f(x)＝ex＋4x＋a的零点所在的区间为(0,1)，则实数a的取值范围是________．
|思|维|建|模| 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
解方程法 当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上
利用零点存在定理 首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点
数形结合法 通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断
题型(三) 函数零点个数的判断
[例4] 函数f(x)＝x2＋ln x－2 020的零点个数是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
[例5] 函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点个数是________．
听课记录：
|思|维|建|模|
判断函数零点个数的4种常用方法
(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判断它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．
(3)结合单调性，利用零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)内零点的个数．
(4)转化成两个函数图象的交点个数问题．
[针对训练]
2．已知函数f(x)＝和函数g(x)＝log2x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是________．
1．1 利用函数性质判定方程解的存在性
?课前预知教材
(一)1.f(x0)＝0 2.x轴 f(x)＝0
(二)连续 一正一负 f(a)·f(b)<0
[基础落实训练] 1.(1)× (2)√ (3)×
2．D 3.D 4.D 5.D
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：(1)令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2.所以函数的零点为－2.
(2)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.
所以函数f(x)＝的零点为－3和e2.
[变式拓展]
1．解：由函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是2和－4，知方程x2＋ax＋b＝0的两个根是2和－4，由根与系数的关系可知解得a＝2，b＝－8.
即a，b的值分别是2和－8.
2．解：由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a.
故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．
令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，
解得x＝0或x＝－.
所以函数g(x)的零点为0和－.
[针对训练]
1．选CD 由题意，得方程(x2－4)＝0，则x2－4＝0或2x－1＝0，解得x＝±2或x＝.又由2x－1≥0，解得x≥.所以方程(x2－4)＝0的解为x＝2或x＝.
[题型(二)]
[例2] 选B ∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln 2－1＜0，又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴在(1,2)内f(x)无零点．故排除A.∵f(3)＝ln 3－＞0，∴f(2)f(3)＜0. ∴f(x)在(2,3)内有一个零点．
[例3] 选C 构造函数f(x)＝ex＋x－2，由f(0)＝－1，f(1)＝e－1>0，显然函数f(x)是单调递增函数，有且只有一个零点，则函数f(x)的零点在区间(0,1)内，所以方程ex＋x＝2的解在区间(0,1)内．
[变式拓展]
1．解析：令f(x)＝log3x＋x－3，则f(2)＝log32－1＜0，f(3)＝1＞0，由零点存在定理得f(2)f(3)＜0，∴零点所在区间为(2,3)，∴k＝2.
答案：2
2．解析：∵函数f(x)＝ex＋4x＋a为增函数，其零点所在的区间为(0,1)．
∴
解得－e－4
答案：(－e－4，－1)
[题型(三)]
[例4] 选C 函数f(x)＝x2＋ln x－2 020的定义域为(0，＋∞)，因为函数y＝x2，y＝ln x－2 020在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f(1)＝－2 020＜0，f(2 020)＝1 009×2 020＋ln 2 020＞0，由零点存在定理得，函数f(x)＝x2＋ln x－2 020的零点个数是1.故选C.
[例5] 解析：法一：函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象的交点个数．
在同一平面直角坐标系下，作出两函数的图象(如图)．
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点．从而方程ln x＋x2－3＝0有一个根，即函数f(x)＝ln x＋x2－3有一个零点．
法二：由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，所以f(1)f(2)<0.又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是连续的，所以f(x)在(1,2)内必有零点．又f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，所以零点只有一个．
答案：1
[针对训练]
2．解析：作出g(x)与f(x)的图象，如图，由图知f(x)与g(x)的图象有3个交点，即h(x)有3个零点．
答案：3
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1.1
利用函数性质判定方程解的存在性
(教学方式:深化学习课— 梯度进阶式教学)
课时目标
1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.
2.会借助零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.
3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
(一)函数的零点
1.函数零点的概念
使得________的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点.
2.函数的零点、函数的图象、方程的根的关系
f(x0)=0
|微|点|助|解|
(1)函数的零点是实数,而不是点.如函数f(x)=x+1的零点是-1,而不是
(-1,0).
(2)并不是所有的函数都有零点,如函数f(x)=,y=x2+1均没有零点.
(3)若函数有零点,则零点一定在函数的定义域内.
(4)零点的概念沟通了函数与方程,使方程解的问题可以通过研究函数图象性质得以解决.函数零点的个数决定了相应方程实数解的个数.
(5)函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的实数解,也是函数y=f(x)与y=g(x)的图象交点的横坐标.
(二)零点存在定理
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条______的曲线,并且在区间端点的函数值__________,即___________,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解.
连续
一正一负
f(a)·f(b)<0
|微|点|助|解|
(1)定理要求函数在闭区间[a,b]上连续,且f(a)·f(b)<0;
(2)闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),f(a)f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件;
(3)该定理是用来判断函数的变号零点,比如y=x2,有零点为0,但是该零点的两侧函数值的符号相同,称为不变号零点.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若f(a)f(b)>0,则f(x)在[a,b]上无零点. ( )
(2)若f(x)在[a,b]上为单调函数,且f(a)·f(b)<0,则f(x)在(a,b)内有且只有一个零点. ( )
(3)若f(x)在(a,b)内有且只有一个零点,则f(a)·f(b)<0. ( )
×
√
×
2.下列各图象表示的函数中,没有零点的是 ( )
√
解析:结合函数零点的定义可知选项D没有零点.
3.对于函数f(x),若f(-1)f(3)<0,则 ( )
A.方程f(x)=0一定有一实数解
B.方程f(x)=0一定无实数解
C.方程f(x)=0一定有两实根
D.方程f(x)=0可能无实数解
解析:∵函数f(x)的图象在(-1,3)上未必连续,故尽管有f(-1)f(3)<0,但方程f(x)=0在(-1,3)内可能无实数解.
√
4.函数f(x)=3x-4的零点所在区间为 ( )
A.(0,1) B.(-1,0)
C.(2,3) D.(1,2)
解析:由f(-1)=-<0,f(0)=-3<0,f(1)=-1<0,f(2)=5>0,f(3)=23>0,得f(x)的零点所在区间为(1,2).
√
5.函数f(x)=2 022x-2 023的零点是 ( )
A. B.2 023
C.-2 023 D.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 求函数的零点
[例1] (1)求函数f(x)=-x2-4x-4的零点;
解:令-x2-4x-4=0,解得x=-2.
所以函数的零点为-2.
(2)求函数f(x)=的零点.
解:当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3;
当x>0时,令-2+ln x=0,解得x=e2.
所以函数f(x)=的零点为-3和e2.
变式拓展
1.将本例(1)的题设改为:若函数f(x)=x2+ax+b的零点是2和-4,求a,b的值.
解:由函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是2和-4,知方程x2+ax+b=0的两个根是2和-4,由根与系数的关系可知解得a=2,b=-8.即a,b的值分别是2和-8.
2.将本例(1)的题设改为:已知函数f(x)=ax-b(a≠0)的零点为3,求函数g(x)=bx2+ax的零点.
解:由已知得f(3)=0即3a-b=0,即b=3a.
故g(x)=3ax2+ax=ax(3x+1).
令g(x)=0,即ax(3x+1)=0,解得x=0或x=-.
所以函数g(x)的零点为0和-.
|思|维|建|模| 探究函数零点的两种求法
代数法 求方程f(x)=0的实数根,若存在实数根,则函数存在零点,否则函数不存在零点
几何法 与函数y=f(x)的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点
1.(多选)方程(x2-4)=0的解可以是( )
A.x=-2 B.x=-
C.x= D.x=2
解析:由题意,得方程(x2-4)=0,则x2-4=0或2x-1=0,解得x=±2或x=.又由2x-1≥0,解得x≥.所以方程(x2-4)=0的解为x=2或x=.
针对训练
√
√
[例2] 函数f(x)=ln x-的零点所在的大致区间是( )
A.(1,2) B.(2,3)
C.和(3,4) D.(e,+∞)
解析:∵f(1)=-2<0,f(2)=ln 2-1<0,又f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴在(1,2)内f(x)无零点.故排除A.∵f(3)=ln 3->0,∴f(2)f(3)<0.∴f(x)在(2,3)内有一个零点.
题型(二) 函数零点所在区间的判定
√
[例3] 若x0是方程ex+x=2的解,则x0属于区间 ( )
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
解析:构造函数f(x)=ex+x-2,由f(0)=-1,f(1)=e-1>0,显然函数f(x)是单调递增函数,有且只有一个零点,则函数f(x)的零点在区间(0,1)内,所以方程ex+x=2的解在区间(0,1)内.
√
1.若例2的题设改为:若方程log3x+x=3的解所在的区间是(k,k+1)且k∈Z,则k= .
解析:令f(x)=log3x+x-3,则f(2)=log32-1<0,f(3)=1>0,由零点存在定理得f(2)f(3)<0,∴零点所在区间为(2,3),∴k=2.
变式拓展
2
2.若例3的题设改为:若函数f(x)=ex+4x+a的零点所在的区间为(0,1),则实数a的取值范围是 .
解析:∵函数f(x)=ex+4x+a为增函数,其零点所在的区间为(0,1).
∴解得-e-4(-e-4,-1)
|思|维|建|模| 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
解方程法 当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,再看求得的根是否落在给定区间上
利用零点 存在定理 首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)f(b)<0.若f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点
数形结合法 通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断
题型(三) 函数零点个数的判断
[例4] 函数f(x)=x2+ln x-2 020的零点个数是( )
A.3 B.2
C.1 D.0
√
解析:函数f(x)=x2+ln x-2 020的定义域为(0,+∞),因为函数y=x2,y=ln x-2 020在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.又f(1)=-2 020<0,f(2 020)=1 009×2 020+ln 2 020>0,由零点存在定理得,函数f(x)=x2+ln x-2 020的零点个数是1.故选C.
[例5] 函数f(x)=ln x+x2-3的零点个数是 .
解析:法一:函数对应的方程为ln x+x2-3=0,所以原函数零点的个数即为函数y=ln x与y=3-x2的图象的交点个数.
在同一平面直角坐标系下,作出两函数的图象(如图).
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由图象知,函数y=3-x2与y=ln x的图象只有一个交点.从而方程ln x+x2-3=0有一个根,即函数f(x)=ln x+x2-3有一个零点.
法二:由于f(1)=ln 1+12-3=-2<0,f(2)=ln 2+22-3=ln 2+1>0,所以f(1)f(2)<0.又f(x)=ln x+x2-3的图象在(1,2)上是连续的,所以f(x)在(1,2)内必有零点.又f(x)在(0,+∞)上是单调递增的,所以零点只有一个.
|思|维|建|模|
判断函数零点个数的4种常用方法
(1)利用方程根,转化为解方程,有几个不同的实数根就有几个零点.
(2)画出函数y=f(x)的图象,判断它与x轴的交点个数,从而判定零点的个数.
(3)结合单调性,利用零点存在定理,可判定y=f(x)在(a,b)内零点的个数.
(4)转化成两个函数图象的交点个数问题.
针对训练
2.已知函数f(x)=和函数g(x)=log2x,则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数是 .
解析:作出g(x)与f(x)的图象,如图,由图知f(x)与g(x)的图象有3个交点,即h(x)有3个零点.
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课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.函数y=x2-bx+1有一个零点,则b的值为( )
A.2 B.-2
C.±2 D. 3
解析:因为函数有一个零点,所以Δ=b2-4=0.解得b=±2.
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2.(多选)下列图象表示的函数有两个零点的是 ( )
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解析:根据零点的定义,零点是函数图象与x轴的交点的横坐标,选项A中与x轴没有交点,即函数没有零点;选项B中函数图象与x轴只有一个交点,即函数只有一个零点;选项C、D中函数图象与x轴有两个交点,即函数有两个零点.
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3.函数f(x)=2x-的零点所在的区间是( )
A.(1,+∞) B.
C. D.
解析:由f(x)=2x-,得f=-2<0,f(1)=2-1=1>0.即ff(1)<0.所以零点所在区间为.
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4.(多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下的对应值表:
则下列判断正确的是 ( )
A.函数f(x)在区间(-1,0)内有零点 B.函数f(x)在区间(2,3)内有零点
C.函数f(x)在区间(5,6)内有零点 D.函数f(x)在区间(-1,7)内有三个零点
x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) -136 -21 6 19 13 -1 -8 -2 4 29 98
√
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解析:已知f(-1)f(0)<0,f(2)f(3)<0,f(5)f(6)<0,又f(x)的图象连续不断,所以函数f(x)在(-1,0),(2,3),(5,6)三个区间内均有零点,但不能断定有几个零点,故A、B、C正确,D不正确.
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5.函数f(x)=2-x+log3|x|的零点的个数是 ( )
A.3 B.2
C.1 D.0
解析:由题意可令f(x)=0,将函数化为x-2=log3|x|.画出函数y=x-2和y=log3|x|的图象如图所示,由图象可知,函数图象有三个交点,所以有三个零点.
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6.函数f(x)=的零点是 .
解析:令f(x)=0,即=0,即x-1=0或ln x=0,解得x=1.故函数f(x)的零点为1.
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7.已知函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是 .
解析:由题意知,方程x2-ax-b=0的两根为2,3,
∴即a=5,b=-6.∴方程bx2-ax-1=-6x2-5x-1=0的根为-,-.
即为函数g(x)的零点.
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8.(8分)判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出其零点.
(1)f(x)=-x2+2x-1;
解:令-x2+2x-1=0,解得x1=x2=1.
所以函数f(x)=-x2+2x-1的零点为1.
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(2)f(x)=x4-x2;
解:令f(x)=x2(x-1)(x+1)=0,
解得x=0或x=1或x=-1.
故函数f(x)=x4-x2的零点为0,-1和1.
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(3)f(x)=4x+5;
解:令4x+5=0,则4x=-5,
因为4x>0,-5<0,所以方程4x+5=0无实数解.
所以函数f(x)=4x+5不存在零点.
(4)f(x)=log3(x+1).
解:令log3(x+1)=0,解得x=0.
所以函数f(x)=log3(x+1)的零点为0.
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B级——应用创新
9.已知函数f(x)在区间[a,b]上单调,且图象是连续不断的,若f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]上( )
A.至少有一实数根 B.至多有一实数根
C.没有实数根 D.必有唯一的实数根
√
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解析:由题意知函数f(x)为连续函数,∵f(a)·f(b)<0,∴函数f(x)在区间[a,b]上至少有一个零点.又函数f(x)在区间[a,b]上是单调函数,∴函数f(x)在区间[a,b]上至多有一个零点,故函数f(x)在区间[a,b]上有且只有一个零点,即方程f(x)=0在区间[a,b]上必有唯一的实数根.
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10.若关于x的方程x=在区间(0,1)内有解,则实数m的取值范围是( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞)
解析:∵函数y=x在区间(0,1)内的值域为(0,+∞),∴>0,即<0.解得0√
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11.若函数y=+m有零点,则实数m的取值范围是 .
解析:因为函数y=+m有零点,所以方程+m=0有解.即方程=-m有解.因为|x-1|≥0,所以0<≤1.即0<-m≤1,因此-1≤m<0.
[-1,0)
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12.已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系是 (用“<”连接).
解析:画出函数y=3x,y=log3x,y=-x,y=-2的图象,如图所示,
观察图象可知,函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x
的零点依次是点A,B,C的横坐标,由图象可知aa1
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13.(15分)已知函数f(x)=x2-bx+3.
(1)若f(0)=f(4),求函数f(x)的零点;
解:由f(0)=f(4),得3=16-4b+3,即b=4,所以f(x)=x2-4x+3.令f(x)=0,
即x2-4x+3=0得x1=3,x2=1.所以f(x)的零点是1和3.
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(2)若函数f(x)的一个零点大于1,另一个零点小于1,求b的取值范围.
解:因为f(x)的零点一个大于1,另一个小于1,如图.
需要f(1)<0,即1-b+3<0,所以b>4.
故b的取值范围为(4,+∞).
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14.(18分)已知奇函数f(x)=
(1)求实数m的值;
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解:因为f(x)=为奇函数,
所以f(-x)+f(x)=0对任意x∈R恒成立.
不妨设x>0,则-x<0,
所以(-x)2+m(-x)-x2+2x=0.解得m=2.
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(2)讨论方程f(x)=a(a∈R)的根的个数.
解:由(1)可得,f(x)=
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作出f(x)的大致图象,如图所示,
方程f(x)=a(a∈R)的根的个数,
即y=f(x)与y=a函数图象的交点个数.
由图可知,当a>1或a<-1时,
方程f(x)=a的根的个数为1;当a=±1时,方程f(x)=a的根的个数为2;
当-1(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为( )
A．2 B．－2
C．±2 D. 3
2．(多选)下列图象表示的函数有两个零点的是( )
3．函数f(x)＝2x－的零点所在的区间是( )
A．(1，＋∞) B.
C. D.
4．(多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下的对应值表：
x －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) －136 －21 6 19 13 －1 －8 －2 4 29 98
则下列判断正确的是( )
A．函数f(x)在区间(－1,0)内有零点
B．函数f(x)在区间(2,3)内有零点
C．函数f(x)在区间(5,6)内有零点
D．函数f(x)在区间(－1,7)内有三个零点
5．函数f(x)＝2－x＋log3|x|的零点的个数是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
6．函数f(x)＝的零点是________．
7．已知函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．
8．(8分)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点．
(1)f(x)＝－x2＋2x－1；(2)f(x)＝x4－x2；
(3)f(x)＝4x＋5；(4)f(x)＝log3(x＋1)．
B级——重点培优
9．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f(a)f(b)＜0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上( )
A．至少有一实数根 B．至多有一实数根
C．没有实数根 D．必有唯一的实数根
10．若关于x的方程logx＝在区间(0,1)内有解，则实数m的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
11．若函数y＝|x－1|＋m有零点，则实数m的取值范围是________．
12．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________(用“<”连接)．
13．(15分)已知函数f(x)＝x2－bx＋3.
(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．
14．(18分)已知奇函数f(x)＝
(1)求实数m的值；
(2)讨论方程f(x)＝a(a∈R)的根的个数．
课时跟踪检测(三十七)
1．选C 因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0.解得b＝±2.
2．选CD 根据零点的定义，零点是函数图象与x轴的交点的横坐标，选项A中与x轴没有交点，即函数没有零点；选项B中函数图象与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点；选项C、D中函数图象与x轴有两个交点，即函数有两个零点．
3．选B 由f(x)＝2x－，得f＝2－2<0，f(1)＝2－1＝1>0.即ff(1)<0.所以零点所在区间为.
4．选ABC 已知f(－1)f(0)<0，f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0，又f(x)的图象连续不断，所以函数f(x)在(－1,0)，(2,3)，(5,6)三个区间内均有零点，但不能断定有几个零点，故A、B、C正确，D不正确．
5.选A 由题意可令f(x)＝0，将函数化为x－2＝log3|x|.画出函数y＝x－2和y＝log3|x|的图象如图所示，由图象可知，函数图象有三个交点，所以有三个零点．
6．解析：令f(x)＝0，即＝0，即x－1＝0或ln x＝0，解得x＝1.故函数f(x)的零点为1.
答案：1
7．解析：由题意知，方程x2－ax－b＝0的两根为2,3，
∴即a＝5，b＝－6.∴方程bx2－ax－1＝－6x2－5x－1＝0的根为－，－.
即为函数g(x)的零点．
答案：－，－
8．解：(1)令－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1.所以函数f(x)＝－x2＋2x－1的零点为1.
(2)令f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0，
解得x＝0或x＝1或x＝－1.
故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，－1和1.
(3)令4x＋5＝0，则4x＝－5，
因为4x>0，－5<0，所以方程4x＋5＝0无实数解．
所以函数f(x)＝4x＋5不存在零点．
(4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0.
所以函数f(x)＝log3(x＋1)的零点为0.
9．选D 由题意知函数f(x)为连续函数，∵f(a)·f(b)＜0，∴函数f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点．又函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，∴函数f(x)在区间[a，b]上至多有一个零点，故函数f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f(x)＝0在区间[a，b]上必有唯一的实数根．
10．选A ∵函数y＝logx在区间(0,1)内的值域为(0，＋∞)，∴>0，即＜0.解得0＜m＜1.∴实数m的取值范围是(0,1)．故选A.
11．解析：因为函数y＝|x－1|＋m有零点，所以方程|x－1|＋m＝0有解．即方程|x－1|＝－m有解．因为|x－1|≥0，所以0＜|x－1|≤1.即0＜－m≤1，因此－1≤m＜0.
答案：[－1,0)
12．解析：画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示，观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a答案：a13．解：(1)由f(0)＝f(4)，得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3.令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1.所以f(x)的零点是1和3.
(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．需要f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.
故b的取值范围为(4，＋∞)．
14．解：(1)因为f(x)＝为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0对任意x∈R恒成立．
不妨设x>0，则－x<0，所以(－x)2＋m(－x)－x2＋2x＝0.解得m＝2.
(2)由(1)可得，f(x)＝
作出f(x)的大致图象，如图所示，
方程f(x)＝a(a∈R)的根的个数，即y＝f(x)与y＝a函数图象的交点个数．
由图可知，当a>1或a<－1时，方程f(x)＝a的根的个数为1；当a＝±1时，方程f(x)＝a的根的个数为2；
当－12 / 3