2 实际问题中的函数模型 (教学方式：拓展融通课—习题讲评式教学)
[课时目标]
1．在利用函数刻画实际问题的过程中，培养数学抽象素养．
2．在把实际问题转化为数学模型的过程中，提升数学建模素养．
题型(一) 利用函数图象刻画实际问题的变化过程
[例1] (多选)图①是某大型游乐场的游客人数x(万人)与收支差额y(万元)(门票销售额减去投入的成本费用)的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是( )
A．图①中点A的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用为1万元
B．图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支恰好平衡
C．图②游乐场实行的措施是降低门票的售价
D．图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用
听课记录：
|思|维|建|模|
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案.
[针对训练]
1．(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是( )
A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用
B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒
C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
题型(二) 构建函数模型解决实际问题
题点1 二次函数模型
[例2] 甲、乙两城相距100 km，在两城之间距甲城x km处的丙地建一核电站给甲、乙两城供电，为保证城市安全，核电站距两地的距离不少于10 km.已知各城供电费用(元)与供电距离(km)的平方和供电量(亿千瓦时)之积都成正比，比例系数均是λ＝0.25，若甲城供电量为20亿千瓦时/月，乙城供电量为10亿千瓦时/月．
(1)把月供电总费用y(元)表示成x(km)的函数，并求其定义域；
(2)求核电站建在距甲城多远处，才能使月供电总费用最小．
听课记录：
题点2 指数、对数函数模型
[例3] 近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v＝v0·ln计算火箭的最大速度v m/s，其中v0 m/s是喷流相对速度，m kg是火箭(除推进剂外)的质量，M kg是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为1 000 m/s.
(1)当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加500 m/s，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．参考数据：ln 200≈5.3，2.718＜e＜2.719.
听课记录：
|思|维|建|模|
在应用函数解决实际问题时需注意以下4个步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型．
(3)解模：求解函数模型，得出数学结论．
(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题． [针对训练]
2．探空气球是将探空仪器带到高空进行温度、大气压力、湿度、风速、风向等气象要素测量的气球，利用探空仪将实时探测到的大气垂直方向上的气象数据反馈给地面雷达，通过数据处理，成为全球预报员制作天气预报的重要依据．大气压强对气球能达到的最大高度和停留时间有非常大的影响．已知大气压强p(Pa)随海拔高度h(m)的变化规律是p＝p0e－k·h(k＝0.000 126)，其中p0是海平面大气压强．若探空气球在A，B两处测得的大气压强分别为p1，p2，且p1＝2p2，那么A，B两处的海拔高度的差约为________m．(参考数据：ln 2≈0.693)
3．为提高隧道车辆通行能力，研究了隧道内的车流速度v(单位：千米/小时)和车流密度x(单位：辆/千米)所满足的关系式：v＝研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．
(1)若车流速度v≥40千米/小时，求车流密度x的取值范围；
(2)隧道内的车流量y(单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时)满足y＝x·v，求隧道内车流量y的最大值，并指出车流量最大时的车流密度x辆/千米．
题型(三) 建立拟合函数解决实际问题
[例4] 在无菌培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y(单位：百万个)与培养时间x(单位：小时)的3组数据如下表所示．
x 2 3 5
y 3.5 4.5 5.5
(1)当x≥2时，根据表中数据分别用模型y＝loga(x＋c)＋b和y＝m＋k建立y关于x的函数解析式；
(2)若用某函数模型根据培养时间来估计某类细菌在培养皿中的数量，则当实际的细菌数量与用函数模型得出的估计值之间的差的绝对值不超过0.5时，称该函数模型为“理想函数模型”，已知当培养时间为9小时时，检测到这类细菌在培养皿中的数量为6.2百万个，你认为(1)中哪个函数模型为“理想函数模型”？请说明理由；(参考数据：≈7.6)
(3)请用(2)中的“理想函数模型”估计17小时后，该类细菌在培养皿中的数量．
听课记录：
|思|维|建|模| 确定函数解析式的方法
待定系数法 已知条件中给出了含变量的函数解析式或根据已知条件可确定函数类型，此种情形下应利用待定系数法求出函数解析式中未知系数的值，即得函数的解析式
归纳法 先让自变量x取一些特殊值，计算出相对应的函数值，从中发现规律，再推广到一般情形，从而得到函数的解析式
方程法 用x表示变量或其他相关的量．根据问题的实际意义，运用已掌握的知识，列出函数所满足的等式
[针对训练]
4．某科研单位在研发钛合金产品的过程中使用了一种新材料．该产品的性能指标值是这种新材料的含量x(单位：克)的函数，且性能指标值越大，该产品的性能越好．当0≤x<7时，y和x的关系为以下三种函数模型中的一个：①y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②y＝k·ax(a>0且a≠1)；③y＝klogax(a>0且a≠1)；其中k，a，b，c均为常数．当x≥7时，y＝x－m，其中m为常数．研究过程中部分数据如下表：
x(单位：克) 0 2 6 10 …
y －4 8 8 …
(1)指出模型①②③中最能反映y和x(0≤x<7)关系的一个，并说明理由；
(2)求出y与x的函数关系式；
(3)求该新合金材料的含量x为多少时，产品的性能达到最佳．
实际问题中的函数模型
[题型(一)]
[例1] 选ABD 图①中点A的实际意义表示游乐场的投入成本为1万元，A正确；图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，游乐场的收支恰好平衡，B正确；图②游乐场实行的措施是提高门票的售价，C错误；图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用，D正确．
[针对训练]
1．选ABC 从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，故选项A正确；根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒，故选项B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，故选项C正确；第一次服用该药物1单位3小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，故选项D错误．
[题型(二)]
[例2] 解：(1)由题意知，y＝0.25×20x2＋0.25×10(100－x)2
＝7.5x2－500x＋25 000，
定义域为[10,90]．
(2)将(1)中函数配方为
y＝＋25 000
＝2＋，
所以当x＝，即核电站距甲城 km时，月供电总费用最小，为元．
[例3] 解：(1)当总质比为200时，v＝1 000·ln 200，
由参考数据得v≈1 000×5.3＝5 300 m/s，
∴当总质比为200时，A型火箭的最大速度约为5 300 m/s.
(2)由题意，经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度为1 500 m/s，总质比变为，
要使火箭的最大速度至少增加500 m/s，
则需1 500·ln－1 000·ln≥500，
化简，得3ln－2ln≥1，
∴ln3－ln2≥1，
整理得ln≥1，
∴≥e，则≥27×e，
由参考数据，知2.718＜e＜2.719，
∴73.386＜27×e＜73.413，
∴材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为74.
[针对训练]
2．解析：设A，B两处的海拔高度分别为h1，h2，由题意可得且p1＝2p2，即p0·e－k·h1＝2p0·e－k·h2，且p0≠0，可得e－k·h1＝2e－k·h2，两边同时取对数可得ln e－k·h1＝－k·h1，ln(2e－k·h2)＝ln 2－k·h2，即－k·h1＝ln 2－k·h2，整理得h2－h1＝≈＝5 500，即A，B两处的海拔高度的差约为5 500 m.
答案：5 500
3．解：(1)由题意知，当x＝120(辆/千米)时，v＝0(千米/小时)，代入v＝65－，得k＝2 600，所以v＝当0(2)由(1)知v＝
所以当0当30即y≤2 600，当且仅当160－x＝，即x＝80时，等号成立．综上，y的最大值为2 600(辆/小时)，此时x＝80(辆/千米)．
即隧道内车流量y的最大值为2 600辆/小时，此时车流密度x为80辆/千米．
[题型(三)]
[例4] 解：(1)当x≥2时，y＝loga(x＋c)＋b，由图表数据可得loga(2＋c)＋b＝3.5，
loga(3＋c)＋b＝4.5，loga(5＋c)＋b＝5.5，
联立上式，解方程可得a＝2，b＝3.5，c＝－1，则y＝log2(x－1)＋3.5；
当x≥2时，y＝m＋k，由图表数据可得m＋k＝3.5，m＋k＝4.5，m＋k＝5.5，联立上式，解方程可得m＝，n＝－，k＝3.
则y＝ ＋3.
(2)考虑①y＝log2(x－1)＋3.5，由x＝9，可得y＝log28＋3.5＝6.5，
而＝0.3<0.5，
可得模型①y＝log2(x－1)＋3.5是“理想函数模型”；
考虑②y＝ ＋3，
由x＝9，可得y＝× ＋3＝＋3≈3.8＋3＝6.8，而＝0.6>0.5，
所以模型②不是“理想函数模型”．
(3)由(2)可得x＝17时，y＝log2(17－1)＋3.5＝4＋3.5＝7.5(百万个)．
[针对训练]
4．解：(1)模型①最能反映y和x(0≤x<7)的关系，由题可知x＝0时，y＝－4，显然模型③不合题意，
若为模型②y＝k·ax，
则k＝－4，y＝－4ax<0不合题意，
故模型①最能反映y和x(0≤x<7)的关系．
(2)当0≤x<7时，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由x＝0，y＝－4可得c＝－4，由x＝2，y＝8得4a＋2b＝12，由x＝6，y＝8得36a＋6b＝12，解得a＝－1，b＝8，所以y＝－x2＋8x－4；
当x≥7时，y＝x－m，
由x＝10，y＝，可得10－m＝，
解得m＝8，即有y＝x－8.
综上，可得y＝
(3)当0≤x<7时，y＝－x2＋8x－4＝－(x－4)2＋12，即有x＝4时，性能指标值取得最大值12；
当x≥7时， y＝x－8单调递减，
所以当x＝7时，性能指标值取得最大值3；
综上可得，当x＝4克时产品的性能达到最佳．
5 / 5(共65张PPT)
2
实际问题中的函数模型
(教学方式:拓展融通课—习题讲评式教学)
课时目标
1.在利用函数刻画实际问题的过程中,培养数学抽象素养.
2.在把实际问题转化为数学模型的过程中,提升数学建模素养.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 利用函数图象刻画实际问题的变化过程
题型(二) 构建函数模型解决实际问题
题型(三) 建立拟合函数解决实际问题
4
课时跟踪检测
题型(一) 利用函数图象刻画实际问题的变化过程
01
[例1] (多选)图①是某大型游乐场的游客人数x(万人)与收支差额y(万元)(门票销售额减去投入的成本费用)的函数图象,销售初期该游乐场为亏损状态,为了实现扭亏为盈,游乐场采取了两种措施,图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象,则下列说法正确的是 ( )
A.图①中点A的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用为1万元
B.图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时,该游乐场的收支恰好平衡
C.图②游乐场实行的措施是降低门票的售价
D.图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用
√
√
√
解析:图①中点A的实际意义表示游乐场的投入成本为1万元,A正确;图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时,游乐场的收支恰好平衡,B正确;图②游乐场实行的措施是提高门票的售价,C错误;图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用,D正确.
|思|维|建|模|
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法
(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象.
(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择符合实际情况的答案.
1.(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时,该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后,体内血药浓度及相关信息如图所示:
针对训练
根据图中提供的信息,下列关于成人使用该药物的说法中,正确的是 ( )
A.首次服用该药物1单位约10分钟后,药物发挥治疗作用
B.每次服用该药物1单位,两次服药间隔小于2小时,一定会产生药物中毒
C.每间隔5.5小时服用该药物1单位,可使药物持续发挥治疗作用
D.首次服用该药物1单位3小时后,再次服用该药物1单位,不会发生药物中毒
√
√
√
解析:从图象中可以看出,首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用,故选项A正确;根据图象可知,首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值,由图象可知两次服药间隔小于2小时,一定会产生药物中毒,故选项B正确;服药5.5小时时,血药浓度等于最低有效浓度,此时再服药,血药浓度增加,可使药物持续发挥治疗作用,故选项C正确;第一次服用该药物1单位3小时后与第2次服用该药物1单位1小时后,血药浓度之和大于最低中毒浓度,因此一定会发生药物中毒,故选项D错误.
题型(二) 构建函数模型解决实际问题
02
题点1 二次函数模型
[例2] 甲、乙两城相距100 km,在两城之间距甲城x km处的丙地建一核电站给甲、乙两城供电,为保证城市安全,核电站距两地的距离不少于10 km.已知各城供电费用(元)与供电距离(km)的平方和供电量(亿千瓦时)之积都成正比,比例系数均是λ=0.25,若甲城供电量为20亿千瓦时/月,乙城供电量为10亿千瓦时/月.
(1)把月供电总费用y(元)表示成x(km)的函数,并求其定义域;
解:由题意知,y=0.25×20x2+0.25×10(100-x)2=7.5x2-500x+25 000,定义域为[10,90].
(2)求核电站建在距甲城多远处,才能使月供电总费用最小.
解:将(1)中函数配方为y=+25 000=+,
所以当x=,即核电站距甲城 km时,月供电总费用最小,为元.
题点2 指数、对数函数模型
[例3] 近年来,得益于我国先进的运载火箭技术,我国在航天领域取得了巨大成就.据了解,在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下,可以用公式v=v0·ln计算火箭的最大速度v m/s,其中v0 m/s是喷流相对速度,m kg是火箭(除推进剂外)的质量,M kg是推进剂与火箭质量的总和,称为“总质比”,已知A型火箭的喷流相对速度为1 000 m/s.
(1)当总质比为200时,利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度;
解:(1)当总质比为200时,v=1 000·ln 200,
由参考数据得v≈1 000×5.3=5 300 m/s,
∴当总质比为200时,A型火箭的最大速度约为5 300 m/s.
(2)经过材料更新和技术改进后,A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍,总质比变为原来的,若要使火箭的最大速度至少增加500 m/s,求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.
参考数据:ln 200≈5.3,2.718解:由题意,经过材料更新和技术改进后,A型火箭的喷流相对速度为1 500 m/s,总质比变为,
要使火箭的最大速度至少增加500 m/s,
则需1 500·ln-1 000·ln≥500,化简,得3ln-2ln≥1,
∴ln-ln≥1,整理得ln≥1,
∴≥e,则≥27×e, 由参考数据,知2.718∴73.386<27×e<73.413,
∴材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为74.
|思|维|建|模|
在应用函数解决实际问题时需注意以下4个步骤
(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择函数模型.
(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的函数模型.
(3)解模:求解函数模型,得出数学结论.
(4)还原:将数学结论还原为实际意义的问题.
2.探空气球是将探空仪器带到高空进行温度、大气压力、湿度、风速、风向等气象要素测量的气球,利用探空仪将实时探测到的大气垂直方向上的气象数据反馈给地面雷达,通过数据处理,成为全球预报员制作天气预报的重要依据.大气压强对气球能达到的最大高度和停留时间有非常大的影响.已知大气压强p(Pa)随海拔高度h(m)的变化规律是p=p0e-k·h(k=0.000 126),其中p0是海平面大气压强.若探空气球在A,B两处测得的大气压强分别为p1,p2,且p1=2p2,那么A,B两处的海拔高度的差约为 m.(参考数据:ln 2≈
0.693)
针对训练
5 500
解析:设A,B两处的海拔高度分别为h1,h2,由题意可得且p1=2p2,即p0·=2p0·,且p0≠0,可得=2,两边同时取对数可得ln =-k·h1,ln(2)=ln 2-k·h2,即-k·h1=ln 2-k·h2,整理得h2-h1=≈=5 500,即A,B两处的海拔高度的差约为5 500 m.
3.为提高隧道车辆通行能力,研究了隧道内的车流速度v(单位:千米/小时)和车流密度x(单位:辆/千米)所满足的关系式:
v=研究表明:当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞,此时车流速度为0千米/小时.
(1)若车流速度v≥40千米/小时,求车流密度x的取值范围;
解:由题意知,当x=120(辆/千米)时,v=0(千米/小时),代入v=65-,得k=2 600,所以v=当0(2)隧道内的车流量y(单位时间内通过隧道的车辆数,单位:辆/小时)满足y=x·v,求隧道内车流量y的最大值,并指出车流量最大时的车流密度x辆/千米.
解:由(1)知v=
所以当0所以y≤1 350,当且仅当x=30等号成立;
当30≤13 000-65×2=2 600,
即y≤2 600,当且仅当160-x=,即x=80时,等号成立.综上,y的最大值为2 600(辆/小时),此时x=80(辆/千米).
即隧道内车流量y的最大值为2 600辆/小时,此时车流密度x为80辆/千米.
题型(三) 建立拟合函数解决实际问题
03
[例4] 在无菌培养环境中,某类细菌的繁殖在初期会较快,随着单位体积内细菌数量的增加,繁殖速度又会减慢,在一次实验中,检测到这类细菌在培养皿中的数量y(单位:百万个)与培养时间x(单位:小时)的3组数据如下表所示.
x 2 3 5
y 3.5 4.5 5.5
(1)当x≥2时,根据表中数据分别用模型y=loga(x+c)+b和y=m+k建立y关于x的函数解析式;
解:当x≥2时,y=loga(x+c)+b,
由图表数据可得loga(2+c)+b=3.5,loga(3+c)+b=4.5,loga(5+c)+b=5.5,
联立上式,解方程可得a=2,b=3.5,c=-1,则y=log2(x-1)+3.5;
当x≥2时,y=m+k,由图表数据可得m+k=3.5,m+k=4.5,m+k=5.5,联立上式,解方程可得m=,n=-,k=3.
则y= +3.
(2)若用某函数模型根据培养时间来估计某类细菌在培养皿中的数量,则当实际的细菌数量与用函数模型得出的估计值之间的差的绝对值不超过0.5时,称该函数模型为“理想函数模型”,已知当培养时间为9小时时,检测到这类细菌在培养皿中的数量为6.2百万个,你认为(1)中哪个函数模型为“理想函数模型” 请说明理由;(参考数据:≈7.6)
解:考虑①y=log2(x-1)+3.5,由x=9,可得y=log28+3.5=6.5,而=0.3<0.5,可得模型①y=log2(x-1)+3.5是“理想函数模型”;
考虑②y= +3,由x=9,可得y=×+3=+3≈3.8+3=6.8,而=0.6>0.5,
所以模型②不是“理想函数模型”.
(3)请用(2)中的“理想函数模型”估计17小时后,该类细菌在培养皿中的数量.
解:由(2)可得x=17时,y=log2(17-1)+3.5=4+3.5=7.5(百万个).
|思|维|建|模| 确定函数解析式的方法
待定系数法 已知条件中给出了含变量的函数解析式或根据已知条件可确定函数类型,此种情形下应利用待定系数法求出函数解析式中未知系数的值,即得函数的解析式
归纳法 先让自变量x取一些特殊值,计算出相对应的函数值,从中发现规律,再推广到一般情形,从而得到函数的解析式
方程法 用x表示变量或其他相关的量.根据问题的实际意义,运用已掌握的知识,列出函数所满足的等式
续表
针对训练
4.某科研单位在研发钛合金产品的过程中使用了一种新材料.该产品的性能指标值是这种新材料的含量x(单位:克)的函数,且性能指标值越大,该产品的性能越好.当0≤x<7时,y和x的关系为以下三种函数模型中的一个:①y=ax2+bx+c(a≠0);②y=k·ax(a>0且a≠1);③y=klogax(a>0且a≠1);其中k,a,b,c均为常数.当x≥7时,y=,其中m为常数.研究过程中部分数据如下表:
x(单位:克) 0 2 6 10 …
y -4 8 8 …
(1)指出模型①②③中最能反映y和x(0≤x<7)关系的一个,并说明理由;
解:模型①最能反映y和x(0≤x<7)的关系,
由题可知x=0时,y=-4,显然模型③不合题意,
若为模型②y=k·ax,则k=-4,y=-4ax<0不合题意,
故模型①最能反映y和x(0≤x<7)的关系.
(2)求出y与x的函数关系式;
解:当0≤x<7时,y=ax2+bx+c(a≠0),由x=0,y=-4可得c=-4,由x=2,y=8得4a+2b=12,由x=6,y=8得36a+6b=12,解得a=-1,b=8,所以y=-x2+8x-4;
当x≥7时,y=,由x=10,y=,可得=,解得m=8,即有y=.
综上,可得y=
(3)求该新合金材料的含量x为多少时,产品的性能达到最佳.
解:当0≤x<7时,y=-x2+8x-4=-(x-4)2+12,即有x=4时,性能指标值取得最大值12;
当x≥7时, y=单调递减,所以当x=7时,性能指标值取得最大值3;
综上可得,当x=4克时产品的性能达到最佳.
课时跟踪检测
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6
7
8
9
10
11
12
13
2
√
A级——达标评价
1.一高为H,满缸水量为V的鱼缸截面如图所示,其底部破了
一个小洞,满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时的水的体
积为v,则函数v=f(h)的大致图象可能是图中的( )
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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2
解析:由鱼缸的形状可知,水的体积随着h的减小,先减少的慢,后减少的快,又减少的慢.
1
5
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12
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2
3
4
√
2.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog2(x+1),设这种动物第1年有100只,到第7年它们发展到 ( )
A.300只 B.400只
C.500只 D.600只
解析:由题意得,当x=1时,y=100,即100=alog2(1+1),∴a=100,
∴y=100log2(x+1).∴当x=7时,y=300.
1
5
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3
4
2
√
3.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:
(1)如果不超过200元,则不给予优惠;
(2)如果超过200元但不超过500元,则按标价给予9折优惠;
(3)如果超过500元,其500元内的按第(2)条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠.
某人两次去购物,分别付款168元和423元,假设他去一次购买上述同样的商品,则应付款( )
A.413.7元 B.513.7元 C.548.7元 D.546.6元
1
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3
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2
解析:购物超过200元,至少付款200×0.9=180(元),超过500元,至少付款500×0.9=450(元),可知此人第一次购物不超过200元,第二次购物不超过500元,则此人两次购物总金额为168+=168+470=638(元).若一次购物,应付500×0.9+138×0.7=546.6(元).
1
5
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3
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2
4.某工厂生产某产品x吨所需费用为P元,而卖出x吨的价格为每吨Q元,已知P=1 000+5x+x2,Q=a+,若生产出的产品能全部卖出,且当产量为150吨时利润最大,此时每吨的价格为40元,则有( )
A.a=45,b=-30 B.a=30,b=-45
C.a=-30,b=45 D.a=-45,b=-30
√
1
5
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3
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2
解析:设生产x吨产品全部卖出所获利润为y元,则y=xQ-P=x-=x2+(a-5)x-1 000,其中x∈(0,+∞).由题意知当x=150时,y取最大值,易知-<0.又当x=150时,Q=40,∴整理得解得a=45,b=-30,经验证a,b的值符合题意,故选A.
1
5
6
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11
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3
4
2
√
5.(多选)某停车场的收费标准如下:临时停车半小时内(含半小时)免费,临时停车1小时收费5元,此后每停车1小时收费3元,不足1小时按1小时计算,24小时内最高收费40元.现有甲、乙两车临时停放在该停车场,下列判断正确的是 ( )
A.若甲车与乙车的停车时长之和为1.6小时,则停车费用之和可能为8元
B.若甲车与乙车的停车时长之和为2.5小时,则停车费用之和可能为10元
C.若甲车与乙车的停车时长之和为10小时,则停车费用之和可能为34元
D.若甲车与乙车的停车时长之和为25小时,则停车费用之和可能为45元
√
√
1
5
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3
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2
解析:通过实例可知A、C、D的费用均可能产生,B中可能的停车费用中不含10元,由此得到结果.对于A,若甲车停车1.5小时,乙车停车0.1小时,则甲车停车费用为8元,乙车停车费用为0元,共计8元,A正确;对于B,若甲、乙两车停车时长之和为2.5小时,则停车费用之和可能为8元或13元或16元,B错误;对于C,若甲、乙两车各停车5小时,则每车的停车费用为17元,共计34元,C正确;对于D,若甲车停车24小时,乙车停车1小时,则甲车停车费用40元,乙车停车费用5元,共计45元,D正确.故选A、C、D.
1
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2
6.生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=x2-75x,若每台机器售价为25万元,则该厂获得利润最大时应生产的机器台数为 .
解析:设安排生产x台,则获得利润f(x)=25x-y=-x2+100x=-(x-50)2+2 500,故当x=50时,获得利润最大.
50
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2
7.某地下车库在排气扇发生故障的情况下,测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态,经抢修后恢复正常.排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位,1 ppm表示百万分之一),经检验知,该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y=27-mt(m为常数),则m= ;若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常,那么至少需要排气 分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态.
32
1
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2
解析:∵函数y=27-mt(m为常数)经过点(4,64),∴64=27-4m,解得m=,
∴y=,由≤,解得t≥32.故至少排气32分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态.
1
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2
8.为了稳定市场,确保农民增收,某农产品的市场收购价格a与其前三个月的市场收购价格有关,且使a与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小.若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格,则7月份该产品的市场收购价格应为 元/担.
71
月份 1 2 3 4 5 6
价格/(元/担) 68 78 67 71 72 70
1
5
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4
2
解析:由于农产品的市场收购价格a与其前三个月的市场收购价格有关,且a与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小,则7月份的收购价格为函数y=(a-71)2+(a-72)2+(a-70)2取得最小值时的a,则a==71.从而7月份的收购价格为71元/担.
1
5
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3
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2
9.“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度,假设函数t=-144lg
中,t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间,N表示每分钟打出的字数,则当N=40时,t的值为 .(lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)
解析:当N=40时,t=-144lg=-144lg=-144(lg 5-2lg 3)=144(2lg 3+
lg 2-1)≈36.72.
36.72
1
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12
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3
4
2
10.(10分)有A,B两种商品,经营销售这两种商品所能获得的利润依次是M(万元)和N(万元),它们与投入资金x(万元)的关系有经验公式:M=x,
N=,今有4万元资金投入经营A,B两种商品.为获得最大利润,应分别对A,B两种商品的资金投入多少万元
1
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3
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2
解:设对A种产品投资x万元,则对B种产品投资(4-x)万元.于是获得总利润y=x+.由得0≤x≤4.令t=(0≤x≤4),则x=4-t2
(0≤t≤2).所以y=(4-t2)+t=-+(0≤t≤2).于是,当t=时,
ymax=(万元).此时,x=4-t2=1.75(万元),4-x=2.25(万元).故为了获得最大利润,对A种商品的资金投入为1.75万元,对B种商品的资金投入为2.25万元.
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2
B级——重点培优
11.(多选)如图为某池塘中的浮萍蔓延后的面积y(m2)与时间t(月)的关系:y=at(a>0且a≠1),以下叙述正确的是( )
A.这个指数函数的底数是2
B.第5个月时,浮萍的面积就会超过35 m2
C.浮萍从4 m2蔓延到16 m2需要经过2个月
D.浮萍每个月增加的面积都相等
√
√
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2
解析:将点(1,2)代入y=at中,得a=2,所以y=2t,所以A正确;当t=5时,
y=25=32<35,所以B错误;当y=4时,t=2,当y=16时,t=4,所以浮萍从4 m2蔓延到16 m2需要经过2个月,所以C正确;由指数函数y=2t的性质可得浮萍每个月增加的面积不相等,所以D错误.
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2
12.(2023·新课标Ⅰ卷)(多选)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50~60
电动汽车 10 40
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2
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则 ( )
A.p1≥p2 B.p2>10p3
C.p3=100p0 D.p1≤100p2
解析:因为Lp=20×lg随着p的增大而增大,且∈[60,90],∈[50,60],所以≥,所以p1≥p2,故A正确;
√
√
√
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3
4
2
由Lp=20×lg,得p=p01,因为=40,所以p3=p01=100p0,故C正确;假设p2>10p3,则p01>10p01,所以1>10,所以->20,由题中表格数据知不可能成立,故B错误;因为==
1≥1,所以p1≤100p2,故D正确.故选ACD.
1
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2
13.(13分)某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元,但每生产1百台时又需可变成本(即需另增加投入)0.25万元,市场对此商品的需求量为5百台,销售收入(单位:万元)的函数为R=5x-x2(0≤x≤5),其中x是产品生产并售出的数量(单位:百台).
(1)把利润表示为年产量的函数.
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解:(1)设利润为y万元,
得y=
即y=
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2
(2)年产量为多少时,企业所得利润最大
解:显然当0≤x≤5时,企业会获得最大利润,
此时,y=-(x-4.75)2+10.781 25,
∴当x=4.75,即年产量为475台时,企业所得利润最大.
1
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3
4
2
(3)年产量为多少时,企业才不亏本(不赔钱)
解:要使企业不亏本,则y≥0.
即y= 或
得0.11≤x≤5或5即年产量在11台到4 800台之间时,企业不亏本.课时跟踪检测(三十九) 实际问题中的函数模型
(满分80分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象可能是图中的( )
2．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第1年有100只，到第7年它们发展到( )
A．300只 B．400只
C．500只 D．600只
3．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：
(1)如果不超过200元，则不给予优惠；
(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；
(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．
某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他去一次购买上述同样的商品，则应付款( )
A．413.7元 B．513.7元
C．548.7元 D．546.6元
4．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1 000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( )
A．a＝45，b＝－30 B．a＝30，b＝－45
C．a＝－30，b＝45 D．a＝－45，b＝－30
5．(多选)某停车场的收费标准如下：临时停车半小时内(含半小时)免费，临时停车1小时收费5元，此后每停车1小时收费3元，不足1小时按1小时计算，24小时内最高收费40元．现有甲、乙两车临时停放在该停车场，下列判断正确的是( )
A．若甲车与乙车的停车时长之和为1.6小时，则停车费用之和可能为8元
B．若甲车与乙车的停车时长之和为2.5小时，则停车费用之和可能为10元
C．若甲车与乙车的停车时长之和为10小时，则停车费用之和可能为34元
D．若甲车与乙车的停车时长之和为25小时，则停车费用之和可能为45元
6．生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获得利润最大时应生产的机器台数为________．
7．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位，1 ppm表示百万分之一)，经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝27－mt(m为常数)，则m＝________；若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，那么至少需要排气________分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态．
8．为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格a与其前三个月的市场收购价格有关，且使a与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格，则7月份该产品的市场收购价格应为________元/担.
月份 1 2 3 4 5 6
价格/(元/担) 68 78 67 71 72 70
9.“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t＝－144lg中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数，则当N＝40时，t的值为____________．(lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
10．(10分)有A，B两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是M(万元)和N(万元)，它们与投入资金x(万元)的关系有经验公式：M＝x，N＝，今有4万元资金投入经营A，B两种商品．为获得最大利润，应分别对A，B两种商品的资金投入多少万元？
B级——重点培优
11．(多选)如图为某池塘中的浮萍蔓延后的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at(a>0且a≠1)，以下叙述正确的是( )
A．这个指数函数的底数是2
B．第5个月时，浮萍的面积就会超过35 m2
C．浮萍从4 m2蔓延到16 m2需要经过2个月
D．浮萍每个月增加的面积都相等
12．(2023·新课标Ⅰ卷)(多选)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0(p0＞0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则( )
A．p1≥p2 B．p2＞10p3
C．p3＝100p0 D．p1≤100p2
13．(13分)某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本(即需另增加投入)0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入(单位：万元)的函数为R＝5x－x2(0≤x≤5)，其中x是产品生产并售出的数量(单位：百台)．
(1)把利润表示为年产量的函数．
(2)年产量为多少时，企业所得利润最大？
(3)年产量为多少时，企业才不亏本(不赔钱)
课时跟踪检测(三十九)
1．选B 由鱼缸的形状可知，水的体积随着h的减小，先减少的慢，后减少的快，又减少的慢．
2．选A 由题意得，当x＝1时，y＝100，即100＝alog2(1＋1)，∴a＝100，∴y＝100log2(x＋1)．∴当x＝7时，y＝300.
3．选D 购物超过200元，至少付款200×0.9＝180(元)，超过500元，至少付款500×0.9＝450(元)，可知此人第一次购物不超过200元，第二次购物不超过500元，则此人两次购物总金额为168＋＝168＋470＝638(元)．若一次购物，应付500×0.9＋138×0.7＝546.6(元)．
4．选A 设生产x吨产品全部卖出所获利润为y元，则y＝xQ－P＝x－＝x2＋(a－5)x－1 000，其中x∈(0，＋∞)．由题意知当x＝150时，y取最大值，易知－<0.又当x＝150时，Q＝40，
∴
整理得解得a＝45，b＝－30，经验证a，b的值符合题意，故选A.
5．选ACD 通过实例可知A、C、D的费用均可能产生，B中可能的停车费用中不含10元，由此得到结果．对于A，若甲车停车1.5小时，乙车停车0.1小时，则甲车停车费用为8元，乙车停车费用为0元，共计8元，A正确；对于B，若甲、乙两车停车时长之和为2.5小时，则停车费用之和可能为8元或13元或16元，B错误；对于C，若甲、乙两车各停车5小时，则每车的停车费用为17元，共计34元，C正确；对于D，若甲车停车24小时，乙车停车1小时，则甲车停车费用40元，乙车停车费用5元，共计45元，D正确．故选A、C、D.
6．解析：设安排生产x台，则获得利润f(x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2 500，故当x＝50时，获得利润最大．
答案：50
7．解析：∵函数y＝27－mt(m为常数)经过点(4,64)，
∴64＝27－4m，解得m＝，∴y＝27－t，由27－t≤，解得t≥32.故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．
答案： 32
8．解析：由于农产品的市场收购价格a与其前三个月的市场收购价格有关，且a与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小，则7月份的收购价格为函数y＝(a－71)2＋(a－72)2＋(a－70)2取得最小值时的a，则a＝＝71.从而7月份的收购价格为71元/担．
答案：71
9．解析：当N＝40时，t＝－144lg＝－144lg＝－144(lg 5－2lg 3)＝144(2lg 3＋lg 2－1)≈36.72.
答案：36.72
10．解：设对A种产品投资x万元，则对B种产品投资(4－x)万元．于是获得总利润y＝x＋.由得0≤x≤4.令t＝(0≤x≤4)，则x＝4－t2(0≤t≤2)．所以y＝(4－t2)＋t＝－2＋(0≤t≤2)．于是，当t＝时，ymax＝(万元)．此时，x＝4－t2＝1.75(万元)，4－x＝2.25(万元)．故为了获得最大利润，对A种商品的资金投入为1.75万元，对B种商品的资金投入为2.25万元．
11．选AC 将点(1,2)代入y＝at中，得a＝2，所以y＝2t，所以A正确；
当t＝5时，y＝25＝32<35，所以B错误；
当y＝4时，t＝2，当y＝16时，t＝4，所以浮萍从4 m2蔓延到16 m2需要经过2个月，所以C正确；由指数函数y＝2t的性质可得浮萍每个月增加的面积不相等，所以D错误．
12．选ACD 因为Lp＝20×lg随着p的增大而增大，且Lp1∈[60,90]，Lp2∈[50,60]，所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正确；由Lp＝20×lg，得p＝p010，因为Lp3＝40，所以p3＝p010＝100p0，故C正确；假设p2＞10p3，则p010＞10p010，所以10－＞10，所以Lp2－Lp3＞20，由题中表格数据知不可能成立，故B错误；因为＝＝10－＋2≥1，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD.
13．解：(1)设利润为y万元，
得y＝
即y＝
(2)显然当0≤x≤5时，企业会获得最大利润，此时，y＝－(x－4.75)2＋10.781 25，
∴当x＝4.75，即年产量为475台时，企业所得利润最大．
(3)要使企业不亏本，则y≥0.
即y＝
或得0.11≤x≤5或5即年产量在11台到4 800台之间时，企业不亏本．
1 / 3
