阶段质量评价(三)　指数运算与指数函数、对数运算与对数函数、函数应用（含解析）

阶段质量评价(三)　指数运算与指数函数、对数运算与对数
函数、函数应用
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)
1．已知a＞0，化简×＝(　　)
A．a B．a
C．a D．a
2．若xlog32＝1，则4x的值是(　　)
A．9 B．3
C．2log32 D．2log23
3．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)
A．log2x B.
C．logx D．2x－2
4．若a＝log60.6，b＝1.10.6，c＝log0.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＞b＞c B．b＞c＞a
C．c＞b＞a D．b＞a＞c
5．根据表中的数据，可以断定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间是(　　)
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
A．(0,1) B．(－1,0)
C．(2,3) D．(1,2)
6．函数f(x)＝log2(|x|－1)的图象为(　　)
7．若a，b∈R，且满足＜b＜a＜1，那么(　　)
A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab
C．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa
8．(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，则a＝(　　)
A．－1 B．0
C. D．1
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．)
9．下列函数中既是奇函数，又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．f(x)＝－ B．f(x)＝3x
C．f(x)＝log3x D．f(x)＝
10．已知函数f(x)＝x－log2x,0＜a＜b＜c，f(a)f(b)f(c)＜0，实数d是函数f(x)的一个零点．给出下列四个判断，其中可能成立的是(　　)
A．d＜a B．d＞b
C．d＞c D．d＜c
11．已知函数f(x)＝|lg x|，则(　　)
A．f(x)是偶函数
B．f(x)值域为
C．f(x)在上递增
D．f(x)有一个零点
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．)
12．若2a＝3，b＝log32，则ab＝________.
13．关于x的方程3x2－5x＋a＝0的一个根大于1，另一个根小于 1，则a的取值范围是________．
14．已知函数f(x)＝若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围为________．
四、解答题(本大题共5小题，共77分．)
15．(13分)求值计算：
(1)＋0＋－＋；
(2)·log23·log34.
16．(15分)已知函数f(x)＝2a·9x－3x＋1＋1.
(1)当 a＝1时，求函数f(x)的零点．
(2)若f(x)有零点，求实数a的取值范围．
17．(15分)已知指数函数y＝x，当x∈(0，＋∞)时，有y＞1.
(1)求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式loga(x－1)≤loga(x2＋x－6)．
18．(17分)已知函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上最大值和最小值的和为12，令f(x)＝.
(1)求实数a的值；
(2)探究f(x)＋f(1－x)是否为定值，若是定值，写出证明过程；若不是定值，请说明理由；
(3)解不等式：f(1－x)＋2f2(x)＜1.
19.(17分)已知函数f(x)＝lg.
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)求证：f(x)＋f(y)＝f；
(3)若f＝1，f＝2，求f(a)，f(b)的值．
阶段质量评价(三)
1．选C　×＝a×a＝a.
2．选A　因xlog32＝1，则x＝＝log23，所以4x＝4log23＝(2log23)2＝32＝9.
3．选A　由题意知f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)．∵f(2)＝1，∴loga2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.
4．选B　∵a＝log60.6＜log61＝0，b＝1.10.6＞1.10＝1,0＝log0.51＜c＝log0.50.6＜log0.50.5＝1，故b＞c＞a.故选B.
5．选D　当x＝－1时，f(－1)＝0.37＋1－2＝－0.63＜0.当x＝0时，f(0)＝1－0－2＝－1＜0.当x＝1时，f(1)＝2.72－1－2＝－0.28＜0.当x＝2时，f(2)＝7.39－2－2＝3.39＞0.当x＝3时，f(3)＝20.09－3－2＝15.09＞0.因为f(1)f(2)＜0，所以方程ex－x－2＝0的一个根在区间(1,2)内．故选D.
6．选A　函数f(x)＝log2(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，可以排除选项B、C；由f(－x)＝log2(|－x|－1)＝log2(|x|－1)＝f(x)，可知函数f(x)为偶函数，其图象应关于y轴对称，可以排除选项D.
7．选C　由指数函数y＝x是减函数及＜b＜a＜1，得0＜a＜b＜1.当0＜a＜1时，y＝ax是减函数，所以ab＜aa，排除A、B.又因为幂函数y＝xa(0＜a＜1)在第一象限内单调递增，所以aa＜ba，故选C.
8．选B　法一　设g(x)＝ln，易知g(x)的定义域为∪，且g(－x)＝ln＝ln＝－ln＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0，故选B.
法二　因为f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，f(－1)＝(a－1)ln 3，f(1)＝(a＋1)ln＝－(a＋1)ln 3，所以(a－1)ln 3＝－(a＋1)ln 3，解得a＝0，故选B.
9．选AD　f(x)＝－是奇函数，且是(－∞，0)和(0，＋∞)上的增函数，A符合题意；f(x)＝3x不具有奇偶性，是增函数，B不符合题意；f(x)＝log3x不具有奇偶性，是增函数，C不符合题意；f(x)＝＝x是奇函数，且是增函数，符合题意．
10．选ABD　由y＝x在(0，＋∞)上单调递减，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)＝x－log2x在定义域(0，＋∞)上是减函数．当0＜a＜b＜c时，f(a)＞f(b)＞f(c)，又因为f(a)f(b)f(c)＜0，f(d)＝0，所以①f(a)，f(b)，f(c)都为负值，则a，b，c都大于d；②f(a)＞0，f(b)＞0，f(c)＜0，则a，b都小于d，c大于d.综合①②可得d＞c不可能成立．
11.选BD　画出f(x)＝|lg x|的函数图象，如图所示．由图可知，f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；f(x)值域为，故B正确；f(x)在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故C错误；f(x)有一个零点1，故D正确．故选B、D.
12．解析：由2a＝3可得，a＝log23，所以ab＝log23×log32＝×＝1.
答案：1
13．解析：设f(x)＝3x2－5x＋a，由题意知，f(1)＜0，即－2＋a＜0，∴a＜2.
答案：(－∞，2)
14．解析：作出函数f(x)的图象，如图所示．由图可知，当0＜a＜1时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个交点，所以实数a的取值范围为(0,1)．
答案：(0,1)
15．解：(1)原式＝＋1＋1＋－1＋＝＋2＋＋－＝5.
(2)原式＝·log23·log322
＝·log23·2log32
＝×2＝×2＝.
16．解：(1)当a＝1时，f(x)＝2·9x－3·3x＋1.令f(x)＝0，即2·(3x)2－3·3x＋1＝0，解得3x＝1或3x＝.所以x＝0或x＝－log32，函数f(x)的零点为0，－log32.
(2)若f(x)有零点，则方程2a·9x－3x＋1＋1＝0有解，于是2a＝＝－2＝－2＋，所以2a≤，即a≤.所以实数a的取值范围为.
17．解：(1)∵指数函数y＝x在x∈(0，＋∞)时，有y＞1，∴＞1.解得0＜a＜1.∴实数a的取值范围为(0,1)．
(2)由(1)得0＜a＜1，∵loga(x－1)≤loga(x2＋x－6)，∴解得2＜x≤.∴不等式的解集为.
18．解：(1)因为函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上为单调函数，所以a＋a2＝12.解得a＝3或a＝－4.因为a＞0，且a≠1，所以a＝3.
(2)f(x)＋f(1－x)＝1，为定值．证明如下：由(1)得，f(x)＝，所以f(x)＋f(1－x)＝＋＝＋＝＋＝1.
(3)由(2)得，1－f(x)＝f(1－x)，且f(x)＞0，所以2f2(x)＜1－f(1－x)＝f(x)．所以f(x)＜.所以＜.整理得3x＜，解得x＜.所以原不等式的解集为.
19．解：(1)证明：由函数f(x)＝lg，可得＞0.即＜0，解得－1＜x＜1.故函数的定义域为(－1,1)，关于原点对称．因为f(－x)＝lg ＝－lg ＝－f(x)，可得f(x)是奇函数．
(2)证明：∵f(x)＋f(y)＝lg ＋lg ＝lg ，
f＝lg ＝lg ＝lg ，
∴f(x)＋f(y)＝f成立．
(3)若f＝1，f＝2，则由(2)可得f(a)＋f(b)＝1，f(a)－f(b)＝2，解得f(a)＝，f(b)＝－.
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