第一章 整式的乘除（巩固复习.培优卷.含解析）-2024-2025学年北师大版（2024）数学七年级下册

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第一章 整式的乘除
一．选择题（共10小题）
1．下列运算中，正确的是（　　）
A．4a3﹣a2＝3a B．（a+b）2＝a2+b2
C．a3÷a2＝1 D．（ab2）2＝a2b4
2．下列计算正确的是（　　）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．2m2 3m2＝6m4
C．（﹣x3）4＝﹣x12 D．（a+m）（b+n）＝ab+mn
3．如图分割的正方形，拼接成长方形方案中，可以验证（　　）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
4．下列运算正确的是（　　）
A．（x3）2＝x5 B．x2+x3＝x5
C．（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3 D．（a﹣b）（﹣a+b）＝a2﹣b2
5．下列运算中，正确的是（　　）
A．（﹣2x2） （﹣3x）＝﹣6x3 B．x6÷x2＝x4
C．（﹣2x2）3＝8x6 D．（x﹣y）2＝x2+y2
6．20a7b6c÷（﹣4a3 b2）÷（ab）的值（　　）
A．﹣5a5b2 B．﹣5a5b5 C．5a5b2 D．﹣5a3b3c
7．若2x＝5，8y＝7，则2x﹣3y的值为（　　）
A． B． C．35 D．﹣2
8．经测算，一个水分子的直径约为0.4纳米，1纳米＝0.000000001米，数据0.4纳米用科学记数法表示为（　　）
A．4×10﹣11米 B．4×10﹣10米
C．4×10﹣9米 D．0.4×10﹣9米
9．下列计算正确的是（　　）
A．（a2）3＝a6 B．a2a3＝a6 C．a2﹣a＝a D．a8÷a4＝a2
10．如果计算（2﹣nx+3x2+mx3）（﹣4x2）的结果不含x5项，那么m的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．
二．填空题（共6小题）
11．若x2﹣kxy+9y2是一个完全平方式，则k的值为 　 　．
12．若5x﹣3y﹣2＝0，则25x÷23y＝　 　．
13．计算（x+y）（x﹣4y）＝　 　．
14．已知am an＝a5，（an）m＝a3，则（m﹣n）2＝　 　．
15．清代 袁枚的一首诗《苔》中的诗句“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为 　 　．
16．若m+n＝5，mn＝6，则m2﹣mn+n2的值是 　 　．
三．解答题（共9小题）
17．计算：
①（）2﹣23×4﹣1+（π﹣3.14）0；
②﹣32﹣（﹣2﹣5）2﹣||×（﹣2）；
③（x+3z+2y）（x﹣3z+2y）；
④．
18．已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy与x2+y2的值．
19．计算题：
（1）a a5÷a3；
（2）（2x+3）（x﹣2）；
（3）3xy （﹣2x3y）2÷（﹣6x5y3）；
（4）（2x﹣y）2+x（4y﹣3）．
20．剪切拼凑是一种技巧，数形结合是一种思想，二者完美结合可以碰撞出美丽的火花．图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）观察图2中阴影部分面积，直接写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系；
（2）根据（1）中的等量关系，已知a+b＝4，ab＝3，求（a﹣b）2的值．
21．先化简，再求值：，其中x、y满足．
22．已知A＝3x2﹣3mx+2y，B＝2nx2﹣3x+3y是关于x，y的多项式，其中m，n为常数．
（1）若A+B的值与x的取值无关，求m，n的值．
（2）在（1）的条件下，先化简，再求值．
23．“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是一个长为4n，宽为m的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形．
（1）【知识生成】
请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）：
方法一：　 　；
方法二：　 　；
（2）【得出结论】
根据（1）中的结论，请你写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系为 　 　；
（3）【知识迁移】
根据（2）中的等量关系，解决如下问题：
已知实数a，b满足：a+b＝8，ab＝7，求a﹣b的值．
24．一般地，n个相同因数a相乘，即，记作an，这种运算叫做乘方，由乘方的意义，我们可以得到：（102）3＝102×102×102＝10×10×10×10×10×10＝106，自己换几个数试试，例如：．
（1）发现：（23）5＝　 　，（am）2＝　 　；
（2）归纳概括：（am）n＝　 　（m，n都是正整数）；
（3）利用（2）的公式，请计算：5（a4）3﹣15（a2）6．
第一章 整式的乘除
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】D
【分析】利用合并同类项的法则，完全平方公式，同底数幂的除法法则和幂的乘方与积的乘方法则对每个选项解析逐一判断即可．
【解答】解：∵4a3与a2不是同类项，不能合并，
∴A选项结论不正确，不符合题意；
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴B选项结论不正确，不符合题意；
∵a3÷a2＝a，
∴C选项结论不正确，不符合题意；
∵（ab2）2＝a2b4，
∴D选项结论正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了合并同类项的法则，完全平方公式，同底数幂的除法法则和幂的乘方与积的乘方法则，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
2．【答案】B
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式以及多项式乘多项式的法则逐项进行计算即可．
【解答】解：A．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故A不符合题意；
B．2m2 3m2＝6m4，故B符合题意；
C．（﹣x3）4＝x12，故C不符合题意；
D．（a+m）（b+n）＝ab+an+bm+mn，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式以及多项式乘多项式，掌握同底数幂的乘法的计算方法，幂的乘方与积的乘方的运算性质，完全平方公式以及多项式乘多项式的运算法则是解答的关键．
3．【答案】D
【分析】图1的面积可表示为（a+b）（a﹣b），图2阴影部分面积可表示为a2﹣b2，即可求解．
【解答】解：图1的面积可表示为（a+b）（a﹣b），
图2阴影部分面积可表示为a2﹣b2，
∴可以验证（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故选：D．
【点评】本题考查了图形面积的求法，平方差公公式的几何背景，解题关键是数形结合的解题思想．
4．【答案】C
【分析】利用平方差公式，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则判断即可．
【解答】解：A、原式＝x6，不符合题意；
B、原式不能合并，不符合题意；
C、原式＝﹣8a6b3，符合题意；
D、原式＝﹣a2+2ab﹣b2，不符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了平方差公式，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
5．【答案】B
【分析】利用单项式乘单项式法则、同底数幂的除法法则、积的乘方法则、完全平方公式等知识点逐个计算得结论．
【解答】解：A．（﹣2x2） （﹣3x）＝6x3≠﹣6x3，故选项A运算不正确；
B．x6÷x2＝x4，故选项B运算正确；
C．（﹣2x2）3＝﹣8x6≠8x6，故选项C运算不正确；
D．（x﹣y）2＝x2+2xy+y2≠x2+y2，故选项D运算不正确．
故选：B．
【点评】本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则、完全平方公式是解决本题的关键．
6．【答案】D
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：20a7b6c÷（﹣4a3 b2）÷（ab）
＝﹣5a4b4c÷ab
＝﹣5a3b3c．
故选：D．
【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7．【答案】B
【分析】由题意易得23y＝7，然后根据同底数幂除法的逆用可进行求解．
【解答】解：∵2x＝5，8y＝23y＝7，
∴．
故选：B．
【点评】本题主要考查同底数幂除法，熟练掌握同底数幂除法的逆用是解题的关键．
8．【答案】B
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：∵1纳米＝0.000000001米＝1×10﹣9米，
∴0.4纳米＝0.4×10﹣9米＝4×10﹣10米，
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
9．【答案】A
【分析】分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：A．（a2）3＝a6，计算正确；
B．a2a3＝a5，故原计算错误；
C．a2与﹣a不是同类项，不能合并，故原计算错误；
D．a8÷a4＝a4，故原计算错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
10．【答案】A
【分析】先计算单项式乘以多项式，再结合x5项的系数为零即可得出答案．
【解答】解：∵（2﹣nx+3x2+mx3）（﹣4x2）
＝﹣8x2+4nx3﹣12x4﹣4mx5，
又∵计算的结果不含x5项，
∴﹣4m＝0．
∴m＝0．
故选：A．
【点评】本题主要考查了整式的乘法运算，熟练掌握单项式乘以多项式的法则是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】±6．
【分析】根据完全平方公式可知，这个完全平方公式的首位和末位分别是x和3y的平方，中间项是加上或减去x和3y的乘积的2倍，从而求出答案即可．
【解答】解：∵x2﹣kxy+9y2是一个完全平方式，
∴﹣kxy＝±2x 3y＝±6xy，
∴k＝±6，
故答案为：±6．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，解题关键是根据两个平方项确定这两个数．
12．【答案】见试题解答内容
【分析】根据同底数幂的运算法则即可求出答案．
【解答】解：∵5x﹣3y＝2，
∴原式＝25x﹣3y
＝22
＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查同底数幂的运算，解题的关键是熟练运用同底数幂的运算法则，本题属于基础题型．
13．【答案】x2﹣3xy﹣4y2．
【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则准确计算即可．
【解答】解：（x+y）（x﹣4y）＝x2﹣4xy+xy﹣4y2＝x2﹣3xy﹣4y2，
故答案为：x2﹣3xy﹣4y2．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
14．【答案】13．
【分析】先利用同底数幂的乘法，幂的乘方法则进行计算，从而可得m+n＝5，mn＝3，然后根据（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，进行计算即可解答．
【解答】解：∵am an＝a5，（an）m＝a3，
∴am+n＝a5，anm＝a3，
∴m+n＝5，mn＝3，
∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn
＝52﹣4×3
＝25﹣12
＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15．【答案】8.4×10﹣6．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.0000084＝8.4×10﹣6．
故答案为：8.4×10﹣6．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
16．【答案】7．
【分析】将代数式m2﹣mn+n2变形为（m+n）2﹣3mn代入数值计算即可．
【解答】解：∵m+n＝5，mn＝6，
∴m2﹣mn+n2
＝m2+2mn+n2﹣3mn
＝（m+n）2﹣3mn
＝25﹣3×6
＝25﹣18
＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握公式是关键．
三．解答题（共9小题）
17．【答案】①；
②﹣56；
③x2+4xy+4y2﹣9z2；
④x＝﹣1．
【分析】①根据有理数混合运算的法则计算即可；
②根据有理数混合运算的法则计算即可；
③根据平方差公式计算即可；
④根据一元一次方程的解法解方程即可．
【解答】解：①（）2﹣23×4﹣1+（π﹣3.14）0
81
2+1
；
②
＝﹣9﹣492
＝﹣58+2
＝﹣56；
③（x+3z+2y）（x﹣3z+2y）
＝[（x+2y）+3z][（x+2y）﹣3z
＝（x+2y）2﹣9z2
＝x2+4xy+4y2﹣9z2；
④
3（3x﹣1）﹣12＝2（5x﹣7），
9x﹣3﹣12＝10x﹣14，
9x﹣10x＝1，
∴x＝﹣1．
【点评】本题考查了平方差公式，有理数的混合运算，一元一次方程的解法，熟练掌握有理数混合运算的法则和一元一次方程的解法是解题的关键．
18．【答案】见试题解答内容
【分析】根据完全平方公式间的关系，可得答案．
【解答】解：∵（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，
∴xy[（x+y）2﹣（x﹣y）2][25﹣9]＝4；
x2+y2[（x+y）2+（x﹣y）2][25+9]＝17．
【点评】本题考查了完全平方公式，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
19．【答案】（1）a3；
（2）2x2﹣x﹣6；
（3）﹣2x2；
（4）4x2+y2﹣3x．
【分析】（1）按照从左到右的顺序进行计算，即可解答；
（2）利用多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答；
（3）先算乘方，再算乘除，即可解答；
（4）利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）a a5÷a3
＝a6÷a3
＝a3；
（2）（2x+3）（x﹣2）
＝2x2﹣4x+3x﹣6，
＝2x2﹣x﹣6；
（3）3xy （﹣2x3y）2÷（﹣6x5y3）
＝3xy 4x6y2÷（﹣6x5y3）
＝12x7y3÷（﹣6x5y3）
＝﹣2x2；
（4）（2x﹣y）2+x（4y﹣3）
＝4x2﹣4xy+y2+4xy﹣3x
＝4x2+y2﹣3x．
【点评】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）通过分别运用整体求解和部分求和差的方式表示图2阴影部分的面积进行求解；
（2）运用第（1）题结果进行求解．
【解答】解：（1）∵图2中阴影部分的面积为：
（a+b）2﹣4ab或（a﹣b）2，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（2）由（1）题得（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
∴当a+b＝4，ab＝3时，
（a﹣b）2＝42﹣4×3＝4．
【点评】此题考查了完全平方公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确理解并运用完全平方公式和数形结合思想进行求解．
21．【答案】3xy2﹣xy，原式＝2．
【分析】先去小括号，再去中括号，然后合并同类项，最后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：
＝3x2y﹣（2xy2﹣2xy+3x2y+3xy）+5xy2
＝3x2y﹣2xy2+2xy﹣3x2y﹣3xy+5xy2
＝3xy2﹣xy，
∵（x﹣3）2+|y|＝0，
∴x﹣3＝0，y0，
∴x＝3，y，
当x＝3，y时，原式＝3×3×（）2﹣3×（）
＝3×31
＝1+1
＝2．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，绝对值和偶次方的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22．【答案】（1）n，m＝﹣1；
（2）6m2n﹣5n，原式．
【分析】（1）先合并同类项，然后根据已知易得：3+2n＝0，﹣3m﹣3＝0，从而进行计算即可解答；
（2）先去括号，再合并同类项，然后把m，n的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）∵A＝3x2﹣3mx+2y，B＝2nx2﹣3x+3y，
∴A+B
＝3x2﹣3mx+2y+2nx2﹣3x+3y
＝（3+2n）x2+（﹣3m﹣3）+5y，
∵A+B的值与x的取值无关，
∴3+2n＝0，﹣3m﹣3＝0，
解得：n，m＝﹣1；
（2）
＝m2n﹣m2n﹣8n+6m2n+3n
＝6m2n﹣5n，
当n，m＝﹣1时，原式＝6×（﹣1）2×（）﹣5×（）＝6×1×（）﹣5×（）＝﹣9．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
23．【答案】（1）方法一：（m+n）2﹣4mn；方法二：（m﹣n）2；（2）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；（3）﹣6或6．
【分析】（1）观察图形很容易得出运用大正方形的面积减去四个矩形的面积，即（m+n）2﹣4mn，图②中的阴影部分的正方形的边长等于m﹣n，即面积为（m﹣n）2；
（2）根据（1）中表示的面积是同一个图形的面积，两个式子相等，即可列出等量关系；
（3）由（2）中的等量关系即可求解．
【解答】解：（1）方法一：（m+n）2﹣4mn；
方法二：（m﹣n）2，
故答案为：（m+n）2﹣4mn；（m﹣n）2
（2）代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系为：
（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；
故答案为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2
（3）由（2）可得（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝82﹣4×7＝36．
∴a﹣b＝6或a﹣b＝﹣6．
【点评】本题考查了完全平方公式的实际应用，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起，要学会观察．
24．【答案】（1）215，a2m；
（2）amn；
（3）﹣10a12．
【分析】（1）根据题意得出（23）5＝23×23×23×23×23，（am）2＝am×am，结合同底数幂的乘法法则即可解答；
（2）根据题意得出（am）n，结合同底数幂的乘法法则即可解答；
（3）根据（2）中的结论，进行计算即可．
【解答】解：（1）（23）5＝23×23×23×23×23＝215；
（am）2＝am×am＝a2m，
故答案为：215，a2m；
（2）（am）namn，
故答案为：amn；
（3）5（a4）3﹣15（a2）6
＝5a12﹣15a12
＝﹣10a12．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键．
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