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分课时学案
课题 2.2平方根与立方根第2课时 单元 第二单元 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.理解最简二次根式的定义，能准确将二次根式化简为最简形式（如），掌握二次根式加减运算的步骤。 2.经历 “观察例题—归纳步骤—自主化简” 的探究过程，发展类比迁移能力与运算策略选择能力。 3.通过化简运算的规范性要求，培养严谨的数学思维，感受二次根式运算的简洁美。
重点 1.最简二次根式的化简方法（含分母有理化、分解开得尽方的因数）。 2.二次根式加减运算的步骤（先化简为最简二次根式，再合并同类项）。
难点 二次根式化简中因数分解的彻底性判断，以及分母有理化时有理化因式的选择。
教学过程
导入新课 复习回顾： 1、二次根式的概念是什么？ 2、二次根式的乘除法法则是什么？
新知讲解 探究活动一： 思考：将，等号的左边与右边交换，就得到了什么？这个等式成立吗？ 总结归纳：二次根式的性质： 我们可以利用二次根式的性质进行二次根式的化简. 探究活动二： 例题精讲 例3化简： (1)； (2)； (3). 交流：观察化简结果5，，这些数有什么特点呢 小结：最简二次根式定义： 化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式. 探究活动三： 例题精讲： 例4：化简： (1)； (2)； (3). 思考：是哪个数的算术平方根？ 探究活动四 思考交流： (1)你是怎么发现含有开得尽方的因数的？你是怎么判断是最简二次根式的？ (2)将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会？与同伴进行交流。 总结归纳：最简二次根式的条件： 二次根式也可以进行加减运算，这时，以前学习的实数的运算法则、运算律仍然适用。当然，如果运算结果中出现某些项，它们各自化简后的被开方数相同，那么应当将这些项合并。 例5 计算： (1)+；(2)；(3).
课堂练习 巩固训练 1.下列式子中，是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 2.下列各式中，计算正确的是( ) A. B. C. D. 3.估计的值应在( ) A.和之间 B.和之间 C.和之间 D.和之间 4.计算的结果是______. 5.计算： (1)； (2).
作业布置 基础达标： 1.下列二次根式是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 2.下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 3.若式子是最简二次根式，则x的值可能为( ) A.0 B. C.2 D.4 4.计算 的结果是( ) A. B. C. D. 5.化简： ＝ . 能力提升： 6.化简： . 7.计算： . 8.计算： (1)； (2)； (3)。 9.化简： (1) (2) 拓展迁移： 10.阅读下面的文字，解答问题. 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完全地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分.请解答下列问题： (1)求出的整数部分和小数部分； (2)已知：，其中是整数，且，请你求出的相反数. 11.已知，，都是实数，若，则称与是关于的“平衡数”. (1)与 是关于的“平衡数”，与 是关于的“平衡数”； (2)若，判断与是否是关于的“平衡数”，并说明理由.
参考答案：
例题精讲：
例3：
解：(1).
(2).
(3).
例4：
解：(1).
(2).
(3.
例5：
解：(1).
(2).
(3).
巩固练习：
1. B；2. D
3. C
解析：
，
，
∵，
∴，
∴，
即的值在和之间
故选：.
4.答案：1
解析：原式.
5.答案：(1)
(2)
解析：(1)；
(2)
.
作业设计：
1. A；2. D；3. C；4. C；
5.【解答】
6.【答案】
【解答】解： ，
∵ ，
∴ ；
故答案为 .
7.【答案】1
【解析】【解答】解：根据二次根式有意义的条件可知：，
∴，
把代入得：
原式.
故答案为：1.
8.【答案】(1)解：.
(2)解：
(3)解：
9.【答案】(1)解：
；
(2)解：
.
10. 【解析】【解答】解：(1)，
，
的整数部分是，
√3 +2的小数部分是√3﹣1；
(2)，
，
的整数部分是，的小数部分是，
即，
，
则x﹣y的相反数是﹣14.
11.解：(1) ，， 所以与-2是关于的“平衡数”，与 是关于的“平衡数.
故答案为：；.
(2)，
整理得：，
解得：，
则，不是关于的“平衡数”
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2.3二次根式第2课时教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 二单元
课题 2.3二次根式第2课时 课时 1
课标要求 依据 2022 新课标，本节课需引导学生理解最简二次根式的概念，掌握二次根式化简的方法，能准确进行二次根式的加减运算。注重发展运算能力与逻辑推理素养，经历 “化简—运算—应用” 的探究过程，体会转化思想在数学中的应用，同时能运用二次根式运算解决简单实际问题，增强数学应用意识与严谨的运算习惯。
教材分析 本节是二次根式的化简与运算专题，教材通过例 3、例 4 引入最简二次根式的概念，强调 “被开方数不含分母及开得尽方的因数” 的化简标准，再以例 5 示范二次根式加减运算的步骤（先化简再合并）。内容衔接前一课时的乘除法则，为后续实数综合运算及几何问题（如勾股定理应用）奠定基础，体现 “概念—方法—应用” 的教学逻辑。
学情分析 学生已掌握二次根式的乘除运算，但在化简中易出现三类问题：①分解因数不彻底；②分母有理化方法错误；③加减运算时未先化简。对 “同类二次根式” 的识别存在困难，需通过对比练习强化认知。
教学目标 1.理解最简二次根式的定义，能准确将二次根式化简为最简形式，掌握二次根式加减运算的步骤。 2.经历 “观察例题—归纳步骤—自主化简” 的探究过程，发展类比迁移能力与运算策略选择能力。 3.通过化简运算的规范性要求，培养严谨的数学思维，感受二次根式运算的简洁美。
教学重点 1.最简二次根式的化简方法（含分母有理化、分解开得尽方的因数）。 2.二次根式加减运算的步骤（先化简为最简二次根式，再合并同类项）。
教学难点 二次根式化简中因数分解的彻底性判断，以及分母有理化时有理化因式的选择。
教法与学法分析 教法：采用 “范例 — 归纳” 教学法，通过例 3— 例 5 的分步演示，引导学生总结化简 “三步骤”（分解因数、去分母根号、合并同类项），借助投影仪对比学生化简过程中的典型错误。 学法：自主完成 “化简步骤流程图”，小组合作辨析与的化简差异，强化 “先分解后化简” 的思维模式。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 复习回顾： 1.二次根式的概念是什么？ 一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数； 2.二次根式的乘除法法则是什么？ 二次根式乘除法则： ；. 复习回顾，引发学生的学习兴趣 思考问题 复习导入，激发学生的学习兴趣.
探究活动一： 思考：将，等号的左边与右边交换，就得到了什么？这个等式成立吗？ 得到：，. 根据等式的性质可知成立。 总结归纳：二次根式的性质： ， . 我们可以利用二次根式的性质进行二次根式的化简. 引导学生用二次根式的乘除法则得出二次根式的性质 思考问题，利用等式的性质得出二次根式的性质 引领学生自主探索二次根式的性质，从特殊数入手，希望学生获得一定的感性经验，再进一步强化这样的经验和猜测，最后经由学生交流，总结、归纳出二次根式的性质.
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二： 例题精讲 例3化简： (1)； (2)； (3). 解：(1). (2). (3). 交流：观察化简结果5，，这些数有什么特点呢 解：被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数或因式. 小结：最简二次根式定义：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式. 化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式. 引导学生用利用二次根式的性质进行计算和化简，归纳总结最简二次根式. 自主探究，通过计算归纳总结最简二次根式的定义. 通过例题，学生进一步理解二次根式的概念、性质和熟练掌握将二次根式化为最简二次根式.
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三： 例题精讲： 例4：化简： (1)； (2)； (3). 解：(1). (2). (3. 思考：是哪个数的算术平方根？ 50 探究活动四 思考交流： (1)你是怎么发现含有开得尽方的因数的？你是怎么判断是最简二次根式的？ 因为，25是平方数； 被开方数不含能开得尽方的因数或因式，被开方数不含分母，即被开方数必须是整数(式)； (2)将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会？与同伴进行交流。 如被开方数中含有能开方的因数或因式，利用平方根的性质进行开方；如分母中含有二次根式，利用分数的性质消除分母中的根号. 总结归纳：最简二次根式的条件： ①是二次根式； ②被开方数不含分母，即被开方数必须是整数(式)； ③被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 二次根式也可以进行加减运算，这时，以前学习的实数的运算法则、运算律仍然适用。当然，如果运算结果中出现某些项，它们各自化简后的被开方数相同，那么应当将这些项合并。 例5 计算： (1)+；(2)；(3). 解：(1). (2). (3). 【总结归纳】 在进行二次根式的混合运算时，应注意以下几点： (1)二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先算乘方，后算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的. (2)二次根式的混合运算的结果应写成最简形式，这个形式应该是最简二次根式，或几个非同类二次根式的和或差，或有理式. (3)在运算过程中，每个二次根式都可以看做一个“单项式”，多个不同的二次根式可以看做“多项式”，因此有理数中的运算律(交换律、结合律、分配律等)和乘法公式(平方差公式、完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用. 引导学生利用二次根式的性质进行计算，进一步理解最简二次根式，从探究二次根式混合运算的顺序和方法. 积极思考，探究归纳最简二次根式的条件，类比有理数的混合运算得出二次根式混合运算的步骤. 通过例题进一步理解二次根式的性质，掌握化简为最简二次式的方法，在此基础上探究二次根式混合运算步骤.
环节四：巩固内化，拓展延伸 巩固训练 1.下列式子中，是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 2.下列各式中，计算正确的是( ) A. B. C. D. 3.估计的值应在( ) A.和之间 B.和之间 C.和之间 D.和之间 4.计算的结果是______. 5.计算： (1)； (2). 1. B；2. D 3. C 解析：，， ∵， ∴， ∴， 即的值在和之间 故选：. 4.答案：1 解析：原式. 5.答案：(1) (2) 解析：(1)； (2) . 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 1.知识：二次根式的性质：，. 最简二次根式定义：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式. 二次根式的混合运算顺序：有理数中的运算顺序一样，先算乘方，后算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，运算结果要化成最简二次根式或整式. 2.方法：类比探究法，小组合作法，计算归纳法 3.思想：类比思想，从特殊到一般思想，转化思想 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 2.3二次根式第2课时 二次根式的性质：，. 最简二次根式定义：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式. 二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先算乘方，后算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，运算结果要化成最简二次根式或整式. 例3： 例4： 例5： 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标： 1.下列二次根式是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 2.下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 3.若式子是最简二次根式，则x的值可能为( ) A.0 B. C.2 D.4 4.计算 的结果是( ) A. B. C. D. 5.化简： ＝ . 能力提升： 6.化简： . 7.计算： . 8.计算： (1)； (2)； (3)。 9.化简： (1) (2) 拓展迁移： 10.阅读下面的文字，解答问题. 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完全地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分.请解答下列问题： (1)求出的整数部分和小数部分； (2)已知：，其中是整数，且，请你求出的相反数. 11.已知，，都是实数，若，则称与是关于的“平衡数”. (1)与 是关于的“平衡数”，与 是关于的“平衡数”； (2)若，判断与是否是关于的“平衡数”，并说明理由. 1. A；2. D；3. C；4. C； 5.【解答】 6.【答案】 【解答】解： ， ∵ ， ∴ ； 故答案为 . 7.【答案】1 【解析】【解答】解：根据二次根式有意义的条件可知：， ∴， 把代入得： 原式. 故答案为：1. 8.【答案】(1)解：. (2)解： (3)解： 9.【答案】(1)解： ； (2)解： . 10.【解答】解：(1)， ， 的整数部分是， 的小数部分是； (2)， ， 的整数部分是，的小数部分是， 即， ， 则的相反数是. 11.解：(1) ，， 所以与是关于的“平衡数”，与 是关于的“平衡数.
故答案为：；. (2)， 整理得：， 解得：， 则，不是关于的“平衡数”
教学反思 教学中发现学生在化简时，易忽略小数化分数的步骤；处理时，部分学生未掌握 “分子分母同乘根号” 的技巧。此外，加减运算中常出现 “” 的错误，反映出对同类二次根式概念的理解不足。后续需增加 “非整数被开方数” 的化简训练，设计 “错题诊疗” 活动（如展示错误化简过程让学生纠错），并通过 “化简—加减” 综合题提升运算连贯性。
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第二章 实数
2.3二次根式第2课时
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
巩固训练
05
课堂小结
06
作业设计
01
教学目标
理解最简二次根式的定义，能准确将二次根式化简为最简形式，掌握二次根式加减运算的步骤。
01
经历 “观察例题—归纳步骤—自主化简” 的探究过程，发展类比迁移能力与运算策略选择能力。
02
通过化简运算的规范性要求，培养严谨的数学思维，感受二次根式运算的简洁美。
03
02
新知导入
复习回顾：
1.二次根式的概念是什么？
2.二次根式的乘除法法则是什么？
二次根式乘除法则: ;.
一般地,形如的式子叫做二次根式,叫做被开方数；
03
新知探究
思考:将,等号的左边与右边交换，就得到了什么？这个等式成立吗？
得到:,.
根据等式的性质可知成立。
03
新知探究
我们可以利用二次根式的性质进行二次根式的化简.
二次根式的性质:
,
.
概括
04
例题讲解
化简:(1); (2); (3).
例3
分析
根据二次根式的性质：,,将式子进行化简即可.
04
例题讲解
解析
解:(1).
(2).
(3).
交流:观察化简结果5,,这些数有什么特点呢
解:被开方数中都不含分母,也不含能开得尽的因数或因式.
04
新知讲解
最简二次根式定义:一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.
化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次根式是最简二次根式.
归纳总结
04
例题讲解
化简(1); (2); (3).
例4
分析
根据二次根式的性质，对各式进行变形，化简，结果要化为最简二次根式或者整式.
04
例题讲解
解析
解:(1).
(2).
(3.
思考:是哪个数的算术平方根？
因为,故是的算术平方根.
03
新知探究
因为,25是平方数；
被开方数不含能开得尽方的因数或因式，被开方数不含分母，即被开方数必须是整数(式)；
(1)你是怎么发现含有开得尽方的因数的？你是怎么判断是最简二次根式的？
03
新知探究
如被开方数中含有能开方的因数或因式，利用平方根的性质进行开方；
如分母中含有二次根式，利用分数的性质消除分母中的根号.
(2)将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会？与同伴进行交流。
03
新知探究
最简二次根式的条件:
①是二次根式；
②被开方数不含分母，即被开方数必须是整数(式)；
③被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
概括
二次根式也可以进行加减运算，这时，以前学习的实数的运算法则、运算律仍然适用。当然，如果运算结果中出现某些项，它们各自化简后的被开方数相同，那么应当将这些项合并。
04
例题讲解
计算:(1)+; (2); (3).
例5
分析
先将二次根式进行化简成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并，运算顺序和有理数的运算顺序相同，在运算时合理运用运算律和乘法公式.
04
例题讲解
解析
解:(1).
(2).
(3).
03
新知探究
在进行二次根式的混合运算时,应注意以下几点:
(1)二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样,先算乘方,后算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的.
(2)二次根式的混合运算的结果应写成最简形式,这个形式应该是最简二次根式,或几个非同类二次根式的和或差,或有理式.
(3)在运算过程中,每个二次根式都可以看做一个“单项式”,多个不同的二次根式可以看做“多项式”,因此有理数中的运算律(交换律、结合律、分配律等)和乘法公式(平方差公式、完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用.
概括
05
巩固训练
1.下列式子中，是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
B
2.下列各式中,计算正确的是( )
A. B.
C. D.
D
解析:，
∵，
∴，
∴，即的值在和之间
3.估计的值应在( )
A.和之间 B.和之间 C.和之间 D.和之间
05
课堂练习
C
4.计算的结果是______.
05
课堂练习
C
解析:原式.
5.计算:(1)；(2).
解析:(1)；
(2)
.
05
课堂小结
通过本节课的学习你收获了什么？
二次根式的性质:.
最简二次根式定义:一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.
二次根式的混合运算顺序:有理数中的运算顺序一样,先算乘方,后算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的，运算结果要化成最简二次根式或整式.
1.下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
06
作业设计
基础达标：
A
2.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
D
3.若式子是最简二次根式，则的值可能为( )
A.0 B. C.2 D.4
06
作业设计
C
基础达标：
4.计算 的结果是( )
A. B. C. D.
C
5.化简: ＝ .
6.化简: .
06
作业设计
能力提升：
7.计算: .
8.计算:(1)；(2)；(3)
(1)解:.
(2)解:
06
作业设计
能力提升：
8.计算:(1)；(2)；(3)
(3)解:
06
作业设计
能力提升：
9.化简:
(1)
(2)
(1)解:
；
(2)解:
.
06
作业设计
迁移拓展：
10.阅读下面的文字，解答问题.
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完全地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分.请解答下列问题:
(1)求出的整数部分和小数部分；
(2)已知:，其中是整数，且，请你求出的相反数.
06
作业设计
解:(1)，
，
的整数部分是，
的小数部分是；
(2)，
，
的整数部分是，的小数部分是，
即，
，
则的相反数是.
06
作业设计
迁移拓展：
11.已知，，都是实数，若，则称与是关于的“平衡数”.
(1)与 是关于的“平衡数”，与 是关于的“平衡数”；
(2)若，判断与是否是关于的“平衡数”，并说明理由.
解:(1) ，，
所以与是关于的“平衡数”，
与 是关于的“平衡数.
故答案为:；.
06
作业设计
迁移拓展：
(2)解，
整理得:，
解得:，
则，不是关于的“平衡数”
Thanks!
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