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2.3二次根式第3课时教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 二单元
课题 2.3二次根式第3课时 课时 1
课标要求 2022 新课标要求学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质与运算法则。在本节课中，需让学生进一步熟练二次根式的化简与四则运算，学会根号内含有字母的二次根式化简方法。注重培养学生运算能力和逻辑推理能力，使其能运用二次根式运算解决简单数学及实际问题，体会数学与生活的紧密联系。
教材分析 本节是北师大版 2024 八上第二章第三节第 3 课时内容。教材在学生已掌握实数运算、最简二次根式及二次根式化简基础上，继续深化二次根式运算学习。通过对根号内含字母二次根式化简及混合运算的探究，完善学生对实数运算体系的认知，为后续学习方程、函数等知识奠定坚实基础，在知识衔接上起着承上启下的关键作用。
学情分析 学生此前已接触实数运算与简单二次根式化简，具备一定运算基础，但运算熟练度欠佳。对于根号内含字母的二次根式化简，因抽象程度提升，学生理解与运用存在困难。同时，在运算过程中，学生易忽略运算顺序与法则，需教师加强引导与练习，助力学生突破难点，提升运算能力与思维严谨性。
教学目标 1.学生能深入理解二次根式概念，熟练且准确地进行二次根式的化简与四则运算。 2.清晰掌握根号内含有字母的二次根式化简方法，并能正确运用。 3.借助二次根式运算，有效解决简单数学问题，能独立思考，合理选择运算方法。 4.运用实数运算解决简单实际问题，增强应用意识，提升解决问题能力，感悟数学实用价值。
教学重点 1.熟练运用公式与法则，进行二次根式的混合运算。 2.掌握根号内含有字母的二次根式的化简技巧。
教学难点 灵活运用二次根式运算知识，解决综合性较强的数学问题与实际应用问题。
教法与学法分析 教法上采用讲授法、讨论法与练习法相结合。讲授法清晰呈现知识要点；讨论法激发学生思维，促进交流；练习法强化学生对知识的掌握。学法上，引导学生自主探究、合作交流，通过练习巩固知识，总结方法，提升运算能力与逻辑思维能力。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 复习回顾： 1.二次根式的性质是什么？ ；； 2.最简二次根式的概念是什么？ 一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式. 化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式. 3.二次根式的运算顺序是什么？ 二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先算乘方，后算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，结果应写成最简二次根式和或差，或有理式. 通过复习回顾，引发学生的学习兴趣 积极思考问题 复习旧知，引导学生进一步探究二次根式的混合运算.
探究活动一： (1)请你计算：，. (2)小明是这样算的： . 分子、分母同乘的目的是什么？ 利用平方根的性质，消除分母的根号. (3)计算，你有哪些方法？ 先化简成最简二次根式，后合并被开方数相同的二次根式. 解：. 设计二次根式的计算题目，引发学生思考 思考问题，进一步巩固二次根式的运算方法. 在上节课二次根式的运算基础，进一步探究二次根式混合运算的方法与技巧。
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二： 例题精讲 例6：计算 (1)； (2)； (3)； (4)； 【解】(1)； (2)； (3) ； (4) 思考：对于第(3)题，你还有哪些做法？试一试，看看结果是否一致。 还可以将除法转化为乘法： ； 注意:在上面第(4)题中，很容易看出，化成最简二次根式后与，化简后的被开方数不可能相同，因此结果中可以保留，不必将它化成最简二次根式。 总结归纳： 在运算过程中，每个二次根式都可以看做一个“单项式”，多个不同的二次根式可以看做“多项式”，因此有理数中的运算律(交换律、结合律、分配律等)和乘法公式(平方差公式、完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用. 利用例题引导学生继续探究二次根式混合运算的方法 积极思考，先独立完成，再小组合作，归纳总结二次根式运算的方法和技巧. 通过例题，进一步巩固二次根式混合运算的方法，提升学生计算的熟练度和正确率.
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三： 尝试思考： 化简·，其中.你是怎么做的？与同伴交流. 解:由题知，· ， 当时， 原式=. 总结归纳：解二次根式化简求值问题时，直接代入求值往往很麻烦，应先化简已知条件，再用代入求值. 探究活动四： 思考交流： 如图2-8，方格纸中小方格的边长均为1。 (1)求梯形ABCD的周长。 (2)求梯形ABCD的面积。你有哪些求解方法？与同伴进行交流。 解:(1)由图像得： 勾股定理得:，，，则梯开的周长为. (2)①直接法. 如图，过点作边上的高，可发现边及都是某一个直角三角形的斜边.根据勾股定理可求得，梯形的面积是. ②间接法(割补法). 将梯形补成一个的长方形，用长方形的面积减去个小直角三角形的面积，得梯形的面积是. 回顾反思： 对比有理数和实数的学习过程，你对”数”的扩充有什么感悟？ 数的扩充体现了数学解决矛盾、完善自身的历程。有理数虽能表示分数与有限小数，但无法涵盖所有几何量(如实数)，因此需扩充到实数。这一过程说明：数系的每一次扩充都为了解决原有数系的局限性，同时推动数学理论的深化与应用范围的扩展。 引导学生类比有理数的化简求值和实际问题，解决二次根式的化简求值。 类比有理数的化简求值，进一步探究，小组合作。 进一步探究二次根式的化简求值和二次根式的实际应用，巩固所学知识。
环节四：巩固内化，拓展延伸 巩固训练 1.下列计算中，正确的是( ) A. B. C. D. 2.已知均为有理数，且，则的值为( ) A. B. C. D. 3.已知，，则代数式的值为( ) A.9 B. C.3 D.5 4.对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 . 5.计算： (1) (2) 1. D；2. B；3. A； 4.解：， ， 故答案为：. 5.(1)解： ； (2)解： . 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 1.知识：二次根式的混合运算：在运算过程中，每个二次根式都可以看做一个“单项式”，多个不同的二次根式可以看做“多项式”，因此有理数中的运算律(交换律、结合律、分配律等)和乘法公式(平方差公式、完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用. 二次根式的化简求值：解二次根式化简求值问题时，直接代入求值往往很麻烦，应先化简已知条件，再用代入求值. 2.方法：自主探究法，小组合作法，类比探究法 3.思想：类比思想，数形结合思想，转化思想 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 2.3二次根式第3课时 二次根式的混合运算： 二次根式的化简求值： 例6： 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标： 1.化简的结果是 ( ) C.4 2.已知 则a，b的关系正确的是 ( ) A. ab=1 B. a=b C. a+b=0 D. ab=-1 3.计算： 4.计算: 能力提升： 5.若 (1)求值； (2)求值. 6.如图，大长方形内有两个相邻的正方形:正方形 ABCD和正方形 EFGH，面积分别为1和2，那么图中阴影部分的面积为 ( ) 7.已知 则 的值为 . 8.若 则式子 的值为 . 9.已知长方形的周长为 一边长为( 求此长方形的另一边长和它的面积. 拓展迁移： 10.像，…这样两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，例如与，与、与等都是互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号.请完成下列问题： (1)计算: ①= ，②= ； (2)计算: . 11.已知，求 的值. (1)请用两种方法解决上题； (2)变式探究：①若，则代数式的值为 ； ②已知 ，求 的值. 1. A 2. A 3.原式 4.解: 5.解: 6. B 【点拨】因为两个正方形的面积分别为1和2，所以它们的边长分别为1， 由题图可知，大长方形的长为两个正方形的边长之和，即为 ，宽为正方形 EFGH的边长，即 所以阴影部分的面积为 7.24 8.2024 【点拨】因为 所以1=2 024. 9.【解】另一边长: 长方形的面积： 答：长方形的另一边长是面积是 9)cm . 10.解 (1) ， 11.解(1)方法一：因为 所以 方法二：因为 所以 所以 16-1=15. (2)①4【点拨】 . ②因为 所以 所以
教学反思 在教学过程中，部分学生对根号内含字母二次根式化简理解慢，后续需加强针对性辅导与练习。小组讨论环节，个别学生参与度低，应优化分组与引导。教学中可多引入生活实例，让学生更好感受数学应用。在今后教学中，要更关注个体差异，调整教学节奏，丰富教学手段，提升教学效果，助力学生更好掌握知识与方法。
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分课时学案
课题 2.3二次根式第3课时 单元 第二单元 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.学生能深入理解二次根式概念，熟练且准确地进行二次根式的化简与四则运算。 2.清晰掌握根号内含有字母的二次根式化简方法，并能正确运用。 3.借助二次根式运算，有效解决简单数学问题，能独立思考，合理选择运算方法。 4.运用实数运算解决简单实际问题，增强应用意识，提升解决问题能力，感悟数学实用价值。
重点 1.熟练运用公式与法则，进行二次根式的混合运算。 2.掌握根号内含有字母的二次根式的化简技巧。
难点 灵活运用二次根式运算知识，解决综合性较强的数学问题与实际应用问题。
教学过程
导入新课 复习回顾： 1.二次根式的性质是什么？ 2.最简二次根式的概念是什么？ 3.二次根式的运算顺序是什么？
新知讲解 探究活动一： 请你计算：，. (2)小明是这样算的： . 分子、分母同乘的目的是什么？ (3)计算，你有哪些方法？ 探究活动二： 例题精讲 例6：计算 (1)； (2)； (3)； (4)； 思考：对于第(3)题，你还有哪些做法？试一试，看看结果是否一致。 总结归纳： 探究活动三： 尝试思考： 化简·，其中.你是怎么做的？与同伴交流. 总结归纳： 探究活动四： 思考交流： 如图2-8，方格纸中小方格的边长均为1。 (1)求梯形ABCD的周长。 (2)求梯形ABCD的面积。你有哪些求解方法？与同伴进行交流。 回顾反思： 对比有理数和实数的学习过程，你对”数”的扩充有什么感悟？
课堂练习 巩固训练 1.下列计算中，正确的是( ) A. B. C. D. 2.已知均为有理数，且，则的值为( ) A. B. C. D. 3.已知，，则代数式的值为( ) A.9 B. C.3 D.5 4.对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 . 5.计算： (1) (2)
作业布置 基础达标： 1.化简的结果是 ( ) C.4 2. 已知 则a，b的关系正确的是 ( ) A. ab=1 B. a=b C. a+b=0 D. ab=-1 3.计算： 4.计算： 能力提升： 5.若 (1)求值； (2)求值. 6.如图，大长方形内有两个相邻的正方形：正方形 ABCD和正方形 EFGH，面积分别为1和2，那么图中阴影部分的面积为 ( ) 7.已知 则 的值为 . 8.若 则式子 的值为 . 9.已知长方形的周长为 一边长为( 求此长方形的另一边长和它的面积. 拓展迁移： 10. 像，…这样两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，例如与，与、与等都是互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号.请完成下列问题： (1)计算： ①= ，②= ； (2)计算： . 11.已知，求 的值. (1)请用两种方法解决上题； (2)变式探究：①若，则代数式的值为 ； ②已知 ，求 的值.
参考答案：
例题精讲：
例6：
【解】(1)；
(2)；
(3)
；
(4)
巩固训练：
1. D；2. B；3. A；
4. 解：，
，
故答案为：.
5.(1)解：
；
(2)解：
.
作业设计：
1.A 2.A
3.原式
4.【解】
5.【解】
6. B 【点拨】因为两个正方形的面积分别为1和2，所以它们的边长分别为1，
由题图可知，大长方形的长为两个正方形的边长之和，即为 ，宽为正方形 EFGH的边长，即 所以阴影部分的面积为
7.24
8.2024 【点拨】因为 所以1=2 024.
9.解：另一边长：(
长方形的面积：
答：长方形的另一边长是( 面积是 9)cm .
10.解：(1) ，
11.解(1)方法一：因为
所以
方法二：因为 所以
所以 16-1=15.
(2)①4【点拨】 .
②因为
所以
所以
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第二章 实数
2.3二次根式第3课时
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
巩固训练
05
课堂小结
06
作业设计
01
教学目标
学生能深入理解二次根式概念，熟练且准确地进行二次根式的化简与四则运算。
01
清晰掌握根号内含有字母的二次根式化简方法，并能正确运用。
02
借助二次根式运算，有效解决简单数学问题，能独立思考，合理选择运算方法。
03
运用实数运算解决简单实际问题，增强应用意识，提升解决问题能力，感悟数学实用价值。
04
02
新知导入
复习回顾：
1.二次根式的性质是什么？
2.最简二次根式的概念是什么？
一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.
化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次根式是最简二次根式.
;;
02
新知导入
3.二次根式的运算顺序是什么？
二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样,先算乘方,后算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的；
结果应写成最简二次根式和或差,或有理式.
03
新知探究
(1)请你计算：,.
(2)小明是这样算的：.
分子、分母同乘的目的是什么？
利用平方根的性质， ，可以消除分母的根号.
03
新知探究
(3)计算,你有哪些方法？
先化简成最简二次根式，后合并被开方数相同的二次根式.
解:.
03
新知探究
例6：计算
(1); (2);
(3)； (4)；
例
分析
根据二次根式运算方法，先将各式化简成最简二次根式，然后将被开方数相同的二次根式进行合并即可。
03
新知探究
解析
【解】(1)
；
(2)
;
;
；
解析
【解】 (3)
;
;
;
;
03
新知探究
解析
【解】 (4)
;
03
新知探究
03
新知探究
还可以将除法转化为乘法：
;
;
；
思考:对于第(3)题，你还有哪些做法？试一试，看看结果是否一致。
03
新知探究
注意:在上面第(4)题中，很容易看出，化成最简二次根式后与，化简后的被开方数不可能相同，因此结果中可以保留，不必将它化成最简二次根式。
在运算过程中,每个二次根式都可以看做一个“单项式”,多个不同的二次根式可以看做“多项式”,因此有理数中的运算律(交换律、结合律、分配律等)和乘法公式(平方差公式、完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用.
方法总结
03
新知探究
03
新知探究
化简·,其中.你是怎么做的？与同伴交流.
解:由题知，
·
,
当时，
原式=.
03
新知探究
解二次根式化简求值问题时，直接代入求值往往很麻烦，应先化简已知条件，再用代入求值.
概括
03
新知探究
解:(1)由图像得：
勾股定理得:,,,
则梯开的周长为.
如图2-8，方格纸中小方格的边长均为1。
(1)求梯形ABCD的周长。
(2)求梯形ABCD的面积。你有哪些求解方法？与同伴进行交流。
03
新知探究
(2)①直接法.
如图,过点作边上的高，
可发现边及都是某一个直角三角形的斜边.
根据勾股定理可求得，
梯形的面积是.
03
新知探究
(2) ②间接法(割补法).
如图,将梯形补成一个的长方形，
用长方形的面积减去个小直角三角形的面积，
得梯形的面积是.
03
新知探究
数的扩充体现了数学解决矛盾、完善自身的历程。有理数虽能表示分数与有限小数，但无法涵盖所有几何量(如实数)，因此需扩充到实数。
这一过程说明：数系的每一次扩充都为了解决原有数系的局限性，同时推动数学理论的深化与应用范围的扩展。
回顾反思：
对比有理数和实数的学习过程，你对”数”的扩充有什么感悟？
04
巩固训练
1.下列计算中，正确的是( )
A. B.
C. D.
D
2.已知均为有理数，且，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
B
3.已知，，则代数式的值为( )
A.9 B. C.3 D.5
A
4.对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 .
解：，
，
故答案为：.
04
巩固训练
5.计算：(1); (2)
解：(1)解：
；
(2)解：
.
04
巩固训练
05
课堂小结
通过本节课的学习你收获了什么？
二次根式的混合运算：在运算过程中,每个二次根式都可以看做一个“单项式”,多个不同的二次根式可以看做“多项式”,因此有理数中的运算律(交换律、结合律、分配律等)和乘法公式(平方差公式、完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用.
二次根式的化简求值：解二次根式化简求值问题时，直接代入求值往往很麻烦，应先化简已知条件，再用代入求值.
1.化简的结果是 ( )
C.4
06
作业设计
基础达标：
A
2.已知 则a，b的关系正确的是 ( )
A. B. C. D.
A
3.计算： .
06
作业设计
基础达标：
4.计算:
解:
原式
5.若
(1)求值;
(2)求值.
06
作业设计
能力提升：
解:
06
作业设计
能力提升：
6.如图，大长方形内有两个相邻的正方形:正方形 ABCD和正方形 EFGH,面积分别为1和2，那么图中阴影部分的面积为 ( )
B
7.已知 则 的值为 .
24
8.若 则式子 的值为 .
2024
06
作业设计
能力提升：
9.已知长方形的周长为 一边长为( 求此长方形的另一边长和它的面积.
【解】另一边长:
长方形的面积:
答:长方形的另一边长是面积是 9)cm .
06
作业设计
迁移拓展：
10.像，…这样两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，例如与，与、与等都是互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号.请完成下列问题：
(1)计算: ①= ,②= ;
(2)计算: .
06
作业设计
迁移拓展：
解 (1) ,
06
作业设计
迁移拓展：
11.已知,求 的值.
(1)请用两种方法解决上题；
(2)变式探究：①若,则代数式的值为 ；
②已知 ,求 的值.
06
作业设计
迁移拓展：
解(1)方法一：因为
所以
方法二：因为 所以
所以 .
06
作业设计
迁移拓展：
(2)①答案为:4
.
②因为
所以
所以
Thanks!
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