上海市进才中学2025届高三上期末考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 上海市进才中学2025届高三上期末考试数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 267.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-22 16:28:12 | ||
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文档简介
上海市进才中学2025届高三上期末考试数学试题
学校： 姓名： 班级： 考号：
一、填空题
1.通过三角不等式可知|x+3|+|x-4|≥7，则等号成立的条件为 .
2. “|x-1|+|y-2|≤1”是“x+2y-7≤0”的 条件.
3. 已知x>0, y>0,且对任意的x、y满足 ，则a的取值范围是 .
4. 已知等差数列{an}的公差为3, 则a 、a 、a 、……、a 这11个数据的方差
5. 已知A(1,0)、B(0,-1), 若曲线 上的点 P 满足条件 则t的取值范围为 .
6.已知曲线C的方程为 则下列说法正确的是 .(填写序号)
①曲线C关于原点中心对称； ②曲线C关于直线y=-x对称；
③若动点 P、Q 都在曲线C上，则线段|PQ|的最大值为3； ④曲线C的面积小于3.
7. 已知实数a、b满足|a|≥|b|且a>0, 则 的取值范围为 .
8.设F 、F 分别是双曲线 的左、右焦点，点P 在双曲线右支上且满足 双曲线的渐近线方程为4x±3y=0，则
9.有大小相同的红、黄、蓝三种颜色的小球各3个，且每种颜色的3个小球上分别标注号码1、2、3，从中任取3个球，则取出的3个球颜色齐全但号码不全的概率是 .
10. 已知f(x) = sin(ωx+φ)(ω>0, 0<φ<π), 满足 且f(x)在(0，π)上有且仅有5个零点，则此函数解析式为f(x)= .
11.已知平面内不同的三点O，A，B，满足 若λ∈[0, 1], 的最小值为 则
12.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是 .
13.动点 P 从正方体 的顶点A 出发，沿着棱运动到顶点C 后再到A，若运动中恰好经过6条不同的棱，称该路线为“最佳路线”，则“最佳路线”的条数为 .(用数字作答)
14.从下图11个点中任取三个点，则所取的三个点能构成三角形的概率为 .
15.设函数 若f(x)恰有1个零点，则实数a的取值范围是 .成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 1 页 共 18 页
16. 已知 f(x)与x轴交点为A，若对于f(x)图像上任意一点P，在其图像上总存在另一点Q (P、Q 异于A), 满足AP⊥AQ, 且|AP|=|AQ|, 则a= .
二、单选题
17. 已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+6)+f(x)=2f(3)且y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称, 则f(2022)= ( )
A. - 3 B. 0 C. 3 D.6
18. 若存在实常数k和b, 使得函数F(x)和G(x)对其公共定义域上的任意实数x都满足: F(x)≥kx+b和G(x)≤kx+b恒成立，则称此直线y=kx+b为F(x)和G(x)的“隔离直线”，已知函数 h(x)=2elnx (e为自然对数的底数),有下列两个命题:
命题α：f(x)和h(x)之间存在唯一的“隔离直线
命题β：f(x)和g(x)之间存在“隔离直线”，且b的最小值为-1.则下列说法正确的是()
A.命题α、命题β都是真命题 B.命题α为真命题，命题β为假命题
C.命题α为假命题，命题β为真命题 D.命题α、命题β都是假命题
19.已知三棱锥 P-ABC 的顶点都在半径为 的球面上， 则三棱锥P-ABC 体积的最大值为 () B. 1 C.
20. 已知集合A={x , x , x , x }且; ，定义集合B={x|x=|x -x |, x 、x ∈A, i、j=1、2、3、4},若B=A, 给出下列说法: ①x +x =x +x ; ②2x =x +x ; ③2x =x +x ; 其中所有正确序号是 ( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
21. 定义 已知函数f(x)、g(x)的定义域都是R，则下列四个命题中为假命题的是()
A. 若f(x)、g(x)都是奇函数, 则函数F(f(x),g(x))为奇函数
B. 若f(x)、g(x)都是偶函数, 则函数F(f(x),g(x))为偶函数
C. 若f(x)、g(x)都是增函数, 则函数F(f(x),g(x))为增函数
D. 若f(x)、g(x)都是减函数, 则函数F(f(x),g(x))为减函数
22.已知P 是曲线. 上的动点，定点 则|PA|的最大值是 ()
第 2 页 共 18 页
三、解答题
23.学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x(单位：分钟)的函数关系，要求如下：
(1)函数的图象接近图示； (2)每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；
(3)每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；(4)每天最多得分不超过6分.
现有以下三个函数模型供选择: ①y= kx+b(k>0);②y=k·1.2 +b(k>0);③y=klog (+2)+n(k>0).
(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由；
(2)根据你对(1)的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式；
(3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟(结果保留整数).
24.对于函数 如果对于定义域D中任意给定的实数x，存在( 使得 恒成立，称函数 具有性质P(a).(1)判别函数 是否具有性质P(2)，请说明理由；
(1)函数 若函数 具有性质P(a)，求a的取值范围；(3)若函数h(x)的定义域为一切实数，h(x)的值城为 存在常数a 且h(x)具有性质 判别 是否具有性质 ，请说明理由.
25. 已知函数 1)求(0,f(0))处的切线方程;(2)求证：f(x)有且仅有一个极值点；
(3)若存在实数a使 对任意的x∈R 恒成立，求实数b的取值范围.成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 3 页 共 18 页
26.已知函数 其中 (1)讨论函数f(x)的零点的个数；
(2) 若存在实数m、n, 使函数f(x)的定义域为[m,n], 值域为[m,n], 其中 ，求实数k的取值范围；
(3) 若存在实数m、n, 使函数f(x)的定义域为[m,n], 值域为 其中 ，求实数k的取值范围.
27.已知函数f(x)，若存在非零常数k，对于任意实数x，都有 成立，则称函数f(x)是 类函数”.(1) 若函数f(x)= ax+b是“M 类函数”, 求实数a、b的值; (2) 若函数g(x)是“ 类函数”，且当x∈[0,2]时,g(x)=x(2-x),求函数g(x)在x∈[2,6]时的最大值和最小值;(3)已知函数f(x)是“ 类函数”，是否存在一次函数h(x)= Ax+B (常数A、B∈R, A≠0),使得函数 是周期函数，说明理由.
28.如图，扇形OPQ区域(含边界)是一蔬果种植园，其中P、Q分别在公路OA和OB上.经测得，扇形OPQ 区域的圆心角 半径为1 千米，为了方便菜农营销，打算在扇形OPQ区域外修建一条公路MN，分别与OA 和OB 交于M、N两点，并要求MN与扇形PQ弧相切于点S，设 (弧度)，假设所有公路的宽度均忽略不计.(1)将公路MN的长度(单位：千米)表示为α的函数，并写出α的取值范围；
(2)求公路 MN长度的最小值，并求此时α的值.成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 4 页 共 18 页
29.在平面直角坐标系xOy中，动点 M 到直线 的距离等于点M 到点D (1，0)的距离的2倍，记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知斜率为 的直线l与曲线C交于A、B两个不同点，若直线l不过点 设直线 PA、PB 的斜率分别为 kPA、kPB, 求 的值；(3)设点Q为曲线C的上顶点，点E、F是C上异于点Q的任意两点，以EF为直径的圆恰过Q点，试判断直线EF 是否经过定点 若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由.
30.对于项数为 的有限数列 记该数列前i项 中的最大项为x 即 ；该数列后 项 中的最小项为 yi 即
例如数列: 1、3、2, 则x
(1)若四项数列 满足 求a 、 a 、 a 、 a ;
(2)设c为常数，且求证：
(3)设实数 数列{an}满足 若数列 对应的d 满足 对任意的正整数 恒成立，求实数λ的取值范围.第 5 页 共 18 页
上海市进才中学2025届高三上期末考试数学试题
学校： 姓名： 班级： 考号：
1. x∈[-3，4]【分析】根据三角不等式的定义结合一元二次不等式的解法即可得出答案.
【详解】解: 由三角不等式可知|x+3|+|x-4|=|x+3|+|4-x|≥|x+3+4-x|=7,当且仅当(x+3)(4-x)≥0, 即-3≤x≤4时, 取等号, 所以等号成立的条件为为x∈[-3,4].故答案为: x∈[-3,4].
2. 充分非必要【分析】分别作出|x-1|+|y-2|≤1、x+2y-7≤0所代表的平面区域, 即可判断
【详解】|x-1|+|y-2|≤1 可化为 ⑨ 或 或其平面区域如图，
又x+2y-7≤0的平面区域为直线x+2y-7=0 划分的左下平面,经验证, 点A(1,3)代入x+2y-7≤0符合, 故x+2y-7≤0的平面区域包含|x-1|+|y-2|≤1的平面区域.即“|x-1|+|y-2|≤1”是“x+2y-7≤0”的充分非必要条件.故答案为: 充分非必要
3. [1,+∞)【分析】由 运用均值不等式求 的最大值，即可求
【详解】 故答案为: [1,+∞)
4.90【分析】根据平均数和方差的相关公式，结合等差数列定义和性质运算求解.
【详解】∵数列{an}为等差数列，则这11个数据的平均数：
∴这11个数据的方差ン ] 故答案为：90.
【分析】根据向量数量积的坐标运算可得t=x+y+1，根据直线与圆利用数形结合理解运算.
【详解】 即
则曲线C表示以坐标原点O为圆心，半径为1 的上半圆
设点P(x,y),则
即直线y=-x+t-1(斜率为-1, 纵截距为t-1) 与曲线C有公共点,
如图所示：直线 过点D(-1,0), 则0=1+m, 即m=-1
直线 与曲线C相切，则 解得 或 (舍去)
则 故答案为：
6.①②【分析】对于①②：根据对称理解运算；对于③④：根据椭圆定义可知曲线C为椭圆，结合椭圆性质分析求解.【详解】对①：∵曲线C的上任一点A(x，y)关于原点的对称点为
则( 即A在曲线C上 ∴曲线C关于原点中心对称，①正确；对②：∵曲线C的上任一点B(x，y)关于直线y=-x的对称点为
则( 即A在曲线C上 ∴曲线C关于直线y=-x对称，②正确；成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 6 页 共 18 页
则 即-2≤x+y≤2
又 即
则
同理可得： 则曲线C的上任一点P(x，y)到
的距离之和为： ,2
∴曲线C表示以M，N为焦点且 的椭圆，则 对③：则线段|PQ|的最大值为
③错误；对④：则曲线C 的面积 ④错误；故答案为：①②.
【分析】将代数式齐次化后利用判别式可求代数式的取值范围.
【详解】因为[|a|≥|b|且a>0,故 设 则|y|≤1,故
令 则 故动点Q(x，y)在如图所示的半椭圆上，
而故该代数式表示Q与 )的连线的斜率,设A(0,-1),
直线 由 可得
当直线PQ与椭圆相切时，有Δ=0，整理得到：
即 解得 或 结合半椭圆可得 而
故 故答案为： 【点睛】多变量代数式的取值范围问题，注意根据齐次式特征将代数式取值范围转化为一元代数式的取值范围问题，再将根式转化为与斜率有关的范围问题.
8. 【详解】设双曲线的半焦距为c，由双曲线的渐近线方程，可得 则 在△PF F 中, 由余弦定理可得 故答案为：
9. 【分析】反面法：取出的3个球颜色齐全但号码齐全的情况为6种，取出的3个球颜色齐全但号码不全的概率.【详解】反面法：取出的3个球颜色齐全但号码齐全的情况为6种，取出的3个球颜色齐全但号码不全的概率是 故答案为： 成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 7 页 共 18 页
10.【分析】根据题意可知 是f(x)的一条对称轴， 是f(x)的一个对称中心，进而可求出ω和φ的关系式，再由f(x)在(0，π)上有且仅有5个零点可得ω=5，进而得出φ的值，从而可求得f(x)的解析式.【详解】∵f(x) = sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),满足 故 是f(x)的一条对称轴， 是f(x)的一个对称中心， ,∵f(x) 在(0,π) 上有且仅有5个零点, 又 , 又0<φ<π, ∴此函数解析式为 故答案为：
11.【详解】设
由题意可得， 设∠OAB=2θ,点A关于OB的对称点为A′，AA′与OB交于点H，A′P与OB的交于点M ，则当点M位于M 的位置时， 取得最小值 在△A' PA中,AA' =2AH=8cosθ, AP=3, A' P=3, A' P=2 由余弦定理得： 解得：
12. 【分析】将原问题转化为 Venn图的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可.【详解】如图所示，(a+b+c+x)表示周一开车上班的人数，(b+d+e+x)表示周二开车上班人数，(c+e+f+x)表示周三开车上班人数，x表示三天都开车上班的人数，
即 即b+c+e+2x=12,当b=c=e=0时,x的最大值为6,
即三天都开车上班的职工人数至多是6.故答案为：6.
13. 【详解】从A点出发有3种走法，走B或D或A 点，假设走A 点，那么下一步有2种走法，走D 或B ，假设走B ，下一步有1种走法，走C ，下一步有2种走法，走C或D ，若走C，然后有2种走法最后到A，若走D ，最后只有
1种走法到A, 所以一共有3×2×(2+1)=18种.第 8 页 共 18 页
14. 【答案】 【分析】先求得从11个点中任取三个点，有C 种取法的事件总数，再求得三个点在一条直线上的情况 根据古典概型的概率公式可求得答案.【详解】解：从11个点中任取三个点，有( 种取法，由图示得三个点在一条直线上的情况有 所以所取的三个点能构成三角形的概率为 故答案为：
15. 【答案】(-∞,-3)∪[-2,1) 【详解】-(x+3)(x-1)=0, 解得: x=-3或 解得: x=-2,当a<-3时,函数f(x)的零点只有一个,即x=-2,当a∈[-3,-2)时,函数f(x)有两个零点,即x=-3或x=-2,当a∈[-2,1)时,函数f(x)的零点只有一个,即x=-3,当a∈[1,+∞)时,函数f(x)有两个零点,即x=-3或x=1,综上可知, 若f(x)恰有1个零点, 则a的取值范围是(-∞,-3)∪[-2,1).故答案为: (-∞,-3)∪[-2,1)
16. 已知 f(x)与x轴交点为A，若对于f(x)图像上任意一点 P，在其图像上总存在另一点Q(P、Q异于A), 满足AP⊥AQ, 且|AP|=|AQ|, 则a= .【答案】
【分析】本题根据题意对函数f(x)分析之后可画出f(x)大致图象，然后结合图象可不妨设点P 在左边曲线上，点Q在右边曲线上.设直线AP 的斜率为k，联立直线与曲线的方程可得P点坐标，同理可得Q点坐标.再分别算出|AP|、|AQ|, 再根据||AP|=|AQ|及k的任意性可解得a的值.【详解】解： 由已知令 解得 所以点A的坐标为 J 所以f(x)大致图像如下：
由题意，很明显 P、Q两点分别在两个分段曲线上，
不妨设点P 在左边曲线上，点Q 在右边曲线上.设直线AP的斜率为k，则
联立方程： 整理， 得： 第 9 页 共 18 页
再将 代入第一个方程，可得： ∴点 P 的坐标为：
∴直线AQ的斜率为 则
同理类似求点P 的坐标的过程，可得：点Q 的坐标为：
∵|AP|=|AQ|, 及k的任意性, 可知: 解得： 故答案为：
17. B【分析】根据f(x+6)+f(x)=2f(3)得到函数周期为12, 从而得到f(2022)=f(6), 再根据 的图像关于点(1,0)对称,得到y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,得到f(0)=0,再利用赋值法求出 最终求出
【详解】因为f(x+6)+f(x)=2f(3), 所以f(x)+f(x-6)=2f(3), 两式相减后得: 故函数的周期T=12, 2022=12×168+6, 所以f(2022)=f(6), f(x+6)+f(x)=2f(3)中, 令x=0得: y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称, 所以y=f(x)的图象关于点(0,0)对称, 又f(x)的定义域为R, 所以 f(x+6)+f(x)=2f(3)中, 令x=-3得: f(3)+f(-3)=2f(3), 所以f(-3)=f(3), 因为y=f(x)为奇函数,所以f(-3)=-f(3), 所以-f(3)=f(3), 解得: f(3)=0, 所以f(6)=2f(3)=0, 则f(2022)=f(6)=0.故选: B
18. B【分析】对命题α: f(x)和h(x)有公共点(√ ,e), 故隔离直线过该公共点, 设为 结合二次函数性质对参数分类讨论研究 恒成立得 则直线为 再用导数法证 恒成立即可；对命题β：设隔离直线为y=kx+b，则有 对任意x<0恒成立，结合二次函数性质对参数分类讨论即可.【详解】(1)对命题β:设f(x),g(x)的隔离直线为y= kx+b,则 对任意x<0恒成立，故 对任意x<0恒成立，由 对任意x<0恒成立, 得k≤0, 若k=0, 则b=0符合题意,
若k<0, 则 对任意x都成立，又因为 的对称轴为 从而 即 所以b≤0, 又 的对称轴为 即
故-4≤k<0,同理可得, 即-4≤b<0, 故命题β为假命题;
(2) 对命题α: 函数f(x)和h(x)的图象在 处有公共点，若存在f(x)和h(x)的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率k，则隔离直线方程y-e=k(x- ),即 由 恒成立，
i.若k=0,则 不恒成立，不符合题意；ii.若k<0，由： 恒成立，令 成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 10 页 共 18 页
(x>0), 对称轴 则u(x)在(0, )上单调递增，又 故k<0不恒成立，不符合题意；
iii.若k>0, 可得 在x>0时恒成立， 的对称轴为 则
故只有 此时直线 下面证明 令 则
易得，当( 时, G'(x)<0, 函数单调递减; 当 时， 函数单调递增，
故当 时，函数取得极小值0，也是最小值，所以G(x)≥0，故
所以f(x)和h(x)存在唯一的隔离直线 故命题α为真命题.故选：B【点睛】含参不等式恒成立问题，一般通过构造函数解决.一般将参数分离出来，用导数法讨论不含参数部分的最值；或者包含参数一起，用导数法对参数分类讨论.当参数不能分离出来时，也可尝试将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成函数，通过导数法
分析单调性，将问题等价成对应自变量的不等式.
19.已知三棱锥 P-ABC 的顶点都在半径为 的球面上， 则三棱锥P-ABC体积的最大值为( ) B. 1 c.
【分析】利用勾股定理得到直角三角形ABC，取AC 中点O'，连接OO'，结合球半径可得OO'的长，进而得P-ABC的最大值.
【详解】如图，设球心为O，由. 可得△ABC为直角三角形，斜边AC的中点O'为球小圆的圆心，连接OO'，OA，则OO' ⊥平面ABC, 由 可得 故三棱锥P-ABC的最大体积为 故选：A.【点评】此题考查了球内接三棱锥的问题，难道适中.
20. 已知集合A={x , x , x , x }且 定义集合 若B=A, 给出下列说法: ①x +x =x +x ; ②2x =x +x ; ③2x =x +x ; 其中所有正确序号是 ( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【分析】由集合的新定义结合B=A，可得： ，由此即可求解.
【详解】因为集合A={x , x , x , x }且 , 若B=A,
则B中也包含四个元素, 即B={0,x -x , x -x , x -x }, 剩下的: ,对于①:
由 X3=X2-X 得 故①正确; 对于②:由x · 得 ，故②正确；
对于③：由： 得2x =x +x , 故③正确; 故选: D.
21. 定义 已知函数f(x)、g(x)的定义域都是R，则下列四个命题中为假命题的是( )
A. 若f(x)、g(x)都是奇函数, 则函数F(f(x),g(x))为奇函数
B. 若f(x)、g(x)都是偶函数, 则函数F(f(x),g(x))为偶函数成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 11 页 共 18 页
C. 若f(x)、g(x)都是增函数, 则函数F(f(x),g(x))为增函数
D. 若f(x)、g(x)都是减函数, 则函数F(f(x),g(x))为减函数【答案】A
【详解】解： 若f(x)、g(x)都是奇函数, 则函数F(f(x), g(x))不一定是奇函数,如y=x与 可得F(f(x)，g(x))的图象不关于原点对称，故A 是假命题；
若f(x)、g(x)都是偶函数，可得它们的图象关于y轴对称，则函数F(f(x)，g(x))为偶函数，故B是真命题；
若f(x)、g(x)都是增函数，可得图象均为上升，则函数F(f(x)，g(x))为增函数，故C是真命题；
若f(x)、g(x)都是减函数，可得它们的图象下降，则函数F(f(x)，g(x))为减函数，故D是真命题.故选：A.
22.已知 P 是曲线 上的动点，定点 则|PA|的最大值是( )
【答案】B
【详解】由题意设 则方程化简为
即
所以y=-sinθ, 所以 即点P
是以原点为圆心， 1为半径的圆，位于第四象限，包含X轴的点，不包含y轴的点，
|PA|的最大值是点A 和原点的距离加半径，即 故选: B.
23. (1)选 理由见解析 (2)答案见解析 (3)55分钟
【详解】(1)第一步：分析题中每个模型的特点 对于模型一，当k>0时，匀速增长；
对于模型二，当k>0时，先慢后快增长； 对于模型三，当k>0时，先快后慢增长.
第二步：根据题中材料和题图选择合适的函数模型 从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选
(2)第三步把题图中的两点代入选好的模型中，得到函数解析式将(0，0)，(30，3)代入解析式得到 即 解得k=3, n=-3, 即
第四步：完善模型是否合适 当x=90时， 满足每天得分最高不超过6分的条件.
所以函数的解析式为
(3)由 得 得x≥54.84,所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟.成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 12 页 共 18 页
24.(1)不具有，理由见解析 (3)具有，理由见解析
【分析】(1) 判断m(x)+m(2-x)≥m(2)在x∈(0,2)上是否恒成立即可;
(2) 函数y=g(x)具有性质P(a), 则有g(x)+g(a-x)≥g(a),结合绝对值三角不等式即可得出答案；(3)由题意可得 且 再证明 即可得出结论.
【详解】(1)解: ∵m(x)+m(2-x)-m(2)=x +(2-x) -8=6x -12x, x∈(0,2),
而 则m(x)+m(2-x)(2) 解: ,
要使|x-1|+|x-(a-1)|≥|a-1|, 而|x-1|+|x-(a-1)|≥|a-2|,
则对任意的 综上，
(3) 解: 因为h(x)具有性质P(a ),所以
因为函数的值域为[2，+∞)，所以 则
∴h(x)h(a -x)≥h(a -x)+h(x), ∴h(x)h(a -x)≥h(a -x)+h(x)≥h(a )>0,
∵φ(x)+ ≥lgh(a ),所以 即φ(x)=lgh(x)具有性质P(a ).【点睛】本题考查了函数新定义的问题，解决本题的关键在于理解函数的新定义，考查了函数不等式恒成立问题，考查了数据分析能力及逻辑推理能力，有一定的难度.
25. (1)y=(a-1)x; (2)证明见解析; (3)b≥-e.
【详解】(1) f(0)=0, 而 故 所以在(0，f(0))处的切线方程为
令g(x)=a-(x+1)e ,则
当x<-2时, g'(x)>0, 当x>-2时, g'(x)<0, 故g(x)即f'(x)在(-∞,-2)上为增函数, 在( )上为减函数，
而x<-2时, f'(x)>0恒成立, 当x> max{0,a-1}时, f'(x)故f'(x)在R 仅有一个变号零点，故f(x)有且仅有一个极值点.
(3)令 由题设可得：函数h(x)的最大值不大于0，
根据(2)的结论可知有唯一极值点x ，且当x故h(x)在(-∞,x )上为增函数, 在(x ,+∞)上为减函数, 所以 此时
所以 故 由(a>0可得x >-1.
又由a的存在性可得 令
当x∈(-1,1)时, 当x∈(1,+∞)时,t'(x)>0,故t(x)在(-1,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数, 综上所述b≥-e.【点睛】思路点睛：导数背景下函数零点问题，注意根据导数符号讨论单调性，再根据零点存在定理判断零点的个数，而不等式恒成立问题，往往转化为函数的最值来处理.
26.已知函数 其中k∈R.(1)讨论函数f(x)的零点的个数；
(2) 若存在实数m、n,使函数f(x)的定义域为[m,n], 值域为[m,n], 其中-3≤m(3) 若存在实数m、n, 使函数f(x)的定义域为[m,n], 值域为 其中 ，求实数k的取值范围.
【答案】(1)当k≤0时, 1个零点; 当k>0时, 没有零点;
【分析】(1)分k>0, k=0, k<0三种情况, 由函数f(x)的值域讨论可得结论;
(2)由函数f(x)在[m，n]的单调性，由已知建立方程组 继而转化为 在 上有两个解，令 求导函数，分析导函数的符号，得出所令函数的单调性及最值，可求得实数k的取值范围；(3)由函数的单调性及已知条件得 分别将两式相减和两式相加求得 设 则p+q=1, 代入得 由二次函数的性质可求得实数k的取值范围.【详解】解:(1)当k>0时, f(x)>0, 所以函数f(x)没有零点;
当k=0时, 所以函数f(x)有一个零点x=-3；
当k<0时, 令 得， 函数f(x)有一个零点，
综上得：当k>0时，函数f(x)没有零点，当k≤0时，函数f(x)有一个零点；
(2)因为函数f(x)在[m，n]上单调递增，所以函数f(x)的值域为： 又函数f(x)的值域为
[m,n], 且-3≤m令 令 得
在区间 上, g'(x)<0,g(x)单调递减，在区间 上， 单调递增，
所以 且g(-3)=-3,所以实数k的取值范围
(3)因为函数f(x)在[m，n]上单调递增，所以函数f(x)的值域为： 又函数f(x)的值域为|[-n,-m], 且-3≤m所以当 时， 此时m=n, 不满足m27. 已知函数f(x), 若存在非零常数k, 对于任意实数x, 都有f(x+k)+f(x)=x成立, 则称函数f(x)是“Mk类函数”.(1)若函数f(x)= ax+b是“M 类函数”, 求实数a、b的值;(2) 若函数g(x)是“M 类函数”, 且当x∈[0,2]时, g(x)=x(2-x), 求函数g(x)在x∈[2,6]时的最大值和最小值; (3) 已知函数f(x)是“Mk类函数”, 是否存在一次函数h(x)= Ax+B (常数A、B∈R, A≠0), 使得函数F(x)=f(x)+h(x)是周期函数, 说明理由.【答案】 (3)存在 符合题意.
【详解】(1)由题得对于任意实数x，都有(a(x+1)+b+ ax+b=x,
所以ax+a+b+ ax+b=x,∴(2a-1)x+a+2b=0所以
(2) 由题得.g(x+2)+g(x)=x,∴g(x+2)+x(2-x)=x,∴g(x+2)=x -x,因为x∈[0,2], 所以x+2∈[2,4], 设t=x+2, t∈[2,4], 所以x=t-2,所以 所以 同理 由题得 所以
(3) 由题得f(x+k)+f(x)=x, 因为F(x)=f(x)+h(x)=f(x)+ Ax+B,
所以F(x+k)=f(x+k)+ Ax+ Ak+B,
所以F(x+k)+F(x)=f(x+k)+f(x)+2Ax+ Ak+2B,
所以F(x+k)+F(x)=x+2Ax+ Ak+2B, 所以F(x+k)+F(x)=(2A+1)x+ Ak+2B,
令 得，
所以F(x)=F(x+2k), 所以F(x)是周期函数.所以 所以
所以存在 使得函数F(x)=f(x)+h(x)是周期函数.成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 15 页 共 18 页
28.如图，扇形OPQ区域(含边界)是一蔬果种植园，其中P、Q分别在公路OA和OB上.经测得，扇形OPQ区域的圆心角 半径为1千米，为了方便菜农营销，打算在扇形OPQ区域外修建一条公路MN，分别与OA 和OB 交于M、N两点，并要求 MN与扇形 PQ弧相切于点S，设 (弧度)，假设所有公路的宽度均忽略不计.(1)将公路 MN的长度(单位：千米)表示为α的函数，并写出α的取值范围；
(2)求公路 MN长度的最小值，并求此时α的值.
【分析】(1) 由已知条件可得, OS⊥MN, 在Rt△OSM中, OS=1,∠MOS=α, 可得SM=tanα, 在 Rt△OSN 中, 再结合正切函数的恒等变换，即可求解.
(3)根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解.
【详解】(1) ∵MN 与扇形 PQ弧相切于点S, ∴OS⊥MN, 在 Rt△OSM中, ∵OS=1, ∠MOS=α,∴SM=tanα, 在 Rt△OSN 中,
令 则 当且仅当 即t=2，等号成立，此时 故公路MN长度的最小值为 ，此时α的值为-
29.在平面直角坐标系xOy 中，动点M到直线x=4的距离等于点M到点D (1，0)的距离的2倍，记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知斜率为 的直线l与曲线C交于A、B两个不同点，若直线l不过点P(1, ), 设直线 PA、PB 的斜率分别为kpA、kpB, 求kpA+kpB的值; (3) 设点 Q为曲线C的上顶点,点 E、F是C上异于点Q的任意两点，以EF为直径的圆恰过Q点，试判断直线EF 是否经过定点 若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由.
【详解】(1)不妨设点M的坐标为(x，y)， 由题意可知， 化简可得， 故曲线C的方程为
(2)不妨设直线l的方程： A(x , y ), B (x , y ),因为直线l不过点 易知m≠1,联立直线方程与椭圆方程可得 由 且m≠1可得, - 2所以
将 代入上式得, kPA+kPB=0, 故 kPA+kPB的值为0.
(3)由椭圆方程 可知，Q点坐标为 因为以 EF 为直径的圆恰过Q 点，所以QE⊥QF，结合椭圆特征可知，直线EF 的斜率存在，不妨设直线 EF 方程：y=kx+b，且b≠ , E (x , y ),F(x ，y )，联立直线方程与椭圆方程可得
由 可得， 由韦达定理可知，
因为
所以
将 代入上式并化简可得， 故直线 EF 方程：
易知直线 EF 必过定点 从而直线EF 经过定点，定点坐标为
30. 对于项数为m(m≥3, m∈N)的有限数列{a },记该数列前i项a 、a 、···、a 中的最大项为x (i=1, 2, …, m), 即x = max{a , a , …, a }; 该数列后m-i项a + 、a +2、…、 am中的最小项为y (i=1, 2, ……, m-1), 即y = min{ai+1, ai+2, ……, am}, d =x -y (i=1, 2, ……, m-1).
例如数列: 1、 3、2, 则x =1, x =3, x =3; y =2, y =2; d =-1, d =1.
(1)若四项数列{an}满足 求a 、 a 、 a 、 a ;
(2) 设c为常数, 且aak+ xm-k+1=c (k=1, 2, …m), 求证: x = ak (k=1, 2, ……, m);
(3) 设实数λ>0, 数列{an}满足 若数列{an}对应的d 满足 对任意的正整数i=1，2，3，……，m-2恒成立，求实数λ的取值范围.
【分析】(1)结合已知条件，首先求出x ，x ，x ，然后利用数列{an}的新定义即可求解：(2)结合数列新定义可得到： 然后结合已知条件可得到ak+1≥a , 进而即可证明x =a ; (3) 结合已知条件对参数分类讨论，易知当λ=1和 时，不满足题意；当λ≠1且 时，构造等比数列井求出 an通项公式，结合数列新定义可得到 x =a ,进而求得d =a -ai+ ,然后可得到 对不等式求解 即可得到答案.
【详解】(1)因为四项数列{an} 满足 由题意可知 x =y +d ,故 ,且y =a =3, 因为y =y =y =3,从而a =-1, a =4, a =8,故a =-1, a =4, a =8, a =3.成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 17 页 共 18 页
(2)证明：因为 所以 又因为 所以 故 即 所以
(3) ①当λ=1时, 数列{an}是等差数列, 此时 不满足题意；
②当λ≠1时, 由 可得 由a =1可知,
(i)当 时， 即an=1,则数列 an为常数列，此时 不满足题意；
(ii) 当 时，
故数列 是公比为λ的等比数列，易得
由题意可知，(
di+1= max{a , a , …, ai, ai+1}-min{ai+2, ai+3…, am}
因为且 di+1> di,
所以, 故对于任意正整数i=1, 2, 3, …, m都成立,从而 x =a , 故
所以 解得 故实数λ的取值范围为
成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 18 页 共 18 页
学校： 姓名： 班级： 考号：
一、填空题
1.通过三角不等式可知|x+3|+|x-4|≥7，则等号成立的条件为 .
2. “|x-1|+|y-2|≤1”是“x+2y-7≤0”的 条件.
3. 已知x>0, y>0,且对任意的x、y满足 ，则a的取值范围是 .
4. 已知等差数列{an}的公差为3, 则a 、a 、a 、……、a 这11个数据的方差
5. 已知A(1,0)、B(0,-1), 若曲线 上的点 P 满足条件 则t的取值范围为 .
6.已知曲线C的方程为 则下列说法正确的是 .(填写序号)
①曲线C关于原点中心对称； ②曲线C关于直线y=-x对称；
③若动点 P、Q 都在曲线C上，则线段|PQ|的最大值为3； ④曲线C的面积小于3.
7. 已知实数a、b满足|a|≥|b|且a>0, 则 的取值范围为 .
8.设F 、F 分别是双曲线 的左、右焦点，点P 在双曲线右支上且满足 双曲线的渐近线方程为4x±3y=0，则
9.有大小相同的红、黄、蓝三种颜色的小球各3个，且每种颜色的3个小球上分别标注号码1、2、3，从中任取3个球，则取出的3个球颜色齐全但号码不全的概率是 .
10. 已知f(x) = sin(ωx+φ)(ω>0, 0<φ<π), 满足 且f(x)在(0，π)上有且仅有5个零点，则此函数解析式为f(x)= .
11.已知平面内不同的三点O，A，B，满足 若λ∈[0, 1], 的最小值为 则
12.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是 .
13.动点 P 从正方体 的顶点A 出发，沿着棱运动到顶点C 后再到A，若运动中恰好经过6条不同的棱，称该路线为“最佳路线”，则“最佳路线”的条数为 .(用数字作答)
14.从下图11个点中任取三个点，则所取的三个点能构成三角形的概率为 .
15.设函数 若f(x)恰有1个零点，则实数a的取值范围是 .成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 1 页 共 18 页
16. 已知 f(x)与x轴交点为A，若对于f(x)图像上任意一点P，在其图像上总存在另一点Q (P、Q 异于A), 满足AP⊥AQ, 且|AP|=|AQ|, 则a= .
二、单选题
17. 已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+6)+f(x)=2f(3)且y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称, 则f(2022)= ( )
A. - 3 B. 0 C. 3 D.6
18. 若存在实常数k和b, 使得函数F(x)和G(x)对其公共定义域上的任意实数x都满足: F(x)≥kx+b和G(x)≤kx+b恒成立，则称此直线y=kx+b为F(x)和G(x)的“隔离直线”，已知函数 h(x)=2elnx (e为自然对数的底数),有下列两个命题:
命题α：f(x)和h(x)之间存在唯一的“隔离直线
命题β：f(x)和g(x)之间存在“隔离直线”，且b的最小值为-1.则下列说法正确的是()
A.命题α、命题β都是真命题 B.命题α为真命题，命题β为假命题
C.命题α为假命题，命题β为真命题 D.命题α、命题β都是假命题
19.已知三棱锥 P-ABC 的顶点都在半径为 的球面上， 则三棱锥P-ABC 体积的最大值为 () B. 1 C.
20. 已知集合A={x , x , x , x }且; ，定义集合B={x|x=|x -x |, x 、x ∈A, i、j=1、2、3、4},若B=A, 给出下列说法: ①x +x =x +x ; ②2x =x +x ; ③2x =x +x ; 其中所有正确序号是 ( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
21. 定义 已知函数f(x)、g(x)的定义域都是R，则下列四个命题中为假命题的是()
A. 若f(x)、g(x)都是奇函数, 则函数F(f(x),g(x))为奇函数
B. 若f(x)、g(x)都是偶函数, 则函数F(f(x),g(x))为偶函数
C. 若f(x)、g(x)都是增函数, 则函数F(f(x),g(x))为增函数
D. 若f(x)、g(x)都是减函数, 则函数F(f(x),g(x))为减函数
22.已知P 是曲线. 上的动点，定点 则|PA|的最大值是 ()
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三、解答题
23.学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x(单位：分钟)的函数关系，要求如下：
(1)函数的图象接近图示； (2)每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；
(3)每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；(4)每天最多得分不超过6分.
现有以下三个函数模型供选择: ①y= kx+b(k>0);②y=k·1.2 +b(k>0);③y=klog (+2)+n(k>0).
(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由；
(2)根据你对(1)的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式；
(3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟(结果保留整数).
24.对于函数 如果对于定义域D中任意给定的实数x，存在( 使得 恒成立，称函数 具有性质P(a).(1)判别函数 是否具有性质P(2)，请说明理由；
(1)函数 若函数 具有性质P(a)，求a的取值范围；(3)若函数h(x)的定义域为一切实数，h(x)的值城为 存在常数a 且h(x)具有性质 判别 是否具有性质 ，请说明理由.
25. 已知函数 1)求(0,f(0))处的切线方程;(2)求证：f(x)有且仅有一个极值点；
(3)若存在实数a使 对任意的x∈R 恒成立，求实数b的取值范围.成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 3 页 共 18 页
26.已知函数 其中 (1)讨论函数f(x)的零点的个数；
(2) 若存在实数m、n, 使函数f(x)的定义域为[m,n], 值域为[m,n], 其中 ，求实数k的取值范围；
(3) 若存在实数m、n, 使函数f(x)的定义域为[m,n], 值域为 其中 ，求实数k的取值范围.
27.已知函数f(x)，若存在非零常数k，对于任意实数x，都有 成立，则称函数f(x)是 类函数”.(1) 若函数f(x)= ax+b是“M 类函数”, 求实数a、b的值; (2) 若函数g(x)是“ 类函数”，且当x∈[0,2]时,g(x)=x(2-x),求函数g(x)在x∈[2,6]时的最大值和最小值;(3)已知函数f(x)是“ 类函数”，是否存在一次函数h(x)= Ax+B (常数A、B∈R, A≠0),使得函数 是周期函数，说明理由.
28.如图，扇形OPQ区域(含边界)是一蔬果种植园，其中P、Q分别在公路OA和OB上.经测得，扇形OPQ 区域的圆心角 半径为1 千米，为了方便菜农营销，打算在扇形OPQ区域外修建一条公路MN，分别与OA 和OB 交于M、N两点，并要求MN与扇形PQ弧相切于点S，设 (弧度)，假设所有公路的宽度均忽略不计.(1)将公路MN的长度(单位：千米)表示为α的函数，并写出α的取值范围；
(2)求公路 MN长度的最小值，并求此时α的值.成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 4 页 共 18 页
29.在平面直角坐标系xOy中，动点 M 到直线 的距离等于点M 到点D (1，0)的距离的2倍，记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知斜率为 的直线l与曲线C交于A、B两个不同点，若直线l不过点 设直线 PA、PB 的斜率分别为 kPA、kPB, 求 的值；(3)设点Q为曲线C的上顶点，点E、F是C上异于点Q的任意两点，以EF为直径的圆恰过Q点，试判断直线EF 是否经过定点 若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由.
30.对于项数为 的有限数列 记该数列前i项 中的最大项为x 即 ；该数列后 项 中的最小项为 yi 即
例如数列: 1、3、2, 则x
(1)若四项数列 满足 求a 、 a 、 a 、 a ;
(2)设c为常数，且求证：
(3)设实数 数列{an}满足 若数列 对应的d 满足 对任意的正整数 恒成立，求实数λ的取值范围.第 5 页 共 18 页
上海市进才中学2025届高三上期末考试数学试题
学校： 姓名： 班级： 考号：
1. x∈[-3，4]【分析】根据三角不等式的定义结合一元二次不等式的解法即可得出答案.
【详解】解: 由三角不等式可知|x+3|+|x-4|=|x+3|+|4-x|≥|x+3+4-x|=7,当且仅当(x+3)(4-x)≥0, 即-3≤x≤4时, 取等号, 所以等号成立的条件为为x∈[-3,4].故答案为: x∈[-3,4].
2. 充分非必要【分析】分别作出|x-1|+|y-2|≤1、x+2y-7≤0所代表的平面区域, 即可判断
【详解】|x-1|+|y-2|≤1 可化为 ⑨ 或 或其平面区域如图，
又x+2y-7≤0的平面区域为直线x+2y-7=0 划分的左下平面,经验证, 点A(1,3)代入x+2y-7≤0符合, 故x+2y-7≤0的平面区域包含|x-1|+|y-2|≤1的平面区域.即“|x-1|+|y-2|≤1”是“x+2y-7≤0”的充分非必要条件.故答案为: 充分非必要
3. [1,+∞)【分析】由 运用均值不等式求 的最大值，即可求
【详解】 故答案为: [1,+∞)
4.90【分析】根据平均数和方差的相关公式，结合等差数列定义和性质运算求解.
【详解】∵数列{an}为等差数列，则这11个数据的平均数：
∴这11个数据的方差ン ] 故答案为：90.
【分析】根据向量数量积的坐标运算可得t=x+y+1，根据直线与圆利用数形结合理解运算.
【详解】 即
则曲线C表示以坐标原点O为圆心，半径为1 的上半圆
设点P(x,y),则
即直线y=-x+t-1(斜率为-1, 纵截距为t-1) 与曲线C有公共点,
如图所示：直线 过点D(-1,0), 则0=1+m, 即m=-1
直线 与曲线C相切，则 解得 或 (舍去)
则 故答案为：
6.①②【分析】对于①②：根据对称理解运算；对于③④：根据椭圆定义可知曲线C为椭圆，结合椭圆性质分析求解.【详解】对①：∵曲线C的上任一点A(x，y)关于原点的对称点为
则( 即A在曲线C上 ∴曲线C关于原点中心对称，①正确；对②：∵曲线C的上任一点B(x，y)关于直线y=-x的对称点为
则( 即A在曲线C上 ∴曲线C关于直线y=-x对称，②正确；成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 6 页 共 18 页
则 即-2≤x+y≤2
又 即
则
同理可得： 则曲线C的上任一点P(x，y)到
的距离之和为： ,2
∴曲线C表示以M，N为焦点且 的椭圆，则 对③：则线段|PQ|的最大值为
③错误；对④：则曲线C 的面积 ④错误；故答案为：①②.
【分析】将代数式齐次化后利用判别式可求代数式的取值范围.
【详解】因为[|a|≥|b|且a>0,故 设 则|y|≤1,故
令 则 故动点Q(x，y)在如图所示的半椭圆上，
而故该代数式表示Q与 )的连线的斜率,设A(0,-1),
直线 由 可得
当直线PQ与椭圆相切时，有Δ=0，整理得到：
即 解得 或 结合半椭圆可得 而
故 故答案为： 【点睛】多变量代数式的取值范围问题，注意根据齐次式特征将代数式取值范围转化为一元代数式的取值范围问题，再将根式转化为与斜率有关的范围问题.
8. 【详解】设双曲线的半焦距为c，由双曲线的渐近线方程，可得 则 在△PF F 中, 由余弦定理可得 故答案为：
9. 【分析】反面法：取出的3个球颜色齐全但号码齐全的情况为6种，取出的3个球颜色齐全但号码不全的概率.【详解】反面法：取出的3个球颜色齐全但号码齐全的情况为6种，取出的3个球颜色齐全但号码不全的概率是 故答案为： 成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 7 页 共 18 页
10.【分析】根据题意可知 是f(x)的一条对称轴， 是f(x)的一个对称中心，进而可求出ω和φ的关系式，再由f(x)在(0，π)上有且仅有5个零点可得ω=5，进而得出φ的值，从而可求得f(x)的解析式.【详解】∵f(x) = sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),满足 故 是f(x)的一条对称轴， 是f(x)的一个对称中心， ,∵f(x) 在(0,π) 上有且仅有5个零点, 又 , 又0<φ<π, ∴此函数解析式为 故答案为：
11.【详解】设
由题意可得， 设∠OAB=2θ,点A关于OB的对称点为A′，AA′与OB交于点H，A′P与OB的交于点M ，则当点M位于M 的位置时， 取得最小值 在△A' PA中,AA' =2AH=8cosθ, AP=3, A' P=3, A' P=2 由余弦定理得： 解得：
12. 【分析】将原问题转化为 Venn图的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可.【详解】如图所示，(a+b+c+x)表示周一开车上班的人数，(b+d+e+x)表示周二开车上班人数，(c+e+f+x)表示周三开车上班人数，x表示三天都开车上班的人数，
即 即b+c+e+2x=12,当b=c=e=0时,x的最大值为6,
即三天都开车上班的职工人数至多是6.故答案为：6.
13. 【详解】从A点出发有3种走法，走B或D或A 点，假设走A 点，那么下一步有2种走法，走D 或B ，假设走B ，下一步有1种走法，走C ，下一步有2种走法，走C或D ，若走C，然后有2种走法最后到A，若走D ，最后只有
1种走法到A, 所以一共有3×2×(2+1)=18种.第 8 页 共 18 页
14. 【答案】 【分析】先求得从11个点中任取三个点，有C 种取法的事件总数，再求得三个点在一条直线上的情况 根据古典概型的概率公式可求得答案.【详解】解：从11个点中任取三个点，有( 种取法，由图示得三个点在一条直线上的情况有 所以所取的三个点能构成三角形的概率为 故答案为：
15. 【答案】(-∞,-3)∪[-2,1) 【详解】-(x+3)(x-1)=0, 解得: x=-3或 解得: x=-2,当a<-3时,函数f(x)的零点只有一个,即x=-2,当a∈[-3,-2)时,函数f(x)有两个零点,即x=-3或x=-2,当a∈[-2,1)时,函数f(x)的零点只有一个,即x=-3,当a∈[1,+∞)时,函数f(x)有两个零点,即x=-3或x=1,综上可知, 若f(x)恰有1个零点, 则a的取值范围是(-∞,-3)∪[-2,1).故答案为: (-∞,-3)∪[-2,1)
16. 已知 f(x)与x轴交点为A，若对于f(x)图像上任意一点 P，在其图像上总存在另一点Q(P、Q异于A), 满足AP⊥AQ, 且|AP|=|AQ|, 则a= .【答案】
【分析】本题根据题意对函数f(x)分析之后可画出f(x)大致图象，然后结合图象可不妨设点P 在左边曲线上，点Q在右边曲线上.设直线AP 的斜率为k，联立直线与曲线的方程可得P点坐标，同理可得Q点坐标.再分别算出|AP|、|AQ|, 再根据||AP|=|AQ|及k的任意性可解得a的值.【详解】解： 由已知令 解得 所以点A的坐标为 J 所以f(x)大致图像如下：
由题意，很明显 P、Q两点分别在两个分段曲线上，
不妨设点P 在左边曲线上，点Q 在右边曲线上.设直线AP的斜率为k，则
联立方程： 整理， 得： 第 9 页 共 18 页
再将 代入第一个方程，可得： ∴点 P 的坐标为：
∴直线AQ的斜率为 则
同理类似求点P 的坐标的过程，可得：点Q 的坐标为：
∵|AP|=|AQ|, 及k的任意性, 可知: 解得： 故答案为：
17. B【分析】根据f(x+6)+f(x)=2f(3)得到函数周期为12, 从而得到f(2022)=f(6), 再根据 的图像关于点(1,0)对称,得到y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,得到f(0)=0,再利用赋值法求出 最终求出
【详解】因为f(x+6)+f(x)=2f(3), 所以f(x)+f(x-6)=2f(3), 两式相减后得: 故函数的周期T=12, 2022=12×168+6, 所以f(2022)=f(6), f(x+6)+f(x)=2f(3)中, 令x=0得: y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称, 所以y=f(x)的图象关于点(0,0)对称, 又f(x)的定义域为R, 所以 f(x+6)+f(x)=2f(3)中, 令x=-3得: f(3)+f(-3)=2f(3), 所以f(-3)=f(3), 因为y=f(x)为奇函数,所以f(-3)=-f(3), 所以-f(3)=f(3), 解得: f(3)=0, 所以f(6)=2f(3)=0, 则f(2022)=f(6)=0.故选: B
18. B【分析】对命题α: f(x)和h(x)有公共点(√ ,e), 故隔离直线过该公共点, 设为 结合二次函数性质对参数分类讨论研究 恒成立得 则直线为 再用导数法证 恒成立即可；对命题β：设隔离直线为y=kx+b，则有 对任意x<0恒成立，结合二次函数性质对参数分类讨论即可.【详解】(1)对命题β:设f(x),g(x)的隔离直线为y= kx+b,则 对任意x<0恒成立，故 对任意x<0恒成立，由 对任意x<0恒成立, 得k≤0, 若k=0, 则b=0符合题意,
若k<0, 则 对任意x都成立，又因为 的对称轴为 从而 即 所以b≤0, 又 的对称轴为 即
故-4≤k<0,同理可得, 即-4≤b<0, 故命题β为假命题;
(2) 对命题α: 函数f(x)和h(x)的图象在 处有公共点，若存在f(x)和h(x)的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率k，则隔离直线方程y-e=k(x- ),即 由 恒成立，
i.若k=0,则 不恒成立，不符合题意；ii.若k<0，由： 恒成立，令 成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 10 页 共 18 页
(x>0), 对称轴 则u(x)在(0, )上单调递增，又 故k<0不恒成立，不符合题意；
iii.若k>0, 可得 在x>0时恒成立， 的对称轴为 则
故只有 此时直线 下面证明 令 则
易得，当( 时, G'(x)<0, 函数单调递减; 当 时， 函数单调递增，
故当 时，函数取得极小值0，也是最小值，所以G(x)≥0，故
所以f(x)和h(x)存在唯一的隔离直线 故命题α为真命题.故选：B【点睛】含参不等式恒成立问题，一般通过构造函数解决.一般将参数分离出来，用导数法讨论不含参数部分的最值；或者包含参数一起，用导数法对参数分类讨论.当参数不能分离出来时，也可尝试将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成函数，通过导数法
分析单调性，将问题等价成对应自变量的不等式.
19.已知三棱锥 P-ABC 的顶点都在半径为 的球面上， 则三棱锥P-ABC体积的最大值为( ) B. 1 c.
【分析】利用勾股定理得到直角三角形ABC，取AC 中点O'，连接OO'，结合球半径可得OO'的长，进而得P-ABC的最大值.
【详解】如图，设球心为O，由. 可得△ABC为直角三角形，斜边AC的中点O'为球小圆的圆心，连接OO'，OA，则OO' ⊥平面ABC, 由 可得 故三棱锥P-ABC的最大体积为 故选：A.【点评】此题考查了球内接三棱锥的问题，难道适中.
20. 已知集合A={x , x , x , x }且 定义集合 若B=A, 给出下列说法: ①x +x =x +x ; ②2x =x +x ; ③2x =x +x ; 其中所有正确序号是 ( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【分析】由集合的新定义结合B=A，可得： ，由此即可求解.
【详解】因为集合A={x , x , x , x }且 , 若B=A,
则B中也包含四个元素, 即B={0,x -x , x -x , x -x }, 剩下的: ,对于①:
由 X3=X2-X 得 故①正确; 对于②:由x · 得 ，故②正确；
对于③：由： 得2x =x +x , 故③正确; 故选: D.
21. 定义 已知函数f(x)、g(x)的定义域都是R，则下列四个命题中为假命题的是( )
A. 若f(x)、g(x)都是奇函数, 则函数F(f(x),g(x))为奇函数
B. 若f(x)、g(x)都是偶函数, 则函数F(f(x),g(x))为偶函数成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 11 页 共 18 页
C. 若f(x)、g(x)都是增函数, 则函数F(f(x),g(x))为增函数
D. 若f(x)、g(x)都是减函数, 则函数F(f(x),g(x))为减函数【答案】A
【详解】解： 若f(x)、g(x)都是奇函数, 则函数F(f(x), g(x))不一定是奇函数,如y=x与 可得F(f(x)，g(x))的图象不关于原点对称，故A 是假命题；
若f(x)、g(x)都是偶函数，可得它们的图象关于y轴对称，则函数F(f(x)，g(x))为偶函数，故B是真命题；
若f(x)、g(x)都是增函数，可得图象均为上升，则函数F(f(x)，g(x))为增函数，故C是真命题；
若f(x)、g(x)都是减函数，可得它们的图象下降，则函数F(f(x)，g(x))为减函数，故D是真命题.故选：A.
22.已知 P 是曲线 上的动点，定点 则|PA|的最大值是( )
【答案】B
【详解】由题意设 则方程化简为
即
所以y=-sinθ, 所以 即点P
是以原点为圆心， 1为半径的圆，位于第四象限，包含X轴的点，不包含y轴的点，
|PA|的最大值是点A 和原点的距离加半径，即 故选: B.
23. (1)选 理由见解析 (2)答案见解析 (3)55分钟
【详解】(1)第一步：分析题中每个模型的特点 对于模型一，当k>0时，匀速增长；
对于模型二，当k>0时，先慢后快增长； 对于模型三，当k>0时，先快后慢增长.
第二步：根据题中材料和题图选择合适的函数模型 从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选
(2)第三步把题图中的两点代入选好的模型中，得到函数解析式将(0，0)，(30，3)代入解析式得到 即 解得k=3, n=-3, 即
第四步：完善模型是否合适 当x=90时， 满足每天得分最高不超过6分的条件.
所以函数的解析式为
(3)由 得 得x≥54.84,所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟.成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 12 页 共 18 页
24.(1)不具有，理由见解析 (3)具有，理由见解析
【分析】(1) 判断m(x)+m(2-x)≥m(2)在x∈(0,2)上是否恒成立即可;
(2) 函数y=g(x)具有性质P(a), 则有g(x)+g(a-x)≥g(a),结合绝对值三角不等式即可得出答案；(3)由题意可得 且 再证明 即可得出结论.
【详解】(1)解: ∵m(x)+m(2-x)-m(2)=x +(2-x) -8=6x -12x, x∈(0,2),
而 则m(x)+m(2-x)
要使|x-1|+|x-(a-1)|≥|a-1|, 而|x-1|+|x-(a-1)|≥|a-2|,
则对任意的 综上，
(3) 解: 因为h(x)具有性质P(a ),所以
因为函数的值域为[2，+∞)，所以 则
∴h(x)h(a -x)≥h(a -x)+h(x), ∴h(x)h(a -x)≥h(a -x)+h(x)≥h(a )>0,
∵φ(x)+ ≥lgh(a ),所以 即φ(x)=lgh(x)具有性质P(a ).【点睛】本题考查了函数新定义的问题，解决本题的关键在于理解函数的新定义，考查了函数不等式恒成立问题，考查了数据分析能力及逻辑推理能力，有一定的难度.
25. (1)y=(a-1)x; (2)证明见解析; (3)b≥-e.
【详解】(1) f(0)=0, 而 故 所以在(0，f(0))处的切线方程为
令g(x)=a-(x+1)e ,则
当x<-2时, g'(x)>0, 当x>-2时, g'(x)<0, 故g(x)即f'(x)在(-∞,-2)上为增函数, 在( )上为减函数，
而x<-2时, f'(x)>0恒成立, 当x> max{0,a-1}时, f'(x)
(3)令 由题设可得：函数h(x)的最大值不大于0，
根据(2)的结论可知有唯一极值点x ，且当x
所以 故 由(a>0可得x >-1.
又由a的存在性可得 令
当x∈(-1,1)时, 当x∈(1,+∞)时,t'(x)>0,故t(x)在(-1,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数, 综上所述b≥-e.【点睛】思路点睛：导数背景下函数零点问题，注意根据导数符号讨论单调性，再根据零点存在定理判断零点的个数，而不等式恒成立问题，往往转化为函数的最值来处理.
26.已知函数 其中k∈R.(1)讨论函数f(x)的零点的个数；
(2) 若存在实数m、n,使函数f(x)的定义域为[m,n], 值域为[m,n], 其中-3≤m
【答案】(1)当k≤0时, 1个零点; 当k>0时, 没有零点;
【分析】(1)分k>0, k=0, k<0三种情况, 由函数f(x)的值域讨论可得结论;
(2)由函数f(x)在[m，n]的单调性，由已知建立方程组 继而转化为 在 上有两个解，令 求导函数，分析导函数的符号，得出所令函数的单调性及最值，可求得实数k的取值范围；(3)由函数的单调性及已知条件得 分别将两式相减和两式相加求得 设 则p+q=1, 代入得 由二次函数的性质可求得实数k的取值范围.【详解】解:(1)当k>0时, f(x)>0, 所以函数f(x)没有零点;
当k=0时, 所以函数f(x)有一个零点x=-3；
当k<0时, 令 得， 函数f(x)有一个零点，
综上得：当k>0时，函数f(x)没有零点，当k≤0时，函数f(x)有一个零点；
(2)因为函数f(x)在[m，n]上单调递增，所以函数f(x)的值域为： 又函数f(x)的值域为
[m,n], 且-3≤m
在区间 上, g'(x)<0,g(x)单调递减，在区间 上， 单调递增，
所以 且g(-3)=-3,所以实数k的取值范围
(3)因为函数f(x)在[m，n]上单调递增，所以函数f(x)的值域为： 又函数f(x)的值域为|[-n,-m], 且-3≤m
【详解】(1)由题得对于任意实数x，都有(a(x+1)+b+ ax+b=x,
所以ax+a+b+ ax+b=x,∴(2a-1)x+a+2b=0所以
(2) 由题得.g(x+2)+g(x)=x,∴g(x+2)+x(2-x)=x,∴g(x+2)=x -x,因为x∈[0,2], 所以x+2∈[2,4], 设t=x+2, t∈[2,4], 所以x=t-2,所以 所以 同理 由题得 所以
(3) 由题得f(x+k)+f(x)=x, 因为F(x)=f(x)+h(x)=f(x)+ Ax+B,
所以F(x+k)=f(x+k)+ Ax+ Ak+B,
所以F(x+k)+F(x)=f(x+k)+f(x)+2Ax+ Ak+2B,
所以F(x+k)+F(x)=x+2Ax+ Ak+2B, 所以F(x+k)+F(x)=(2A+1)x+ Ak+2B,
令 得，
所以F(x)=F(x+2k), 所以F(x)是周期函数.所以 所以
所以存在 使得函数F(x)=f(x)+h(x)是周期函数.成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 15 页 共 18 页
28.如图，扇形OPQ区域(含边界)是一蔬果种植园，其中P、Q分别在公路OA和OB上.经测得，扇形OPQ区域的圆心角 半径为1千米，为了方便菜农营销，打算在扇形OPQ区域外修建一条公路MN，分别与OA 和OB 交于M、N两点，并要求 MN与扇形 PQ弧相切于点S，设 (弧度)，假设所有公路的宽度均忽略不计.(1)将公路 MN的长度(单位：千米)表示为α的函数，并写出α的取值范围；
(2)求公路 MN长度的最小值，并求此时α的值.
【分析】(1) 由已知条件可得, OS⊥MN, 在Rt△OSM中, OS=1,∠MOS=α, 可得SM=tanα, 在 Rt△OSN 中, 再结合正切函数的恒等变换，即可求解.
(3)根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解.
【详解】(1) ∵MN 与扇形 PQ弧相切于点S, ∴OS⊥MN, 在 Rt△OSM中, ∵OS=1, ∠MOS=α,∴SM=tanα, 在 Rt△OSN 中,
令 则 当且仅当 即t=2，等号成立，此时 故公路MN长度的最小值为 ，此时α的值为-
29.在平面直角坐标系xOy 中，动点M到直线x=4的距离等于点M到点D (1，0)的距离的2倍，记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知斜率为 的直线l与曲线C交于A、B两个不同点，若直线l不过点P(1, ), 设直线 PA、PB 的斜率分别为kpA、kpB, 求kpA+kpB的值; (3) 设点 Q为曲线C的上顶点,点 E、F是C上异于点Q的任意两点，以EF为直径的圆恰过Q点，试判断直线EF 是否经过定点 若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由.
【详解】(1)不妨设点M的坐标为(x，y)， 由题意可知， 化简可得， 故曲线C的方程为
(2)不妨设直线l的方程： A(x , y ), B (x , y ),因为直线l不过点 易知m≠1,联立直线方程与椭圆方程可得 由 且m≠1可得, - 2
将 代入上式得, kPA+kPB=0, 故 kPA+kPB的值为0.
(3)由椭圆方程 可知，Q点坐标为 因为以 EF 为直径的圆恰过Q 点，所以QE⊥QF，结合椭圆特征可知，直线EF 的斜率存在，不妨设直线 EF 方程：y=kx+b，且b≠ , E (x , y ),F(x ，y )，联立直线方程与椭圆方程可得
由 可得， 由韦达定理可知，
因为
所以
将 代入上式并化简可得， 故直线 EF 方程：
易知直线 EF 必过定点 从而直线EF 经过定点，定点坐标为
30. 对于项数为m(m≥3, m∈N)的有限数列{a },记该数列前i项a 、a 、···、a 中的最大项为x (i=1, 2, …, m), 即x = max{a , a , …, a }; 该数列后m-i项a + 、a +2、…、 am中的最小项为y (i=1, 2, ……, m-1), 即y = min{ai+1, ai+2, ……, am}, d =x -y (i=1, 2, ……, m-1).
例如数列: 1、 3、2, 则x =1, x =3, x =3; y =2, y =2; d =-1, d =1.
(1)若四项数列{an}满足 求a 、 a 、 a 、 a ;
(2) 设c为常数, 且aak+ xm-k+1=c (k=1, 2, …m), 求证: x = ak (k=1, 2, ……, m);
(3) 设实数λ>0, 数列{an}满足 若数列{an}对应的d 满足 对任意的正整数i=1，2，3，……，m-2恒成立，求实数λ的取值范围.
【分析】(1)结合已知条件，首先求出x ，x ，x ，然后利用数列{an}的新定义即可求解：(2)结合数列新定义可得到： 然后结合已知条件可得到ak+1≥a , 进而即可证明x =a ; (3) 结合已知条件对参数分类讨论，易知当λ=1和 时，不满足题意；当λ≠1且 时，构造等比数列井求出 an通项公式，结合数列新定义可得到 x =a ,进而求得d =a -ai+ ,然后可得到 对不等式求解 即可得到答案.
【详解】(1)因为四项数列{an} 满足 由题意可知 x =y +d ,故 ,且y =a =3, 因为y =y =y =3,从而a =-1, a =4, a =8,故a =-1, a =4, a =8, a =3.成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 17 页 共 18 页
(2)证明：因为 所以 又因为 所以 故 即 所以
(3) ①当λ=1时, 数列{an}是等差数列, 此时 不满足题意；
②当λ≠1时, 由 可得 由a =1可知,
(i)当 时， 即an=1,则数列 an为常数列，此时 不满足题意；
(ii) 当 时，
故数列 是公比为λ的等比数列，易得
由题意可知，(
di+1= max{a , a , …, ai, ai+1}-min{ai+2, ai+3…, am}
因为且 di+1> di,
所以, 故对于任意正整数i=1, 2, 3, …, m都成立,从而 x =a , 故
所以 解得 故实数λ的取值范围为
成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 18 页 共 18 页
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