3.4.1 圆周角和圆心角的关系 教学设计（表格式）北师大版数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 3.4.1 圆周角和圆心角的关系 教学设计（表格式）北师大版数学九年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 396.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-23 22:00:39 | ||
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文档简介
4.1 圆周角和圆心角的关系 （第1课时）
课题 圆周角和圆心角的关系（第1课时） 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P78-80
教学目标 理解圆周角的概念； 掌握圆周角和圆心角之间的关系； 掌握同弧或等弧所对的圆周角相等； 会运用圆周角定理及其推论进行有关的证明和运算。
教学重难点 重点：理解圆周角的概念；掌握圆周角与圆心角之间的关系定理及其第一个推论。 难点：圆周角和圆心角关系的证明。
教学准备 多媒体课件。
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情境，导入新课 “射门”无疑是足球运动中最动人心魄的时刻。在一场射门游戏中，如果球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关，那么当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC。（多媒体呈现） 师生活动：教师提出问题，学生思考交流回答。 教师活动：（1）这三个角有什么特点？ （2）这三个角的大小有什么关系？ 学生活动：思考交流回答。（1）这三个角的顶点都在圆上，角的两边都与圆相交。 （2）通过用量角器测量发现，这三个角的大小一样。（这里教师可以引导学生在纸上画出这三个角，然后通过测量比较）。 教师活动：引出概念，提出问题，引出课题。之前我们把顶点在圆心上的角叫做圆心角。像这样，顶点都在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角，我们称它为圆周角。 那么，这三个圆周角真的相等吗？它除了相等还有哪些性质？从今天这节课开始，我们将一块儿探究圆周角的相关性质。（板书课题：圆周角和圆心角的关系 第1课时） 以足球射门为背景，创设情境，渗透数学与生活息息相关的思想，通过学生观察思考引出圆周角定义以及本节课课题。
2.实践探究，学习新知 【探究】探索圆周角和圆心角的关系 请同学们在圆上确定一条劣弧，画出它所对的圆心角与圆周角，并观察圆周角与圆心角有几种位置关系。（多媒体呈现） 师生活动：教师提出问题，学生思考交流回答。 教师活动：请同学们动手画出⊙O，在圆上任取两点A，B，并画出对的圆心角和圆周角，观察所对的圆周角有几个？ 学生活动：动手操作并回答。有无数个。 教师活动：在你们所画的图中，圆周角和圆心角有几种位置关系？ 学生活动：思考交流讨论回答展示。有三种。分别是圆心在圆周角的一边上,圆心在圆周角的内部,圆心在圆周角的外部。 教师活动：那同学们所画的所对的圆心角和其所对的圆周角之间有什么关系？你是通过什么方法得到的？ 学生活动：思考交流回答。通过测量发现，所对的圆周角的度数等于所对的圆心角度数的一半。 教师活动：几何画板演示同弧所对圆心角和圆周角的大小关系。通过画图，我们知道：以圆上任意一点为顶点的圆周角有无数多个，但它们与圆心的位置关系只有三种，而这三种位置关系中，通过测量我们发现圆周角都等于他所对弧上的圆心角度数的一半，那么我们可不可以通过证明来验证下呢？（证明难度较大，教师注意引导） 学生活动：学生思考交流讨论交流，学生代表展示并讲解推理过程。学生：（1）第一种情况：当圆心O在圆周角(∠ACB)的一边(BC)上时。 ∵∠AOB是△ACO的外角，∴∠AOB=∠A+∠C。 ∵OA=OC，∴∠A=∠C， ∴∠AOB=2∠C，即∠C=∠AOB。 （2）第二种情况：当圆心O在圆周角(∠AOB)的内部时。 过点C作直径CD，由第一种情况可得： ∠AOD=∠A+∠ACD，∠BOD=∠B+∠BCD， ∴∠AOD+∠BOD=∠A+∠ACD+∠B+∠BCD， ∴∠AOB=2∠ACB，即∠ACB=∠AOB。 （3）第三种情况：当圆心在圆周角(∠AOB)的外部时。 过点C作直径CD，由第一种情况可得： ∠AOD=∠A+∠ACD，∠BOD=∠B+∠BCD， ∴∠AOD－∠BOD=∠A+∠ACD－（∠B+∠BCD）， ∴∠AOB=2∠ACB，即∠ACB=∠AOB。 教师活动：出示圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。（多媒体呈现） 教师活动：现在同学们能够用说理的方法说明在刚才的足球射门问题中，三个角为什么一样大了吗？ 学生活动：可以。如图，设圆心为O，连接OA，OC，AD，CD，EA，EC。 有圆周角定理可得：∠ABC=∠AOC， ∠ADC=∠AOC，∠AEC=∠AOC。 ∴∠ABC=∠ADC=∠AEC。 教师活动：我们知道同弧或等弧所对的圆心角相等，所以（引出圆周角定理推论）同弧或等弧所对的圆周角相等。 让学生经历画图的过程，确定特定的弧所对的圆周角，通过对圆周角和圆心角关系的探索、讨论、交流，初步认识同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半，为下面圆周角定理证明做好铺垫。
3.学以致用，应用新知 考点1 圆周角定理 随堂练习 1 【变式训练】 如图，A，B，C 是⊙O 上的三点，若∠C=35°，则∠ABO的度数是 （ ） A. 35° B. 55° C. 60° D. 70° 答案：B 考点2 同弧或等弧所对的圆周角 随堂练习 2 【变式训练】 如图，在⊙O中，点A是的中点，∠ADC=24°，则∠AOB 的度数是（ ） A. 24° B. 26° C. 48° D. 66° 答案：C 学以致用，通过及时练习，进一步提升学生对新知的理解与运用。
4.随堂训练，巩固新知 如图，AB是 O的直径，＝3，则∠BAC＝（ ） A．67.5° B．45° C．30° D．22.5° 答案：D 如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P。若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的大小为（ ） A．32° B．42° C．52° D．62° 答案：A 如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知∠P＝30°，∠AOC＝80°，则的度数是（ ） A．30° B．25° C．20° D．10° 答案：C 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（ ） A．28° B．30° C．36° D．56° 答案：A 如图，菱形OABC的顶点A，B，C在圆O上，且∠OAB＝60°，若点P是圆周上任意一点且不与A，B，C重合，则∠APC的度数为 。 答案：60°或120° 如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交弧BC于点D。点E为半径OB上一动点，若OB＝2，则CE+DE长的最小值为 。 答案：2 进一步巩固新知，同时为学生提供自我检测的机会，教师也可针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 教师引导学生畅所欲言地谈谈本节课的收获： 通过探究得到了圆周角定理及其推论。 能够利用圆周角定理及其推论解决相应问题。 通过小结，回顾探索新知识的过程，进一步感悟其中蕴含的数学思想方法，提高学生的概括能力，培养学生良好的回顾和反思的习惯。
6.布置作业 1.书面作业：习题3.4。 让学生所学知识得以运用，在巩固学生知识技能的同时也减轻学生负担。
板书设计 圆周角和圆心角的关系（第1课时）圆周角定理 圆周角推论1教师题目讲解 学生活动区投影区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 本节课通过足球射门问题，引发学生解决问题的热情，从而使学生能够积极地投身到课堂的探究活动中。同时本节课的教学策略主要是通过教师引导，让学生通过观察、思考、交流等合作活动亲身经历知识的发生、发展及其探求过程，并在此过程中使学生深刻地理解知识和掌握由特殊到一般的研究方法。整体而言，本节课充分将课堂还给学生，以学生为主体，进而把数学的课堂变成数学探讨的课堂，学生探究的课堂。 反思，更进一步提升。
课题 圆周角和圆心角的关系（第1课时） 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P78-80
教学目标 理解圆周角的概念； 掌握圆周角和圆心角之间的关系； 掌握同弧或等弧所对的圆周角相等； 会运用圆周角定理及其推论进行有关的证明和运算。
教学重难点 重点：理解圆周角的概念；掌握圆周角与圆心角之间的关系定理及其第一个推论。 难点：圆周角和圆心角关系的证明。
教学准备 多媒体课件。
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情境，导入新课 “射门”无疑是足球运动中最动人心魄的时刻。在一场射门游戏中，如果球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关，那么当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC。（多媒体呈现） 师生活动：教师提出问题，学生思考交流回答。 教师活动：（1）这三个角有什么特点？ （2）这三个角的大小有什么关系？ 学生活动：思考交流回答。（1）这三个角的顶点都在圆上，角的两边都与圆相交。 （2）通过用量角器测量发现，这三个角的大小一样。（这里教师可以引导学生在纸上画出这三个角，然后通过测量比较）。 教师活动：引出概念，提出问题，引出课题。之前我们把顶点在圆心上的角叫做圆心角。像这样，顶点都在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角，我们称它为圆周角。 那么，这三个圆周角真的相等吗？它除了相等还有哪些性质？从今天这节课开始，我们将一块儿探究圆周角的相关性质。（板书课题：圆周角和圆心角的关系 第1课时） 以足球射门为背景，创设情境，渗透数学与生活息息相关的思想，通过学生观察思考引出圆周角定义以及本节课课题。
2.实践探究，学习新知 【探究】探索圆周角和圆心角的关系 请同学们在圆上确定一条劣弧，画出它所对的圆心角与圆周角，并观察圆周角与圆心角有几种位置关系。（多媒体呈现） 师生活动：教师提出问题，学生思考交流回答。 教师活动：请同学们动手画出⊙O，在圆上任取两点A，B，并画出对的圆心角和圆周角，观察所对的圆周角有几个？ 学生活动：动手操作并回答。有无数个。 教师活动：在你们所画的图中，圆周角和圆心角有几种位置关系？ 学生活动：思考交流讨论回答展示。有三种。分别是圆心在圆周角的一边上,圆心在圆周角的内部,圆心在圆周角的外部。 教师活动：那同学们所画的所对的圆心角和其所对的圆周角之间有什么关系？你是通过什么方法得到的？ 学生活动：思考交流回答。通过测量发现，所对的圆周角的度数等于所对的圆心角度数的一半。 教师活动：几何画板演示同弧所对圆心角和圆周角的大小关系。通过画图，我们知道：以圆上任意一点为顶点的圆周角有无数多个，但它们与圆心的位置关系只有三种，而这三种位置关系中，通过测量我们发现圆周角都等于他所对弧上的圆心角度数的一半，那么我们可不可以通过证明来验证下呢？（证明难度较大，教师注意引导） 学生活动：学生思考交流讨论交流，学生代表展示并讲解推理过程。学生：（1）第一种情况：当圆心O在圆周角(∠ACB)的一边(BC)上时。 ∵∠AOB是△ACO的外角，∴∠AOB=∠A+∠C。 ∵OA=OC，∴∠A=∠C， ∴∠AOB=2∠C，即∠C=∠AOB。 （2）第二种情况：当圆心O在圆周角(∠AOB)的内部时。 过点C作直径CD，由第一种情况可得： ∠AOD=∠A+∠ACD，∠BOD=∠B+∠BCD， ∴∠AOD+∠BOD=∠A+∠ACD+∠B+∠BCD， ∴∠AOB=2∠ACB，即∠ACB=∠AOB。 （3）第三种情况：当圆心在圆周角(∠AOB)的外部时。 过点C作直径CD，由第一种情况可得： ∠AOD=∠A+∠ACD，∠BOD=∠B+∠BCD， ∴∠AOD－∠BOD=∠A+∠ACD－（∠B+∠BCD）， ∴∠AOB=2∠ACB，即∠ACB=∠AOB。 教师活动：出示圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。（多媒体呈现） 教师活动：现在同学们能够用说理的方法说明在刚才的足球射门问题中，三个角为什么一样大了吗？ 学生活动：可以。如图，设圆心为O，连接OA，OC，AD，CD，EA，EC。 有圆周角定理可得：∠ABC=∠AOC， ∠ADC=∠AOC，∠AEC=∠AOC。 ∴∠ABC=∠ADC=∠AEC。 教师活动：我们知道同弧或等弧所对的圆心角相等，所以（引出圆周角定理推论）同弧或等弧所对的圆周角相等。 让学生经历画图的过程，确定特定的弧所对的圆周角，通过对圆周角和圆心角关系的探索、讨论、交流，初步认识同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半，为下面圆周角定理证明做好铺垫。
3.学以致用，应用新知 考点1 圆周角定理 随堂练习 1 【变式训练】 如图，A，B，C 是⊙O 上的三点，若∠C=35°，则∠ABO的度数是 （ ） A. 35° B. 55° C. 60° D. 70° 答案：B 考点2 同弧或等弧所对的圆周角 随堂练习 2 【变式训练】 如图，在⊙O中，点A是的中点，∠ADC=24°，则∠AOB 的度数是（ ） A. 24° B. 26° C. 48° D. 66° 答案：C 学以致用，通过及时练习，进一步提升学生对新知的理解与运用。
4.随堂训练，巩固新知 如图，AB是 O的直径，＝3，则∠BAC＝（ ） A．67.5° B．45° C．30° D．22.5° 答案：D 如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P。若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的大小为（ ） A．32° B．42° C．52° D．62° 答案：A 如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知∠P＝30°，∠AOC＝80°，则的度数是（ ） A．30° B．25° C．20° D．10° 答案：C 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（ ） A．28° B．30° C．36° D．56° 答案：A 如图，菱形OABC的顶点A，B，C在圆O上，且∠OAB＝60°，若点P是圆周上任意一点且不与A，B，C重合，则∠APC的度数为 。 答案：60°或120° 如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交弧BC于点D。点E为半径OB上一动点，若OB＝2，则CE+DE长的最小值为 。 答案：2 进一步巩固新知，同时为学生提供自我检测的机会，教师也可针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 教师引导学生畅所欲言地谈谈本节课的收获： 通过探究得到了圆周角定理及其推论。 能够利用圆周角定理及其推论解决相应问题。 通过小结，回顾探索新知识的过程，进一步感悟其中蕴含的数学思想方法，提高学生的概括能力，培养学生良好的回顾和反思的习惯。
6.布置作业 1.书面作业：习题3.4。 让学生所学知识得以运用，在巩固学生知识技能的同时也减轻学生负担。
板书设计 圆周角和圆心角的关系（第1课时）圆周角定理 圆周角推论1教师题目讲解 学生活动区投影区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 本节课通过足球射门问题，引发学生解决问题的热情，从而使学生能够积极地投身到课堂的探究活动中。同时本节课的教学策略主要是通过教师引导，让学生通过观察、思考、交流等合作活动亲身经历知识的发生、发展及其探求过程，并在此过程中使学生深刻地理解知识和掌握由特殊到一般的研究方法。整体而言，本节课充分将课堂还给学生，以学生为主体，进而把数学的课堂变成数学探讨的课堂，学生探究的课堂。 反思，更进一步提升。