3.8 圆内接正多边形 教学设计（表格式）北师大版数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 3.8 圆内接正多边形 教学设计（表格式）北师大版数学九年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 333.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-23 22:02:55 | ||
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文档简介
8 圆内接正多边形
课题 圆内接正多边形 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P97-99
教学目标 了解圆内接正多边形的概念。 会用尺规作圆的内接正方形和正六边形。
教学重难点 重点：掌握圆内接正多边形的相关概念，并能尽心相关计算。 难点：用尺规作圆内接正多边形；将正多边形的半径、边心距及边长的计算问题转化为解直角三角形的问题。
教学准备 多媒体课件，圆规，直尺，三角尺。
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情境，导入新课 观察这张有趣的图案，你从中能发现有哪些图形？它们有什么特点（多媒体呈现） 师生活动：学生畅所欲言，答案合理即可，教师引导总结出圆内接正多边和正多边形外接圆的概念，并引出本节课课题。 学生活动：有圆、等边三角形、正方形... ...正多边形的顶点都在圆上。 教师活动：同学们可以参考我们之前学过的圆内接三角形和三角形外接圆的概念，给圆和这些正多边形取个统一的名字吗？ 学生活动：思考交流回答。顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，而这个圆叫做该正多边形的外接圆。（多媒体呈现或板书） 教师活动：圆内接正多边形体现了数学中的对称美，那么圆内接正多边形又有哪些有趣的知识呢？今天这节课我们就一块儿来认识下圆内接正多边形。（板书课题：圆内接正多边形） 根据圆内接正多边设计的图案创设情境，调动学生学习的积极性，最后在学生观察思考后，引出本节课课题。
2.实践探究，学习新知 【探究1】圆内接正多边形的概念 师生活动：教师引入概念，学生学习思考。同学们知道如何利用圆来作一个正多边形吗？把一个圆等分（），依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形。 如图，五边形是圆的内接正五边形， ①圆心叫做这个正五边形的中心； ②是这个正五边形的半径； ③是这个正五边形的中心角； ④，垂足为，是这个正五边形的的边心距。 在其他的正多边形中也有同样的定义。（多媒体呈现） 教师活动：同学们观察正多边形的中心、半径、中心角、边心距，分别与其外接圆或内切圆有什么关系？ 学生活动：思考交流讨论回答。 正多边形的中心→外接圆的圆心、内切圆的圆心； 正多边形的半径→内切圆的半径； 正多边形的中心角→外接圆中正多边形的边所对的圆心角； 正多边形的边心距→内切圆的半径。 【探究2】正多边形的中心角、边长和边心距的计算 例 如图，在圆内接正六边形中，半径，，垂足为，求这个正六边形的中心角、边长和边心距。（多媒体呈现） 师生活动：教师引导，学生思考交流回答（板演），教师最后规范解题步骤并引导学生总结。 学生：连接。 ∵六边形为正六边形， ∴。 ∴为等边三角形。 ∴。 在Rt△COG中，，CG=BC=×4=2。 ∴OG===。 ∴正六边形中心角为，边长为4，边心距为。 教师：所以说，正多边形的有关计算即是解直角三角形的相关计算，那同学们观察下这个直角三角形和正多边形有什么关系？ 学生：直角三角形的斜边是正多边形的半径，一直角边的长为边心距，另一直角边为边长的一半，顶点在中心的锐角是中心角的一半。 【探究3】用尺规作一个已知圆的内接正六边形 做一做：利用尺规作一个已知圆的内接正六边形。（多媒体呈现） 师生活动：学生思考交流作图展示。教师指导规范步骤。 学生活动：作法如下： （1）作⊙O的任意一条直径FC，如图①； （2）分别以F，C为圆心，以⊙O的半径R为半径作弧，与⊙O相交于E，A和D，B，则A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点； （3）顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，便得到正六边形ABCDEF，如图②。 图① 图② 教师：你能说说这么作图的道理吗？ 学生：由于正六边形的中心角为60°，因此它的边长等于外接圆的半径R。所以，在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，就可以六等分圆，进而作出圆内接正多边形。 【拓展提升】 同学们，想一想，你能利用尺规作一个已知圆的内接正多边形吗？你是怎么做的？（多媒体呈现） 学生活动：思考交流作图展示。 作法如下： （1）作⊙O的任意一条直径AB； （2）然后作直径FC的垂直平分线CD，交圆于点C，D； （3）顺次连接A，C，B，D，便得到正方形ACBD。 让学生了解正多边的概念，通过对比正多边形内切圆和外接圆的相关概念进一步加深理解。 通过例题，进一步加深学生对概念的理解，并提高学生的知识运用能力。 通过作图进一步加深学生对圆内接正多边形的理解，同时使学生理解并掌握用等分圆心角的方法等分圆周。
3.学以致用，应用新知 考点 圆内接正多边形的相关计算 随堂练习 变式训练 如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（ ） A．3 B． C． D．3 答案：C 学以致用，通过及时练习，进一步提升学生对新知的理解与运用。
4.随堂训练，巩固新知 1. 如图所示的齿轮有16个齿，每两齿之间间隔相等，相邻两齿间的圆心角α的度数为（ ） A．20° B．22.5° C．25° D．30° 答案：B 2.如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM的度数是（ ） A．36° B．45° C．48° D．60° 答案：C 3. 如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为4，则图中阴影部分的面积为（ ） A．8 B． C．16 D． 答案：A 4. 如图，正九边形ABCDEFGHI，点M是EF的中点，连接AM，CG相交于点O．则∠AOG＝ 。 答案：110° 5. 如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2．①作直径AF．②以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N．③连结AM，MN，NA。 （1）求∠ABC的度数． （2）△AMN是正三角形吗？请说明理由． （3）从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n边形，求n的值． 答案：（1）∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠ABC＝＝108°， 即∠ABC＝108°。 （2）△AMN是正三角形， 理由：连接ON，NF，如图， 由题意可得：FN＝ON＝OF， ∴△FON是等边三角形， ∴∠NFA＝60°， ∴∠NMA＝60°， 同理可得：∠ANM＝60°， ∴∠MAN＝60°， ∴△MAN是正三角形。 （3）连接OD，如图， ∵∠AMN＝60°， ∴∠AON＝120°， ∵∠AOD＝＝144°， ∴∠NOD＝∠AOD﹣∠AON＝144°﹣120°＝24°， ∵360°÷24°＝15， ∴n的值是15。 进一步巩固新知，同时为学生提供自我检测的机会，教师也可针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 教师引导学生畅所欲言地谈谈本节课的收获： 了解圆内接正多边形的概念。 能进行圆内接正多边形的相关计算。 会用尺规作圆的内接正方形和正六边形。 通过小结，回顾探索新知识的过程，进一步感悟其中蕴含的数学思想方法，提高学生的概括能力，培养学生良好的回顾和反思的习惯。
6.布置作业 1.书面作业：习题3.10。 让学生所学知识得以运用，在巩固学生知识技能的同时也减轻学生负担。
板书设计 圆内接正多边形圆内接正多边形 圆内接正多边形的相关计算 三、作图教师题目讲解 学生活动区投影区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 本节课根据用圆内接正多边形设计的图案为背景，创设情景，引发学生学习的热情，从而使学生能够积极地投身到课堂的探究活动中。但由于本节新概念较多，因此对概念的教学主要是运用启发式教学，让学生从“形”的特征获得对几何概念的直观认识，鼓励学生用自己的语言表述有关概念，再进一步准确理解有关概念的文字表述，促进学生主动学习。通过形象生动的直观图形，给学生营造一个问题情景，通过问题的探索来调动学生的内在动力，提高学习积极性，提高探索知识的能力。 反思，更进一步提升。
课题 圆内接正多边形 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P97-99
教学目标 了解圆内接正多边形的概念。 会用尺规作圆的内接正方形和正六边形。
教学重难点 重点：掌握圆内接正多边形的相关概念，并能尽心相关计算。 难点：用尺规作圆内接正多边形；将正多边形的半径、边心距及边长的计算问题转化为解直角三角形的问题。
教学准备 多媒体课件，圆规，直尺，三角尺。
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情境，导入新课 观察这张有趣的图案，你从中能发现有哪些图形？它们有什么特点（多媒体呈现） 师生活动：学生畅所欲言，答案合理即可，教师引导总结出圆内接正多边和正多边形外接圆的概念，并引出本节课课题。 学生活动：有圆、等边三角形、正方形... ...正多边形的顶点都在圆上。 教师活动：同学们可以参考我们之前学过的圆内接三角形和三角形外接圆的概念，给圆和这些正多边形取个统一的名字吗？ 学生活动：思考交流回答。顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，而这个圆叫做该正多边形的外接圆。（多媒体呈现或板书） 教师活动：圆内接正多边形体现了数学中的对称美，那么圆内接正多边形又有哪些有趣的知识呢？今天这节课我们就一块儿来认识下圆内接正多边形。（板书课题：圆内接正多边形） 根据圆内接正多边设计的图案创设情境，调动学生学习的积极性，最后在学生观察思考后，引出本节课课题。
2.实践探究，学习新知 【探究1】圆内接正多边形的概念 师生活动：教师引入概念，学生学习思考。同学们知道如何利用圆来作一个正多边形吗？把一个圆等分（），依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形。 如图，五边形是圆的内接正五边形， ①圆心叫做这个正五边形的中心； ②是这个正五边形的半径； ③是这个正五边形的中心角； ④，垂足为，是这个正五边形的的边心距。 在其他的正多边形中也有同样的定义。（多媒体呈现） 教师活动：同学们观察正多边形的中心、半径、中心角、边心距，分别与其外接圆或内切圆有什么关系？ 学生活动：思考交流讨论回答。 正多边形的中心→外接圆的圆心、内切圆的圆心； 正多边形的半径→内切圆的半径； 正多边形的中心角→外接圆中正多边形的边所对的圆心角； 正多边形的边心距→内切圆的半径。 【探究2】正多边形的中心角、边长和边心距的计算 例 如图，在圆内接正六边形中，半径，，垂足为，求这个正六边形的中心角、边长和边心距。（多媒体呈现） 师生活动：教师引导，学生思考交流回答（板演），教师最后规范解题步骤并引导学生总结。 学生：连接。 ∵六边形为正六边形， ∴。 ∴为等边三角形。 ∴。 在Rt△COG中，，CG=BC=×4=2。 ∴OG===。 ∴正六边形中心角为，边长为4，边心距为。 教师：所以说，正多边形的有关计算即是解直角三角形的相关计算，那同学们观察下这个直角三角形和正多边形有什么关系？ 学生：直角三角形的斜边是正多边形的半径，一直角边的长为边心距，另一直角边为边长的一半，顶点在中心的锐角是中心角的一半。 【探究3】用尺规作一个已知圆的内接正六边形 做一做：利用尺规作一个已知圆的内接正六边形。（多媒体呈现） 师生活动：学生思考交流作图展示。教师指导规范步骤。 学生活动：作法如下： （1）作⊙O的任意一条直径FC，如图①； （2）分别以F，C为圆心，以⊙O的半径R为半径作弧，与⊙O相交于E，A和D，B，则A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点； （3）顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，便得到正六边形ABCDEF，如图②。 图① 图② 教师：你能说说这么作图的道理吗？ 学生：由于正六边形的中心角为60°，因此它的边长等于外接圆的半径R。所以，在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，就可以六等分圆，进而作出圆内接正多边形。 【拓展提升】 同学们，想一想，你能利用尺规作一个已知圆的内接正多边形吗？你是怎么做的？（多媒体呈现） 学生活动：思考交流作图展示。 作法如下： （1）作⊙O的任意一条直径AB； （2）然后作直径FC的垂直平分线CD，交圆于点C，D； （3）顺次连接A，C，B，D，便得到正方形ACBD。 让学生了解正多边的概念，通过对比正多边形内切圆和外接圆的相关概念进一步加深理解。 通过例题，进一步加深学生对概念的理解，并提高学生的知识运用能力。 通过作图进一步加深学生对圆内接正多边形的理解，同时使学生理解并掌握用等分圆心角的方法等分圆周。
3.学以致用，应用新知 考点 圆内接正多边形的相关计算 随堂练习 变式训练 如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（ ） A．3 B． C． D．3 答案：C 学以致用，通过及时练习，进一步提升学生对新知的理解与运用。
4.随堂训练，巩固新知 1. 如图所示的齿轮有16个齿，每两齿之间间隔相等，相邻两齿间的圆心角α的度数为（ ） A．20° B．22.5° C．25° D．30° 答案：B 2.如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM的度数是（ ） A．36° B．45° C．48° D．60° 答案：C 3. 如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为4，则图中阴影部分的面积为（ ） A．8 B． C．16 D． 答案：A 4. 如图，正九边形ABCDEFGHI，点M是EF的中点，连接AM，CG相交于点O．则∠AOG＝ 。 答案：110° 5. 如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2．①作直径AF．②以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N．③连结AM，MN，NA。 （1）求∠ABC的度数． （2）△AMN是正三角形吗？请说明理由． （3）从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n边形，求n的值． 答案：（1）∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠ABC＝＝108°， 即∠ABC＝108°。 （2）△AMN是正三角形， 理由：连接ON，NF，如图， 由题意可得：FN＝ON＝OF， ∴△FON是等边三角形， ∴∠NFA＝60°， ∴∠NMA＝60°， 同理可得：∠ANM＝60°， ∴∠MAN＝60°， ∴△MAN是正三角形。 （3）连接OD，如图， ∵∠AMN＝60°， ∴∠AON＝120°， ∵∠AOD＝＝144°， ∴∠NOD＝∠AOD﹣∠AON＝144°﹣120°＝24°， ∵360°÷24°＝15， ∴n的值是15。 进一步巩固新知，同时为学生提供自我检测的机会，教师也可针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 教师引导学生畅所欲言地谈谈本节课的收获： 了解圆内接正多边形的概念。 能进行圆内接正多边形的相关计算。 会用尺规作圆的内接正方形和正六边形。 通过小结，回顾探索新知识的过程，进一步感悟其中蕴含的数学思想方法，提高学生的概括能力，培养学生良好的回顾和反思的习惯。
6.布置作业 1.书面作业：习题3.10。 让学生所学知识得以运用，在巩固学生知识技能的同时也减轻学生负担。
板书设计 圆内接正多边形圆内接正多边形 圆内接正多边形的相关计算 三、作图教师题目讲解 学生活动区投影区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 本节课根据用圆内接正多边形设计的图案为背景，创设情景，引发学生学习的热情，从而使学生能够积极地投身到课堂的探究活动中。但由于本节新概念较多，因此对概念的教学主要是运用启发式教学，让学生从“形”的特征获得对几何概念的直观认识，鼓励学生用自己的语言表述有关概念，再进一步准确理解有关概念的文字表述，促进学生主动学习。通过形象生动的直观图形，给学生营造一个问题情景，通过问题的探索来调动学生的内在动力，提高学习积极性，提高探索知识的能力。 反思，更进一步提升。