指数函数重点考点 专题练 2026年高考数学一轮复习备考

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指数函数重点考点 专题练
2026年高考数学一轮复习备考
一、单选题
1．设集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数则（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
3．设直线分别交曲线与曲线于两点，若点在上，满足为等边三角形，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数为偶函数，记 ， ，，则的大小关系为 (　　 )
A． B． C． D．
8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，设，则下列结论错误的是（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．在上是增函数 D．的值域是
9．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．若正实数，，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．设函数，则下列说法错误的是（　　）
A．在上单调递增
B．为奇函数
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于点对称
12．已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．当时，函数单调递增
B．存在正数，使得函数为偶函数
C．函数的图象与直线有两个交点
D．若函数在上单调递增，则实数的最小值为
三、填空题
13．已知函数是偶函数，则 ．
14．已知，则的解集为 ．
四、解答题
15．已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求的解析式；
(2)求当时，函数的值域.
16．已知函数为常数，函数.
(1)若为奇函数，求的值.
(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围.
(3)在第(1)问的条件下，当时，，函数在区间上的值域为，求实数的取值范围.
17．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且.
(1)求的值，并求出的解析式；
(2)若在上恒成立，求的取值范围.
18．已知函数
(1)求函数的值域；
(2)若时，恒有，求实数a的取值范围．
19．已知定义在上的函数（且）.
(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)若，试判断函数的单调性并加以证明；并求在上有解时，实数的取值范围.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C A D C C B A B
题号 11 12
答案 ABD ABD
1．D
【分析】根据指数函数单调性得出集合，再应用并集定义计算求解.
【详解】因为集合，
则.
故选：D.
2．D
【分析】根据分段函数的定义域、对数、指数的运算可得答案.
【详解】因为，则，
所以．
故选：D.
3．C
【分析】求出点坐标，代入函数解析式求解.
【详解】由得，即，由得，即，
所以，为等边三角形，如图，则，
所以，解得，
故选：C.
4．A
【分析】由奇偶函数定义，利用方程组法求解析式，再利用基本不等式求最值.
【详解】由是奇函数，得，
由是偶函数，得，
联立解得，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
故选：A
5．D
【分析】根据复合函数的单调性，结合二次函数的单调性列式求解即可.
【详解】因为函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，
因此，解得，所以实数的取值范围是.
故选：D.
6．C
【分析】根据指数型复合函数单调性的求法可得参数范围.
【详解】由函数的定义域为，
设，则，
又单调递增，
当时，，，无单调性，不成立；
当时，在和上单调递增，
即在和上单调递增，
所以，则，即；
当时，在和上单调递减，
即在和上单调递减，不成立；
综上所述，
故选：C.
7．C
【详解】试题分析：因为为偶函数，所以，
在上单调递增，并且，因为，，故选C．
考点：函数的单调性
【思路点睛】本题考查的是比较大小相关知识点，一般比较大小我们可以采用作差法、作商法、单调性法和中间量法，本题的题设中有解析式且告诉我们为偶函数，即可求出参数的值，所以我们采用单调性法，经观察即可得到函数的单调性，然后根据可以通过函数的奇偶性转化到同一侧，进而判断出几个的大小，然后利用函数的单调性即可判断出所给几个值的大小．
8．B
【分析】利用奇偶性定义及特殊值法判断A、B；根据指数函数、复合函数的单调性判断C，由函数新定义及分式型函数、指数函数性质求的值域判断D．
【详解】由且，则是奇函数，A对；
由，根据指数函数、复合函数单调性易知：在上是增函数，C对；
由，，显然，B错；
当时，，则，此时；
当时，，则，此时；
所以的值域是，D对．
故选：B
9．A
【分析】将函数解析式变形，判断函数的单调性和奇偶性，利用奇偶性以及单调性解不等式即可.
【详解】由题可知，，
令，则，
所以是奇函数．又由，可得，
即，得．
由，因为均为上的减函数，
所以在上单调递减，所以，即，
解得，即实数的取值范围是．
故选：A
10．B
【分析】借助导数研究函数单调性，进而得到函数值大小即可.
【详解】，，则，则，则.
则，则，则
先比较a，b：作差，设，
求导，则在单调递减.
，，故有正负还有零.
即值有正负还有零，故不能比较大小.故A错误.
再比较a，c：作差，设，求导，则
由于，则在单调递减.
，则在单调递增.
且，则，即，即.故B正确．
最后比较b，c，由于，假设满足题意，
假设，即，即，即也满足题意，
假设，即，即，即也满足题意．
则无法比较大小，故CD错误.
故选：B.
11．ABD
【分析】对于B,因为的定义域为R,但，故不是奇函数；对于C,只需验证是否成立即可；对于D,只需验证是否成立即可；结合C,D可以判断A.
【详解】∵，
∴，
即，
即的图象关于直线对称，故C正确，A，D错误；
∵因为的定义域为R,但，
∴不是奇函数，故B错误．
故选：ABD.
12．ABD
【分析】分、两种情况讨论，结合指数函数的单调性可判断A选项；取，结合函数奇偶性的定义可判断B选项；取，结合函数的单调性可判断C选项；利用函数单调性与导数的关系求出的取值范围，可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，为增函数，
当时，，则函数、均为增函数，
故函数也为增函数，
综上所述，当时，函数单调递增，A对；
对于B选项，取，则，此时，
所以，此时，
函数的定义域为，，即函数为偶函数，
因此，存在正数，使得函数为偶函数，B对；
对于C选项，当时，由A选项可知，函数在上为增函数，且，
此时，函数的图象与直线只有一个公共点，C错；
对于D选项，因为，则，
由题意可知时，函数为增函数，
当时，由题意可知，对任意的，恒成立，
只需，即，
因为，则，
因为，则，所以，即，
所以，可得，解得或，
因为，所以.
综上所述，实数的取值范围是，故实数的最小值为，D对.
故选：ABD.
13．
【分析】利用特值法求出值，再证明是偶函数即可.
【详解】函数，是偶函数，
，则，解得，
当时，，
，故是偶函数.
综上所述，.
故答案为：.
14．或
【分析】利用奇偶函数的判断方法及基本函数的单调性，可得为奇函数，且在定义上单调递减，从而得到，即可求解.
【详解】易知的定义域为，又，
所以为奇函数，又易知在定义上单调递减，
故由，可得到，
所以，即，解得或，
所以的解集为或，
故答案为：或.
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用奇函数定义及性质，列式计算求出，作答.
（2）由（1）的结论，求出函数的解析式，利用换元法转化为二次函数求出值域即可.
【详解】（1）由函数是上的奇函数，则有，解得，
所以，
，，
即，，解得，
经验证得，时，是奇函数，
所以.
（2）由（1）知，，
令，，则，
于是函数变为，
对称轴为，所以在单调递减，在单调递增，
因此当时，，当时，，
所以函数的值域为.
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据函数为奇函数可得，由此即可得解；
（2）令，根据增函数的定义可得恒成立，进而可得出答案；
（3）根据（1）中所得函数解析式确定函数的解析式，并运用函数单调性确定其单调性，再根据单调性和值域列等式，将问题转化为函数与方程问题，最后求解出参数的取值范围.
【详解】（1）因为为奇函数，所以，
即，即，
所以，所以，所以，
经检验不符题意，
所以；
（2）令，
则
，
因为函数在上单调递增，
所以恒成立，
因为，所以，
所以恒成立，即，
因为，所以，
所以，
所以实数的取值范围为；
（3）由（1）知，
令，函数在上单调递减，
又函数为增函数，
所以函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，且，
所以函数在上单调递减，
所以函数在区间上的值域为，
又因为函数在区间上的值域为
，
所以，
即，
所以，
令，
则关于的方程在上有两根不同的实数根，
等价于关于的方程在上有两根不同的实数根，
令，则函数在上有两个不同零点，
当时，为一次函数，不可能有两个零点，舍去；
当时，函数的对称轴为，
则，无解；
当时，函数的对称轴为，
，解得且，
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：第二问，根据对数复合函数的单调性及其区间值域，将问题转化为方程在某区间内有两个不同实根，是解决本题的关键.
17．(1)，
(2)
【分析】（1）利用偶函数性质以及函数值可得，再由偶函数定义可得其解析式；
（2）将不等式恒成立转化为求恒成立问题，由基本不等式计算可得的取值范围.
【详解】（1）因为是偶函数，所以，
解得，
当时，可得，所以，
所以函数的解析式为
（2）由（1）知，当时，，
因为在上恒成立，
所以，
又因为，
当且仅当时，即时等号成立，
所以，即的取值范围是.
18．(1)
(2)
【分析】（1）分和两种情况，结合指数函数的单调性即可求得值域；
（2）将化为，利用换元法结合参变分离的思想即可求得a的范围.
【详解】（1）的定义域为，
当时，，
因为，所以，所以；
当时，，
因为，，所以，
综上，可得函数的值域为．
（2）因为，，
，即
两边同时乘以的
即恒成立，
，
即，令，，
则，由二次函数图象与性质可知在上单调递减，
所以当时，，
所以，
所以实数a的取值范围是．
19．(1)为奇函数，理由见解析
(2)为减函数，证明见解析；
【分析】（1）先判断函数的奇偶性，再利用定义证明即可.
（2）求出参数值得到原函数，再转化为交点问题求解参数范围即可.
【详解】（1）为奇函数
对任意，都有，且该函数的定义域为，显然关于原点对称，
可得.
为奇函数.
（2）当时，可得，解得，
此时在上为严格减函数，证明如下：
任取，且，则
，
，，，
在上为严格减函数，而，
在上的值域为，
要使在上有零点，
此时等价于与在上有交点，
而当时，可得故.
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