2025-2026学年北师大版数学必修第一册同步练习;第1章§1 1.2集合的基本关系（含解析）

第一章　§1　1.2 集合的基本关系
一、选择题
1．下列关系式正确的是( )
A．∈Q B．{2}＝{x|x2＝4}
C．{a，b}＝{b，a} D． ∈{2 024}
2．若{1,2}＝{x|x2＋bx＋c＝0}，则( )
A．b＝－3，c＝2 B．b＝3，c＝－2
C．b＝－2，c＝3 D．b＝2，c＝－3
3．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{y|y＝x2，x∈M}，则( )
A．M?N B．N?M
C．M＝N D．M，N的关系不确定
4．集合A＝{x∈R|x(x－1)(x－2)＝0}，则集合A的非空子集的个数为( )
A．4 B．8
C．7 D．6
5．设集合A＝{x|1A．{a|a≤2} B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1} D．{a|a≥2}
6．已知集合P＝{x|－2A．P?Q B．Q?P
C．P＝Q D．不确定
7．已知集合A＝{x|1A．{a|a≥2 024} B．{a|a>2 024}
C．{a|a≥1} D．{a|a>1}
8．(多选题)集合A＝{(x，y)|y＝x}和B＝，则下列结论中正确的是( 　 )
A．1∈A B．B A
C．(1,1)∈B D． ∈A
9．(多选题)设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．则下列说法中正确的是( 　 )
A．集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集
B．若S为封闭集，则一定有0∈S
C．封闭集一定是无限集
D．若S为封闭集，则满足S T R的任意集合T也是封闭集
二、填空题
10．下列命题：
①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若 ?A，则A≠ .
其中正确的是 　.
11．设集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为 　.
12．已知集合A＝{－1,5,6m－9}，集合B＝{5，m2}，若B A，则实数m＝ 　.
13．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是 　.
14．已知集合M＝{x|ax2＋2x－1＝0}，若M有两个子集，则a的值是___.
三、解答题
15．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且B?A，求m的值．
16．已知集合E＝{x|＝0}，F＝{x|x2－(a－1)x＝0}，判断集合E和F的关系．
17．设集合A＝{x，x2，xy}，集合B＝{1，x，y}，且集合A与集合B相等，求实数x，y的值．
18．已知集合P＝{x∈R|x2－3x＋m＝0}，集合Q＝{x∈R|(x＋1)2(x2＋3x－4)＝0}，集合P能否成为集合Q的一个子集？若能，求出m的取值范围，若不能，请说明理由．
.
第一章　§1　1.2 集合的基本关系
一、选择题
1．下列关系式正确的是( )
A．∈Q B．{2}＝{x|x2＝4}
C．{a，b}＝{b，a} D． ∈{2 024}
[解析]　是无理数，A不正确；{x|x2＝4}＝{－2,2}，B不正确；由集合元素的性质知，C正确；集合{2 024}与 的关系是包含与被包含关系，不是属于与不属于关系，D不正确．故选C.
2．若{1,2}＝{x|x2＋bx＋c＝0}，则( )
A．b＝－3，c＝2 B．b＝3，c＝－2
C．b＝－2，c＝3 D．b＝2，c＝－3
[解析]　由题意可知，1,2是方程x2＋bx＋c＝0的两个实根，∴∴故选A.
3．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{y|y＝x2，x∈M}，则( )
A．M?N B．N?M
C．M＝N D．M，N的关系不确定
[解析]　由题意，得N＝{0,1}，故N?M.故选B.
4．集合A＝{x∈R|x(x－1)(x－2)＝0}，则集合A的非空子集的个数为( )
A．4 B．8
C．7 D．6
[解析]　集合A＝{x∈R|x(x－1)(x－2)＝0}＝{0,1,2}，共有23＝8个子集，其中非空子集有7个．故选C.
5．设集合A＝{x|1A．{a|a≤2} B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1} D．{a|a≥2}
[解析]　∵A B，∴a≥2，故选D.
6．已知集合P＝{x|－2A．P?Q B．Q?P
C．P＝Q D．不确定
[解析]　∵Q＝{x|x－5<0}＝{x|x<5}，
∴利用数轴判断P、Q的关系．
如图所示，
由图可知，P?Q.故选A.
7．已知集合A＝{x|1A．{a|a≥2 024} B．{a|a>2 024}
C．{a|a≥1} D．{a|a>1}
[解析]　∵A?B，故将集合A、B分别表示在数轴上，如图所示．
由图可知，a≥2 024.故选A.
8．(多选题)集合A＝{(x，y)|y＝x}和B＝，则下列结论中正确的是( 　 )
A．1∈A B．B A
C．(1,1)∈B D． ∈A
[解析]　B＝＝{(1,1)}，又点(1,1)在直线y＝x上，故选BC.
9．(多选题)设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．则下列说法中正确的是( 　 )
A．集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集
B．若S为封闭集，则一定有0∈S
C．封闭集一定是无限集
D．若S为封闭集，则满足S T R的任意集合T也是封闭集
[解析]　A对，任取x，y∈S，不妨设x＝a1＋b1，y＝a2＋b2(a1，a2，b1，b2∈Z)，则x＋y＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)，其中a1＋a2，b1＋b2均为整数，即x＋y∈S.同理可得x－y∈S，xy∈S；B对，当x＝y时，0∈S；C错，当S＝{0}时，S是封闭集，但不是无限集；D错，设S＝{0} T＝{0,1}，显然S是封闭集，T不是封闭集．因此，说法正确的是AB.故选AB.
二、填空题
10．下列命题：
①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若 ?A，则A≠ .
其中正确的是 ④　.
[解析]　 不是其自身的真子集，所以④正确．
11．设集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为 M＝P　.
[解析]　∵xy>0，∴x，y同号，又x＋y<0，∴x<0，y<0，即集合M表示第三象限内的点．而集合P表示第三象限内的点，故M＝P.
12．已知集合A＝{－1,5,6m－9}，集合B＝{5，m2}，若B A，则实数m＝ 3　.
[解析]　∵B A，∴m2＝6m－9，∴m＝3.
13．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是 {(1,2)}，{(－3,4)}　.
[解析]　集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是{(1,2)}，{(－3,4)}．
14．已知集合M＝{x|ax2＋2x－1＝0}，若M有两个子集，则a的值是_0或－1__.
[解析]　因为M有两个子集，所以方程ax2＋2x－1＝0只有一个解或两个相等的解．当a＝0时，方程ax2＋2x－1＝0只有一个解x＝，符合题意； 当a≠0时，方程ax2＋2x－1＝0有两个相等的解，则Δ＝0，即Δ＝4＋4a＝0，解得a＝－1.
三、解答题
15．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且B?A，求m的值．
[解析]　A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．
∵B?A，∴当B＝ 时，m＝0符合题意；
当B≠ 时，方程mx＋1＝0的解为x＝－，则－＝－3或2，∴m＝或－.
综上可知，m的值为0或或－.
16．已知集合E＝{x|＝0}，F＝{x|x2－(a－1)x＝0}，判断集合E和F的关系．
[解析]　E＝{x|＝0}＝{0}．
下面对方程x2－(a－1)x＝0的根的情况进行讨论．
由方程x2－(a－1)x＝0得x＝0或x＝a－1.
①当a＝1时，方程有两个相等的实根x1＝x2＝0，此时F＝{0}，E＝F.
②当a≠1时，方程有两个不相等的实根，x＝0或x＝a－1，且a－1≠0，此时，F＝{0，a－1}，E?F.
综上，当a＝1时，E＝F；当a≠1时，E?F.
17．设集合A＝{x，x2，xy}，集合B＝{1，x，y}，且集合A与集合B相等，求实数x，y的值．
[解析]　由题意得①或②
解①，得或
经检验不合题意，舍去，符合题意．
解②，得经检验不合题意，舍去，
综上得
18．已知集合P＝{x∈R|x2－3x＋m＝0}，集合Q＝{x∈R|(x＋1)2(x2＋3x－4)＝0}，集合P能否成为集合Q的一个子集？若能，求出m的取值范围，若不能，请说明理由．
[解析]　(1)当P＝ 时，集合P是集合Q的一个子集，此时方程x2－3x＋m＝0无实数根，即Δ＝9－4m<0，所以m>.
(2)当P≠ 时，易得Q＝{－1，－4,1}．
①当－1∈P时，－1是方程x2－3x＋m＝0的一个根，所以m＝－4，易得P＝{4，－1}，不是集合Q的一个子集；
②当－4∈P时，－4是方程x2－3x＋m＝0的一个根，所以m＝－28，易得P＝{－4,7}，不是集合Q的一个子集；
③当1∈P时，1是方程x2－3x＋m＝0的一个根，所以m＝2，易得P＝{1,2}，不是集合Q的一个子集．
综上可知，集合P能成为集合Q的一个子集，m的取值范围是.