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北师大版（2024）第二章《实数》2.1认知实数（1）教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 二
课题 认识实数（1） 课时 1
课标要求 1、理解无理数的概念： 让学生认识到除了有理数（整数和分数）之外，还存在一种无限不循环的小数，即无理数。理解无理数不能表示为两个整数的比。2、理解实数的概念： 知道实数是有理数和无理数的统称。掌握实数的分类方法，能对实数进行合理的分类（如按定义分：有理数、无理数；按性质分：正实数、0、负实数）。
教材分析 认识无理数是义务教育课程标准北师大版（2024）八年级（上）第二章《实数》的第一节。本节内容安排了2个课时完成，第1课时让学生感受无理数的存在，初步建立无理数的印象，学生将在具体的实例中，通过操作、估算、分析等活动，感受无理数的客观存在性和引入的必要性，并能判断一个数是不是有理数。
学情分析 八年级学生已经积累了一定的数学活动经验，也经历了一次数系的扩充，但无理数不像有理数那样直观易懂，总有一些虚幻的感觉，学起来比较困难，因此在教学活动中通过丰富多彩的背景资料逐步渗透加强。
核心素养目标 1、探索无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力。2．能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力。
教学重点 无理数概念的建立过程；了解无理数与有理数的区别，并能正确判断。
教学难点 无理数概念的建立及估算；会判断一个数是无理数还是有理数，有理数与无理数的区别。
教学准备 预习单、两张同样大小的正方形、剪刀及相应课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 1、有理数的分类 利用思维导图对有理数进行分类。 复习有理数的分类，为实数的分类奠基
二、引新 圆周率 π ，0.020020002，，中的a， 中的b是不是整数？是不是分数？ 学生带着问题思考：如圆周率，0.02；，中的a，b到底是什么数？ 通过这些问题让学生发现有理数不够用了，存在既不是整数，也不是分数的数，激发学生的求知欲，去揭示它的真面目。
三、探究 合作探究，活动领悟探究1：（1）把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？（课本25页）方法展示： ( http: / / www.21cnjy.com / )（2）设大正方形的边长为 a ，则 a 满足什么条件？（3）问题思考：大正方形的面积是2，那么边长是多少？是整数吗？是分数吗？a存在既不是整数，也不是分数的数！(4)思考以下几个问题① a可能是整数吗？说说你的理由.因为1=1，2=4，3=9，---越来越大，所以a不可能是整数②a可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴交流.因为分数乘以分数结果还是分数，所以a不能是分数.③a是有理数吗？为什么？a既不是整数也不是分数，所以a不是有理数.探究2：（1）如图，2-2，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？【正方形的面积为： 1+2=5】（2）设该正方形的边长为b，b满足什么条件？【b=5】b是有理数吗？【不是有理数】探究三：利用计算器活动一和活动二正方形的边长 【a= 1．41421356… 】 【b= 2.236067…】探究小结：1、无理数的概念我们把无限不循环小数叫做无理数。如1．41421356… ，2.236067…。别强调圆周率 π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，所以π是无理数。实数的分类特别强调：任何一个有理数都可以化成分数形式（q ≠0， p，q 为整数且互质），而无理数则不能。 1、小组共同合作，动手操作，通过剪、拼的过程，共同合作寻找更多拼法。尝试找更多的拼法。思考边长可能的取值。2、利用计算器活动一和活动二正方形的边长。3、学生总结无理数的概念、相互补充，学会进行概括总结。4、试着对实数进行分类。 从“数”和“形”的角度一起探究a既不是整数也不是分数，从而体会非有理数的理性存在。通过计算导出无理数的概念。---无限不循环小数。
四、典例精析 例：在△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，如图，若AC=10cm，BC=8cm，（1）求以AD的长为边长的正方形的面积；（2）判断AD是否为有理数，并说明理由.解：（1）∵AB=AC=10cm，BC=8cm， AD⊥BC，∴BD=CD=4cm ∴AD=AB-BD=10-4=84∴以AD的长为边长的正方形的面积84cm2； 解：（2）∵AD=84， ∴AD既不是整数也不是分数， 即AD不是有理数. 自学例题 通过例题的学习加深对无理数的认识。
五、尝试 基础达标：1、判断下列说法是否正确。（1）有限小数是有理数； （ 对 ）（2）无限小数都是无理数； （ 错 ）（3）无理数都是无限小数； （ 对 ）（4）有理数是有限小数。 （ 错 2.下列正方形中，边长为无理数的是( D )A.面积为64的正方形 B.面积为16的正方形C.面积为1.44的正方形 D.面积为12的正方形3.下列各数是无理数的是( D )A.1 B.-0.6 C.-6 D.π4.下列说法正确的是( D )A.3.78788788878888是无理数 B.无理数分为正无理数、0、负无理数C.无限小数不能化成分数 D.无限不循环小数是无理数5.下列说法中，正确的是( C )A.无理数包括正无理数、零和负无理数B.无限小数都是无理数C.正实数包括正有理数和正无理数D.实数可以分为正实数和负实数两类6.在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是有理数的线段。有理数：AB,EF无理数：CD,GH,MN能力提升：7.已知，，π，3.1416，，0，，，-1.4242242224…（相邻两个4之间2的个数逐次加1）.（1）写出所有有理数；（2）写出所有无理数；（3）把这些数按从小到大的顺序排列起来.解：（1）有理数：，，3.1416，，0，，.（2）无理数：π，-1.4242242224…（相邻两个4之间2的个数逐次加1）.拓展迁移：8.下图是由五个单位正方形组成的纸片，请你把它剪成三块，然后拼成一个正方形，你会吗？试试看！ 答案 【解析】从面积等于5，考虑边的长度，然后合理分割。 学生完成课堂练习，关注学困生 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、提升总结 无理数的定义：1、我们把无限不循环小数叫做无理数。例如：π，任何一个有理数都可以化成分数，而无理数则不能化成分数。实数的分类（有理数、无理数） 学生小组讨论本节课学到的知识，然后让学生用自己的语言描述。 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 认识实数 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1．一个正方形的边长为a，面积为20，则( D )A．a可能是整数 B．a可能是分数C．a可能是有理数 D．a不是有理数2．下列各数中，是有理数的是( B )A．面积为3的正方形的边长B．体积为8的正方体的棱长C．两直角边长分别为2和3的直角三角形的斜边长D．长为3，宽为2的长方形的对角线长3．已知正数m满足条件m2＝40，则m的整数部分为( D )A．9 B．8 C．7 D．64．下列各数：，0，0.2，，0.303 003 000 3…(每个3后增加1个0)中，无理数的个数有( A )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则AB的取值范围是( B )A．3.0＜AB＜3.1 B．3.1＜AB＜3.2 C．3.2＜AB＜3.3 D．3.3＜AB＜3.46．如图，是16个边长为1的小正方形拼成的大正方形，连接CA，CB，CD，CE四条线段，其中长度既不是整数也不是分数的有 3 条．7. 把两个边长均为1的正方形纸片重新剪拼成一个大的正方形，则大正方形的面积 是 有理数，其边长 不是 有理数．(填“是”或“不是”)能力提升：8、如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，这样的直角三角形有 8 个，三条边长均为无理数，共有 4 个． 拓展迁移：9．八年级(3)班的两位同学在打羽毛球，一不小心羽毛球落在离地面约3 m的树上，其中一位同学赶快搬来一架长为4 m的梯子，架在树干上，梯子底端离树干1 m远，另一位同学爬上梯子去拿羽毛球．假设这位同学的身高与臂长忽略不计，问：这位同学能拿到羽毛球吗？解：如图，AC⊥BC，AB＝4 m，BC＝1 m. 在Rt△ACB中，由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，所以AC2＝42－12＝15. 因为AC＞0，所以当3
3 m， 所以这位同学能拿到羽毛球．10．如图，在长方形ABCD中，∠DAE＝∠CBE＝45°，AD＝3.(1)求△ABE的面积；(2)AE的长是有理数还是无理数？请说明理由．你能估计它的大小吗？(精确到0.1)解：(1)∵∠DAE＝∠CBE＝45°，∴∠DEA＝∠CEB＝45°，∴AD＝DE＝CE＝BC＝3，∠AEB＝90°，∴AB＝CD＝3＋3＝6，∴S△ABE＝6×3÷2＝9 (2)AE的长是无理数，理由：∵AE2＝18，4.242＝17.9776，4.252＝18.0625，∴AE≈4.2
教学反思
有理数
正整数
负整数
0
整数，如-2，-1, 0, 1, 2, 3
正分数
负分数
分数
整数
分数
有理数：有限小数或无限循环小数
实数
无理数：无限不循环小数
整数
有理数：有限小数或无限循环小数
分数
实数
无理数：无限不循环小数
正整数
0
整数
有理数：有限小数或无限循环小数
如 -2,0,2,3，
负整数
正分数
分数
实数
负分数
无理数：无限不循环小数
如π，；2.030030003
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第二章 实数
1.1 认识实数（1）导学案
学习目标与重难点
学习目标：
1、探索无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力。
2．能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力。学习重点：
学习难点：
预习自测
知识链接（完善思维导图）
自学自测
圆周率 π ，0.020020002，，中的a， 中的b是不是整数？是不是分数？
三 教学过程
探究1：
（1）把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？（课本25页）
（2）（2）设大正方形的边长为 a ，则 a 满足什么条件？
。
（3）问题思考：大正方形的面积是2，那么边长是多少？是整数吗？是分数吗？
。
(4)思考以下几个问题
① a可能是整数吗？说说你的理由.
。
②a可能是分数吗？说说你的理由，
。
③a是有理数吗？为什么？
。
探究2：
如图，2-2，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？
。
（2）设该正方形的边长为b，b满足什么条件？ 。
b是有理数吗？ 。
探究三：
利用计算器活动一和活动二正方形的边长
a= 。
,b= 。
探究小结：
1、无理数的概念
我们把 叫做无理数。如 .。
特别强调圆周率 π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，所以π是无理数。
实数的分类（完善思维导图）
特别强调：任何一个有理数都可以化成分数形式（q ≠0， p，q 为整数且互质），而无理数则不能。
自学例题
例：在△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，如图，若AC=10cm，BC=8cm，（1）求以AD的长为边长的正方形的面积；（课本第26页改编）
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1、判断下列说法是否正确。
（1）有限小数是有理数； （ ）
（2）无限小数都是无理数； （ ）
（3）无理数都是无限小数； （ ）
（4）有理数是有限小数。 （ ）
2.下列正方形中，边长为无理数的是( )
A.面积为64的正方形 B.面积为16的正方形
C.面积为1.44的正方形 D.面积为12的正方形
3.下列各数是无理数的是( )
A.1 B.-0.6 C.-6 D.π
4.下列说法正确的是( )
A.3.78788788878888是无理数 B.无理数分为正无理数、0、负无理数
C.无限小数不能化成分数 D.无限不循环小数是无理数
5.下列说法中，正确的是( )
A.无理数包括正无理数、零和负无理数 B.无限小数都是无理数
C.正实数包括正有理数和正无理数 D.实数可以分为正实数和负实数两类
6.在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是有理数的线段。
能力提升：
7.已知，，π，3.1416，，0，，，-1.4242242224…（相邻两个4之间2的个数逐次加1）.
（1）写出所有有理数；
（2）写出所有无理数；
（3）把这些数按从小到大的顺序排列起来.
拓展迁移：
8.下图是由五个单位正方形组成的纸片，请你把它剪成三块，然后拼成一个正方形，你会吗？试试看！
总结反思、拓展升华
1、我们把 叫做无理数。
例如： 。
强调：任何一个有理数都可以化成分数，而无理数则不能化成分数。
2、实数的分类（有理数、无理数）
【作业布置】
基础达标
1．一个正方形的边长为a，面积为20，则( )
A．a可能是整数 B．a可能是分数 C．a可能是有理数 D．a不是有理数
2．下列各数中，是有理数的是( )
A．面积为3的正方形的边长 B．体积为8的正方体的棱长
C．两直角边长分别为2和3的直角三角形的斜边长
D．长为3，宽为2的长方形的对角线长
3．已知正数m满足条件m2＝40，则m的整数部分为( )
A．9 B．8 C．7 D．6
4．下列各数：，0，0.2，，0.303 003 000 3…(每个3后增加1个0)中，无理数的个数有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则AB的取值范围是( )
A．3.0＜AB＜3.1 B．3.1＜AB＜3.2 C．3.2＜AB＜3.3 D．3.3＜AB＜3.4
6．如图，是16个边长为1的小正方形拼成的大正方形，连接CA，CB，CD，CE四条线段，其中长度既不是整数也不是分数的有 条．
7. 把两个边长均为1的正方形纸片重新剪拼成一个大的正方形，则大正方形的面积 有理数，其边长 有理数．(填“是”或“不是”)
能力提升：
8、如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，这样的直角三角形有 个，三条边长均为无理数，共有 个．
拓展迁移：
9．八年级(3)班的两位同学在打羽毛球，一不小心羽毛球落在离地面约3 m的树上，其中一位同学赶快搬来一架长为4 m的梯子，架在树干上，梯子底端离树干1 m远，另一位同学爬上梯子去拿羽毛球．假设这位同学的身高与臂长忽略不计，问：这位同学能拿到羽毛球吗？
10．如图，在长方形ABCD中，∠DAE＝∠CBE＝45°，AD＝3.
(1)求△ABE的面积；
(2)AE的长是有理数还是无理数？请说明理由．你能估计它的大小吗？(精确到0.1)
课堂练习参考答案：
对，错，对，错。
D
D
D
C
解答提示，构成直角三角形，再用勾股定理计算，有理数：AB,EF。无理数：CD,GH,MN。
7.解：（1）有理数：，，3.1416，，0，，.
（2）无理数：π，-1.4242242224…（相邻两个4之间2的个数逐次加1）.
8.
课外作业参考答案：
D
B
D
A
B
3
是；不是。
解答提示，分情况讨论，AB为直角边和AB为斜边两种情况。8；4
解：如图，AC⊥BC，AB＝4 m，BC＝1 m.
在Rt△ACB中，由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，
所以AC2＝42－12＝15.
因为AC＞0，所以当393 m，
所以这位同学能拿到羽毛球．
10.解：(1)∵∠DAE＝∠CBE＝45°，
∴∠DEA＝∠CEB＝45°，
∴AD＝DE＝CE＝BC＝3，∠AEB＝90°，∴AB＝CD＝3＋3＝6，
∴S△ABE＝6×3÷2＝9
(2)AE的长是无理数，理由：∵AE2＝18，4.242＝17.9776，4.252＝18.0625，∴AE≈4.2
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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2024） 册、章 上册第二章
课标要求 无理数与实数：理解无理数和实数的概念；理解实数与数轴上的点一一对应； 能对实数进行分类。掌握算术平方根、平方根的区别，理解平方根和算术平方根的概念；理解立方根的概念；会用根号表示平方根和立方根；了解平方根和立方根的性质； 能求某些非负数的平方根和算术平方根，能求某些数的立方根。3、理解二次根式和最简二次根式的含义，能把非最简二次根式化简成最简二次根式，能进行简单的实数运算，能运用实数的运算解决简单的实际问题。
内容分析 具体内容包括：1、认识无理数和实数，实数与数轴上的点一一对应，能对实数进行分类（有理数、无理数）。2、认识算术平方根、平方根、立方根， 能用平方运算求某些非负数的平方根，用立方运算求某些数的立方根；能估计无理数的大小，并进行简单的比较。3、理解二次根式和最简二次根式的含义，能进行简单的实数运算，能运用实数的运算解决简单的实际问题。
学情分析 一、 学生已有的知识基础与经验：1、有理数基础： 学生已经掌握了有理数的概念（整数、分数），以及有理数的加、减、乘、除、乘方运算。这是学习实数的前提，特别是对于平方根和立方根的理解，需要借助乘方的逆运算。2、数的开方初步接触： 在学习乘方时，学生可能已经接触过简单的平方运算，3、估算能力： 学生具备一定的估算能力，例如估算一个较大的数的近似值，这有助于他们理解无理数的无限不循环小数特性，并进行实数的近似计算。4、数轴概念： 学生已经学习过数轴，理解数轴上的点与有理数的对应关系，这有助于他们理解实数与数轴上的点的一一对应关系。二、 学生可能遇到的困难与挑战：1、对无理数的理解： 无理数中无限不循环小数特性是学生认知上的一个难点。他们难以想象一个数的小数部分会无限延伸且没有规律，这与他们熟悉的有理数（有限小数或无限循环小数）形成鲜明对比。2、平方根与算术平方根的区别： 学生容易混淆一个正数的平方根（两个，互为相反数）和算术平方根（只有一个，是正的那个）。3、立方根的理解： 负数也有立方根，这与平方根（负数在实数范围内没有平方根）不同，学生可能对此感到困惑。4、虽然实数运算在有理数运算的基础上进行，但当涉及到无理数时，学生可能在运算规则的理解和应用上出现困难，尤其是在精确值与近似值的处理上。5估算的准确性： 虽然有估算基础，但对于更复杂的无理数的估算，学生可能缺乏有效的方法，导致估算结果偏差较大。6、从有理数到实数的思维跨越： 学生习惯了有理数的“完备性”（在数轴上似乎“填满了”），理解到数轴上还有“缝隙”（无理数）需要填补，需要一个认知上的突破。三、 学生的学习兴趣与动机：1、好奇心驱动： 无理数的“神秘”特性（无限不循环）可能会激发部分学生的好奇心，特别是当结合勾股定理等几何背景时。2、学生可能已经意识到，仅用有理数无法精确表示边长为1的正方形的对角线长度，这会促使他们思考数的范围的扩展。3、对于学有余力的学生，理解无理数、实数的概念以及进行相关的精确运算和估算，具有一定的挑战性，可以激发他们的学习兴趣。4、对于基础较弱或空间想象能力、抽象思维能力不足的学生，可能会因为概念抽象、运算复杂而产生畏难情绪，导致学习兴趣下降。
单元目标 教学目标本章节的教学旨在帮助学生构建完整的实数体系，掌握实数的基本运算和性质，并能运用所学知识解决相关问题，同时在此过程中培养学生的逻辑思维能力、运算能力、问题解决能力以及积极的情感态度。一、 知识与技能目标：1、理解数的扩展： 使学生理解有理数不足以表示所有度量结果，认识到引入无理数的必要性，从而理解实数的概念及其分类（有理数、无理数）。2、掌握平方根与立方根： 理解平方根、算术平方根和立方根的概念，会用根号表示；了解平方根和立方根的性质；能利用平方或立方运算进行简单的开方运算，并借助计算器进行更复杂的开方运算。3、理解实数运算： 理解实数范围内加减乘除乘方及开方运算的可行性，掌握实数运算的法则和运算律，并能进行简单的实数混合运算。4、理解实数与数轴： 理解实数与数轴上的点是一一对应的，能在数轴上大致表示一些简单的无理数，体会数形结合的思想。二、 过程与方法目标：1、经历概念形成过程： 通过实例（如开方运算、几何图形的度量）和探究活动，让学生经历从具体到抽象、从特殊到一般的过程，理解无理数和实数的概念。2、体验数系扩充的必要性： 通过解决具体问题（如求正方形对角线长度）时遇到有理数无法满足需求的情况，体验数系扩充的必要性和数学发展的过程。3、培养运算能力： 通过多样化的练习，提高学生进行实数运算的准确性和熟练度，特别是对平方根、立方根的估算和计算能力。4、渗透数学思想方法： 在教学中渗透数形结合（实数与数轴）、分类讨论（实数的分类）、估算（无理数的近似值）等数学思想方法。5、提升问题解决能力： 能运用实数的知识解决简单的实际问题，如计算几何图形的边长、面积、体积等。三、 情感态度与价值观目标：1、感受数学的严谨性： 通过对无理数存在的探究，感受数学概念的严谨性和逻辑性。2、激发学习兴趣： 通过有趣的实例和探究活动，激发学生对数学的好奇心和求知欲。3、培养科学态度： 在近似计算中，体会数学的精确性与近似性的统一，培养实事求是的科学态度。4、建立自信心： 通过克服学习中的困难（如理解无理数的抽象性），体验成功的喜悦，建立学习数学的自信心。5、体会数学文化： （可选）适当介绍有关实数发展的历史背景，体会数学在人类文明发展中的作用。教学重点、难点重点在于掌握核心概念（平方根、立方根、无理数、实数）及其基本性质和运算。难点则更多地在于对抽象概念（如无限不循环、一一对应）的深入理解，以及概念之间细微差别的辨析（如平方根与算术平方根），还有实际运算中近似处理的能力。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数2.1认识实数（1）12.2认识实数（2）12.3平方根12.4立方根12.5二次根式（1）12.6二次根式（2）12.7回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务认识实数（1）1、探索无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力。2．能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力。1、利用思维导图对有理数进行分类。2、学生带着问题思考：如圆周率，0.02；，中的a，b到底是什么数？3、小组共同合作，动手操作，通过剪、拼的过程，共同合作寻找更多拼法。尝试找更多的拼法。3、思考边长可能的取值。4、利用计算器活动一和活动二正方形的边长。5、学生总结无理数的概念、相互补充，学会进行概括总结。6、试着对实数进行分类。7、自学例题。8、学生完成课堂练习，关注学困生环节一：知识链接环节二：问题导入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结认识实数（2）理解实数、有理数、无理数三者之间的关系.掌握有理数的运算法则、运算定律对于实数任然适应.掌握无理数在数轴上的表示方法。了解数轴上的任何点多可以用实数来表示充分调动学生的积极性，培养他们的合作精神，提高他们的辨识能力.发展学生的数感.1、学生思考学过的数并举例说明。2、检查数的分类预习题。3、活动探究1：有理数和无理数的区别，4、实数的分类。5、活动探究2，无理数和计算法则和方法和有理数相同6、用数轴上的点表示无理数。7、阅读数学资料《无理数的发现》8、学生自学例题9、完成课堂练习。环节一：知识链接环节二：复习导入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结平方根掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别。能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开方运算和乘方运算的互逆关系。1、展示预习单2、根据勾股定理出X,Y,ZW.3、合作探究完成课本例题1的学习。2、引导学生小结算术平方根的含义和性质。4、合作探究完成课本例题3的学习。引导学生小结平方根的含义和性质。学生自学例题，思考为什么这里取算术平方根。学生完成课堂练习回顾本节课内容，畅所欲言，相互补充，完成本节课的总结。环节一：知识链接环节二：问题导入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结立方根了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根；会用立方运算求一个数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算，能用立方运算求某些数的立方根。2、学生通过对实际问题的解决，体会数学的实用价值。1、回顾旧知，并学生完成课前检测题。2、思考课本第34页问题。3、情境引入，明晰立方根的概念。4、计算一个数的立方根。5、由平方根性质类比立方根性质。6、自学例题7、学生完成课堂作业。8、课堂总结、小组交流，汇报交流结果。展示交流成果。环节一：回顾旧知并完成课前检测题。环节二：思考课本第34页问题，导入新课。环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结二次根式（1）1.认识二次根式概念.2.探索二次根式的乘除法计算法则．二次根式的简单计算。 3.在小组的合作和探讨中，培养学生的合作能力和创新能力1、回顾算术平方根和平方根的概念。2、找出一组根式的共同特点，归纳出二次根式的概念。3、理解和掌握判断二次根式的方法。4、根据二次根式被开方数大于或等于0完成x取何值时,下列二次根式有意义 5、探究二次根式乘除法的计算法则。6、自学例题7、完成课堂练习。环节一：回顾旧知环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结二次根式（2）认识最简二次根式和二次根式的化简。熟练掌握二次根式的加、减、乘、除法运算。3.在小组的合作和探讨中，培养学生的合作能力和创新能力。1、回顾旧知。2、完成例题3的学习，然后归纳出最简二次根式的概念及最简二次根式具备的条件。3、学习课本例题4，明晰怎样进行二次根式的化简。4、学习例题5，理解二次根式的四则运算和实数的四则运算法则、运算定律同样适用。5、学习例题6，掌握非最简二次根式的计算，首先化简成最简二次根式，然后按照实数的四则运算法则进行计算。6、小组交流讨论怎样求格点梯形的面积和周长。7、学生独立完成课堂练习。8、引导学生对本课知识进行回顾总结。环节一：回顾旧知环节二、问题导入环节三：探究新知环节四：拓展延伸环节五：课堂练习环节六：课堂总结回顾与思考1.熟练掌握算术平方根,平方根,立方根的相关概念及简单的运算。2.熟练掌握实数的分类、无理数的概念，会用数轴表示无理数。3.理解最简二次根式的含义，能熟练地进行实数的化简和计算。4.学生体会类比的思想，提高学生归纳整理的能力，让学生学会倾听学会交流。1、展示预习题（章节思维导图）。2、梳理实数的相关概念，完成习题。3、梳理平方根和立方根相关知识，完成相应习题。4、梳理二次根式相关知识，完成相应习题。5、学生完成课堂练习。6、对照思维导图复述相应的概念。环节一：知识架构环节二、知识梳理环节三：课堂练习环节四：课堂总结
《实数》单元教学设计
活动一：知识链接
活动二：问题导入
活动三：探究新知
任务一：认识实数(1)
活动四：典例精析
活动五：课堂练习
活动六：课堂总结
活动一：知识链接
活动二：复习导入
活动三：探究新知
任务二：认识实数(2)
活动四：典例精析
活动五：课堂练习
实数
活动六：课堂总结
活动一：知识链接
活动二：问题导入
任务三：平方根
活动三：探究新知
活动四：典例精析
活动五：课堂练习
活动一：复习旧知
活动二：问题导入
活动三：探究新知
活动四：典例精析
任务四：立方根
活动五：课堂练习
活动六：课堂总结
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
任务五：二次根式(1)
活动三：典例精析
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动一：知识回顾
活动二：问题导入
实数
任务六：二次根式(2)
活动三：探究新知
活动四：拓展延伸
活动五：课堂练习
活动六：课堂总结
活动一：知识架构
任务七：回顾与思考
活动二：知识梳理
活动三：课堂练习
活动四：课堂总结
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第二章实数
2.1认识实数（1）
01
教学目标
02
导入新课
03
探究新知
05
课堂练习
06
课堂小结
07
作业布置
04
典例精析
01
教学目标
探索无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力。
01
能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力。
02
02
新知导入
1、有理数的分类
有理数
整数 （如-1，0，1，2 ）
分数 （如 ）
正整数
0
负整数
正分数
负分数
02
新知导入
2、有理数不够用了
圆周率 π ，0.020020002， ，中的a， 中的b是不是整数？是不是分数？
03
新知探究
探究一
拼图实践
把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
03
新知探究
方法展示
03
新知探究
设大正方形的边长为 a ，则 a 满足什么条件？
问题思考：大正方形的面积是2，那么边长是多少？
是整数吗？是分数吗？
结论：存在既不是整数，也不是分数的数！
03
新知探究
（1） a可能是整数吗？说说你的理由.
（2）a可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴交流.
因为12=1，22=4，32=9，
越来越大，所以a不可能是整数
因为分数乘以分数结果还是分数，
（3）a是有理数吗？为什么？
a既不是整数也不是分数，
所以a不是有理数.
所以a不能是分数.
03
新知探究
（1）如图，2-2，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？
（2）设该正方形的边长为b，b满足什么条件？
（3） b是有理数吗？
正方形的面积为： 12+22=5
b2=5
b不是有理数.
活动与探究(二）
03
新知探究
活动与探究(三）
1、利用计算器活动一和活动二正方形的边长
a= 1．41421356…
b= 2.236067…
我们把无限不循环小数叫做无理数。如1．41421356… ，2.236067…。
探究小结
无理数的概念
别强调圆周率 π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，所以π是无理数。
探究小结
实数的分类
特别强调：任何一个有理数都可以化成分数 形式（q ≠0， p，q 为整数且互质），而无理数则不能。
实数
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
整数
分数
04
典例精析
例：在△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，如图，若AC=10cm，BC=8cm，（1）求以AD的长为边长的正方形的面积；（2）判断AD是否为有理数，并说明理由.
解：（1）∵AB=AC=10cm，BC=8cm， AD⊥BC，
∴BD=CD=4cm
∴AD2=AB2-BD2=102-42=84
∴以AD的长为边长的正方形的面积84cm2；
04
典例精析
例：在△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，如图，若AC=10cm，BC=8cm，（1）求以AD的长为边长的正方形的面积；（2）判断AD是否为有理数，并说明理由.
解：（2）∵AD2=84，
∴AD既不是整数也不是分数，
即AD不是有理数.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1、判断下列说法是否正确。
（1）有限小数是有理数； （ ）
（2）无限小数都是无理数； （ ）
（3）无理数都是无限小数； （ ）
（4）有理数是有限小数。 （ ）
对
错
对
错
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.下列正方形中，边长为无理数的是( )
A.面积为64的正方形 B.面积为16的正方形
C.面积为1.44的正方形 D.面积为12的正方形
3.下列各数是无理数的是( )
A.1 B.-0.6 C.-6 D.π
D
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4.下列说法正确的是( )
A.3.78788788878888是无理数
B.无理数分为正无理数、0、负无理数
C.无限小数不能化成分数
D.无限不循环小数是无理数
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
5.下列说法中，正确的是( )
A.无理数包括正无理数、零和负无理数
B.无限小数都是无理数
C.正实数包括正有理数和正无理数
D.实数可以分为正实数和负实数两类
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
6.在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是有理数的线段。
有理数：AB,EF
无理数：CD,GH,MN
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
-1.4242242224…（相邻两个4之间2的个数逐次加1）.
（1）写出所有有理数；
（2）写出所有无理数；
（3）把这些数按从小到大的顺序排列起来.
7.已知 ， ，π，3.1416， ，0 ， ，
解：（1）有理数有： ， ，π，3.1416， ,
0, ,
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
（2）无理数：π，-1.4242242224…（相邻两个4之间2的个数逐次加1）.
04
课堂练习
8.下图是由五个单位正方形组成的纸片，请你把它剪成三块，然后拼成一个正方形，你会吗？试试看
【综合拓展类作业】
04
课堂总结
1、无理数的定义：
我们把无限不循环小数叫做无理数。
例如：π，
任何一个有理数都可以化成分数，而无理数则不能化成分数。
2、实数的分类（有理数、无理数）
实数
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
整数
分数
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1．一个正方形的边长为a，面积为20，则( )
A．a可能是整数 B．a可能是分数
C．a可能是有理数 D．a不是有理数
2．下列各数中，是有理数的是( )
A．面积为3的正方形的边长B．体积为8的正方体的棱长
C．两直角边长分别为2和3的直角三角形的斜边长
D．长为3，宽为2的长方形的对角线长
D
B
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3．已知正数m满足条件m2＝40，则m的整数部分为( )
A．9 B．8 C．7 D．6
4．下列各数： ，0， ， ，0.303 003 000 3…(每个3后增加1个0)中，无理数的个数有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则AB的取值范围是( )
A．3.0＜AB＜3.1 B．3.1＜AB＜3.2 C．3.2＜AB＜3.3 D．3.3＜AB＜3.4
D
A
B
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
6．如图，是16个边长为1的小正方形拼成的大正
方形，连接CA，CB，CD，CE四条线段，其中
长度既不是整数也不是分数的有 条．
7. 把两个边长均为1的正方形纸片重新剪拼成一个大的正方形，则大正方形的面积 有理数，其边长 有理数．(填“是”或“不是”)
3
是
不是
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
8、如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，这样的直角三角形有 个，三条边长均为无理数，共有 个．
8
4
06
作业布置
【综合拓展类作业】
9．八年级(3)班的两位同学在打羽毛球，一不小心羽毛球落
在离地面约3 m的树上，其中一位同学赶快搬来一架长为4 m
的梯子，架在树干上，梯子底端离树干1 m远，另一位同学
爬上梯子去拿羽毛球．假设这位同学的身高与臂长忽略不计
，问：这位同学能拿到羽毛球吗？
解：如图，AC⊥BC，AB＝4 m，BC＝1 m. 在Rt△ACB中，由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，所以AC2＝42－12＝15. 因为AC＞0，所以当33 m， 所以这位同学能拿到羽毛球．
06
作业布置
【综合拓展类作业】
10．如图，在长方形ABCD中，∠DAE＝∠CBE＝45°，AD＝3.
(1)求△ABE的面积；
(2)AE的长是有理数还是无理数？请说明理由．你能估计它的大小吗？(精确到0.1)
06
作业布置
【综合拓展类作业】
解：(1)∵∠DAE＝∠CBE＝45°，
∴∠DEA＝∠CEB＝45°，
∴AD＝DE＝CE＝BC＝3，∠AEB＝90°，∴AB＝CD＝3＋3＝6，
∴S△ABE＝6×3÷2＝9
(2)AE的长是无理数，理由：
∵AE2＝18，4.242＝17.9776，4.252＝18.0625，
∴AE≈4.2
Thanks!
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