第二章 二次函数 达标测试卷（含答案） 2025-2026学年数学北师大版（2024）九年级下册
文档属性
| 名称 | 第二章 二次函数 达标测试卷（含答案） 2025-2026学年数学北师大版（2024）九年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 225.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-29 21:39:42 | ||
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文档简介
第二章《二次函数》达标测试卷
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1.下列y关于x的函数中，是二次函数的是（ ）
A.y＝3x＋1 B.y＝ C.y＝ D.y＝2x2＋1
2.抛物线y＝－（x＋1）2－1的顶点坐标是（ ）
A.（－1，－1） B.（1，－1） C.（－1，1） D.（1，1）
3.已知顶点为（2，4）的抛物线过点（4，0），此抛物线的表达式是（ ）
A.y＝－（x－2）2＋4 B.y＝（x－2）2－4
C.y＝（x－2）2＋4 D.y＝－（x－2）2－4
4.将抛物线y＝x2＋1先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得新抛物线的表达式为（ ）
A.y＝（x＋3）2＋3 B.y＝（x－3）2－1
C.y＝（x＋3）2－1 D.y＝（x－3）2＋3
5.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分经过点A（－1，0），且其对称轴是直线x＝2，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根是（ ）
第5题图
A.x1＝－1 B.x1＝－1，x2＝5C.x1＝－1，x2＝3 D.x1＝－1，x2＝1
6.把二次函数y＝x2－6x－1化成y＝a（x－h）2＋k的形式是（ ）
A.y＝（x＋3）2－10 B.y＝（x＋3）2＋8 C.y＝（x－3）2－10 D.y＝（x－3）2＋8
7.函数y＝ax2－2x＋1和y＝ax＋a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
8.如图所示是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①2a＋b＝0；②方程ax2＋bx＋c＝0一定有一个根在－2和－1之间；③方程ax2＋bx＋c－＝0一定有两个不相等的实数根；④b－a＜2.其中，正确的结论有（ ）
第8题图
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9.二次函数y＝2x2－x－3的图象的对称轴为直线 .
10.若y＝（m－3）＋2x＋1是关于x的二次函数，则m的值为 .
11.如果点M（－2，y1），N（－1，y2）在二次函数y＝－x2＋2x的图象上，则y1 y2.（填“＞”“＜”或“＝”）.
12.已知函数y＝｜x2－4｜的大致图象如图所示，对于方程｜x2－4｜＝m（m为实数），若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 .
第12题图
13.如图是一个长为3 m，宽为1 m的矩形隔离栏（ABCD），中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E、点P）以及点A、点B在同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF）与第2根栏杆未涂色部分（PQ）长度相等，则EF的长度是 m.
第13题图
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14.（6分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
x … －2 －1 0 …
y … －2 3 －2 …
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当－4＜x＜0时，请直接写出y的取值范围.
15.（6分）已知二次函数y＝x2＋3mx－1－m的图象与x轴的一个交点为（3，0）.
（1）求m的值；
（2）求这个函数图象与x轴另一个交点的横坐标.
16.（8分）新华书店购进一批建国70周年纪念册，每本进价为20元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为23元时，销售量为34本；当销售单价为25元时，销售量为30本.
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）设书店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将销售单价定为多少元时，每周所获利润最大？最大利润是多少？
17.（8分）如图，在△ABC中，BC＝6 cm，AC＝8 cm，AB＝10 cm，P点在BC上从B点运动到C点（不包括C点），点P运动的速度为1 cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为2 cm/s.若点P，Q分别从B，C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程：
（1）经过多少时间后，P，Q两点的距离最短，最短距离是多少？
（2）经过多少时间后，△PCQ的面积最大，最大面积是多少？
18.（9分）如图，二次函数y＝－x2＋6x－5a的图象交x轴正半轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，连接AC，BC，已知OC＝5.
（1）求二次函数的表达式；
（2）求△ABC的面积.
19.（12分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0），自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x 0 1 2 3 …
y －2 m －2 1 …
（1）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为直线 .
（2）求抛物线的表达式和m的值；
（3）将抛物线y＝ax2＋bx＋c（x≥0）的图象记为G1，将G1绕点O旋转180°后的图象记为G2，G1、G2合起来得到的图象记为G，完成以下问题：
①画出G的图象；
②若直线y＝k与函数G有且只有两个交点，直接写出k的取值范围 .
20.（12分）阅读下面材料，完成后面问题.
草莓种植大棚的设计
生活背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构，如图所示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间.大棚的设计要保证通风性且利于采光.
建立模型 如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线OPN，其中点P为抛物线的顶点，大棚高PE＝4 m，宽ON＝12 m.现以点O为坐标原点，ON所在直线为x轴，过点O且垂直于ON的直线为y轴建立平面直角坐标系.
解决问题 （1）求抛物线的表达式. （2）如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中AB＝BE＝EC＝CD.求门高AB的值. （3）若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段OQ，求此时OQ的长.
参考答案
1.D 2.A 3.A 4.D 5.B 6.C 7.A
8.B 解析：如图，
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴－＝1，
∴b＝－2a，
∴2a＋b＝0，故①正确；
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点在2和3之间，
∴与x轴的另一个交点在－1和0之间，
∴方程ax2＋bx＋c＝0一定有一个根在－1和0之间，故②错误；
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝有两个交点，
∴方程ax2＋bx＋c－＝0一定有两个不相等的实数根，故③正确；
∵抛物线与x轴的另一个交点在－1和0之间，
∴a－b＋c＜0.
∵图象与y轴交点的纵坐标是2，
∴c＝2，
∴a－b＋2＜0，
∴b－a＞2，故④错误.故选B.
9.x＝ 10.－1 11.＜ 12.4 13.
14.解：（1）设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c.
根据题意，得解得
故这个二次函数的表达式为y＝－5x2－10x－2.
（2）∵y＝－5x2－10x－2＝－5（x＋1）2＋3，
∴对称轴x＝－1在－4＜x＜0中，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
当x＝－4时，y＝－5x2－10x－2＝－42，
当x＝－1时，y＝3，当x＝0时，y＝－2，
故y的取值范围为－42＜y≤3.
15.解：（1）将坐标（3，0）代入函数y＝x2＋3mx－1－m，得9＋9m－1－m＝0，
∴m＝－1.
（2）由（1）可得二次函数为y＝x2－3x.
令y＝0，则x2－3x＝0.∴x＝3或x＝0.
∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），
∴这个函数图象与x轴另一个交点的横坐标为0.
16.解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx＋b.
把坐标（23，34）与（25，30）分别代入，得解得
∴所求函数关系式为y＝－2x＋80.
（2）由题意可得w＝（x－20）（－2x＋80）＝－2x2＋120x－1 600＝－2（x－30）2＋200，
当x＝30时，w最大，w最大＝－2×（30－30）2＋200＝200（元）.
答：当销售单价定为30元时，每周所获利润最大，最大利润是200元.
17.解：（1）由题意可得BP＝t cm，CP＝（6－t） cm，CQ＝2t cm，
∴PQ＝＝＝，
当t＝时，PQ最小，最小值为 cm.
答：经过 s后，P，Q两点的距离最短，最短距离是 cm.
（2）S＝（6－t）×2t÷2＝－t2＋6t＝－（t－3）2＋9，
当t＝3时，面积最大，最大面积为9 cm2.
18.解：（1）由题意，令x＝0，
∴y＝－5a.
又OC＝5，
∴－5a＝－5.∴a＝1.
∴二次函数的表达式为y＝－x2＋6x－5.
（2）由（1）得抛物线为y＝－x2＋6x－5.
∴令y＝0，则0＝－x2＋6x－5.∴x＝1或x＝5.∴AB＝5－1＝4.
又OC＝5，
∴S△ABC＝AB·OC＝×4×5＝10.
19.解：（1）根据表格数据可知，其对称轴为直线x＝1，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向上.故答案为上；x＝1.
解：（2）由（1）得，对称轴为直线x＝1，根据表格数据可知顶点坐标为（1，m），
∴设抛物线的表达式为y＝a（x－1）2＋m，且过（0，－2），（3，1），
∴解得
∴抛物线的表达式为y＝（x－1）2－3或y＝x2－2x－2.
解：（3）①由（2）得，抛物线的表达式为y＝（x－1）2－3，
∴顶点坐标为（1，－3），则绕点O旋转180°后的图象G2为y＝－（x＋1）2＋3，
根据画函数图象的方法，如图.
②根据图象可知，直线y＝k与函数G有且只有两个交点时，
k的取值范围为k＝3或k＝－3或－2＜k＜2，
故答案为k＝－3或k＝3或－2＜k＜2.
20.解：（1）由题意得，抛物线的顶点为（6，4），
∴可设抛物线的表达式为y＝a（x－6）2＋4.
又抛物线过（0，0），
∴0＝36a＋4，
∴a＝－.
∴抛物线的表达式为y＝－（x－6）2＋4，
（2）由题意，设AB＝BE＝EC＝CD＝m，
∴A（6－m，m）.
又A在抛物线y＝－（x－6）2＋4上，
∴m＝－m2＋4.
∴m＝3或m＝－12（舍去）.∴AB＝3.
答：门高AB为3 m.
（3）由上面的计算知A（3，3），N（12，0），
∴直线AN为y＝－x＋4.
∵PQ∥AN，
∴可设PQ为y＝－x＋b，
∴－（x－6）2＋4＝－x＋b.
∴x2－15x＋9b＝0.∴Δ＝225－36b＝0.
∴b＝.∴直线PQ为y＝－x＋.
令y＝0，得x＝，即OQ＝ m.
答：此时OQ的长为 m.
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1.下列y关于x的函数中，是二次函数的是（ ）
A.y＝3x＋1 B.y＝ C.y＝ D.y＝2x2＋1
2.抛物线y＝－（x＋1）2－1的顶点坐标是（ ）
A.（－1，－1） B.（1，－1） C.（－1，1） D.（1，1）
3.已知顶点为（2，4）的抛物线过点（4，0），此抛物线的表达式是（ ）
A.y＝－（x－2）2＋4 B.y＝（x－2）2－4
C.y＝（x－2）2＋4 D.y＝－（x－2）2－4
4.将抛物线y＝x2＋1先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得新抛物线的表达式为（ ）
A.y＝（x＋3）2＋3 B.y＝（x－3）2－1
C.y＝（x＋3）2－1 D.y＝（x－3）2＋3
5.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分经过点A（－1，0），且其对称轴是直线x＝2，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根是（ ）
第5题图
A.x1＝－1 B.x1＝－1，x2＝5C.x1＝－1，x2＝3 D.x1＝－1，x2＝1
6.把二次函数y＝x2－6x－1化成y＝a（x－h）2＋k的形式是（ ）
A.y＝（x＋3）2－10 B.y＝（x＋3）2＋8 C.y＝（x－3）2－10 D.y＝（x－3）2＋8
7.函数y＝ax2－2x＋1和y＝ax＋a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
8.如图所示是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①2a＋b＝0；②方程ax2＋bx＋c＝0一定有一个根在－2和－1之间；③方程ax2＋bx＋c－＝0一定有两个不相等的实数根；④b－a＜2.其中，正确的结论有（ ）
第8题图
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9.二次函数y＝2x2－x－3的图象的对称轴为直线 .
10.若y＝（m－3）＋2x＋1是关于x的二次函数，则m的值为 .
11.如果点M（－2，y1），N（－1，y2）在二次函数y＝－x2＋2x的图象上，则y1 y2.（填“＞”“＜”或“＝”）.
12.已知函数y＝｜x2－4｜的大致图象如图所示，对于方程｜x2－4｜＝m（m为实数），若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 .
第12题图
13.如图是一个长为3 m，宽为1 m的矩形隔离栏（ABCD），中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E、点P）以及点A、点B在同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF）与第2根栏杆未涂色部分（PQ）长度相等，则EF的长度是 m.
第13题图
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14.（6分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
x … －2 －1 0 …
y … －2 3 －2 …
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当－4＜x＜0时，请直接写出y的取值范围.
15.（6分）已知二次函数y＝x2＋3mx－1－m的图象与x轴的一个交点为（3，0）.
（1）求m的值；
（2）求这个函数图象与x轴另一个交点的横坐标.
16.（8分）新华书店购进一批建国70周年纪念册，每本进价为20元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为23元时，销售量为34本；当销售单价为25元时，销售量为30本.
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）设书店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将销售单价定为多少元时，每周所获利润最大？最大利润是多少？
17.（8分）如图，在△ABC中，BC＝6 cm，AC＝8 cm，AB＝10 cm，P点在BC上从B点运动到C点（不包括C点），点P运动的速度为1 cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为2 cm/s.若点P，Q分别从B，C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程：
（1）经过多少时间后，P，Q两点的距离最短，最短距离是多少？
（2）经过多少时间后，△PCQ的面积最大，最大面积是多少？
18.（9分）如图，二次函数y＝－x2＋6x－5a的图象交x轴正半轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，连接AC，BC，已知OC＝5.
（1）求二次函数的表达式；
（2）求△ABC的面积.
19.（12分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0），自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x 0 1 2 3 …
y －2 m －2 1 …
（1）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为直线 .
（2）求抛物线的表达式和m的值；
（3）将抛物线y＝ax2＋bx＋c（x≥0）的图象记为G1，将G1绕点O旋转180°后的图象记为G2，G1、G2合起来得到的图象记为G，完成以下问题：
①画出G的图象；
②若直线y＝k与函数G有且只有两个交点，直接写出k的取值范围 .
20.（12分）阅读下面材料，完成后面问题.
草莓种植大棚的设计
生活背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构，如图所示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间.大棚的设计要保证通风性且利于采光.
建立模型 如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线OPN，其中点P为抛物线的顶点，大棚高PE＝4 m，宽ON＝12 m.现以点O为坐标原点，ON所在直线为x轴，过点O且垂直于ON的直线为y轴建立平面直角坐标系.
解决问题 （1）求抛物线的表达式. （2）如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中AB＝BE＝EC＝CD.求门高AB的值. （3）若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段OQ，求此时OQ的长.
参考答案
1.D 2.A 3.A 4.D 5.B 6.C 7.A
8.B 解析：如图，
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴－＝1，
∴b＝－2a，
∴2a＋b＝0，故①正确；
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点在2和3之间，
∴与x轴的另一个交点在－1和0之间，
∴方程ax2＋bx＋c＝0一定有一个根在－1和0之间，故②错误；
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝有两个交点，
∴方程ax2＋bx＋c－＝0一定有两个不相等的实数根，故③正确；
∵抛物线与x轴的另一个交点在－1和0之间，
∴a－b＋c＜0.
∵图象与y轴交点的纵坐标是2，
∴c＝2，
∴a－b＋2＜0，
∴b－a＞2，故④错误.故选B.
9.x＝ 10.－1 11.＜ 12.4 13.
14.解：（1）设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c.
根据题意，得解得
故这个二次函数的表达式为y＝－5x2－10x－2.
（2）∵y＝－5x2－10x－2＝－5（x＋1）2＋3，
∴对称轴x＝－1在－4＜x＜0中，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
当x＝－4时，y＝－5x2－10x－2＝－42，
当x＝－1时，y＝3，当x＝0时，y＝－2，
故y的取值范围为－42＜y≤3.
15.解：（1）将坐标（3，0）代入函数y＝x2＋3mx－1－m，得9＋9m－1－m＝0，
∴m＝－1.
（2）由（1）可得二次函数为y＝x2－3x.
令y＝0，则x2－3x＝0.∴x＝3或x＝0.
∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），
∴这个函数图象与x轴另一个交点的横坐标为0.
16.解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx＋b.
把坐标（23，34）与（25，30）分别代入，得解得
∴所求函数关系式为y＝－2x＋80.
（2）由题意可得w＝（x－20）（－2x＋80）＝－2x2＋120x－1 600＝－2（x－30）2＋200，
当x＝30时，w最大，w最大＝－2×（30－30）2＋200＝200（元）.
答：当销售单价定为30元时，每周所获利润最大，最大利润是200元.
17.解：（1）由题意可得BP＝t cm，CP＝（6－t） cm，CQ＝2t cm，
∴PQ＝＝＝，
当t＝时，PQ最小，最小值为 cm.
答：经过 s后，P，Q两点的距离最短，最短距离是 cm.
（2）S＝（6－t）×2t÷2＝－t2＋6t＝－（t－3）2＋9，
当t＝3时，面积最大，最大面积为9 cm2.
18.解：（1）由题意，令x＝0，
∴y＝－5a.
又OC＝5，
∴－5a＝－5.∴a＝1.
∴二次函数的表达式为y＝－x2＋6x－5.
（2）由（1）得抛物线为y＝－x2＋6x－5.
∴令y＝0，则0＝－x2＋6x－5.∴x＝1或x＝5.∴AB＝5－1＝4.
又OC＝5，
∴S△ABC＝AB·OC＝×4×5＝10.
19.解：（1）根据表格数据可知，其对称轴为直线x＝1，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向上.故答案为上；x＝1.
解：（2）由（1）得，对称轴为直线x＝1，根据表格数据可知顶点坐标为（1，m），
∴设抛物线的表达式为y＝a（x－1）2＋m，且过（0，－2），（3，1），
∴解得
∴抛物线的表达式为y＝（x－1）2－3或y＝x2－2x－2.
解：（3）①由（2）得，抛物线的表达式为y＝（x－1）2－3，
∴顶点坐标为（1，－3），则绕点O旋转180°后的图象G2为y＝－（x＋1）2＋3，
根据画函数图象的方法，如图.
②根据图象可知，直线y＝k与函数G有且只有两个交点时，
k的取值范围为k＝3或k＝－3或－2＜k＜2，
故答案为k＝－3或k＝3或－2＜k＜2.
20.解：（1）由题意得，抛物线的顶点为（6，4），
∴可设抛物线的表达式为y＝a（x－6）2＋4.
又抛物线过（0，0），
∴0＝36a＋4，
∴a＝－.
∴抛物线的表达式为y＝－（x－6）2＋4，
（2）由题意，设AB＝BE＝EC＝CD＝m，
∴A（6－m，m）.
又A在抛物线y＝－（x－6）2＋4上，
∴m＝－m2＋4.
∴m＝3或m＝－12（舍去）.∴AB＝3.
答：门高AB为3 m.
（3）由上面的计算知A（3，3），N（12，0），
∴直线AN为y＝－x＋4.
∵PQ∥AN，
∴可设PQ为y＝－x＋b，
∴－（x－6）2＋4＝－x＋b.
∴x2－15x＋9b＝0.∴Δ＝225－36b＝0.
∴b＝.∴直线PQ为y＝－x＋.
令y＝0，得x＝，即OQ＝ m.
答：此时OQ的长为 m.