第一章 直角三角形的边角关系 达标测试卷（含答案）2025-2026学年数学北师大版（2024）九年级下册
文档属性
| 名称 | 第一章 直角三角形的边角关系 达标测试卷（含答案）2025-2026学年数学北师大版（2024）九年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 337.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-29 21:50:09 | ||
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文档简介
第一章《直角三角形的边角关系》达标测试卷
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1.tan 60°的值是（ ）
A. B. C.1 D.
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则∠BAC的正切值为（ ）
A.5 B. C. D.
3.已知cos A＝，则∠A＝（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
4.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos A的值是（ ）
第4题图
A. B. C. D.
5.河堤横断面如图所示，堤高BC＝6 m，迎水坡AB的坡比为1∶，则AB的长为（ ）
第5题图
A.12 m B.4 m C.2 m D.6 m
6.如图，小明在M处用高1.5 m（即CM＝1.5 m）的测角仪测得旗杆AB顶端B的仰角为30°，将测角仪沿旗杆方向前进20 m到N处，测得旗杆顶端B的仰角为60°，则旗杆AB的高度为（ ）
第6题图
A.11.5 m B.20 m C.10 m D.（10＋1.5）m
7.现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4 km至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么B，C两地的距离为（ ）
第7题图
A.2 km B.（2＋3）km C.3 km D.5 km
8.如图，在△ABC中，∠B＝45°，sin C＝，过点A作AD⊥BC于点D，AB＝2.若点E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为（ ）
第8题图
A.2 B. C. D.4
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9计算：2cos 60°－1＝ .
10.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝12，则AC＝ .
第10题图
11.在△ABC中，若｜sin A－｜＋（－cos B）2＝0，则∠C的度数是 .
12.桔槔，也叫“桔皋”，是我国古代井上汲水的工具.如图，在井旁架上设一杠杆，杠杆上竹竿一端A处系绳子，绳子另一端悬绑汲器，竹竿另一端B处绑石块等重物，用不大的力量即可将灌满水的汲器提起，桔槔的使用体现了我国古代劳动人民的智慧.若竹竿A，B两处的距离为12 m，当汲器伸到井口时，绳子受重力作用垂直于水平面，此时竹竿AB与绳子的夹角为53°，则绑重物的B端与悬绑汲器的绳子之间的距离是 m.（忽略提水时竹竿产生的形变）（参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.3）
第12题图
13.如图，在△ABC中，AB＝BC，tan∠B＝，D为BC上一点，且CD＝BD，过点D作DE⊥AD交AC的延长线于点E，则＝ .
第13题图
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14.（6分）计算.
（1）sin 60°＋2tan 45°－2sin 30°cos 30°；
（2）2cos 45°＋（π－3.14）0＋｜1－｜＋（）－1.
15.（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，求tan A和cos A.
16.（8分）如图，在△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线.
（1）求AC的长；
（2）求tan∠FBD的值.
17.（8分）图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测得BC＝10 cm，AB＝24 cm，∠BAD＝60°，∠ABC＝50°.
（1）在图2中，过点B作BE⊥AD，垂足为点E.填空：∠CBE＝ °；BE＝ cm；（结果保留根号）
（2）在（1）的条件下，求点C到AD的距离.（结果保留一位小数，参考数据：≈1.73，sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，tan 20°≈0.364）
18.（9分）如图，一艘船在海岛A望灯塔C在北偏西30°方向上，上午8时此船从海岛A出发，以30海里/时的速度向正北航行，上午10时到达海岛B，此时望灯塔C在北偏西60°方向上.
（1）求从海岛B到灯塔C的距离；
（2）如果船到达海岛B后，不停留，继续沿正北方向航行，请问船什么时候距离灯塔C最近？
19.（12分）双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成.某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如下表：
测量七凤塔高度
测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位
测量示意图 测量步骤及结果
如图，步骤如下： ①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BDG＝37°； ②沿着CA方向走到E处，用皮尺测得CE＝24 米； ③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BFG＝45°.
……
已知测角仪的高度为1.2米，点C，E，A在同一水平直线上.根据以上信息，求塔AB的高度.
（参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）
20.（12分）如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB.
（1）当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若MA＝1.6 m，AP＝1.2 m，则甲房间的宽度AB＝ m；
（2）当他在乙房间时，测得MA＝2.4 m，MP＝2.5 m，且∠MPN＝90°，求乙房间的宽AB；
（3）当他在丙房间时，测得MA＝2.8 m，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°，求丙房间的宽AB.
参考答案
1.D 2.C 3.C 4.C 5.A 6.D 7.A 8.A
9.0 10.6 11.105° 12.9.6 13.
14.解：（1）sin 60°＋2tan 45°－2sin 30°cos 30°
＝＋2×1－2××
＝2.
（2）2cos 45°＋（π－3.14）°＋｜1－｜＋（）－1
＝2×＋1＋－1＋2
＝2＋2.
15.解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，
∴AB＝＝＝，
∴tan A＝＝，cos A＝＝＝.
16.解：（1）∵AC⊥BD，cos∠ABC＝＝，BC＝8，
∴AB＝10.
在Rt△ACB中，由勾股定理得
AC＝＝＝6，故AC的长为6.
（2）如图，连接CF，过F点作BD的垂线，垂足E.
∵BF为AD边上的中线，
∴F为AD的中点.
∵△ACD为直角三角形，
∴CF＝AD＝FD.
在Rt△ACD中，由勾股定理得
AD＝＝＝2，
∴CF＝.
∵△CFD为等腰三角形，FE⊥CD，
∴CE＝CD＝2.
在Rt△EFC中，EF＝＝＝3，
∴tan∠FBD＝＝＝＝.
17.解：（1）20 12
（2）解：如图，过点C作CF⊥AD，垂足为点F，过点C作CG⊥BE，垂足为点G，则GE＝CF，∠BGC＝90°，在Rt△BGC中，BC＝10 cm.
∵cos∠CBE＝，∠CBE＝20°，
∴BG＝BC·cos 20°≈10×0.94＝9.4（cm），
∴CF＝GE＝BE－BG＝12－9.4≈12×1.73－9.4≈11.4（cm），
∴点C到AD的距离约为11.4 cm.
18.解：（1）AB＝（10－8）×30＝60（海里）.
∵∠CBN＝∠A＋∠C，
∴∠C＝∠CBN－∠A＝60°－30°＝30°，
∴∠C＝∠A，
∴BC＝AB＝60海里.
答：从海岛B到灯塔C的距离为60海里.
（2）作CH⊥AB，垂足为点H，
∴∠BHC＝90°，
∴∠BCH＋∠HBC＝90°，
∴∠BCH＝90°－∠HBC＝90°－60°＝30°，
∴BH＝BC＝30海里，30÷30＝1（h），10＋1＝11（时）.
答：11时，船距离灯塔C最近.
19.解：由题意得，DF＝CE＝24米，AG＝EF＝CD＝1.2米，∠BDG＝37°，∠BFG＝45°，
在Rt△BDG中，tan∠BDG＝tan 37°＝≈0.75，
∴DG＝.
在Rt△BFG中，
∵∠BFG＝45°，
∴FG＝BG.
∵DF＝24米，
∴DG－FG＝－BG＝24，
解得BG＝72，
∴AB＝72＋1.2＝73.2（米）.
答：塔AB的高度为73.2米.
20.解：（1）3.2
解：（2）∵∠MPN＝90°，
∴∠APM＋∠BPN＝90°.
∵∠APM＋∠AMP＝90°，
∴∠AMP＝∠BPN.
在△AMP与△BPN中，
∴△AMP≌△BPN，
∴MA＝PB＝2.4 m，
∵PA＝＝0.7 m，
∴AB＝PA＋PB＝0.7＋2.4＝3.1（ m）.
（3）如图，过N点作MA的垂线，垂足点为D，连接NM.
设AB＝x m，且AB＝ND＝x m.
∵梯子的倾斜角∠BPN为45°，
∴△BNP为等腰直角三角形，△PNM为等边三角形（180°－45°－75°＝60°，梯子长度相同），∠MND＝15°.
∵∠APM＝75°，
∴∠AMP＝15°，
∴∠DNM＝∠AMP.
∵△PNM为等边三角形，
∴NM＝PM.
∴△AMP≌△DNM（AAS），
∴AM＝DN，
∴AB＝DN＝AM＝2.8 m，即丙房间的宽AB是2.8 m.
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1.tan 60°的值是（ ）
A. B. C.1 D.
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则∠BAC的正切值为（ ）
A.5 B. C. D.
3.已知cos A＝，则∠A＝（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
4.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos A的值是（ ）
第4题图
A. B. C. D.
5.河堤横断面如图所示，堤高BC＝6 m，迎水坡AB的坡比为1∶，则AB的长为（ ）
第5题图
A.12 m B.4 m C.2 m D.6 m
6.如图，小明在M处用高1.5 m（即CM＝1.5 m）的测角仪测得旗杆AB顶端B的仰角为30°，将测角仪沿旗杆方向前进20 m到N处，测得旗杆顶端B的仰角为60°，则旗杆AB的高度为（ ）
第6题图
A.11.5 m B.20 m C.10 m D.（10＋1.5）m
7.现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4 km至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么B，C两地的距离为（ ）
第7题图
A.2 km B.（2＋3）km C.3 km D.5 km
8.如图，在△ABC中，∠B＝45°，sin C＝，过点A作AD⊥BC于点D，AB＝2.若点E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为（ ）
第8题图
A.2 B. C. D.4
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9计算：2cos 60°－1＝ .
10.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝12，则AC＝ .
第10题图
11.在△ABC中，若｜sin A－｜＋（－cos B）2＝0，则∠C的度数是 .
12.桔槔，也叫“桔皋”，是我国古代井上汲水的工具.如图，在井旁架上设一杠杆，杠杆上竹竿一端A处系绳子，绳子另一端悬绑汲器，竹竿另一端B处绑石块等重物，用不大的力量即可将灌满水的汲器提起，桔槔的使用体现了我国古代劳动人民的智慧.若竹竿A，B两处的距离为12 m，当汲器伸到井口时，绳子受重力作用垂直于水平面，此时竹竿AB与绳子的夹角为53°，则绑重物的B端与悬绑汲器的绳子之间的距离是 m.（忽略提水时竹竿产生的形变）（参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.3）
第12题图
13.如图，在△ABC中，AB＝BC，tan∠B＝，D为BC上一点，且CD＝BD，过点D作DE⊥AD交AC的延长线于点E，则＝ .
第13题图
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14.（6分）计算.
（1）sin 60°＋2tan 45°－2sin 30°cos 30°；
（2）2cos 45°＋（π－3.14）0＋｜1－｜＋（）－1.
15.（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，求tan A和cos A.
16.（8分）如图，在△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线.
（1）求AC的长；
（2）求tan∠FBD的值.
17.（8分）图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测得BC＝10 cm，AB＝24 cm，∠BAD＝60°，∠ABC＝50°.
（1）在图2中，过点B作BE⊥AD，垂足为点E.填空：∠CBE＝ °；BE＝ cm；（结果保留根号）
（2）在（1）的条件下，求点C到AD的距离.（结果保留一位小数，参考数据：≈1.73，sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，tan 20°≈0.364）
18.（9分）如图，一艘船在海岛A望灯塔C在北偏西30°方向上，上午8时此船从海岛A出发，以30海里/时的速度向正北航行，上午10时到达海岛B，此时望灯塔C在北偏西60°方向上.
（1）求从海岛B到灯塔C的距离；
（2）如果船到达海岛B后，不停留，继续沿正北方向航行，请问船什么时候距离灯塔C最近？
19.（12分）双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成.某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如下表：
测量七凤塔高度
测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位
测量示意图 测量步骤及结果
如图，步骤如下： ①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BDG＝37°； ②沿着CA方向走到E处，用皮尺测得CE＝24 米； ③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BFG＝45°.
……
已知测角仪的高度为1.2米，点C，E，A在同一水平直线上.根据以上信息，求塔AB的高度.
（参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）
20.（12分）如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB.
（1）当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若MA＝1.6 m，AP＝1.2 m，则甲房间的宽度AB＝ m；
（2）当他在乙房间时，测得MA＝2.4 m，MP＝2.5 m，且∠MPN＝90°，求乙房间的宽AB；
（3）当他在丙房间时，测得MA＝2.8 m，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°，求丙房间的宽AB.
参考答案
1.D 2.C 3.C 4.C 5.A 6.D 7.A 8.A
9.0 10.6 11.105° 12.9.6 13.
14.解：（1）sin 60°＋2tan 45°－2sin 30°cos 30°
＝＋2×1－2××
＝2.
（2）2cos 45°＋（π－3.14）°＋｜1－｜＋（）－1
＝2×＋1＋－1＋2
＝2＋2.
15.解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，
∴AB＝＝＝，
∴tan A＝＝，cos A＝＝＝.
16.解：（1）∵AC⊥BD，cos∠ABC＝＝，BC＝8，
∴AB＝10.
在Rt△ACB中，由勾股定理得
AC＝＝＝6，故AC的长为6.
（2）如图，连接CF，过F点作BD的垂线，垂足E.
∵BF为AD边上的中线，
∴F为AD的中点.
∵△ACD为直角三角形，
∴CF＝AD＝FD.
在Rt△ACD中，由勾股定理得
AD＝＝＝2，
∴CF＝.
∵△CFD为等腰三角形，FE⊥CD，
∴CE＝CD＝2.
在Rt△EFC中，EF＝＝＝3，
∴tan∠FBD＝＝＝＝.
17.解：（1）20 12
（2）解：如图，过点C作CF⊥AD，垂足为点F，过点C作CG⊥BE，垂足为点G，则GE＝CF，∠BGC＝90°，在Rt△BGC中，BC＝10 cm.
∵cos∠CBE＝，∠CBE＝20°，
∴BG＝BC·cos 20°≈10×0.94＝9.4（cm），
∴CF＝GE＝BE－BG＝12－9.4≈12×1.73－9.4≈11.4（cm），
∴点C到AD的距离约为11.4 cm.
18.解：（1）AB＝（10－8）×30＝60（海里）.
∵∠CBN＝∠A＋∠C，
∴∠C＝∠CBN－∠A＝60°－30°＝30°，
∴∠C＝∠A，
∴BC＝AB＝60海里.
答：从海岛B到灯塔C的距离为60海里.
（2）作CH⊥AB，垂足为点H，
∴∠BHC＝90°，
∴∠BCH＋∠HBC＝90°，
∴∠BCH＝90°－∠HBC＝90°－60°＝30°，
∴BH＝BC＝30海里，30÷30＝1（h），10＋1＝11（时）.
答：11时，船距离灯塔C最近.
19.解：由题意得，DF＝CE＝24米，AG＝EF＝CD＝1.2米，∠BDG＝37°，∠BFG＝45°，
在Rt△BDG中，tan∠BDG＝tan 37°＝≈0.75，
∴DG＝.
在Rt△BFG中，
∵∠BFG＝45°，
∴FG＝BG.
∵DF＝24米，
∴DG－FG＝－BG＝24，
解得BG＝72，
∴AB＝72＋1.2＝73.2（米）.
答：塔AB的高度为73.2米.
20.解：（1）3.2
解：（2）∵∠MPN＝90°，
∴∠APM＋∠BPN＝90°.
∵∠APM＋∠AMP＝90°，
∴∠AMP＝∠BPN.
在△AMP与△BPN中，
∴△AMP≌△BPN，
∴MA＝PB＝2.4 m，
∵PA＝＝0.7 m，
∴AB＝PA＋PB＝0.7＋2.4＝3.1（ m）.
（3）如图，过N点作MA的垂线，垂足点为D，连接NM.
设AB＝x m，且AB＝ND＝x m.
∵梯子的倾斜角∠BPN为45°，
∴△BNP为等腰直角三角形，△PNM为等边三角形（180°－45°－75°＝60°，梯子长度相同），∠MND＝15°.
∵∠APM＝75°，
∴∠AMP＝15°，
∴∠DNM＝∠AMP.
∵△PNM为等边三角形，
∴NM＝PM.
∴△AMP≌△DNM（AAS），
∴AM＝DN，
∴AB＝DN＝AM＝2.8 m，即丙房间的宽AB是2.8 m.