九年级下册期末达标测试卷 （含答案） 2025-2026学年数学北师大版（2024）
文档属性
| 名称 | 九年级下册期末达标测试卷 （含答案） 2025-2026学年数学北师大版（2024） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 380.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-30 09:17:17 | ||
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文档简介
九下期末达标测试卷
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1.计算sin 45°的值等于（ ）
A. B. C. D.
2.如图，AB是☉O的直径，C是☉O上一点.若∠BOC＝66°，则∠A＝（ ）
第2题图
A.66° B.33° C.24° D.30°
3.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡角为α，堤坝高BC为50 m，则迎水坡面AB的长度是（ ）
第3题图
A.50·tan α m B.50·sin α m C. m D. m
4.如图，CD为☉O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB＝6，则CD长为（ ）
第4题图
A.10 B.9 C.8 D.5
5.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A（－1，0），B两点，对称轴是直线x＝1，下列说法正确的是（ ）
第5题图
A.a＞1 B.当x＞－1时，y的值随x值的增大而增大
C.点B的坐标为（4，0） D.4a＋2b＋c＞0
6.如图，☉C过原点O，且与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，5），点M是第三象限内上一点，∠BMO＝120°，则☉O的半径为（ ）
第6题图
A.4 B.5 C.6 D.2
7.如图，客轮在海上以30 km/h的速度由B向C航行，在B处测得灯塔A的方位角为北偏东80°，测得C处的方位角为南偏东25°，航行1 h后到达C处，在C处测得A的方位角为北偏东20°，则C到A的距离是（ ）
第7题图
A. 15 km B. 15 km C. 15（＋）km D.5（3＋）km
8.苏州园林中的月亮门是中国古典园林住宅中常见的圆弧形洞门（如图1），因圆形如月而得名.月亮门因其寓意美好且造型独特，被广泛使用.图2是小明同学家中的月亮门示意图，经测量，水平跨径AB为2.4米，水平木条BD和铅锤木条CD长都为0.4米，点C恰好落在☉O上，则此月亮门的半径为（ ）
第8题图
A.2.1米 B.2.0米 C.1.9米 D.1.8米
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AB＝15，则cos B的值为 .
第9题图
10.请写出一个开口向上，经过点（0，4）的抛物线的表达式 .
11.如图，AD切☉O于A点，BC为直径，连接CA，已知∠ACB＝20°，则∠CAD的度数为 .
第11题图
12.如图，在菱形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD，CB的长为半径画弧，分别交对角线AC于点E，F.若AB＝4，∠ABC＝120°，则图中阴影部分的面积为 .（结果保留π）
第12题图
13.如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为 .
第13题图
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14.（6分）计算.
（1）2sin 30°－3tan 45°＋cos 60°；
（2）co45°－tan 30°·sin 60°.
15.（6分）如图，AB是☉O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ADC＝26°，求∠CAB的度数.
16.（8分）如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3经过点M（－2，3）.
（1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
（2）当－3≤x≤0时，直接写出y的取值范围.
17.（8分）“端午节”吃粽子是中国的传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒的利润率不低于50％，且每盒售价不得高于80元.根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒.设每盒售价为x元，日销售量为p盒.
（1）当x＝60时，p＝ ；
（2）当每盒售价定为多少元时，日销售额y（元）最大？最大日销售额是多少元？
18.（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E在AC边上，BE平分∠ABC，DE⊥BE交AB于点D，☉O是△BDE的外接圆.
（1）求证：AC是☉O的切线；
（2）若AD＝2，AE＝4，求☉O的半径长.
19.（12分）数形结合是解决数学问题的重要方法.小明同学学习二次函数后，对函数y＝－（｜x｜－1）2进行了探究.在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象.请根据函数图象，回答下列问题：
【观察探究】
方程－（｜x｜－1）2＝－1的解为 ；
【问题解决】
若方程－（｜x｜－1）2＝a有四个实数根，分别为x1，x2，x3，x4.
①a的取值范围是 ；
②计算x1＋x2＋x3＋x4＝ ；
【拓展延伸】
①将函数y＝－（｜x｜－1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝－（｜x－2｜－1）2＋3的图象？画出平移后的图象并写出平移过程；
②观察平移后的图象，当2≤y1≤3时，直接写出自变量x的取值范围 .
20.（12分）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间.如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB＝3 m，BC＝4 m，取BC的中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系.
请回答下列问题：
（1）如图2，抛物线AED的顶点E（0，4），求抛物线的表达式；
（2）如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL＝NR＝0.75 m，求两个正方形装置的间距GM的长；
（3）如图4，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为CK，求CK的长.
参考答案
1.C 2.B 3.D 4.A 5.D 6.B 7.D 8.B
9. 10.y＝x2＋4（答案不唯一） 11.70° 12.8－
13.＋ 解析：如图，在y＝－x2＋2x＋3中，当x＝0时，y＝3，即点C（0，3）.
∵y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，∴对称轴为直线x＝1，顶点D（1，4），
则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，3）.
作点D关于y轴的对称点D'（－1，4），作点E关于x轴的对称点E'（2，－3）.
连接D'E'，与x轴交于点G，与y轴交于点F，则点G，F即为使四边形EDFG的周长最小的点，四边形EDFG的周长＝DE＋DF＋FG＋GE＝DE＋D'F＋FG＋GE'＝DE＋D'E'
＝＋＝＋，
∴四边形EDFG的周长的最小值为＋.
14.解：（1）2sin 30°－3tan 45°＋cos 60°
＝2×－3×1＋
＝1－3＋
＝－.
（2）cos 245°－tan 30°·sin 60°
＝（）2－×
＝－
＝0.
15.解：如图，连接BC.∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵∠B＝∠D＝26°，∴∠CAB＝90°－26°＝64°.
16.解：（1）把点M（－2，3）的坐标代入y＝－x2＋mx＋3，得－4－2m＋3＝3，
解得m＝－2，∴y＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4，
∴抛物线的顶点坐标为（－1，4）.
（2）∵y＝－（x＋1）2＋4，∴抛物线开口向下，有最大值4.
∵当x＝0时，y＝3，当x＝－3时，y＝0，
∴当－3≤x≤0时，y的取值范围是0≤y≤4.
17.解：（1）p＝500－10×（60－50）＝400（盒），故答案为400；
解：（2）y＝x[500－10（x－50）]＝－10（x－50）2＋25 000，
∴当x＝50时，y有最大值25 000元.
答：当每盒售价定为50元时，日销售额y（元）最大，最大日销售额是25 000元.
18.（1）证明：如图，连接OE.
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE.
又OB＝OE，∴∠OEB＝∠OBE，∴∠CBE＝∠OEB，
∴BC∥OE，∴∠OEA＝∠C＝90°.
又点E在☉O上，∴AC是☉O的切线.
（2）解：设☉O的半径为r.
∵∠OEA＝90°，∴AO2＝AE2＋OE2，即（r＋2）2＝42＋r2，
解得r＝3，∴☉O的半径为3.
19.解：（1）【观察探究】
由图象可知，当函数值为－1时，直线y＝－1与图象交点的横坐标就是方程－（｜x｜－1）2＝－1的解.
故答案为x＝－2或x＝0或x＝2.
（2）【问题解决】
①若方程（－x｜－1）2＝a有四个实数根，由图象可知a的取值范围是－1＜a＜0.
故答案为－1＜a＜0.
②由图象可知：四个根中有两个互为相反数，另外两个也互为相反数，所以x1＋x2＋x3＋x4＝0.
故答案为0.
（3）【拓展延伸】
①平移后的图象如图所示.将函数y＝－（｜x｜－1）2的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到函数y1＝－（｜x－2｜－1）2＋3的图象.
②当2≤y1≤3时，自变量x的取值范围是0≤x≤4.
故答案为0≤x≤4.
20.解：（1）∵AB＝3 m，AD＝BC＝4 m，E（0，4），
∴A（－2，3），B（－2，0），C（2，0），D（2，3）.
设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c，
将A，D，E三点的坐标分别代入表达式，得
解得
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4.
（2）设G（－t，3），则L（－t－，3＋），
∴3＋＝－（－t－）2＋4，
解得t＝（负值舍去），∴GM＝2t＝.
故两个正方形装置的间距GM的长为 m.
（3）取最右侧光线与抛物线切点为F，如图，
设直线AC的表达式为y＝kx＋b，
则解得
∴直线AC的表达式为y＝－x＋.
∵FK∥AC，设lFK：y＝－x＋m，联立
得－x2＋x＋4－m＝0，
∴Δ＝（）2－4×（－）（4－m）＝0，解得m＝，
∴直线FK的表达式为y＝－x＋.
令y＝0，得x＝，即OK＝，
∴CK＝OK－OC＝－2＝.
故CK的长为 m.
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1.计算sin 45°的值等于（ ）
A. B. C. D.
2.如图，AB是☉O的直径，C是☉O上一点.若∠BOC＝66°，则∠A＝（ ）
第2题图
A.66° B.33° C.24° D.30°
3.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡角为α，堤坝高BC为50 m，则迎水坡面AB的长度是（ ）
第3题图
A.50·tan α m B.50·sin α m C. m D. m
4.如图，CD为☉O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB＝6，则CD长为（ ）
第4题图
A.10 B.9 C.8 D.5
5.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A（－1，0），B两点，对称轴是直线x＝1，下列说法正确的是（ ）
第5题图
A.a＞1 B.当x＞－1时，y的值随x值的增大而增大
C.点B的坐标为（4，0） D.4a＋2b＋c＞0
6.如图，☉C过原点O，且与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，5），点M是第三象限内上一点，∠BMO＝120°，则☉O的半径为（ ）
第6题图
A.4 B.5 C.6 D.2
7.如图，客轮在海上以30 km/h的速度由B向C航行，在B处测得灯塔A的方位角为北偏东80°，测得C处的方位角为南偏东25°，航行1 h后到达C处，在C处测得A的方位角为北偏东20°，则C到A的距离是（ ）
第7题图
A. 15 km B. 15 km C. 15（＋）km D.5（3＋）km
8.苏州园林中的月亮门是中国古典园林住宅中常见的圆弧形洞门（如图1），因圆形如月而得名.月亮门因其寓意美好且造型独特，被广泛使用.图2是小明同学家中的月亮门示意图，经测量，水平跨径AB为2.4米，水平木条BD和铅锤木条CD长都为0.4米，点C恰好落在☉O上，则此月亮门的半径为（ ）
第8题图
A.2.1米 B.2.0米 C.1.9米 D.1.8米
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AB＝15，则cos B的值为 .
第9题图
10.请写出一个开口向上，经过点（0，4）的抛物线的表达式 .
11.如图，AD切☉O于A点，BC为直径，连接CA，已知∠ACB＝20°，则∠CAD的度数为 .
第11题图
12.如图，在菱形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD，CB的长为半径画弧，分别交对角线AC于点E，F.若AB＝4，∠ABC＝120°，则图中阴影部分的面积为 .（结果保留π）
第12题图
13.如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为 .
第13题图
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14.（6分）计算.
（1）2sin 30°－3tan 45°＋cos 60°；
（2）co45°－tan 30°·sin 60°.
15.（6分）如图，AB是☉O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ADC＝26°，求∠CAB的度数.
16.（8分）如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3经过点M（－2，3）.
（1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
（2）当－3≤x≤0时，直接写出y的取值范围.
17.（8分）“端午节”吃粽子是中国的传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒的利润率不低于50％，且每盒售价不得高于80元.根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒.设每盒售价为x元，日销售量为p盒.
（1）当x＝60时，p＝ ；
（2）当每盒售价定为多少元时，日销售额y（元）最大？最大日销售额是多少元？
18.（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E在AC边上，BE平分∠ABC，DE⊥BE交AB于点D，☉O是△BDE的外接圆.
（1）求证：AC是☉O的切线；
（2）若AD＝2，AE＝4，求☉O的半径长.
19.（12分）数形结合是解决数学问题的重要方法.小明同学学习二次函数后，对函数y＝－（｜x｜－1）2进行了探究.在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象.请根据函数图象，回答下列问题：
【观察探究】
方程－（｜x｜－1）2＝－1的解为 ；
【问题解决】
若方程－（｜x｜－1）2＝a有四个实数根，分别为x1，x2，x3，x4.
①a的取值范围是 ；
②计算x1＋x2＋x3＋x4＝ ；
【拓展延伸】
①将函数y＝－（｜x｜－1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝－（｜x－2｜－1）2＋3的图象？画出平移后的图象并写出平移过程；
②观察平移后的图象，当2≤y1≤3时，直接写出自变量x的取值范围 .
20.（12分）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间.如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB＝3 m，BC＝4 m，取BC的中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系.
请回答下列问题：
（1）如图2，抛物线AED的顶点E（0，4），求抛物线的表达式；
（2）如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL＝NR＝0.75 m，求两个正方形装置的间距GM的长；
（3）如图4，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为CK，求CK的长.
参考答案
1.C 2.B 3.D 4.A 5.D 6.B 7.D 8.B
9. 10.y＝x2＋4（答案不唯一） 11.70° 12.8－
13.＋ 解析：如图，在y＝－x2＋2x＋3中，当x＝0时，y＝3，即点C（0，3）.
∵y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，∴对称轴为直线x＝1，顶点D（1，4），
则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，3）.
作点D关于y轴的对称点D'（－1，4），作点E关于x轴的对称点E'（2，－3）.
连接D'E'，与x轴交于点G，与y轴交于点F，则点G，F即为使四边形EDFG的周长最小的点，四边形EDFG的周长＝DE＋DF＋FG＋GE＝DE＋D'F＋FG＋GE'＝DE＋D'E'
＝＋＝＋，
∴四边形EDFG的周长的最小值为＋.
14.解：（1）2sin 30°－3tan 45°＋cos 60°
＝2×－3×1＋
＝1－3＋
＝－.
（2）cos 245°－tan 30°·sin 60°
＝（）2－×
＝－
＝0.
15.解：如图，连接BC.∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵∠B＝∠D＝26°，∴∠CAB＝90°－26°＝64°.
16.解：（1）把点M（－2，3）的坐标代入y＝－x2＋mx＋3，得－4－2m＋3＝3，
解得m＝－2，∴y＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4，
∴抛物线的顶点坐标为（－1，4）.
（2）∵y＝－（x＋1）2＋4，∴抛物线开口向下，有最大值4.
∵当x＝0时，y＝3，当x＝－3时，y＝0，
∴当－3≤x≤0时，y的取值范围是0≤y≤4.
17.解：（1）p＝500－10×（60－50）＝400（盒），故答案为400；
解：（2）y＝x[500－10（x－50）]＝－10（x－50）2＋25 000，
∴当x＝50时，y有最大值25 000元.
答：当每盒售价定为50元时，日销售额y（元）最大，最大日销售额是25 000元.
18.（1）证明：如图，连接OE.
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE.
又OB＝OE，∴∠OEB＝∠OBE，∴∠CBE＝∠OEB，
∴BC∥OE，∴∠OEA＝∠C＝90°.
又点E在☉O上，∴AC是☉O的切线.
（2）解：设☉O的半径为r.
∵∠OEA＝90°，∴AO2＝AE2＋OE2，即（r＋2）2＝42＋r2，
解得r＝3，∴☉O的半径为3.
19.解：（1）【观察探究】
由图象可知，当函数值为－1时，直线y＝－1与图象交点的横坐标就是方程－（｜x｜－1）2＝－1的解.
故答案为x＝－2或x＝0或x＝2.
（2）【问题解决】
①若方程（－x｜－1）2＝a有四个实数根，由图象可知a的取值范围是－1＜a＜0.
故答案为－1＜a＜0.
②由图象可知：四个根中有两个互为相反数，另外两个也互为相反数，所以x1＋x2＋x3＋x4＝0.
故答案为0.
（3）【拓展延伸】
①平移后的图象如图所示.将函数y＝－（｜x｜－1）2的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到函数y1＝－（｜x－2｜－1）2＋3的图象.
②当2≤y1≤3时，自变量x的取值范围是0≤x≤4.
故答案为0≤x≤4.
20.解：（1）∵AB＝3 m，AD＝BC＝4 m，E（0，4），
∴A（－2，3），B（－2，0），C（2，0），D（2，3）.
设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c，
将A，D，E三点的坐标分别代入表达式，得
解得
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4.
（2）设G（－t，3），则L（－t－，3＋），
∴3＋＝－（－t－）2＋4，
解得t＝（负值舍去），∴GM＝2t＝.
故两个正方形装置的间距GM的长为 m.
（3）取最右侧光线与抛物线切点为F，如图，
设直线AC的表达式为y＝kx＋b，
则解得
∴直线AC的表达式为y＝－x＋.
∵FK∥AC，设lFK：y＝－x＋m，联立
得－x2＋x＋4－m＝0，
∴Δ＝（）2－4×（－）（4－m）＝0，解得m＝，
∴直线FK的表达式为y＝－x＋.
令y＝0，得x＝，即OK＝，
∴CK＝OK－OC＝－2＝.
故CK的长为 m.